3.4.3.1空間中的角(第二課時(shí))學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)用向量法求二面角的大小，體現(xiàn)邏輯推理能力（重點(diǎn)）2.能正確區(qū)分平面法向量所成的角與二面角的平面角的關(guān)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象能力（難點(diǎn)）新課導(dǎo)入復(fù)習(xí)一下：上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了直線與直線形成的角和直線與平面形成的角的向量求法，那么它們的公式是什么？?jī)蓷l直線形成的角：cosθ＝|cos〈a，b〉|直線與平面形成的角：sinθ＝|cos〈l，n〉|在以前我們學(xué)過兩個(gè)平面形成的角，那么，根據(jù)前面學(xué)習(xí)的知識(shí)，讓我們研究一下兩個(gè)平面形成的角的向量求法吧.新課學(xué)習(xí)思考一下：我們知道,兩個(gè)平面相交形成四個(gè)二面角,那么二面角的平面角與兩個(gè)平面的法向量存在怎樣的關(guān)系呢？下面選擇其中一個(gè)來研究.如圖，過二面角α-l-β內(nèi)一點(diǎn)P作PA⊥α于點(diǎn)A，作PB⊥β于點(diǎn)B，則

(或)是平面α的一個(gè)法向量，(或)是平面β的一個(gè)法向量.設(shè)平面PAB交直線l于點(diǎn)O，連接AO，BO，不難證明：l⊥平面PAB，于是∠AOB就是二面角α-l-β的平面角.新課學(xué)習(xí)思考一下：我們知道,兩個(gè)平面相交形成四個(gè)二面角,那么二面角的平面角與兩個(gè)平面的法向量存在怎樣的關(guān)系呢？下面選擇其中一個(gè)來研究.因?yàn)樵谒倪呅蜳AOB中，∠PAO=∠PBO=所以新課學(xué)習(xí)思考一下：二面角α-l-β的平面角與兩法向量所成角〈n1，n2〉的關(guān)系？一般地，已知n1，n2分別為平面α，β的法向量，則二面角α-l-β的平面角與兩法向量所成角〈n1，n2〉相等(如圖(1))或互補(bǔ)(如圖(2)).新課學(xué)習(xí)平面與平面的夾角的概念如圖，平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，

我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角.設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則新課學(xué)習(xí)利用向量法求二面角的步驟:1.建立空間直角坐標(biāo)系；2.分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量；3.求兩個(gè)法向量的夾角；4.判斷所求二面角的平面角是銳角還是鈍角；5.確定二面角的大小.新課學(xué)習(xí)例10:如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有單位正方體ABCD-A'B'C'D'，求二面角A'-DC-A的平面角.由AA'⊥平面ABCD，可知n1=(0,0,1)是平面ABCD的一個(gè)法向量.因?yàn)锳'(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，所以設(shè)n2=(x,y,z)是平面A'DC的一個(gè)法向量，則新課學(xué)習(xí)例10:如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有單位正方體ABCD-A'B'C'D'，求二面角A'-DC-A的平面角.即所以取n2=(0,1,1)，得由圖可知二面角A'-DC-A的平面角為銳角，所以，平面角為新課學(xué)習(xí)例11:如圖，已知二面角α-l-β的平面角為

，點(diǎn)B，C在棱l上，AB⊥l，CD⊥l，AB=2，BC=1，CD=3，求AD的長(zhǎng).因?yàn)锳B⊥l，CD⊥l，二面角α-l-β的平面角為所以因?yàn)樗孕抡n學(xué)習(xí)總結(jié)一下：利用空間向量求空間角的基本思路利用空間向量求空間角的基本思路是把空間角轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量之間的夾角來求．1.首先要找到并表示出相關(guān)向量，常用的兩種方法是坐標(biāo)法、基向量法，解題時(shí)要靈活掌握；2.其次理清要求角和兩個(gè)向量夾角之間的關(guān)系；3.最后利用兩個(gè)向量的夾角公式求出空間角．新課學(xué)習(xí)練一練：如圖所示，已知四棱錐S-ABCD

中，SA⊥平面ABCD，ABCD為直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，且SA=AB=BC=3AD，求平面SAB與SCD所成角的正弦值.依題意，AD，AB，AS兩兩互相垂直.以A為點(diǎn)

，

，

，

的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，AD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，建立如題圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則

A(0,0,0),S(0,0,3),C(3,3,0),D(1,0,0)所以設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)

新課學(xué)習(xí)練一練：如圖所示，已知四棱錐S-ABCD

中，SA⊥平面ABCD，ABCD為直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，且SA=AB=BC=3AD，求平面SAB與SCD所成角的正弦值.則令x=3,可得y=2，z=1，此時(shí)n=(3,-2,1).因?yàn)樗钥芍蠼堑恼抑禐檎n堂鞏固A課堂