高等數(shù)學(xué)（上冊）（慕課版）第2講極限的概念與性質(zhì)第1章函數(shù)、極限與連續(xù)01排列及其逆序數(shù)02數(shù)列極限的性質(zhì)03函數(shù)極限的概念04函數(shù)極限的性質(zhì)本講內(nèi)容3按照一定順序排列的數(shù)稱為數(shù)列。記為，其中稱為數(shù)列的第項或通項，稱為項的序號.01數(shù)列極限的概念“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！薄獎⒒?01數(shù)列極限的概念5對于數(shù)列，當(dāng)無限增大時，若無限(或稱數(shù)列收斂于)，極限不存在（或稱數(shù)列是發(fā)散的）..趨近于一個確定的常數(shù)，則稱為數(shù)列的極限記作此時，也稱數(shù)列的極限存在；否則，稱數(shù)列的定義1.601數(shù)列極限的概念601數(shù)列極限的概念收斂發(fā)散(1)(2)(3)(4)下面各數(shù)列，哪些數(shù)列收斂，哪些數(shù)列發(fā)散？對于收斂數(shù)列，通過觀察通項的變化趨勢，寫出它們的極限.1例1或.7數(shù)列

的極限（或稱數(shù)列收斂于

），（定義）定義1.6數(shù)學(xué)符號“”表示“任意”，注設(shè)為一數(shù)列，是常數(shù)，如果對，，使對于滿足的一切，總有成立，“”表示“存在”.則稱為記作01數(shù)列極限的概念2εa-ε8數(shù)列極限幾何解釋如圖1.19、圖1.20所示，只有有限個（之多只有N個）落在其外.x2xaxN+1a+εx3xN+2x1任意給定當(dāng)時，所有的點xn都落在內(nèi)，正數(shù)，圖1.1901數(shù)列極限的概念9N-1n1O234a-εxnaNN+1N+2N+3N+4a+ε圖1.2001數(shù)列極限的概念注10（1）理解數(shù)列極限的關(guān)鍵在于弄清什么是無限增大、什么是無限趨近.（2）不是所有的數(shù)列都有極限﹐例如﹐數(shù)列的極限不存在.（3）研究一個數(shù)列的極限﹐關(guān)注的是數(shù)列后面無限項的問題﹐改變該數(shù)列前面任何有限多個項﹐都不能改改變這個數(shù)列的極限.（4）

“無限趨近于”是指數(shù)列后面的任意項與的距離無限接近零.01數(shù)列極限的概念，故11

證明已知，則當(dāng)，即，只要，

證明數(shù)列的極限為1.對，欲使，因此，取，就有2例01數(shù)列極限的概念12已知，證明.就有.對，只要，即.則當(dāng)時，欲使，取，故證明

3例01數(shù)列極限的概念13設(shè)，對，由于，所以要使，即，解得，則當(dāng)時，就有，當(dāng)時顯然成立.設(shè)，證明：.故取得，

4例證明01數(shù)列極限的概念14

解計算.當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，所以，

5例故；，；，.01數(shù)列極限的概念01排列及其逆序數(shù)02數(shù)列極限的性質(zhì)03函數(shù)極限的概念04函數(shù)極限的性質(zhì)本講內(nèi)容16定理1.2（極限唯一性）收斂數(shù)列的極限是唯一的.即若數(shù)列

收斂，且

和

，則.02

數(shù)列極限的性質(zhì)

6例證明：若數(shù)列

收斂，且

和

，則21702

數(shù)列極限的性質(zhì)得得故假設(shè)不成立，唯一性即證.

(1)和(2)同時成立，矛盾.取同理,（反證法）假設(shè)取

6例證明：若數(shù)列

收斂，且

和

，則2當(dāng)

時,證明18證明：數(shù)列發(fā)散.

證明假設(shè)此數(shù)列收斂于a，即.根據(jù)數(shù)取，當(dāng)時，有

7例，02

數(shù)列極限的性質(zhì)3已知（反證法）即當(dāng)時，但是，在的過程中，重復(fù)取得1和?1兩個值，而這兩個值不可能同時屬于長度為1的開區(qū)間因此，這個數(shù)列發(fā)散.

列極限的定義，則，1902

數(shù)列極限的性質(zhì)定義1.7對于數(shù)列如果存在正數(shù)使得則稱數(shù)列有界.根據(jù)有界的定義，判斷數(shù)列是否有界.

8例4

解因為取，有所以數(shù)列無界.20定理1.3（有界性）即若數(shù)列收斂，則存在常數(shù)，使收斂數(shù)列是有界的.02

數(shù)列極限的性質(zhì)21若數(shù)列收斂，則存在常數(shù)，使（對）.證明設(shè)，由定義，取，則，使當(dāng)時，即有.記，都有成立，

9例恒有成立，則對一切自然數(shù)n，故有界.02

數(shù)列極限的性質(zhì)注2201定理1.3中的

顯然不是唯一的，重要的是它的存在性；02有界性是數(shù)列收斂的必要條件，例如，數(shù)列有界但不收斂；03無界數(shù)列必定發(fā)散.02

數(shù)列極限的性質(zhì)推論1推論223定理1.4（保序性）若，，且，（或）.若，使當(dāng)時，（或），若（或），（或）.則，使當(dāng)則則，使當(dāng)時，02

數(shù)列極限的性質(zhì)時，有.（保號性）24若數(shù)列收斂于，則其任意子數(shù)列也收斂于.注定理1.5的逆否命題常用來證明數(shù)列

發(fā)散﹐常見形式如下：（1）若數(shù)列

有兩個子數(shù)列分別收斂于不同的常數(shù)﹐則數(shù)列發(fā)散;（2）若數(shù)列有一個發(fā)散的子數(shù)列﹐則數(shù)列發(fā)散.(收斂數(shù)列與子數(shù)列的關(guān)系)定理1.502

數(shù)列極限的性質(zhì)25證明：數(shù)列發(fā)散.

因為此數(shù)列的兩個子數(shù)列，所以數(shù)列發(fā)散.

10例證明02

數(shù)列極限的性質(zhì)分別收斂于不同的常數(shù)，01排列及其逆序數(shù)02數(shù)列極限的性質(zhì)03函數(shù)極限的概念04函數(shù)極限的性質(zhì)本講內(nèi)容總存在正滿足不等式記作如果存在常1.自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限定義1.8（定義）27或.數(shù)，對應(yīng)的函數(shù)值都使當(dāng)滿足不等式時，設(shè)在大于某一正數(shù)時有定義，數(shù)，對于任意給定的正數(shù)（無論它多么小)，則稱常數(shù)

為時函數(shù)的極限.03

函數(shù)極限的概念28極限的集合解釋如圖所示，任意給定正數(shù)ε，做直線y=A+ε與y=A-ε，總能找到一個X>0，函數(shù)

的圖像全部都在這兩條直線之間.yAA-εOxx-xA+ε03

函數(shù)極限的概念定理1.629極限存在的充分必要條件時與都存在且相等，即03

函數(shù)極限的概念30已知，

11例03

函數(shù)極限的概念證明：證明只要取

當(dāng)時,總有.要使不等式成立.故得證.531考察極限與是否存在？

，，

所以不存在；

同理，因為，，

，

因為不存在．所以

解

12例03

函數(shù)極限的概念如果存2.自變量趨于有限值時函數(shù)的極限32定義1.9（定義）時的極限設(shè)在點的某一去心領(lǐng)域內(nèi)有定義，在常數(shù)，對于任意給定的正數(shù)（不論它有多小），使當(dāng)滿足不等式時，函數(shù)值都滿足不等式，

時的極限，或.總存在正數(shù)，對應(yīng)的則稱為當(dāng)記作03

函數(shù)極限的概念33極限的幾何解釋如圖所示，正數(shù)??，的圖像全部落在這兩條直線之間.

，使當(dāng)時，A+εAA-εxOyx0-δx0x0+δ任意給定

函數(shù)03

函數(shù)極限的概念34

13例03

函數(shù)極限的概念證明：已知，證明不等式恒成立.因此,可任取正數(shù)則當(dāng)時,總有故得證.635

14例03

函數(shù)極限的概念證明：已知，證明因此,可任取正數(shù)則當(dāng)時,總有故得證.736

15例03

函數(shù)極限的概念證明：已知證明成立，只要因此，可取正數(shù)，則當(dāng)時，總有故得證.8要使不等式考慮到可以用

保證.37判斷極限是否存在.設(shè)，則當(dāng)時，無定義.當(dāng)時，

解

16例03

函數(shù)極限的概念定義1.10（左極限）38設(shè)在的左領(lǐng)域有定義，對于任意給定的正數(shù)（不論它有多小），使當(dāng)滿足不等式時，，則稱如果存在常數(shù)

，總存在正數(shù)，有03

函數(shù)極限的概念

時的左極限，記作為f(x)當(dāng)39定義1.11（右極限）滿足不等式時，設(shè)在的右領(lǐng)域有定義，對于任意給定的正數(shù)（不論它有多?。?，如果存在常數(shù)，總存在正數(shù)，有03

函數(shù)極限的概念，則稱

時的右極限，記作為f(x)當(dāng)定理1.740極限存在且等于的充分必要條件是左極限

與右極限都存在且等于，即03

函數(shù)極限的概念41所以；所以不存在.當(dāng)時，求函數(shù)和的左、右極限，并說明他們在時的極限是否存在.

解

17例03

函數(shù)極限的概念42求函數(shù)

當(dāng)

時的左、右并說明

時函數(shù)極限是否存在.由于

所以

不存在.

解

18例極限，03

函數(shù)極限的概念01排列及其逆序數(shù)02數(shù)列極限的性質(zhì)03函數(shù)極限的概念04函數(shù)極限的性質(zhì)本講內(nèi)容若極限存在，則極限是唯一的.44定理1.8（唯一性）定理1.9（局部有界性）若存在，則在某去心鄰域