1橢圓1.2橢圓的幾何性質(zhì)

第二章

圓錐曲線

北師大版2019·必修第一冊學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)23掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率等幾何性質(zhì).掌握橢圓的離心率及a,b,c的幾何意義.能夠根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.1讀教材閱讀課本P51-P52，5分鐘后完成下列問題：

我們一起來探究“橢圓的幾何性質(zhì)”吧！1.橢圓關(guān)于什么對稱？2.橢圓有哪些頂點(diǎn)？3.什么是離心率？新課引入一、橢圓的定義平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)F1,F2,的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的集合（或軌跡）叫作橢圓．這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.MF1F2

新課引入二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)三者之間的關(guān)系OxyOxy

學(xué)習(xí)過程010302目錄1橢圓的簡單幾何性質(zhì)3題型訓(xùn)練2求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程新知探究知識點(diǎn)一、橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題1：觀察圖像,你能從圖上看出橢圓上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的取值范圍是什么嗎?

探究一：橢圓的范圍問題2：如何用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解釋該范圍？

這說明橢圓位于四條直線：x=-a,x=a,y=-b,y=b所圍成的矩形區(qū)域內(nèi)．新知探究知識點(diǎn)一、橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題1：觀察橢圓的形狀,橢圓是關(guān)于什么對稱的？探究二：橢圓的對稱性問題2：如何利用方程說明橢圓的對稱性？

這說明橢圓既是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形.這個中心稱為橢圓的中心.

新知探究知識點(diǎn)一、橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題1：橢圓上哪些點(diǎn)比較特殊？探究三：橢圓的頂點(diǎn)問題2：如何求它們的坐標(biāo)呢？

新知探究知識點(diǎn)一、橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題1：橢圓上哪些點(diǎn)比較特殊？探究三：橢圓的頂點(diǎn)問題2：如何求它們的坐標(biāo)呢？

新知探究知識點(diǎn)一、橢圓的簡單幾何性質(zhì)探究四：橢圓的離心率問題1：觀察下圖,我們發(fā)現(xiàn)不同形狀的橢圓的扁平程度不同,扁平程度是橢圓的重要形狀特征.有什么量可以用來刻畫橢圓的扁平程度嗎？新知探究知識點(diǎn)一、橢圓的簡單幾何性質(zhì)探究四：橢圓的離心率

知識點(diǎn)一、橢圓的簡單幾何性質(zhì)新知探究典例分析例1：求橢圓9x2+25y2=225的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo),并用描點(diǎn)法畫出它的圖形．解：x012345y30292724180先用描點(diǎn)法畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形,再利用對稱性畫出整個橢圓(如圖)．將方程變形為,由,在0≤x≤5的范圍內(nèi)計算出一些點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y),如下表(y的值精確到0.1)．學(xué)習(xí)過程010302目錄1橢圓的簡單幾何性質(zhì)3題型訓(xùn)練2求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程新知探究典例1：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

從而b2=a2-c2=20,

知識點(diǎn)二、求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程新知探究由橢圓的幾何性質(zhì)可得,b=6,a=8,

典例1：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

知識點(diǎn)二、求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程提分筆記利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程的思路(3)根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式,利用方程(組)求參數(shù).(2)設(shè)出相應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)確定焦點(diǎn)的位置.

(焦點(diǎn)位置不確定的橢圓可能有兩個標(biāo)準(zhǔn)方程);典例2：酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心將一顆人造衛(wèi)星送人到距地球表面近地點(diǎn)(離地面最近的點(diǎn))高度約200km,遠(yuǎn)地點(diǎn)(離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn))高度約350km的橢圓軌道(將地球看作一個球，其半徑約為6371km),求橢圓軌道的標(biāo)準(zhǔn)方程.(注：地心(地球的中心)位于橢圓軌道的一個焦點(diǎn),且近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)與地心共線)新知探究解：如圖,設(shè)地心為橢圓軌道右焦點(diǎn)F2,近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)分別為A2,A1,以直線A1A2為x軸,線段A1A2的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則F2,A1,A2三點(diǎn)都在x軸上，

|F2A2|=a-c=200+6371,

|A1F2|=a+c=350+6371.

解得a=6646,c=75,從而b2=a2-c2=44163691.

典例2：酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心將一顆人造衛(wèi)星送人到距地球表面近地點(diǎn)(離地面最近的點(diǎn))高度約200km,遠(yuǎn)地點(diǎn)(離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn))高度約350km的橢圓軌道(將地球看作一個球，其半徑約為6371km),求橢圓軌道的標(biāo)準(zhǔn)方程.(注：地心(地球的中心)位于橢圓軌道的一個焦點(diǎn),且近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)與地心共線)新知探究解：提分筆記解決和橢圓有關(guān)的實(shí)際問題的思路(3)用解得的結(jié)果說明原來的實(shí)際問題.(2)確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并利用橢圓的方程或幾何性質(zhì)求出數(shù)學(xué)問題的解.(1)通過數(shù)學(xué)抽象,找出實(shí)際問題中涉及的橢圓,將原問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,2y).因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O上,所以點(diǎn)M的軌跡是長軸長為4,短軸長為2,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓.所以x2+(2y)2=4,即

典例3：如圖,點(diǎn)P是圓O：x2+y2=4上的動點(diǎn),作PH⊥x軸于點(diǎn)H,求線段PH的中點(diǎn)M的軌跡方程,并指出該軌跡是什么圖形.新知探究解：

這個求軌跡方程的方法為相關(guān)點(diǎn)法提分筆記相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的一般步驟(3)標(biāo)準(zhǔn)化：將x0,y0代入其所在的曲線方程,化簡方程得所求方程.(2)找關(guān)系：找出(x,y)與(x0,y0)之間的等量關(guān)系,用x,y表示x0,y0.(1)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)：設(shè)所求動點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),其相關(guān)動點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0).學(xué)習(xí)過程010302目錄1橢圓的簡單幾何性質(zhì)3題型訓(xùn)練2求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程題型探究例1：橢圓的幾何性質(zhì)題型1解：D

例2：橢圓的幾何性質(zhì)題型1題型探究

解：B題型探究