5.4.1二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，體現(xiàn)邏輯推理能力（重點(diǎn)）2.掌握二項(xiàng)式定理及其展開式的通項(xiàng)公式，體現(xiàn)邏輯推理能力（重點(diǎn)）3.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力（難點(diǎn)）新課導(dǎo)入已知，思考一下：觀察以上展開式，分析其運(yùn)算過程，(a+b)n=?新課學(xué)習(xí)思考一下：根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則，容易知道(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a2+3a2b+3ab2+b3

，如果稱等式的右邊為左邊的展開式，

那么如何求出(a+b)n的展開式?我們知道(a+b)n=(a+b)(a+b)?(a+b)，n個(gè)(a+b)相乘，下面2步來求展開式中的項(xiàng)：1.展開式每一項(xiàng)的特征.根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則，在每個(gè)因式(a+b)中任選其中一項(xiàng)作為因子，只有a和b兩種選擇，即不選a，就選b.新課學(xué)習(xí)1.展開式每一項(xiàng)的特征.先從第1個(gè)因式(a+b)中選一項(xiàng)作為因子，再從第2個(gè)因式(a+b)中選一項(xiàng)作為因子，依此類推，最后從第n個(gè)因式(a+b)中選一項(xiàng)作為因子.這n個(gè)因子的乘積構(gòu)成一個(gè)單項(xiàng)式.由此可知：展開式的每一項(xiàng)由若干個(gè)"a"與若干個(gè)"b"的乘積構(gòu)成，并且a和b的總個(gè)數(shù)為n，若b的個(gè)數(shù)為k，則a的個(gè)數(shù)為n-k，即an-kbk(k=0,1,2,?,n)新課學(xué)習(xí)思考一下：根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則，容易知道(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a2+3a2b+3ab2+b3

，如果稱等式的右邊為左邊的展開式，

那么如何求出(a+b)n的展開式?2.an-kbk同類項(xiàng)的個(gè)數(shù).從n個(gè)因式(a+b)中，若選出k個(gè)(a+b)，在這k個(gè)(a+b)中只取"b"不取"a"，

在余下的(n-k)個(gè)(a+b)中只取"a"不取"b"，這樣得到的乘積都是an-kbk.因此，an-kbk的同類項(xiàng)個(gè)數(shù)為

，即an-kbk的同類項(xiàng)個(gè)數(shù)就是從n個(gè)(a+b)中選出k個(gè)(a+b)的組合數(shù).新課學(xué)習(xí)求二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)的解題步驟：1.確定定理中的a,b,n

在題目中指的都是什么；2.寫通項(xiàng)公式Tk+1，通過指數(shù)運(yùn)算進(jìn)行整理；3.若所求指定項(xiàng)的次數(shù)為t，令指數(shù)運(yùn)算后整理出的字母指數(shù)等于t（常數(shù)項(xiàng)的指數(shù)為0），計(jì)算出

k

；4.將k代入通項(xiàng)公式Tk+1，即為所求．新課學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理的概念(a+b)n的展開式中共有(n+1)種不同的同類項(xiàng)：an-kbk(k=0,1,2,?,n)，相應(yīng)的個(gè)數(shù)為

(k=0,1,2,?,n).因此，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，其展開式為①上式可簡寫成新課學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理的概念公式①稱為二項(xiàng)式定理，等號右邊的式子稱為(a+b)n的二項(xiàng)展開式，(a+b)n的二項(xiàng)展開式共有(n+1)項(xiàng)，其中各項(xiàng)系數(shù)

(k=0,1,2,?,n)稱為二項(xiàng)式系數(shù)，式中的

用Tk+1表示，稱為二項(xiàng)展開式中第(k+1)項(xiàng)，又稱為二項(xiàng)式通項(xiàng)，記作Tk+1=

.新課學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理注意問題：1.展開式共有n+1項(xiàng)，比二項(xiàng)式的指數(shù)大1；2.各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的次數(shù)n；字母a按降冪排列，次數(shù)由n遞減到0；字母b按升冪排列,次數(shù)由0遞增到n．3.二項(xiàng)式系數(shù)一定為正值，而項(xiàng)的系數(shù)既可以是正值又可以為負(fù)值.新課學(xué)習(xí)例1：求(1+x)n的展開式.(1+x)n新課學(xué)習(xí)例2：求(x+2)5的展開式.(x+2)5=x5+10x4+40x3+80x2+80x+32.新課學(xué)習(xí)例3：求

的展開式.根據(jù)二項(xiàng)式定理，新課學(xué)習(xí)例4：求(x-2y)7展開式中x4y3的系數(shù).因?yàn)閤4y3中"x"的指數(shù)為4，所以由二項(xiàng)式通項(xiàng)，得因此，x4y3的系數(shù)是-28