2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試題庫：統(tǒng)計(jì)與決策時(shí)間序列分析試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題2分，共10分。請將正確選項(xiàng)的代表字母填在題干后的括號內(nèi)）1.時(shí)間序列數(shù)據(jù)按其數(shù)值的變化規(guī)律，可以分為（）。A.時(shí)間序列和截面數(shù)據(jù)B.平穩(wěn)序列和非平穩(wěn)序列C.定量數(shù)據(jù)和定性數(shù)據(jù)D.觀測值和參數(shù)2.若一個(gè)時(shí)間序列的均值和方差均不隨時(shí)間變化，則該序列被稱為（）。A.趨勢序列B.季節(jié)序列C.隨機(jī)序列D.平穩(wěn)序列3.對于非平穩(wěn)時(shí)間序列，通常需要進(jìn)行差分處理使其變?yōu)槠椒€(wěn)序列，主要目的是（）。A.消除趨勢B.消除季節(jié)性C.使序列滿足模型假設(shè)D.增大序列方差4.在ARIMA(p,d,q)模型中，參數(shù)d代表（）。A.滑動(dòng)平均階數(shù)B.自回歸階數(shù)C.差分次數(shù)D.自變量個(gè)數(shù)5.對時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行移動(dòng)平均平滑，其主要目的是（）。A.建立預(yù)測模型B.消除隨機(jī)波動(dòng)，揭示趨勢或季節(jié)性C.估計(jì)模型參數(shù)D.進(jìn)行殘差分析二、填空題（每空2分，共20分。請將答案填在橫線上）6.時(shí)間序列分析的核心目標(biāo)是揭示序列的______、______和______，并進(jìn)行未來值的預(yù)測。7.若一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過d次差分后變?yōu)槠椒€(wěn)序列，則該序列是d階______序列。8.自相關(guān)函數(shù)（ACF）描述的是時(shí)間序列中______與______之間的相關(guān)程度。9.偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）描述的是在排除了______之間所有中間滯后項(xiàng)的影響后，______與______之間的相關(guān)程度。10.Box-Jenkins建模方法主要包含模型識別、參數(shù)估計(jì)和______三個(gè)步驟。三、名詞解釋（每題4分，共16分）11.平穩(wěn)性12.季節(jié)性13.ARIMA模型14.殘差分析四、簡答題（每題5分，共20分）15.簡述平穩(wěn)時(shí)間序列的主要特征。16.簡述使用自相關(guān)函數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）圖進(jìn)行ARIMA模型識別的基本原則。17.解釋時(shí)間序列模型中“差分”操作的作用。18.簡述選擇時(shí)間序列預(yù)測模型時(shí)應(yīng)考慮的主要因素。五、計(jì)算題（每題10分，共30分）19.假設(shè)某時(shí)間序列數(shù)據(jù)如下：Y=[10,12,13,15,16,18,20,22,21,19]。計(jì)算Y的樣本均值和方差。20.對于一個(gè)一階自回歸模型AR(1)：Yt=φYt-1+et，其中e_t為白噪聲。已知Y0=0，且et服從均值為0，方差為σ2的正態(tài)分布。求Y1的均值和方差。21.某時(shí)間序列的差分序列（一階差分）為Dyt=Yt-Yt-1，其樣本自相關(guān)函數(shù)ACF值如下：ρ?=1,ρ?=0.6,ρ?=0.3,ρ?=0.1,ρ?=0。根據(jù)這些信息，你能初步判斷原序列可能適合哪個(gè)ARIMA模型？請說明理由。六、分析題（每題12分，共24分）22.某公司季度銷售額數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯的上升趨勢和季節(jié)性波動(dòng)。試述如果要用ARIMA模型來擬合該數(shù)據(jù)，在模型識別階段可能遇到的主要挑戰(zhàn)，并提出相應(yīng)的處理思路。23.在使用ARIMA模型進(jìn)行預(yù)測后，進(jìn)行了殘差分析，發(fā)現(xiàn)殘差序列存在較強(qiáng)的自相關(guān)性。請分析這可能意味著什么？應(yīng)該如何處理這種情況？試卷答案一、選擇題1.B2.D3.A4.C5.B二、填空題6.趨勢；季節(jié)性；周期性7.非平穩(wěn)8.滯后項(xiàng)；當(dāng)前值9.滯后項(xiàng)；當(dāng)前值；滯后項(xiàng)10.模型診斷三、名詞解釋11.平穩(wěn)性：指時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特性（如均值、方差）不隨時(shí)間變化而變化。具體來說，弱平穩(wěn)性要求均值恒等于0（或?yàn)橹行闹担?，方差恒定，自相關(guān)函數(shù)僅依賴于滯后時(shí)間間隔。12.季節(jié)性：指時(shí)間序列數(shù)據(jù)在固定且較短的時(shí)間間隔（如季度、月份、星期幾）內(nèi)表現(xiàn)出規(guī)律性的波動(dòng)或重復(fù)模式。13.ARIMA模型：自回歸積分滑動(dòng)平均模型（AutoregressiveIntegratedMovingAveragemodel）的簡稱，是時(shí)間序列分析中應(yīng)用最廣泛的一種模型，記為ARIMA(p,d,q)。其中p是自回歸階數(shù)，d是差分次數(shù)，q是滑動(dòng)平均階數(shù)。它主要用于對具有趨勢和季節(jié)性的非平穩(wěn)時(shí)間序列進(jìn)行建模和預(yù)測。14.殘差分析：在時(shí)間序列模型建模過程中，用實(shí)際觀測值減去模型預(yù)測值得到殘差序列。對殘差進(jìn)行分析是為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠窈侠?，即檢驗(yàn)殘差序列是否滿足模型假設(shè)（通常是白噪聲）。殘差分析包括檢查殘差的均值、方差、自相關(guān)性、正態(tài)性等。四、簡答題15.平穩(wěn)時(shí)間序列的主要特征包括：*均值（或期望）恒定：時(shí)間序列的長期平均值不隨時(shí)間變化。*方差恒定：時(shí)間序列的波動(dòng)幅度在長時(shí)間內(nèi)保持穩(wěn)定。*自協(xié)方差（或自相關(guān)函數(shù)）僅依賴于滯后時(shí)間間隔：當(dāng)前值與過去值之間的相關(guān)性只與兩者之間的時(shí)間間隔有關(guān)，而與具體的時(shí)間點(diǎn)無關(guān)。對于弱平穩(wěn)序列，自相關(guān)函數(shù)隨著滯后時(shí)間的增加而逐漸衰減至0。16.使用自相關(guān)函數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）圖進(jìn)行ARIMA模型識別的基本原則：*識別AR階數(shù)p：觀察PACF圖，看從哪個(gè)滯后階數(shù)開始顯著不為0，然后迅速衰減至0。這個(gè)顯著的起始滯后階數(shù)（或最后一個(gè)顯著滯后階數(shù)）通常就是AR階數(shù)p。如果PACF呈拖尾狀（逐漸衰減），p可能較大；如果PACF在某個(gè)滯后階數(shù)后截尾（突然變?yōu)?），則該階數(shù)即為p。*識別MA階數(shù)q：觀察ACF圖，看從哪個(gè)滯后階數(shù)開始顯著不為0，然后迅速衰減至0。這個(gè)顯著的起始滯后階數(shù)（或最后一個(gè)顯著滯后階數(shù)）通常就是MA階數(shù)q。如果ACF呈拖尾狀，q可能較大；如果ACF在某個(gè)滯后階數(shù)后截尾，則該階數(shù)即為q。*結(jié)合ACF和PACF：有時(shí)需要結(jié)合兩個(gè)圖的信息。例如，如果一個(gè)模型是ARMA(p,q)，ACF和PACF都呈拖尾狀；如果是AR(p)，ACF拖尾，PACF在p階截尾；如果是MA(q)，ACF在q階截尾，PACF拖尾。*平穩(wěn)性檢驗(yàn)：識別出的模型階數(shù)還需要通過平穩(wěn)性檢驗(yàn)（如單位根檢驗(yàn)）來確認(rèn)。17.時(shí)間序列模型中“差分”操作的作用：*消除非平穩(wěn)性：許多實(shí)際的時(shí)間序列數(shù)據(jù)是包含趨勢或季節(jié)性的非平穩(wěn)序列，不滿足大多數(shù)時(shí)間序列模型（如ARIMA模型）的平穩(wěn)性假設(shè)。差分操作（如一階差分Dyt=Yt-Yt-1，或二階差分D2Yt=D(Yt-Yt-1)=Yt-2Yt-1+Yt-2）可以通過計(jì)算當(dāng)前值與過去值之差，來消除序列中的趨勢或季節(jié)性成分。*使序列平穩(wěn)：通過差分，可以將非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)換為近似平穩(wěn)或平穩(wěn)序列，從而滿足ARIMA模型等依賴于平穩(wěn)性假設(shè)的建模要求，使得模型構(gòu)建和參數(shù)估計(jì)成為可能。*穩(wěn)定方差：差分有時(shí)也能幫助穩(wěn)定時(shí)間序列的方差。18.選擇時(shí)間序列預(yù)測模型時(shí)應(yīng)考慮的主要因素：*數(shù)據(jù)特性：分析時(shí)間序列圖，判斷其是否存在趨勢、季節(jié)性、周期性以及隨機(jī)波動(dòng)成分。*模型假設(shè)：選擇的模型應(yīng)能滿足其理論假設(shè)（如平穩(wěn)性、正態(tài)性、白噪聲殘差等）。需通過檢驗(yàn)確認(rèn)。*模型復(fù)雜度：在能較好擬合數(shù)據(jù)的模型中，選擇相對簡單、interpretable的模型，避免過擬合。*預(yù)測精度：比較不同候選模型的預(yù)測表現(xiàn)（如均方誤差MSE、均方根誤差RMSE等指標(biāo)），選擇預(yù)測精度最高的模型。*實(shí)際意義：模型結(jié)果應(yīng)具有實(shí)際可解釋性，能夠?yàn)闆Q策提供有價(jià)值的見解。*計(jì)算效率：考慮模型構(gòu)建和預(yù)測的計(jì)算成本，尤其是在需要處理大量數(shù)據(jù)或進(jìn)行實(shí)時(shí)預(yù)測時(shí)。五、計(jì)算題19.解：*樣本均值：$\bar{Y}=\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n}Y_t=\frac{10+12+13+15+16+18+20+22+21+19}{10}=\frac{176}{10}=17.6$*樣本方差：$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{t=1}^{n}(Y_t-\bar{Y})^2$$=\frac{1}{9}[(10-17.6)^2+(12-17.6)^2+...+(19-17.6)^2]$$=\frac{1}{9}[(-7.6)^2+(-5.6)^2+(-4.6)^2+(-2.6)^2+(-1.6)^2+(0.4)^2+(2.4)^2+(4.4)^2+(3.4)^2+(1.4)^2]$$=\frac{1}{9}[57.76+31.36+21.16+6.76+2.56+0.16+5.76+19.36+11.56+1.96]$$=\frac{1}{9}[186.4]=20.7111...$*所以，樣本均值為17.6，樣本方差為20.7111（或保留更多小數(shù)位）。20.解：*Y1的均值：$E[Y_1]=E[\phiY_0+e_1]=\phiE[Y_0]+E[e_1]$由于Y0=0且e1均值為0，所以$E[Y_1]=\phi(0)+0=0$。*Y1的方差：$Var(Y_1)=Var(\phiY_0+e_1)=\phi^2Var(Y_0)+Var(e_1)$由于Y0=0，$Var(Y_0)=0$。又因?yàn)閑1方差為$\sigma^2$，所以$Var(Y_1)=\phi^2(0)+\sigma^2=\sigma^2$。*所以，Y1的均值為0，方差為$\sigma^2$。21.解：*觀察ACF值：$\rho_0=1$（恒為1），$\rho_1=0.6$，$\rho_2=0.3$，$\rho_3=0.1$，$\rho_4=0$。ACF呈現(xiàn)拖尾趨勢，最后在$\rho_4=0$。*觀察PACF值：雖然題目未給出PACF具體數(shù)值，但根據(jù)ACF拖尾的特點(diǎn)，可以推斷PACF也應(yīng)呈現(xiàn)拖尾趨勢。*模型識別：ACF在滯后4階后為0，這暗示模型可能包含MA(4)成分。但更常見的是考慮ACF的緩慢衰減，可能需要一個(gè)低階的MA項(xiàng)來捕捉這種衰減，或者序列本身需要差分。*結(jié)合差分信息：題目提到“差分序列”，暗示原始序列可能非平穩(wěn)，需要進(jìn)行差分。一階差分Dyt=Yt-Yt-1。*識別可能模型：考慮一階差分后序列可能平穩(wěn)。ACF在滯后4階后為0，PACF拖尾，可以考慮ARMA(p,q)模型。初步判斷可能為ARMA(2,4)或ARMA(0,4)。但更常見的是，拖尾的ACF可能意味著原始序列本身就包含一個(gè)MA(q)成分，經(jīng)過一階差分后變成了一個(gè)平穩(wěn)的MA(q)過程。因此，原始序列可能適合的模型更可能是ARIMA(0,d,q)，其中d=1，q=4，即ARIMA(0,1,4)。理由是差分操作消除了非平穩(wěn)性，使得剩余的自相關(guān)性主要由MA(q)成分解釋，而ACF在滯后4階后為0支持了MA(4)的階數(shù)。六、分析題22.使用ARIMA模型擬合具有明顯趨勢和季節(jié)性波動(dòng)的季度銷售額數(shù)據(jù)，在模型識別階段可能遇到的主要挑戰(zhàn)及處理思路：*挑戰(zhàn)1：非平穩(wěn)性。明顯的趨勢會導(dǎo)致序列非平穩(wěn)，而ARIMA模型要求輸入數(shù)據(jù)（或經(jīng)過差分后的數(shù)據(jù)）是平穩(wěn)的。直接擬合可能導(dǎo)致模型不穩(wěn)定、預(yù)測效果差。*處理思路：在建模前對數(shù)據(jù)進(jìn)行差分。如果存在明顯的線性趨勢，進(jìn)行一階差分（Dyt=Yt-Yt-1）。如果趨勢和季節(jié)性都存在，可能需要更高階的差分或季節(jié)差分（如D{s}yt=Yt-Yt-s）。觀察差分后序列的ACF和PACF圖，直到序列表現(xiàn)出平穩(wěn)性特征（ACF和PACF拖尾或截尾）。*挑戰(zhàn)2：同時(shí)存在趨勢和季節(jié)性。這使得模型識別更加復(fù)雜，需要區(qū)分趨勢成分和季節(jié)成分對自相關(guān)性的影響。*處理思路：首先進(jìn)行趨勢消除。如果趨勢明顯，先進(jìn)行一階差分。然后觀察差分序列。如果差分后序列仍存在明顯的季節(jié)性周期（例如，ACF在每個(gè)季節(jié)周期滯后處呈現(xiàn)峰值），則需要進(jìn)行季節(jié)差分（如D{s}yt=Yt-Yt-s）。例如，對于季度數(shù)據(jù)（s=4），季節(jié)差分后序列的周期為4個(gè)季度。建模時(shí)可能需要同時(shí)考慮非季節(jié)性差分和季節(jié)性差分，形成ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型。*挑戰(zhàn)3：自相關(guān)和偏自相關(guān)圖復(fù)雜。差分（尤其是季節(jié)差分）后，ACF和PACF圖可能仍然很復(fù)雜，難以明確判斷p、d、q、P、D、Q的值。*處理思路：采用系統(tǒng)識別方法。除了觀察ACF和PACF的形狀，還可以使用信息準(zhǔn)則（如AIC、BIC）來輔助模型選擇。AIC/BIC準(zhǔn)則傾向于選擇復(fù)雜度（參數(shù)個(gè)數(shù)）與擬合優(yōu)度（對數(shù)似然）平衡的模型?？梢試L試多個(gè)候選模型，計(jì)算它們的AIC/BIC值，選擇最小值對應(yīng)的模型。同時(shí)，結(jié)合理論知識和業(yè)務(wù)理解來輔助判斷。*挑戰(zhàn)4：模型選擇困難。可能需要在AR、MA、ARMA以及不同階數(shù)的差分和季節(jié)差分之間進(jìn)行選擇。*處理思路：從簡單的模型開始嘗試，如ARIMA(0,1,1)或ARIMA(0,1,1)(0,1,1)4。然后根據(jù)AIC/BIC和信息圖（如ACF和PACF的自衰減情況）逐步增加模型復(fù)雜度，直到找到最合適的模型。23.在使用ARIMA模型進(jìn)行預(yù)測后，如果殘差分析發(fā)現(xiàn)殘差序列存在較強(qiáng)的自相關(guān)性，這可能意味著什么？應(yīng)該如何處理這種情況？*可能意味著：1.模型設(shè)定錯(cuò)誤：選擇的ARIMA模型（p,d,q,P,D,Q,s）未能完全捕捉數(shù)據(jù)中的所有系統(tǒng)性信息?？赡苓z漏了重要的自回歸項(xiàng)（AR項(xiàng)）、移動(dòng)平均項(xiàng)（MA項(xiàng)）或