THEORYMECHANICS電子教案第九章

剛體的平面運動9.1

剛體平面運動的簡化及其分解9.2平面圖形上各點的速度分析9.3平面圖形上各點的加速度分析9.4運動學(xué)綜合運用第九章剛體的平面運動9.1剛體平面運動的簡化及其分解一、剛體平面運動的定義

觀察上述剛體的運動發(fā)現(xiàn)，它們在運動的過程中有一個共同的特征，即：當(dāng)剛體運動時，剛體內(nèi)任一點至某一固定平面的距離始終保持不變。具備這樣一個特征的剛體的運動稱為剛體的平面運動，簡稱平面運動。如圖所示，剛體作平面運動時，剛體上所有與空間某固定平面距離相等的點所構(gòu)成的平面圖形就保持在它自身所在的平面內(nèi)運動。經(jīng)分析可得如下結(jié)論：剛體的平面運動可以簡化為平面圖形S在其自身所在的平面內(nèi)的運動。9.1剛體平面運動的簡化及其分解二、剛體平面運動的簡化三、剛體平面運動的運動方程上式稱為剛體的平面運動方程。平面運動包含了平動和定軸轉(zhuǎn)動這兩種基本運動形式，即：平面運動是平動和轉(zhuǎn)動的合成運動。9.1剛體平面運動的簡化及其分解四、平面運動分解為平動和轉(zhuǎn)動在平面圖形S上任選一點作為基點，于是：平面運動（絕對運動）就可以分解為隨同基點的平動（牽連運動）和相對基點的轉(zhuǎn)動（相對運動）。圖形隨同基點平動的速度和加速度與基點的位置的選擇有關(guān)。9.1剛體平面運動的簡化及其分解

四、平面運動分解為平動和轉(zhuǎn)動而所以類似地即：在任一瞬時，圖形繞其平面內(nèi)任何點轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度都相同。亦即：角速度和角加速度與基點的位置的選擇無關(guān)。9.1剛體平面運動的簡化及其分解綜上所述：1、剛體的平面運動可以分解為隨基點的平動和繞基點的轉(zhuǎn)動。2、圖形隨同基點平動與基點的位置的選擇有關(guān)。轉(zhuǎn)動部分與基點的位置的選擇無關(guān)。3、圖形繞其平面內(nèi)任何點轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度都相同。即圖形的絕對角速度和角加速度。9.1剛體平面運動的簡化及其分解思路：9.2平面圖形上各點的速度分析1、剛體平面運動分析隨同基點的平動分解2、點的速度合成定理繞基點的轉(zhuǎn)動一、基點法如圖，知圖形內(nèi)一點的速度，圖形的角速為，求圖形上任一點B的速度。在基點建立固結(jié)平動坐標(biāo)系一、基點法點的速度合成定理:9.2平面圖形上各點的速度分析即：平面圖形內(nèi)任意一點的速度等于基點的速度與該點相對于基點轉(zhuǎn)動的速度的矢量和。這就是平面運動的速度合成的基點法。選B為動點，

為動系（隨平動）。例1圖示平面機構(gòu)中，AB=BD=DE=l=300mm。圖示位置，BD//AE,桿AB的角速度為ω=5rad/s，求此瞬時桿BD、DE的角速度。9.2平面圖形上各點的速度分析9.2平面圖形上各點的速度分析×√×√√√（）解：1）桿AB、DE—轉(zhuǎn)動2）研究BD，基點法（）BD—平面運動；大小方向

二、速度投影定理

將速度矢量式投影到上，則有即：在任一瞬時，平面圖形上任意兩點的速度在這兩點連線上的投影相等。這就是速度投影定理。說明了剛體上任意兩點之間的距離保持不變。9.2平面圖形上各點的速度分析例2圖所示平面機構(gòu)中，曲柄OA=100mm，以角速度ω=2rad·s－1轉(zhuǎn)動。連桿AB帶動搖桿CD，并拖動輪E沿水平面滾動。已知CD=3CB，圖示位置時A，B，E三點恰在一水平線上，且CD⊥ED，試求此瞬時E點的速度。9.2平面圖形上各點的速度分析ABCODEω9.2平面圖形上各點的速度分析解：由速度投影定理，桿AB上A，B點的速度在AB線上投影相等，即搖桿CD繞C點作定軸轉(zhuǎn)動輪E沿水平面滾動，輪心E的速度水平，由速度投影定理，D，E兩點的速度關(guān)系為vAvBvD速度投影法求得ABCODEωvE

三、瞬心法如圖所示，在垂直于的半直線上必有一點且僅有一點，它的相對速度和牽連速度大小相等而方向相反，因而絕對速度等于零。點的位置滿足下列關(guān)系即：若某瞬時平面圖形的角速度不為零，則該瞬時圖形上總有唯一的速度為零的點。這個點稱為圖形的瞬時速度中心，簡稱瞬心。9.2平面圖形上各點的速度分析1、問題的提出

利用基點法求平面圖形上點的速度，若基點的速度為零，問題的求解將變簡單。2、瞬心如取瞬心作為基點，則平面圖形上任一點M的速度大小為1、某瞬時剛體的平面運動可以認(rèn)為是繞瞬心的定軸轉(zhuǎn)動。2、平面圖形在不同的瞬時具有不同的速度瞬心。瞬心可以在平面圖形內(nèi)，也可在平面圖形外，它的位置不是固定的。3、剛體的平面運動可以認(rèn)為是繞一系列瞬心作瞬時定軸轉(zhuǎn)動。9.2平面圖形上各點的速度分析說明：3、瞬心法求速度9.2平面圖形上各點的速度分析4、確定瞬心的方法：acbd示例：9.2平面圖形上各點的速度分析例3在雙滑塊搖桿機構(gòu)中，滑塊A和B可沿水平導(dǎo)槽滑動，搖桿OC可繞定軸O轉(zhuǎn)動，連桿CA和CB可在圖示平面內(nèi)運動，且CB=l。當(dāng)機構(gòu)處于圖所示位置時，已知滑塊A的速度vA，試求該瞬時滑塊B的速度vB以及連桿CB的角速度ωCB。試用速度瞬心法求解。9.2平面圖形上各點的速度分析解：由圖可知，P1A=P1C，所以連桿AC和BC均作平面運動。對于連桿AC：其速度瞬心在點A和C速度vA和vC垂線的交點P1。對于連桿BC：其速度瞬心在點B和C速度vB和vC垂線的交點P2。因為故得連桿CB角速度于是滑塊B速度的大小為

（逆時針）

P1vCP2vB例4橢圓規(guī)機構(gòu)如圖。已知連桿AB長，滑塊A的速度，求連桿與水平方向夾角為時，滑塊B的速度及AB桿的角速度。9.2平面圖形上各點的速度分析解：（1）基點法AB作平面運動，以A為基點，B點的速度為B點的速度合成矢量圖如圖所示，建立如圖的投影坐標(biāo)。方向如圖所示。9.2平面圖形上各點的速度分析解得：（2）速度投影定理由速度投影定理得解得方向如圖。9.2平面圖形上各點的速度分析無法求解AB角速度（3）瞬心法

AB作平面運動，瞬心在點。方向如圖。9.2平面圖形上各點的速度分析求連桿中點M的速度。（分別用基點法、速度投影定理及瞬心法）9.2平面圖形上各點的速度分析

?

課后思考再次比較三種方法，體會各自的特點！

?若求連桿中點M的速度。解：（1）基點法9.2平面圖形上各點的速度分析以A為基點，則M點的速度為M點的速度合成矢量圖如圖所示。建立如圖的投影坐標(biāo)，由速度合成矢量式，將各矢量投影到軸上得解之得（2）瞬心法

AB作平面運動，瞬心在點。方向如圖。9.2平面圖形上各點的速度分析用瞬心法求解速度問題全面且簡單快捷思路：9.3平面圖形上各點的加速度分析1、剛體平面運動分析隨同基點的平動分解繞基點的轉(zhuǎn)動一、基點法如圖，知圖形內(nèi)一點的加速度，圖形的角速為，角速為，求圖形上任一點B的加速度。在基點建立固結(jié)平動坐標(biāo)系2、點的加速度合成定理其中故平面圖形內(nèi)任一點的加速度等于基點的加速度與相對基點轉(zhuǎn)動的切向加速度和法向加速度的矢量和。牽連運動為平動的加速度合成定理:9.3平面圖形上各點的加速度分析選B為動點，

為動系（隨平動）。例5圖示曲柄連桿機構(gòu)中，已知曲柄OA長0.2m，連桿AB長1m，OA以勻角速度繞O軸轉(zhuǎn)動。求圖示位置滑塊B的加速度和AB桿的角加速度。9.3平面圖形上各點的加速度分析解：AB作平面運動，瞬心在點，則轉(zhuǎn)向如圖。9.3平面圖形上各點的加速度分析

？取如圖的投影軸，將各矢量投影到投影軸上，得:解之得于是方向如圖所示。9.3平面圖形上各點的加速度分析AB作平面運動，以A點為基點，則B點的加速度為其中:任一瞬時，但例6圖示曲柄連桿機構(gòu)中，已知曲柄OA長0.2m，連桿AB長1m，OA以勻角速度繞O軸轉(zhuǎn)動。求OA位于鉛垂位置時滑塊B的加速度和AB桿的角加速度。9.3平面圖形上各點的加速度分析解：AB作平面運動，瞬心在無窮遠(yuǎn)處AB作瞬時平動瞬心加速度≠0此瞬時剛體的角速度為0，角加速度≠0?瞬時平動特點：此瞬時剛體上任意兩點速度相同，加速度不同?8.3平面圖形上各點的加速度分析AB作平面運動，以A點為基點，則B點的加速度為其中:取投影軸、，將各矢量投影到投影軸上得:解之得a≠0瞬時平動特點：此瞬時剛體上任意兩點速度相同，加速度不同此瞬時剛體的角速度為0，但角加速度≠0平面圖形瞬時平動時，任意兩點的加速度在兩點連線的投影相同。9.3平面圖形上各點的加速度分析（2）平面圖形瞬時平動時，任意兩點的加速度在兩點連線的投影相同。（3）有加速度瞬心法，但加速度瞬心不好找，故不常用；加速度瞬心與速度瞬心不是同一點。說明：（1）當(dāng)基點A與所求點B的運動軌跡為已知曲線，則加速度合成關(guān)系為：9.3平面圖形上各點的加速度分析?課后思考C例7車輪在地面上作純滾動，已知輪心O在圖示瞬時的速度為，加速度為，車輪半徑為r，如圖。試求輪緣與地面接觸點C的加速度。解：車輪作平面運動，取O點為基點，則C點的加速度為由于于是可得9.3平面圖形上各點的加速度分析取如圖的投影軸，由以上的加速度合成矢量式，將各矢量投影到投影軸上得于是方向由C點指向O點。9.3平面圖形上各點的加速度分析例8如圖所示四連桿機構(gòu)中，AB=1m，AD=3m，BC=CD=2m，已知AB以勻角速度繞A軸轉(zhuǎn)動。試求BC和CD桿的角加速度及BC桿中點G的加速度。解：BC作平面運動，瞬心在點，則9.3平面圖形上各點的加速度分析BC作平面運動，以B為基點，則C點的加速度為其中建立如圖所示的投影軸，由以上形式的加速度合成矢量式，將各矢量投影到投影軸上得解得所以9.3平面圖形上各點的加速度分析BC作平面運動，以B為基點，則G點的加速度為其中建立如圖所示的投影軸，由以上形式的加速度合成矢量式，將各矢量投影到投影軸上得解之得9.3平面圖形上各點的加速度分析停車“難”問題研究停車入庫或側(cè)方停車問題時，車身的運動能否視為平面運動？停車入庫側(cè)方停車問題：1、轉(zhuǎn)彎時兩個前輪的轉(zhuǎn)向角是否相同?課外思考題：兩個輪的轉(zhuǎn)向角應(yīng)滿足什么關(guān)系，轉(zhuǎn)向機構(gòu)如何設(shè)計？RR2、最小轉(zhuǎn)彎半徑與哪些因素有關(guān)？3、多輪大貨車如何實現(xiàn)轉(zhuǎn)彎？4、側(cè)方停車為什么要倒入車位？9.4運動學(xué)綜合應(yīng)用一、運動學(xué)綜合應(yīng)用：

機構(gòu)運動學(xué)分析。剛體平面運動方法與點的合成運動方法的應(yīng)用條件1.平面運動方法適用于研究一個平面運動剛體上任意兩點的速度、加速度之間的關(guān)系及任意一點的速度、加速度與圖形角速度、角加速度之間的關(guān)系。2.點的合成運動方法適用于確定兩個相接觸的物體在接觸點處有相對運動時運動關(guān)系的傳遞。9.4運動學(xué)綜合應(yīng)用二．解題步驟和要點

1.根據(jù)題意和剛體各種運動的定義，判斷機構(gòu)中各剛體的運動形式。注意每一次的研究對象只是一個剛體。

2.對作平面運動的剛體，根據(jù)已知條件和待求量，選擇求解速度(圖形角速度)問題的方法,用基點法求加速度(圖形角加速度)。3.作速度分析和加速度分析，求出待求量。

(基點法:恰當(dāng)選取基點，作速度平行四邊形，加速度矢量圖；

速度投影法:不能求出圖形

;

速度瞬心法：確定瞬心的位置是關(guān)鍵。）9.4運動學(xué)綜合應(yīng)用

例9

如圖所示平面機構(gòu)，滑塊B可沿桿OA滑動。桿BE與BD分別與套筒B鉸接，BD桿可沿水平導(dǎo)軌運動?；瑝KE以勻速v沿鉛直導(dǎo)軌向上運動，桿BE長為。圖示瞬時桿OA鉛直，且與桿BE夾角為。求該瞬時桿OA的角速度與角加速度。

9.4運動學(xué)綜合應(yīng)用由v及vB方向可知此瞬時點O為BE桿的速度瞬心，所以有以E為基點，B點的加速度為桿BE作平面運動，可先求出套筒B的速度和加速度。套筒在OA桿上滑動，并帶動桿OA轉(zhuǎn)動，可按復(fù)合運動方法求解桿OA的角速度和加角速度。1.求B點的速度。2.求B點的加速度。

OEBDllωOAvAvB解：aB

9.4運動學(xué)綜合應(yīng)用OEBDllωOAvA從而求得由于滑塊E作勻速直線運動，故aE=0。

的大小為

沿方向投影上式，得

aB

9.4運動學(xué)綜合應(yīng)用OEBDllωOAvA應(yīng)用速度合成定理于是得桿OA的角速度用剛體平面運動方法求出了B點的速度和加速度。由于B滑塊可以在OA桿上滑動，因此可利用點的復(fù)合運動方法求解桿OA的角速度和角加速度。式中va=vB；牽連速度ve其方向垂直于OA，因此與va同向；相對速度vr沿OA桿，即垂直于va

。顯然有3.求OA桿的角速度。vrveva動系－固連于OA桿。動點－滑塊B。（逆時針轉(zhuǎn)向）

9.4運動學(xué)綜合應(yīng)用OEBDllωOAvA故桿OA的角加速度為aaαOA牽連法向加速度滑塊B的絕對加速度將上式投影到與ar垂直的BD線上，得滑塊B的相對運動為沿OA的直線運動，相對加速度大小未知。4.求桿OA的角加速度。應(yīng)用加速度合成定理則滑塊B的牽連切向加速度為（順時針轉(zhuǎn)向）牽連切向加速度沿BD桿。a