3.3.2空間向量運算的坐標(biāo)表示及應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象能力（重點）2.掌握空間向量運算的坐標(biāo)表示、掌握空間向量的平行和垂直的條件，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象能力（重難點）3.掌握空間向量的夾角與向量長度的坐標(biāo)計算公式，體現(xiàn)邏輯推理能力（重難點）新課導(dǎo)入回顧一下：空間向量基本定理的內(nèi)容是什么？如果向量a,b,c是空間三個不共面的向量，p是空間任意一個向量，那么存在唯一的三元有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc．思考一下：當(dāng)空間的一組基向量兩兩垂直時，空間向量與空間直角坐標(biāo)系之間有什么關(guān)系呢？讓我們這節(jié)課學(xué)習(xí)一下.新課學(xué)習(xí)標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，分別沿x軸、y軸、z軸正方向作單位向量i，j，k，這三個互相垂直的單位向量就構(gòu)成空間向量的一組基{i，j，k}，這組基叫作標(biāo)準(zhǔn)正交基.新課學(xué)習(xí)空間向量的坐標(biāo)表示根據(jù)空間向量基本定理，對于任意一個向量p，都存在唯一的三元有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p=xi+yj+zk反之，任意給出一個三元有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，也可找到唯一的一個向量p=xi+yj+zk與之對應(yīng).新課學(xué)習(xí)空間向量的坐標(biāo)表示這樣，就在空間向量與三元有序?qū)崝?shù)組之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，把三元有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫作向量p在標(biāo)準(zhǔn)正交基{i，j，k}下的坐標(biāo)，記作p=(x，y，z).單位向量i，j，k都叫作坐標(biāo)向量.xi，yj，zk實際上分別是向量p在i，j，k方向上所作的投影向量，x，y，z分別是向量p在i，j，k方向上所作投影向量的數(shù)量.新課學(xué)習(xí)思考一下：空間中任意向量如何用坐標(biāo)表示？在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，對于空間任意一個向量p，一定可以把它平移，使它的起點與原點O重合，得到向量若點P的坐標(biāo)為(x，y，z)，由空間向量的加法不難得出

=xi+yj+zk(如圖)，于是向量

的坐標(biāo)也是(x，y，z).

zyxkpp向量p的坐標(biāo)恰是點P在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)(x，y，z).ij新課學(xué)習(xí)思考一下：空間中任意兩點A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),如何用坐標(biāo)表示

？若點A的坐標(biāo)為(x1，y1，z1)，點B的坐標(biāo)為(x2，y2，z2)，則結(jié)論：一個向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo).新課學(xué)習(xí)設(shè)向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，根據(jù)空間向量的運算法則，不難得到：空間向量的坐標(biāo)表示(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)(3)λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)(4)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2新課學(xué)習(xí)思考一下：如何證明空間向量的數(shù)量積？設(shè)向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，所以根據(jù)向量數(shù)量積的分配律，以及i·i=j·j=k·k=1，i·j=j·k=i·k=0,即可得出a·b=(x1x2)i·i+(x1y2)i·j+(x1z2)i·k+(y1x2)j·i+(y1y2)j·j+(y1z2)j·k+(z1x2)k·i+(z1y2)k·j+(z1z2)k·k=x1x2+y1y2+z1z2因此，空間兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和.新課學(xué)習(xí)例2:已知向量a=(-1,-3,2)，b=(1,2,0),求：

(1)2a；(2)(a+2b)·(-2a+b).(1)2a=2(-1,-3,2)=(-2,-6,4).(2)因為

a+2b=(-1,-3,2)+2(1,2,0)

=(-1,-3,2)+(2,4,0)=(1,1,2)，-2a+b=-2(-1,-3,2)+(1,2,0)

=(2,6,-4)+(1,2,0)=(3,8,-4)；所以(a+2b)·(-2a+b)=(1,1,2)·(3,8,-4)

=1×3+1×8+2×(-4)=3.新課學(xué)習(xí)空間向量平行與垂直的條件我們知道，當(dāng)b≠0時，a∥b

使得a=λb.如果設(shè)向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，那么當(dāng)b≠0時，a∥b

使得

新課學(xué)習(xí)空間向量平行與垂直的條件當(dāng)b與三個坐標(biāo)平面都不平行(即x2y2z2≠0)時，a∥b

類似地，可得a⊥b

a·b=0x1x2+y1y2+z1z2=0.新課學(xué)習(xí)空間向量長度與夾角的坐標(biāo)表示設(shè)向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，根據(jù)空間向量運算的坐標(biāo)表示，可以得到：若點A的坐標(biāo)為(a1，b1，c1)，點B的坐標(biāo)為(a2，b2，c2)，則新課學(xué)習(xí)例3:已知空間三點A(1,0,0)，B(3,1,1)，C(2,0,1)，求線段AB的長和∠BAC的大小.又∵兩個向量的夾角取值范圍為[0，π]，新課學(xué)習(xí)例4：如圖(1)，三棱柱ABC-A'B'C'中，側(cè)棱與底面垂直，CA=CB=1，∠BCA=

棱AA'=2，點M，N分別是A'B'和A'A的中點.(1)求

；如圖(2)，以點C為原點，CA，CB，CC'所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.由題意，得B(0,1,0)，N(1,0,1).則(2)(1)新課學(xué)習(xí)(2)求

的值；由題意,得B(0,1,0)，C(0,0,0)，A'(1,0,2)，B'(0,1,2).因為所以所以新課學(xué)習(xí)(3)求證：證明：由題意,得A'(1,0,2)