第九章直線、平面、簡單幾何體平面及其基本性質第講1（第二課時）1.四面體ABCD中，E、G分別為BC、AB的中點，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DF∶FC=2∶3，DH∶HA=2∶3.求證：EF、GH、BD交于一點.題型4共點問題分析：只要證明點E、F、G、H分別所在的直線EG和HF平行，由公理的推論3就可知它們共面.在△ABD和△CBD中，由E、G分別是BC和AB的中點及

可得，

所以EG∥HF,直線EF，GH是梯形的兩腰，所以它們的延長線必相交于一點P.因此，要證三條直線EF、GH、BD交于一點，只要證點P在直線BD上即可.事實上，由于BD是EF和GH分別所在平面BCD和平面ABD的交線，而點P是上述兩平面的公共點，由公理2知P∈BD.證法1：(幾何法)連結GE、HF.因為E、G分別為BC、AB的中點，所以GE∥AC.又因為DF∶FC=2∶3，DH∶HA=2∶3，所以HF∥AC,所以GE∥HF.故G、E、F、H四點共面.又因為EF與GH不能平行，所以EF與GH相交，設交點為P.則P∈平面ABD，P∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD=BD，所以EF、GH、BD交于一點.證法2：(向量法)由所以

，從而.故G、E、F、H四點共面.又因為EF與GH不能平行，所以EF與GH相交，設交點為P.則P∈平面ABD，P∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD=BD，所以EF、GH、BD交于一點.點評：證明線共點，常采用證兩直線的交點在第三條直線上的方法，而第三條直線又往往是兩平面的交線.

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中點，F(xiàn)是A1A的中點，求證：CE，D1F，DA三線共點.證明：因為E是AB的中點，F(xiàn)是A1A的中點，連結A1B.則EF∥A1B，所以EF∥D1C且EF=

D1C，故四邊形ECD1F是梯形，兩腰CE，D1F相交，設其交點為P.則P∈CE，又CE

平面ABCD，所以P∈平面ABCD.同理，P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，根據(jù)公理3知，P∈AD，所以CE，D1F，DA三線共點.2.在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、AD、CD邊上的點，且EF和GH相交于P點，求證：A、C、P三點共線.題型5共線問題證明：依據(jù)題意，A、B、C為不共線三點，由這三點確定一個平面.因為E、F分別是AB、BC上的點，所以E、F在平面ABC內，從而直線EF在平面ABC內.因為點P在直線EF上，所以點P在平面ABC內.同理，點P在平面ACD內.所以點P是平面ABC和平面ACD的一個公共點.因為平面ABC∩平面ACD=AC，所以點P在直線AC上，即A、C、P三點共線.點評：證多點共線問題，一般先取過兩點的直線，然后證其他點在這條直線上；也可證明這些點均在兩個平面的交線上.

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，

對角線A1C與平面BDC1相交于O點，直線AC和BD相交于點M.

求證：C1、O、M三點共線.證明：因為AA1∥CC1，所以AA1和CC1確定一個平面.顯然，C1、O、M三點都在平面AA1C1C內.又C1、O、M三點都在平面BC1D內，所以C1、O、M三點在平面AA1C1C和平面BC1D的交線上，即三點共線.3.已知三條直線a、b、c兩兩互相平行，且分別與直線l相交于A、B、C三點，證明：四條直線l、a、b、c共面.證明：因為a∥b，b∥c，故設由a、b確定的平面為α，由b、c確定的平面為β.因為l∩a=A，l∩b=B，而A∈α，B∈α，所以l∩α.同理，l∩β.題型6共面問題點評：證明直線共面通常的方法是：①由其中兩條直線確定一個平面，再證明其余的直線都在此平面內(納入法)；②過某些直線作多個平面，然后證明這些平面重合(重合法)；③也可利用共面向量定理來證明.求證：兩兩相交且不通過同一點的四條直線必在同一平面內.證明：(1)若a、b、c三線共點P，但點P

d，由d和其外一點可確定一個平面α.又a∩d=A,所以點A∈α,所以直線aα.同理可證：b、cα,所以a、b、c、d共面.(2)若a、b、c、d兩兩相交但不過同一點,因為a∩b=Q,所以a與b可確定一個平面β.又c∩b=E,所以E∈β,同理c∩a=F,所以F∈β,所以直線c上有兩點E、F在β內,所以cβ.同理可證：dβ,故a、b、c、d共面.由(1)(2)知：兩兩相交且不通過同一點的四條直線必共面.對于空間五個不同的點，若任意四點都是共面的，求證：這五個點必共面.證明：設五個點分別為A、B、C、D、E，且A、B、C、D四點在平面α內，A、B、C、E四點在平面β內.(1)若A、B、C三點不共線，則平面α、β有三個不共線的公共點，所以α與β重合，從而五點共面.(2)若A、B、C三點共線，設所在直線為l.依據(jù)題意，A、B、D、E四點共面，則直線l在這個平面內，從而C點也在該平面內，故有五點共面.1.

證明若干個點共線，常轉化為證明這些點都是某兩個平面的公共點，再根據(jù)公理2，這些點都在這兩個平面的交線上，從而共線.2.

證明若干條直線共點與證明若干個點共線是同一類問題，都可以轉化為證明“點在直線上”(兩條直線的交點在第三條直線上).3.證明某些點或直線共面，常用兩種方法：一是先由其中的某些點或直線確定一個平面，再證其他點或直線都在這個平面內；二是先由其中的某些點或直線確定兩個平面α、β，再證α、β重合.1、字體安裝與設置如果您對PPT模板中的字體風格不滿意，可進行批量替換，一次性更改各頁面字體。在“開始”選項卡中，點擊“替換”按鈕右側箭頭，選擇“替換字體”。（如下圖）在圖“替換”下拉列表中選擇要更改字體。（如下圖）在“替換為”下拉列表中選擇替換字體。點擊“替換”按鈕，完成。222、