第三章空間向量與立體幾何§2空間向量與向量運算課時2空間向量的數(shù)量積1.掌握空間向量的夾角的概念.

(

數(shù)學(xué)抽象)2.掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律及計算方法.

(

邏輯推理)3.了解空間向量投影向量的意義以及投影數(shù)量的概念.

(直觀想象)4.能用向量的數(shù)量積解決立體幾何中的垂直、夾角、長度等問題.

(

數(shù)學(xué)運算)

學(xué)習(xí)目標(biāo)預(yù)學(xué)憶思1.上節(jié)課所講的向量線性運算的相關(guān)知識有哪些?[答案]

向量的加法、減法、數(shù)乘運算.2.空間向量的線性運算滿足哪些運算律?[答案]

向量的線性運算滿足交換律、結(jié)合律和分配律.3.如何確定兩條異面直線的夾角?空間向量的夾角應(yīng)該如何定義，如何表示，其取值范圍是多少?如何定義空間向量的垂直?[答案]設(shè)a,b

是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點0作直線a'//a,b'//b,把a'與b′所成的銳角(或直角)稱為直線a,b的夾角.已知兩個非零向量a,b,在空間任取一點0,作OA=a,OB=b,

則∠AOB即向量a,b

的夾角，其范圍是[0,π].若,

則a與b相互垂直.

自主預(yù)習(xí)4.類比平面向量數(shù)量積的定義，如何定義空間向量的數(shù)量積運算?[答案]

a

·b=|a||b|cos{a,b).5.類比平面向量數(shù)量積的運算律，空間向量的數(shù)量積運算滿足哪些運算律?[答案]

空間向量數(shù)量積的運算滿足交換律和分配律.6.數(shù)量積運算能否判斷兩個向量的平行或者垂直關(guān)系，能否用來求角?[答案]能判斷垂直關(guān)系，若a

·b=0,

則向量a,b

垂直

.

自主預(yù)習(xí)◎

自學(xué)檢測1.判斷下列結(jié)論是否正確.

(正確的打“

√”,錯誤的打“×”)(1)兩向量的數(shù)量積是實數(shù).

(

√

)(2)對于非零向量a,b,〈a,b>

與〈a,-b)相等.

(×

)(3)對于任意向量a,b,c,都有(a·b)·c=a

·

(b

·c).

(×)(4)

(3a+2b)·(3a-2b)=9|al2-4|b|2.(√)2.已知向量a,b

滿足|a|=|b|=

√2,a

·b=1,

則兩向量的夾角為(

B).A.30°B.60°C.120°D.150°[解析]

設(shè)向量a,b

的夾角為θ,則!

1

所以θ=60°

.

自主預(yù)習(xí)3.已知i,j,k是兩兩垂直的單位向量，

a=2i-j+k,b=i+j-3k,則a·b等于

-2

[解析]a

·b=(2i-j+k)

·

(i+j-3k)=2i2-j2-3k2=-2.

自主預(yù)習(xí)量

為

-

2e.[解析]空間向量α在向量e上的投影向量為

·e=-2e.4.已知|a|=4,

空間向量e為單位向量，則空間向量α在向量e

上的投影向

自主預(yù)習(xí)1如圖，在正方體ABCD-A?B?C?D?中，任意兩個空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量，由此可以類比，兩個空間向量的夾角

也可以像平面向量那樣來定義.據(jù)此回答下列問題.問題：如何求向量AA?

與BC?的夾角?

[答案]類比平面向量，將AA?

平移到與BB?重合的位置，解△

B?BC?可得向量AA?

與BC?

的夾角.探究1空間向量的夾角情境設(shè)置

合作探究新知生成空間向量的夾角已知兩個非零向量a,b,在空間中任取一點0,作OA=a,OB=b,則∠AOB叫作向量a

與b的夾角，記作〈a,b).通常規(guī)定：0≤<a,b〉≤π

.在此規(guī)定下，兩個向量的夾角被唯一確定，并且〈a,b〉=

〈b,a).當(dāng)<a,b)=0時，向量a

與b方向相同；當(dāng)(a,b〉=π

時，向量a

與b方向相反；當(dāng)時，稱向量a,b

互相

垂直

,記作a⊥b.規(guī)定：零向量與任意向量垂直.

合作探究新知運用例1

在正方體ABCD-A?B?C?D?中，E,F分別是AB,BC的中點，求：(1)<EF,A?C?>,〈A?C?,FE);(2)〈AB,BC》,〈A?B?,AD?〉;(3)<EF,D?A).方法指導(dǎo)將兩向量平移到一個三角形中，解三角形即可

合作探究[解析]

(1)如圖，連接AC,因為E,F

分別是AB,BC

的中點，所以EF//AC,所

以EF//A?C?

,

且

方向相同，所以EF,A?C?〉=0°

.

因為A?C?//FE,且方向相反，所以(A?C?

,FE)=180°(2)因為在正方形ABCD

中，AB⊥BC,所以(AB,BC)=90°

.因為A

?B?

⊥

平面A?ADD?

,

又AD?C平面A?ADD?

,

所以A?B?

⊥AD?

,所以(A?B?,AD?〉=90°

.(3)連接CD?

,

則△

ACD?

為等邊三角形，(AC,AD?.又EF//AC,D?A=-AD?

,

所以〈EF,D?A〉=120°.

合作探究〈AB,

CA)是互補的，正確運用向量所在的圖形中的幾何特征，如平行、垂直等進行求解.鞏固訓(xùn)練如圖，M,N

分別是棱長為1的正方體ABCD-A′B'C′D

'的棱BB',B'C′的中點，求：(1)向量AB

與CD’的夾角；(2)向量MN與D′A的夾角.方法總結(jié)求向量的夾角，一般要先運用平移法把向量移到有公共起點的位置，把空間向量

的夾角轉(zhuǎn)化為平面向量的夾角，然后注意分析圖形特征和向量的方向，如(AB,AC>

與[解析]

(1)由正方體的性質(zhì)可得AB=DC,CD’

與CD

的夾角為45°,則DC

與CD’的夾角為135°,所以向量AB

與CD’的夾角為135°.(2)連接BC′

(圖略),因為M,N分別是BB′,B'C′的中點，所以MN//BC′

.又BC'//AD',所以向量MN與D'A共線且方向相反，故其夾角為180°.

合作探究如圖，觀察棱長為2的正方體ABCD-A?B?C?D?,

回答下面的問題.問題1:如何求AB·AC?[答案]根據(jù)平面向量的數(shù)量積求解.[答案]因為AC?=AC+CC1,所以AB·AC?=AB·(AC+CC?),

然后類比平面向量的數(shù)量積求解，可得AB

·AC?=4.探究2空間向量的數(shù)量積及其運算律情境設(shè)置AB·AC=2×√22+22cos問題2:如何求AB·AC??

合作探究45°=4.問題3:已知平面中的兩個非零向量a,b,它們的數(shù)量積a·b是如何定義的?這個定義適用于空間向量嗎?[答案]定義|a||b|cosθ

為a,b的數(shù)量積a·b,這個定義也適用于空間向量.問題4:“若a·b=a·c,

則

b=c”,

這種說法正確嗎?[答案]不正確，向量不能約分.問題5:數(shù)量積的運算滿足除法嗎?[答案]數(shù)量積的運算不滿足除法，即對于向量a,b,

若a

·b=k,

不能得到(或.例如當(dāng)非零向量a,b

垂

直

時

，a·b=0,但

然是沒有意義的.問題6:數(shù)量積的運算不滿足結(jié)合律嗎?[答案]向量的數(shù)量積運算不滿足結(jié)合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c).

合作探究新知生成1.空間向量數(shù)量積的定義已知兩個空間向量a,b,把

lal|b|cos(a,b)叫作a與b的數(shù)量積，記作a

·b,

即a·b=|a||b|cos(a,b).2.空間向量數(shù)量積的性質(zhì)(1)|a|=√a·a;(2)(alb?a·b=0);

合作探究3.空間向量數(shù)量積的運算律(1)交換律：a·b=b·a.(2)分配律：a·

(b+c)=a

·b+a

·c.(3)λ(a·b)=(λa)·b(λ∈R).

合作探究新

知

運

用例2已知四面體D-ABC

的每條棱長都等于1,E,F分別是AB,AD的中點，則EF

·DC

等于(B

).∴EF

·

·|DB|·|DC|

·

.故選B.∵四面體D-ABC

的每條棱長都等于1,∴每個面都是等邊三角形，[解析]如圖，∵

E,F分別是AB,AD

的中點，∴

合作探究B

AD(方法總結(jié)求空間向量的數(shù)量積和求平面向量的數(shù)量積一樣，關(guān)鍵在于確定兩個向量之間的

夾角以及它們的模，利用公式a

·b=|a||b|cos

<a,b>即可解決問題.鞏固訓(xùn)練如圖，在正方體ABCD-A?

B?C?

D?中

，E,F分別是C?

D?,D?D的中點，正

方體的棱長為1.(1)求〈CE,AF>的余弦值.(2)求證：BD1⊥EF.

合作探究因為AB·AD=0,AB·AA?=0,AD·AA?=0,所以CE

·

又

,

所(2)因為BD?=BD+DD?=AD-AB+AA?,i所以BD?·EF=0,所以BD?⊥EF.[解析]

(1)

1

合作探究1我們在測量樹的高度時，常利用陽光下的影子測量其高度，如圖所示.

問題1:若測得|OA|=2,

如何求AB

在OA

上的投影數(shù)量?[答案]根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義，可知AB

在OA

上的投探究

3投影向量與投影數(shù)量情境設(shè)置

合作探究影數(shù)量為問題2:平面向量數(shù)量積的投影數(shù)量的定義，在空間中還成立嗎?[答案]根據(jù)空間向量數(shù)量積公式可知，依然成立.新知生成1.投影向量如圖，已知兩個非零向量a,b,在空間任取一點0,作OA=a,OB=b,過點B作OA

的垂線，垂足為B?

,

稱向量OB?

為向量b在向量a方向上的投影向量，其長度為

||b|cos{a,b>|.當(dāng)(a,b)

為銳角時，

|b|cos{a,b〉>0,

如圖(1);當(dāng)(a,b)

為鈍角時，

|b|cos(a,b〉<0,如

圖(

2

);

時，|b|cos{a,b〉=0,

如圖(3)

.(1)(2)(3)

合作探究2.投影數(shù)量若用a?表示與向量a(a≠0)同方向的單位向量，則向量b在向量a方向上的投影向量為

OB?=|b|cos(a,b>a?

.·b

為投影向量OB?

的數(shù)量，簡稱為向量b在向量a方向上的投

合作探究影數(shù)量.新

知

運

用例3如圖，已知四棱柱ABCD-A?

B?C?

D?的底面ABCD是矩形，AB=4,AA?=3,AD=2,∠BAA?=∠DAA?=60°,E為棱C?D?的中點，求AB在AE方向上的投影向量及投影數(shù)量.方

法

指

導(dǎo)

先

求|AE|,再

求AB·AE,代入投影向量和投影數(shù)量公式即可得結(jié)果.

合作探究所以AB

在AE方向上的投影向

AB在AE

方向上的投影數(shù)量；[解析]由圖可知，

合作探究=

√29.鞏固訓(xùn)練如圖，在三棱柱ABC-A?

B?C?中，M,N分別是A?B,B?C?上的點，且BM=2A?M,C?N=2B?N.設(shè)AB=a,AC=b,AA?=c.若∠BAC=90°,∠BAA?=∠CAA?=60°,AB=AC=AA?=1.(1)求向量AC在MN

方向上的投影數(shù)量；(2)求向量CA

在MN

方向上的投影向量.方法總結(jié)投影數(shù)量反映向量數(shù)量積的幾何意義，求解的實質(zhì)還是數(shù)量積的相關(guān)計算，投影

向量是投影數(shù)量乘相應(yīng)投影方向的單位向量.注意區(qū)分投影數(shù)量與投影向量的區(qū)別.

合作探究所以|a+b+c|=√5,所以所以向量AC在MN

方向上的投影數(shù)因為(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a

·b+2b

·c+2a

·c[解析](1)由圖可知，MN=MA?

+A?

B?

+B?

N

合作探究所以AC

·MN=b·(2)因為向量CA與MN的夾角是向量AC與MN夾角的補角，所以CA

·

所以向量CA在MN

方向上的投影向

合作探究1.對于向量a,b,c和實數(shù)λ,下列命題中是真命題的為(B

).A.若a·b=0,則a=0或b=0B.若λa=0,則λ=0或a=0C.若a2=b2,則a=b或a=-b

D.若a·b=a·c,

則b=c[解析]對于A,