第2課時(shí)函數(shù)奇偶性應(yīng)用第1頁(yè)目標(biāo)要求1.能利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性分析處理較簡(jiǎn)單問(wèn)題．2．學(xué)會(huì)利用函數(shù)圖象了解和研究函數(shù)性質(zhì).第2頁(yè)熱點(diǎn)提示

學(xué)習(xí)時(shí)，應(yīng)充分利用特殊函數(shù)圖象，借助圖形形象直觀，整體把握奇偶性本質(zhì)特征，從而準(zhǔn)確了解其概念．在分析處理與奇偶性相關(guān)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)充分利用奇偶性這一本質(zhì)特征(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上圖象對(duì)稱這一性質(zhì))來(lái)處理問(wèn)題.第3頁(yè)第4頁(yè)1．奇函數(shù)f(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)f(x)定義域?yàn)镽時(shí)，必有f(0)＝0.2．假如一個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．3．若奇函數(shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，且有最大值M，則f(x)在[－b，－a]上是增函數(shù)，且有最小值－M.4．若偶函數(shù)f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)，則f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．第5頁(yè)●想一想：假如f(x)是R上奇函數(shù)，且在[3,6]上有最大值4，最小值2，那么函數(shù)f(x)在[－6，－3]上最大值和最小值各是多少？提醒：奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，聯(lián)想圖象可知函數(shù)f(x)在[－6，－3]上最大值為－2，最小值為－4.第6頁(yè)解析：對(duì)A、C，函數(shù)是奇函數(shù)，對(duì)D，函數(shù)雖是偶函數(shù)，不過(guò)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．答案：B第7頁(yè)2．若函數(shù)y＝f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，且f(1)<f(2)，則必有(

)A．f(－1)<f(－2) B．f(－1)>f(－2)C．f(－1)＝f(1) D．f(－2)＝f(1)解析：∵f(1)<f(2)，∴－f(1)>－f(2)．又已知f(x)是奇函數(shù)，∴f(－1)>f(－2)．答案：B第8頁(yè)解析：f(－a)＝－f(a)，∴函數(shù)必過(guò)(－a，－f(a))．答案：C第9頁(yè)4．設(shè)f(x)是R上偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(－2)，f(－π)，f(3)大小次序是________．解析：∵f(x)是R上偶函數(shù)，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又f(x)在[0，＋∞)上遞增，而2<3<π，∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2)．答案：f(－π)>f(3)>f(－2)第10頁(yè)5．已知f(x)是R上奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝－x2＋2x＋2.(1)求f(x)解析式；(2)畫(huà)出f(x)圖象，并指出f(x)單調(diào)區(qū)間．第11頁(yè)(2)先畫(huà)出y＝f(x)(x>0)圖象，利用奇函數(shù)對(duì)稱性可得到對(duì)應(yīng)y＝f(x)(x<0)圖象，其圖象以下列圖所表示．

由圖可知，其增區(qū)間為[－1,0)及(0,1]，減區(qū)間為(－∞，－1]及[1，＋∞)．第12頁(yè)第13頁(yè)類型一利用函數(shù)奇偶性求解析式【例1】已知f(x)是定義在R上奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)解析式．思緒分析：本題已知x>0時(shí)f(x)解析式，只需再求出x＝0及x<0表示式即可．已知f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)，利用這一條件將x>0解析式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可求得x<0解析式．第14頁(yè)第15頁(yè)這類問(wèn)題普通解法是：(1)“求誰(shuí)則設(shè)誰(shuí)”，即在哪個(gè)區(qū)間求解析式，x就設(shè)在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)．(2)要利用已知區(qū)間解析式進(jìn)行代入．(3)利用f(x)奇偶性寫(xiě)出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x)．第16頁(yè)1已知f(x)是偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x3＋2x－3，求f(x)在x<0時(shí)解析式．解：∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，∵x<0，∴－x>0，∴f(－x)＝(－x)3＋2(－x)－3＝－x3－2x－3.∴f(x)＝－x3－2x－3(x<0)．第17頁(yè)類型二利用函數(shù)奇偶性判斷函數(shù)單調(diào)性【例2】已知f(x)是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)．求證：f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)．思緒分析：本題即證實(shí)f(x1)>f(x2)，其中x1<x2<0，利用f(x)是奇函數(shù)及在(0，＋∞)上是減函數(shù)來(lái)證實(shí)．第18頁(yè)證實(shí)：設(shè)x1<x2<0，則－x1>－x2>0.∵f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴f(－x1)<f(－x2)．又∵f(x)是奇函數(shù)，∴－f(x1)<－f(x2)，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)．溫馨提醒：在處理利用函數(shù)奇偶性判斷單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，借助于函數(shù)奇偶性完成對(duì)f(x1)－f(x2)符號(hào)判斷是關(guān)鍵．

第19頁(yè)由奇函數(shù)和偶函數(shù)性質(zhì)，可得單調(diào)性與奇偶性聯(lián)絡(luò)：奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性一致，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反．第20頁(yè)第21頁(yè)類型三利用函數(shù)奇偶性比較大小【例3】已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[－5,5]上是奇函數(shù)，在區(qū)間[0,5]上是單調(diào)函數(shù)，且f(3)<f(1)，則(

)A．f(－1)<f(－3)

B．f(0)>f(－1)C．f(－1)<f(1) D．f(－3)>f(－5)思緒分析：要比較各函數(shù)值大小，需判斷函數(shù)在區(qū)間[－5,5]上單調(diào)性，依據(jù)題意，應(yīng)首先判斷函數(shù)在區(qū)間[0,5]上單調(diào)性．第22頁(yè)解析：函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,5]上是單調(diào)函數(shù)，又3>1，且f(3)<f(1)，故此函數(shù)在區(qū)間[0,5]上是減函數(shù)．由已知條件及奇函數(shù)性質(zhì)，知函數(shù)f(x)在區(qū)間[－5,5]上是減函數(shù)．選項(xiàng)A中，－3<－1，故f(－3)>f(－1)．選項(xiàng)B中，0>－1，故f(0)<f(－1)．同理選項(xiàng)C中f(－1)>f(1)，選項(xiàng)D中f(－3)<f(－5)．答案：A第23頁(yè)溫馨提醒：本題求解切入點(diǎn)是：由f(3)<f(1)及已知條件推出函數(shù)f(x)在[－5,5]上是減函數(shù)，這么能夠應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性比較大小．

奇函數(shù)、偶函數(shù)單調(diào)性對(duì)稱規(guī)律在不一樣區(qū)間內(nèi)自變量對(duì)應(yīng)函數(shù)值比較大小中作用很大．對(duì)于偶函數(shù)，假如兩個(gè)自變量在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱兩個(gè)不一樣單調(diào)區(qū)間上，即自變量正負(fù)不統(tǒng)一，應(yīng)利用圖象對(duì)稱性將自變量化歸到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間，然后再依據(jù)單調(diào)性判斷．第24頁(yè)3已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[－5,5]上是偶函數(shù)，f(x)在區(qū)間[0,5]上是單調(diào)函數(shù)，且f(－3)<f(－1)，則以下不等式一定成立是(

)A．f(－1)<f(3)

B．f(2)<f(3)C．f(－3)<f(5) D．f(0)>f(1)解析：函數(shù)f(x)在區(qū)間[－5,5]上是偶函數(shù)，所以f(x)＝f(－x)，于是f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，又f(－3)<f(－1)，所以f(3)<f(1)．因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,5]上是單調(diào)函數(shù)，從而函數(shù)f(x)在[0,5]上是減函數(shù)．觀察四個(gè)選項(xiàng)，并注意到f(x)＝f(－x)，易得只有D正確．答案：D

第25頁(yè)思緒分析：由f(x)奇偶性及函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)性，不難得出f(x)在(－∞，0)上單調(diào)性．再將不等式兩邊化為函數(shù)值形式，利用單調(diào)性便可脫去函數(shù)記號(hào)“f”，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式．第26頁(yè)第27頁(yè)處理相關(guān)函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及求字母取值范圍綜合問(wèn)題時(shí)，普通先利用奇偶性得出區(qū)間上單調(diào)性，再利用單調(diào)性脫去函數(shù)符號(hào)“f”，轉(zhuǎn)化為解不等式(組)問(wèn)題．需要注意是：在轉(zhuǎn)化時(shí)，自變量必須在同一單調(diào)區(qū)間上；當(dāng)不等式一邊沒(méi)有符號(hào)“f”時(shí)，需轉(zhuǎn)化為含符號(hào)“f”形式．第28頁(yè)4已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)，若f(m)≥f(－2)，求實(shí)數(shù)m取值范圍．解：函數(shù)f(x)是實(shí)數(shù)集R上偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)．當(dāng)m<0時(shí)，由f(m)≥f(－2)，知m≤－2；當(dāng)m≥0時(shí)，由f(m)≥f(－2)，f(－2)＝f(2)，可得f(m)≥f(2)，知m≥2.故所求m取值范圍為(－∞，－2]∪[2，＋∞)．第29頁(yè)1．對(duì)于奇函數(shù)f(x)有(1)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；(2)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相同；如，若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[－b，－a]上也是增函數(shù)．(3)若在x＝0處有定義，則有f(0)＝0.第30頁(yè)2．對(duì)于偶函數(shù)f(x)有(1)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；(2)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反；如，若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上為減函數(shù)，則