數(shù)學(xué)簡史主講人：寧銳第8章 微積分發(fā)展主題：18世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展1第1頁分析時代問題導(dǎo)讀？無限小算法推廣兩條路線及其結(jié)果，兩條路線特點是什么？歐拉主要數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)及其意義是什么？微積分深入發(fā)展方向：積分技術(shù)與橢圓積分、微積分向多元函數(shù)推廣、無窮級數(shù)理論、函數(shù)概念深化、微積分嚴(yán)格化含義是什么？18世紀(jì)微積分應(yīng)用發(fā)展特點，新分支形成過程及基本思想，比如常微分方程、偏微分方程、變分法等是什么？概述微分幾何發(fā)展、代數(shù)發(fā)展、數(shù)論發(fā)展。2第2頁分析時代概述？ 本章重點介紹了微積分深入發(fā)展方向，及在微積分影響下一些主要數(shù)學(xué)分發(fā)展。主要內(nèi)容？ 恩格斯說：“人類精神最高勝利”。微積分產(chǎn)生推進(jìn)了許多新數(shù)學(xué)分支產(chǎn)生，形成了“分析”這么一個在觀念和方法含有鮮明特點數(shù)學(xué)領(lǐng)域。18世紀(jì)是分析時代，也是向當(dāng)代數(shù)學(xué)過渡主要時期。3第3頁一、無窮小算法發(fā)展兩條路線無窮小算法發(fā)展兩條路線 一是英國一批數(shù)學(xué)家以牛頓流數(shù)術(shù)為出發(fā)點微積分應(yīng)用方向。二是歐洲大陸一批數(shù)學(xué)家沿著萊布尼茨路線分析方向。英國優(yōu)異代表有： 泰勒（泰勒公式，是微積分深入發(fā)展有力工具）、麥克勞林（微積分形式化努力，因為其幾何傳統(tǒng)沒有成功，旋轉(zhuǎn)橢球體引力定理）、棣莫弗、斯特林等。他們?nèi)〉昧嗽S多微積分算法結(jié)果，而且也向微積分形式化方向但因為幾何傳統(tǒng)而不成功。4第4頁一、無窮小算法發(fā)展兩條路線 歐洲大陸： 新分析方向是在萊布尼茨后繼者推進(jìn)下發(fā)展。雅各布.伯努利和約翰.伯努利，他們工作組成了現(xiàn)在初等微積分主要內(nèi)容。18世紀(jì)微機分最主要貢獻(xiàn)是歐拉作出。歐拉（1707－1783），《無限小分析引論》、《微分學(xué)》、《積分學(xué)》是微積分學(xué)史里程碑式工作，歐拉引進(jìn)了一批標(biāo)準(zhǔn)符號，對分析表述規(guī)范化起了很主要作用。除此之外，18世紀(jì)推進(jìn)微積分還有法國學(xué)派，代表人物又克萊洛、達(dá)朗貝爾、拉格朗日、蒙日、拉普拉斯和勒讓德等。5第5頁二、微積分發(fā)展幾個方面：（1）積分技術(shù)與橢圓積分：變量代換和部分分式等方法；橢圓積分，它們不能用已知初等函數(shù)來表示，普通形式為：

以后對橢圓函數(shù)普通研究在19世紀(jì)被阿貝爾和雅可比獨立地發(fā)展成深刻橢圓函數(shù)理論。6第6頁二、微積分發(fā)展幾個方面：（2）微積分向多元函數(shù)推廣：（3）無窮級數(shù)理論：調(diào)和級數(shù)，歐拉常數(shù)，悖論，級數(shù)收斂判別法則（4）函數(shù)概念深化：函數(shù)在17世紀(jì)引入，牛頓“生成量”，萊布尼茨首先使用“函數(shù)”（function），這時函數(shù)堪稱“像曲線上點橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線長度、垂線長度等全部與曲線上點相關(guān)量”，約翰.伯努利，函數(shù)概念公式化，歐拉將伯努利將函數(shù)解析化，他將函數(shù)定義為：變量函數(shù)是一個由該變量與一些常數(shù)以任何方式組成解析表示式。函數(shù)概念大大豐富了，發(fā)覺了一系列超越函數(shù)，比如函數(shù)和函數(shù)。7第7頁二、微積分發(fā)展幾個方面：（5）微積分嚴(yán)格化嘗試： 代表人物是：達(dá)朗貝爾、歐拉、拉格朗日。 在嚴(yán)格化過程中，英國牛頓后繼者因為堅持幾何論證而顯得軟弱無力，而歐洲大陸數(shù)學(xué)家則力圖以代數(shù)化來克服微積分基礎(chǔ)困難。歐拉和拉格朗日在分析中引入了形式化觀點，而達(dá)朗貝爾極限觀點則為微積分嚴(yán)格表述提供了合理內(nèi)核。（6）微積分應(yīng)用與新分支 微積分