高教版《數(shù)學-基礎(chǔ)模塊（上冊）》第四章三角函數(shù)習題及復習題答案解析一、本章核心知識回顧（解題必備）三角函數(shù)定義：設(shè)角α終邊上一點P(x,y)，r=√(x2+y2)，則sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x（x≠0）；誘導公式：“奇變偶不變，符號看象限”（針對k?π/2±α，k∈Z）；三角函數(shù)圖像與性質(zhì)：正弦函數(shù)y=sinx（周期2π，值域[-1,1]）、余弦函數(shù)y=cosx（周期2π，值域[-1,1]）、正切函數(shù)y=tanx（周期π，定義域x≠kπ+π/2）；解三角形：正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC，余弦定理a2=b2+c2-2bccosA。二、課后練習題答案及解析4.1任意角的三角函數(shù)（練習）1.基礎(chǔ)計算題（1）已知角α終邊經(jīng)過點P(3,4)，求sinα、cosα、tanα的值。答案：sinα=4/5，cosα=3/5，tanα=4/3解析：r=√(32+42)=5，由定義得sinα=y/r=4/5，cosα=x/r=3/5，tanα=y/x=4/3。（2）求sin3π/2、cosπ、tanπ/4的值。答案：sin3π/2=-1，cosπ=-1，tanπ/4=1解析：3π/2終邊在y軸負半軸（x=0,y=-1），sin3π/2=-1；π終邊在x軸負半軸（x=-1,y=0），cosπ=-1；π/4終邊經(jīng)過(1,1)，tanπ/4=1/1=1。2.象限判斷與符號題（1）判斷sin5π/6?cos7π/4的符號。答案：正解析：5π/6在第二象限（sin正），7π/4在第四象限（cos正），正×正=正。（2）若tanα<0且cosα>0，判斷角α所在象限。答案：第四象限解析：tanα<0（第二或第四象限），cosα>0（第一或第四象限），交集為第四象限。4.2三角函數(shù)的誘導公式（練習）1.利用誘導公式化簡（1）化簡sin(π+α)?cos(3π/2-α)。答案：-sin2α解析：sin(π+α)=-sinα，cos(3π/2-α)=-sinα，乘積為(-sinα)?(-sinα)=sin2α？（修正：cos(3π/2-α)=-sinα，故原式=-sinα?(-sinα)=sin2α，此處原解析有誤，正確答案為sin2α）（2）計算sin(-150°)+cos(-240°)。答案：-1解析：sin(-150°)=-sin150°=-1/2，cos(-240°)=cos240°=cos(180°+60°)=-cos60°=-1/2，和為-1。2.證明題證明：tan(2π-α)=-tanα。解析：tan(2π-α)=sin(2π-α)/cos(2π-α)=(-sinα)/cosα=-tanα，得證。4.3三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（練習）1.圖像與周期問題（1）求函數(shù)y=2sin(3x+π/4)的周期。答案：2π/3解析：正弦函數(shù)周期公式T=2π/|ω|，此處ω=3，故T=2π/3。（2）函數(shù)y=cos(2x-π/3)的對稱軸方程為______。答案：x=kπ/2+π/6（k∈Z）解析：令2x-π/3=kπ，解得x=kπ/2+π/6。2.值域與單調(diào)性問題（1）求函數(shù)y=3sinx-1的最大值與最小值。答案：最大值2，最小值-4解析：sinx∈[-1,1]，3sinx∈[-3,3]，故3sinx-1∈[-4,2]。（2）求函數(shù)y=tan(x-π/6)的單調(diào)遞增區(qū)間。答案：(kπ-π/3,kπ+2π/3)（k∈Z）解析：正切函數(shù)增區(qū)間為(kπ-π/2,kπ+π/2)，令x-π/6∈(kπ-π/2,kπ+π/2)，解得x∈(kπ-π/3,kπ+2π/3)。4.4解三角形（練習）1.正弦定理應(yīng)用（1）在△ABC中，a=2，∠A=30°，∠B=60°，求b的值。答案：2√3解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB，得b=a?sinB/sinA=2×(√3/2)/(1/2)=2√3。（2）在△ABC中，a=5，b=7，∠A=30°，判斷三角形解的個數(shù)。答案：2個解析：bsinA=7×1/2=3.5，a=5，3.5<5<7，故有兩解。2.余弦定理應(yīng)用（1）在△ABC中，a=3，b=4，c=5，求∠C的度數(shù)。答案：90°解析：cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=(9+16-25)/24=0，故∠C=90°。（2）在△ABC中，b=5，c=3，∠A=120°，求a的值。答案：7解析：a2=b2+c2-2bccosA=25+9-2×5×3×(-1/2)=34+15=49，故a=7。三、復習題四（全章綜合）答案及解析A組（基礎(chǔ)鞏固）與-30°終邊相同的角的集合是（）A.{α|α=k·360°+30°,k∈Z}B.{α|α=k·360°-30°,k∈Z}C.{α|α=k·180°+30°,k∈Z}D.{α|α=k·180°-30°,k∈Z}答案：B解析：終邊相同角相差360°整數(shù)倍，故為k?360°-30°。計算sinπ/6+cosπ/3-tanπ/4=______。答案：0解析：1/2+1/2-1=0。化簡cos(π-α)+sin(π/2+α)=______。答案：0解析：cos(π-α)=-cosα，sin(π/2+α)=cosα，和為0。函數(shù)y=sin(2x+π/3)的最小正周期是______，最大值是______。答案：π，1解析：T=2π/2=π，正弦函數(shù)最大值為1。在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，a=√6，求b的值。答案：2解析：由正弦定理b=a?sinB/sinA=√6×(√2/2)/(√3/2)=√6×√2/√3=2。B組（能力提升）已知sinα=3/5，α是第二象限角，求cosα和tanα的值。答案：cosα=-4/5，tanα=-3/4解析：cosα=-√(1-sin2α)=-√(1-9/25)=-4/5，tanα=sinα/cosα=-3/4。求函數(shù)y=2cosx-1在區(qū)間[0,2π]上的單調(diào)遞減區(qū)間。答案：[0,π]解析：余弦函數(shù)y=cosx在[0,π]遞減，故y=2cosx-1遞減區(qū)間相同。在△ABC中，a=8，b=7，c=5，求∠B的余弦值。答案：11/16解析：cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)=(64+25-49)/80=40/80=1/2？（修正：64+25=89，89-49=40，2×8×5=80，40/80=1/2，此處原計算正確，答案為1/2）已知tanα=2，求(2sinα+cosα)/(sinα-3cosα)的值。答案：-5解析：分子分母同除以cosα，得(2tanα+1)/(tanα-3)=(4+1)/(2-3)=5/(-1)=-5。C組（拓展應(yīng)用）如圖，某觀測站C在目標A的南偏西25°方向，從A出發(fā)有一條南偏東35°方向的公路，在C處測得公路上距C點31km的B處有一人正沿公路向A走去，走了20km后到達D處，此時測得C、D間的距離為21km，求此人還要走多遠才能到達A？答案：15km解析：在△BCD中，BC=31，BD=20，CD=21，由余弦定理得cos∠BDC=(202+212-312)/(2×20×21)=(-330)/840=-11/28，故cos∠ADC=11/28。在△ACD中，CD=21，∠CAD=25°+35°=60°，由正弦定理得AD/sin∠ACD=CD/sin60°，先求sin∠ACD=sin(180°-60°-∠ADC)=sin(60°+∠ADC)=sin60°cos∠ADC+cos60°sin∠ADC=(√3/2)(11/28)+(1/2)(√(1-(121/784)))=(11√3/56)+(1/2)(√663/28)，計算得AD=15km。已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0，|φ|<π/2）的圖像經(jīng)過點(0,1)