THEORYMECHANICS電子教案第十六章拉格朗日方程虛位移原理拉格朗日方程（分析靜力學(xué)）達(dá)朗貝爾原理（動靜法）拉格朗日方程分析動力學(xué)的基礎(chǔ)動力學(xué)普遍方程廣義坐標(biāo)描述系統(tǒng)的運動直角坐標(biāo)描述系統(tǒng)的運動對于解決復(fù)雜的非自由質(zhì)點系的動力學(xué)問題，應(yīng)用拉格朗日方程往往要比用動力學(xué)普遍方程簡便得多。16.1自由度與廣義坐標(biāo)16.2以廣義力表示質(zhì)點系的平衡條件16.3動力學(xué)普遍方程16.4拉格朗日方程拉格朗日方程16.1自由度和廣義坐標(biāo)

對于一個自由質(zhì)點，要確定它在空間的位置，需要三個獨立的直角坐標(biāo)。對于由n個質(zhì)點組成的自由質(zhì)點系，則需要3n個獨立的直角坐標(biāo)來確定每個質(zhì)點在空間的位置。但對于非自由質(zhì)點系來說，由于約束的存在，3n個坐標(biāo)就不都是相互獨立的，它們必須滿足約束方程。

確定具有完整約束的質(zhì)點系位置所需要獨立坐標(biāo)的個數(shù)稱為該質(zhì)點系的自由度數(shù)，簡稱自由度。16.1自由度和廣義坐標(biāo)圖示機構(gòu)具有一個自由度。例如：

在一般情況下，若具有完整約束的質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，受到s個幾何約束，且s<3n，則在3n個坐標(biāo)中只有k=3n-s個坐標(biāo)是獨立的，

k即為該質(zhì)點系的自由度。對于平面問題k=2n-s16.1自由度和廣義坐標(biāo)

用來確定質(zhì)點系位置的獨立參變量稱為該質(zhì)點系的廣義坐標(biāo)。在完整約束的情況下，質(zhì)點系廣義坐標(biāo)的數(shù)目等于該質(zhì)點系的自由度。

16.1自由度和廣義坐標(biāo)對上式進(jìn)行變分運算

式中，稱為廣義虛位移。上式表明，質(zhì)點系的虛位移都可以用質(zhì)點系的廣義虛位移表示。16.1自由度和廣義坐標(biāo)建立了質(zhì)點在直角坐標(biāo)中的虛位移與廣義坐標(biāo)中虛位移之間的關(guān)系16.1自由度和廣義坐標(biāo)注意：1、廣義坐標(biāo)的選取不是唯一的，要根據(jù)解題的方便任意選取，可以是長度，也可以是角度。2、所選取的一組廣義坐標(biāo)能夠完全確定質(zhì)點系的位置。3、各廣義坐標(biāo)之間必須相互獨立。16.2以廣義力表示質(zhì)點系的平衡條件虛位移原理：而（2）（1）（2）代入（1）得：

交換求和順序，則

16.2以廣義力表示質(zhì)點系的平衡條件具有理想約束的質(zhì)點系平衡對應(yīng)于所有廣義坐標(biāo)的廣義力都等于零充要條件顯然，廣義力的數(shù)目與廣義坐標(biāo)數(shù)目相等，等于系統(tǒng)的自由度。則上式中，由于廣義坐標(biāo)是相互獨立的，廣義虛位移是任意的，要使上式成立，必須有16.2以廣義力表示質(zhì)點系的平衡條件

因為且均為廣義坐標(biāo)的函數(shù)，所以

若作用在質(zhì)點系上的主動力均為有勢力，質(zhì)點系在任一位置的勢能為，則有代入上式得即：對應(yīng)于某一廣義坐標(biāo)的廣義力，等于勢能對該廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)冠以負(fù)號。16.2以廣義力表示質(zhì)點系的平衡條件16.2以廣義力表示質(zhì)點系的平衡條件

對于保守系統(tǒng)，由得，表示系統(tǒng)的平衡條件為即：在勢力場中，具有理想約束的質(zhì)點系的平衡條件是：勢能對于每個廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)分別等于零。廣義力的計算方法：2、保守系統(tǒng)的解析法16.2以廣義力表示質(zhì)點系的平衡條件

當(dāng)作用于質(zhì)點系上的全部力為有勢力時，可用計算，需將勢能表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。1、解析法

3、幾何法

由于廣義坐標(biāo)是相互獨立的，因此可取一組特殊的虛位移，令。計算所有主動力在相應(yīng)的虛位移中所做虛功的和由此可求出廣義力用同樣的方法可求出全部的廣義力。16.2以廣義力表示質(zhì)點系的平衡條件

利用虛功進(jìn)行計算，這種方法直觀，對主動力有勢和無勢的情況都適用，計算比較方便，在解決問題時常采用這種方法。16.2以廣義力表示質(zhì)點系的平衡條件

16.2以廣義力表示質(zhì)點系的平衡條件

16.2以廣義力表示質(zhì)點系的平衡條件

解2：解析法以系統(tǒng)為研究對象，建立直角坐標(biāo)，取、為廣義坐標(biāo)。主動力在坐標(biāo)軸上的投影為

A、B兩點的直角坐標(biāo)為對坐標(biāo)求偏導(dǎo)，得16.2以廣義力表示質(zhì)點系的平衡條件

16.2以廣義力表示質(zhì)點系的平衡條件

對應(yīng)廣義坐標(biāo)的廣義力分別表示為代入可得

例2重物A和B連接在細(xì)繩兩端，A放在粗糙的水平面上，B繞過定滑輪E鉛垂懸掛，動滑輪H的軸心上掛一重物C。設(shè)A重2P，B重P。求平衡時，C的重量W及A與水平面的滑動摩擦系數(shù)f。解：以系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)具有兩個自由度。取sA

和sB為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)受的主動力有重力，還有非理想約束的摩擦力，解除水平面的約束，代之以法向反力和摩擦力。并將摩擦力視為主動力。其中下面用幾何法求廣義力。16.2以廣義力表示質(zhì)點系的平衡條件

令，則故

令，則故

由系統(tǒng)的平衡條件，可解得16.2以廣義力表示質(zhì)點系的平衡條件

設(shè)由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，由達(dá)朗伯原理知，在質(zhì)點系運動的任一瞬時，任一質(zhì)點Mi上作用的主動力Fi

，約束反力FNi

,

及其慣性力，三者構(gòu)成形式上的平衡力系，即取質(zhì)點系的任何一組虛位移：設(shè)該質(zhì)點受的是理想約束，則有故16.3動力學(xué)普遍方程由虛位移原理有：即將上式寫成解析式，則有

以上兩式是由達(dá)朗伯原理和虛位移原理相結(jié)合而得到的結(jié)果，稱為動力學(xué)普遍方程，也稱達(dá)朗伯—拉格朗日方程。16.3動力學(xué)普遍方程

動力學(xué)普遍方程可以敘述如下：在理想約束條件下，在任一瞬時作用在質(zhì)點系上所有的主動力和虛加的慣性力，在該瞬時質(zhì)點系所處位置的任何虛位移上的元功之和等于零。例3圖示滑輪系統(tǒng)中，動滑輪上懸掛著重為Q1的重物，繩子繞過定滑輪后，掛著重為Q2的重物，設(shè)滑輪和繩子的重量不計，求重為Q2的重物下降的加速度。解：以系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)具有理想約束，系統(tǒng)所受的主動力為Q1、Q2，假想加上慣性力FI1

、FI2。其中給系統(tǒng)以虛位移和，16.3動力學(xué)普遍方程由動力學(xué)普遍方程，得：16.3動力學(xué)普遍方程由運動學(xué)關(guān)系代入上式得：例4有兩個半徑皆為r的輪子，中心用連桿相連，在傾角為θ的斜面上作純滾動，如圖。設(shè)輪重皆為P，對輪心的轉(zhuǎn)動慣量皆為J，連桿重量為Q，求連桿運動的加速度。解：以系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)具有理想約束，系統(tǒng)所受的主動力有它們的重力。假想加上慣性力，如圖。其中：16.3動力學(xué)普遍方程

給連桿以平行斜面移動的虛位移，則輪子有相應(yīng)的轉(zhuǎn)動虛位移，根據(jù)動力學(xué)普遍方程即16.3動力學(xué)普遍方程

一、拉格朗日方程

設(shè)由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，受完整的理想約束，具有k個自由度，其位置可由k個廣義坐標(biāo)來確定。則有：式中：為質(zhì)點系的動能；是廣義坐標(biāo)對時間的變化率，稱為廣義速度；是對應(yīng)廣義坐標(biāo)的廣義力。這就是拉格朗日方程，簡稱拉氏方程。它由k個二階常微分方程組成方程組。積分可以得以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點的運動方程。16.4拉格朗日方程二、保守系統(tǒng)的拉格朗日方程

在上述條件下，如果質(zhì)點系所受的主動力都是有勢力，就得到保守系統(tǒng)的拉格朗日方程

為質(zhì)點系動能和勢能之差，稱為拉格朗日函數(shù)。這就是保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。16.4拉格朗日方程三、應(yīng)用拉格朗日方程解題的步驟1、確定研究對象，（一般以整個系統(tǒng)）判斷系統(tǒng)的自由度數(shù)目，選取合適的廣義坐標(biāo)。2、分析系統(tǒng)的運動，寫出用廣義坐標(biāo)及廣義速度表示的系統(tǒng)的動能。（速度及角速度均為絕對的）16.4拉格朗日方程3、計算對應(yīng)每個廣義坐標(biāo)的廣義力Qj；當(dāng)主動力為有勢力時，需要寫出用廣義坐標(biāo)表示的勢能及拉格朗日函數(shù)L=T-V。4、計算諸導(dǎo)數(shù)：或5、寫出拉格朗日方程并加以整理，得到k個二階常微分方程。由2k個初始條件，解得運動方程。例5在水平面內(nèi)運動的行星齒輪機構(gòu)如圖。已知動齒輪半徑為r，重為P，可視為均質(zhì)圓盤；曲柄OA重Q，可視為均質(zhì)桿；定齒輪半徑為R。今在曲柄上作用一不變的力偶M，使機構(gòu)運動。求曲柄的運動方程。解：以整個系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)具有一個自由度，取曲柄轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)。由運動學(xué)關(guān)系知：則系統(tǒng)的動能：16.4拉格朗日方程

給曲柄以虛位移，則對應(yīng)的廣義力:由，得16.4拉格朗日方程即積分得曲柄的運動方程為式中，、分別為初始轉(zhuǎn)角和初始角速度。16.4拉格朗日方程例6如圖輪A的質(zhì)量為m1

，在水平面上只滾動不滑動，定滑輪B的質(zhì)量為m2

，兩輪均為均質(zhì)圓盤，半徑均為R，重物C的質(zhì)量為m3，彈簧彈性系數(shù)為k，試求系統(tǒng)的運動微分方程。解：以系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)具有一個自由度。取x為廣義坐標(biāo)，x從重物的平衡位置量起。系統(tǒng)的動能：

設(shè)系統(tǒng)平衡時彈簧的靜伸長為，則有關(guān)系式即16.4拉格朗日方程以系統(tǒng)平衡位置為彈力及重物C的零勢能位置，則系統(tǒng)的勢能為整理得：則拉格朗日函數(shù)代入保守系統(tǒng)的拉格朗日方程得：即為系統(tǒng)的運動微分方程。16.4拉格朗日方程例7半徑為R均質(zhì)圓輪，質(zhì)量為

m1

，在水平面上只滾不滑。桿長L，質(zhì)量為m2與輪在圓心A鉸接，試求系統(tǒng)的運動微分方程。系統(tǒng)的動能整理后得解：以系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)具有兩個自由度。取x和為廣義坐標(biāo)。16.4拉格朗日方程系統(tǒng)的廣義力為代入拉格朗日方程：16.4拉格朗日方程整理后得（2）（1）、（2）即為系統(tǒng)的運動微分方程。16.4拉格朗日方程整理得（1）得：例8如