高職數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)資料同學(xué)們，數(shù)學(xué)是一門邏輯性強(qiáng)、應(yīng)用廣泛的學(xué)科，也是我們學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課程不可或缺的工具。這份復(fù)習(xí)資料旨在幫助大家梳理高職數(shù)學(xué)的核心基礎(chǔ)知識，鞏固重點，突破難點，為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和應(yīng)用打下堅實基礎(chǔ)。請大家結(jié)合課堂筆記和教材，循序漸進(jìn)，融會貫通，注重理解而非死記硬背。一、函數(shù)函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的研究對象，也是描述變量之間依賴關(guān)系的基本工具。1.1函數(shù)的概念在一個變化過程中，設(shè)有兩個變量x和y，如果對于x的每一個確定的值，按照某個對應(yīng)法則f，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，那么就稱y是x的函數(shù)，記作y=f(x)。其中，x稱為自變量，y稱為因變量。自變量x的取值范圍稱為函數(shù)的定義域，因變量y的取值范圍稱為函數(shù)的值域。要點：*定義域的求法：分式分母不為零；偶次根式被開方數(shù)非負(fù)；對數(shù)的真數(shù)大于零；實際問題需考慮實際意義。*函數(shù)的表示法：解析法（公式法）、圖像法、表格法。1.2函數(shù)的基本性質(zhì)*單調(diào)性：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，如果對于區(qū)間I內(nèi)任意兩點x?<x?，都有f(x?)<f(x?)（或f(x?)>f(x?)），則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的。*奇偶性：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱。若對于定義域內(nèi)任意x，都有f(-x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)；若都有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)。偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱。*周期性：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對于任意x∈D，都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)恒成立，則稱f(x)為周期函數(shù)，T稱為f(x)的一個周期。（通常所說的周期是指最小正周期）*有界性：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，如果存在一個正數(shù)M，使得對于區(qū)間I內(nèi)的任意x，都有|f(x)|≤M成立，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有界。1.3基本初等函數(shù)我們將以下五類函數(shù)稱為基本初等函數(shù)：*冪函數(shù)：y=x^α(α為常數(shù))，如y=x,y=x2,y=1/x等。*指數(shù)函數(shù)：y=a^x(a>0且a≠1)，其定義域為R，值域為(0,+∞)。當(dāng)a>1時，函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)0<a<1時，函數(shù)單調(diào)減少。*對數(shù)函數(shù)：y=log?x(a>0且a≠1)，是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。其定義域為(0,+∞)，值域為R。當(dāng)a>1時，函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)0<a<1時，函數(shù)單調(diào)減少。自然對數(shù)y=lnx是底數(shù)為e(e≈2.____...)的對數(shù)函數(shù)。*三角函數(shù)：主要包括正弦函數(shù)y=sinx，余弦函數(shù)y=cosx，正切函數(shù)y=tanx等。要掌握它們的定義域、值域、周期性、奇偶性和圖像特征。*反三角函數(shù)：主要包括反正弦函數(shù)y=arcsinx，反余弦函數(shù)y=arccosx，反正切函數(shù)y=arctanx等。要掌握它們的定義域、值域和基本性質(zhì)。1.4復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)*復(fù)合函數(shù)：如果y是u的函數(shù)y=f(u)，而u又是x的函數(shù)u=φ(x)，且φ(x)的值域與f(u)的定義域的交集非空，那么y通過u的聯(lián)系也是x的函數(shù)，這個函數(shù)稱為由y=f(u)和u=φ(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記作y=f[φ(x)]，其中u稱為中間變量。*要點：分解復(fù)合函數(shù)是后續(xù)求導(dǎo)的基礎(chǔ)，需能準(zhǔn)確找出中間變量。*初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算（加、減、乘、除）和有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成的，并能用一個解析式表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。二、極限與連續(xù)極限是研究函數(shù)變化趨勢的重要工具，也是微積分的理論基礎(chǔ)。連續(xù)性則是函數(shù)的一個重要性質(zhì)。2.1數(shù)列的極限*定義（描述性）：對于數(shù)列{x?}，如果當(dāng)n無限增大時，數(shù)列的項x?無限地趨近于某個確定的常數(shù)A，那么就稱常數(shù)A是數(shù)列{x?}的極限，或稱數(shù)列{x?}收斂于A，記作lim?→∞x?=A。如果數(shù)列沒有極限，就稱數(shù)列是發(fā)散的。*收斂數(shù)列的性質(zhì)：唯一性、有界性、保號性。2.2函數(shù)的極限*當(dāng)x→∞時函數(shù)的極限：如果當(dāng)x的絕對值無限增大（即x→+∞和x→-∞）時，函數(shù)f(x)無限地趨近于某個確定的常數(shù)A，那么就稱常數(shù)A是函數(shù)f(x)當(dāng)x→∞時的極限，記作lim?→∞f(x)=A。*當(dāng)x→x?時函數(shù)的極限：如果當(dāng)x無限地趨近于x?（x可以不等于x?）時，函數(shù)f(x)無限地趨近于某個確定的常數(shù)A，那么就稱常數(shù)A是函數(shù)f(x)當(dāng)x→x?時的極限，記作lim?→??f(x)=A。*左極限與右極限：lim?→???f(x)=A（左極限），lim?→???f(x)=A（右極限）。函數(shù)在x?處極限存在的充分必要條件是左極限和右極限都存在且相等。2.3極限的運(yùn)算法則若limf(x)=A，limg(x)=B，則：*lim[f(x)±g(x)]=A±B*lim[f(x)·g(x)]=A·B*lim[f(x)/g(x)]=A/B(B≠0)*lim[kf(x)]=kA(k為常數(shù))*lim[f(x)]?=A?(n為正整數(shù))2.4兩個重要極限1.lim?→?(sinx/x)=1*特點：當(dāng)x→0時，分子分母均趨于0（“0/0”型），且分子是分母的正弦函數(shù)。2.lim?→∞(1+1/x)?=e或lim?→?(1+t)^(1/t)=e*特點：形式為“(1+無窮小量)^無窮大量”，其極限為e。2.5無窮小量與無窮大量*無窮小量：如果函數(shù)f(x)當(dāng)x→x?（或x→∞）時的極限為零，那么稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x→x?（或x→∞）時的無窮小量，簡稱無窮小。*性質(zhì)：有限個無窮小的和、差、積仍是無窮??；無窮小與有界函數(shù)的乘積仍是無窮小。*無窮大量：如果當(dāng)x→x?（或x→∞）時，函數(shù)f(x)的絕對值無限增大，那么稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x→x?（或x→∞）時的無窮大量，簡稱無窮大。*關(guān)系：在自變量的同一變化過程中，如果f(x)是無窮大量，則1/f(x)是無窮小量；反之，如果f(x)是無窮小量，且f(x)≠0，則1/f(x)是無窮大量。2.6函數(shù)的連續(xù)性*定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x?的某一鄰域內(nèi)有定義，如果lim?→??f(x)=f(x?)，那么就稱函數(shù)f(x)在點x?處連續(xù)。*等價定義：Δx=x-x?，Δy=f(x?+Δx)-f(x?)，則lim_{Δx→0}Δy=0。*間斷點：如果函數(shù)f(x)在點x?處不連續(xù)，則稱x?為f(x)的間斷點。常見類型：可去間斷點、跳躍間斷點、無窮間斷點、振蕩間斷點。*初等函數(shù)的連續(xù)性：初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。*閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：*有界性定理：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定在該區(qū)間上有界。*最大值最小值定理：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定在該區(qū)間上取得最大值和最小值。*介值定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)≠f(b)，那么對于f(a)與f(b)之間的任意一個數(shù)C，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點ξ，使得f(ξ)=C。*推論（零點定理）：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號（即f(a)·f(b)<0），那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點ξ，使得f(ξ)=0。三、導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)相對于自變量的變化率，微分則是函數(shù)增量的線性近似。3.1導(dǎo)數(shù)的概念*定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x?的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x?處取得增量Δx（點x?+Δx仍在該鄰域內(nèi)）時，相應(yīng)地函數(shù)取得增量Δy=f(x?+Δx)-f(x?)；如果Δy與Δx之比當(dāng)Δx→0時的極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點x?處可導(dǎo)，并稱這個極限為函數(shù)y=f(x)在點x?處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(x?)，y'|?=??，dy/dx|?=??或df(x)/dx|?=??。*f'(x?)=lim_{Δx→0}[f(x?+Δx)-f(x?)]/Δx*也可寫成：f'(x?)=lim?→?[f(x?+h)-f(x?)]/h或lim?→??[f(x)-f(x?)]/(x-x?)*幾何意義：函數(shù)y=f(x)在點x?處的導(dǎo)數(shù)f'(x?)在幾何上表示曲線y=f(x)在點(x?,f(x?))處的切線的斜率。*切線方程：y-f(x?)=f'(x?)(x-x?)*可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：如果函數(shù)y=f(x)在點x?處可導(dǎo)，則函數(shù)在該點必連續(xù)。反之，一個函數(shù)在某點連續(xù)，卻不一定在該點可導(dǎo)。3.2基本求導(dǎo)公式熟記以下基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：*(C)'=0(C為常數(shù))*(x^α)'=αx^(α-1)*(a^x)'=a^xlna(a>0,a≠1)*(e^x)'=e^x*(log?x)'=1/(xlna)(a>0,a≠1)*(lnx)'=1/x*(sinx)'=cosx*(cosx)'=-sinx*(tanx)'=sec2x*(cotx)'=-csc2x*(arcsinx)'=1/√(1-x2)*(arccosx)'=-1/√(1-x2)*(arctanx)'=1/(1+x2)3.3導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則設(shè)u=u(x)，v=v(x)都可導(dǎo)，則：*(u±v)'=u'±v'*(uv)'=u'v+uv'*(Cu)'=Cu'(C為常數(shù))*(u/v)'=(u'v-uv')/v2(v≠0)3.4復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)y=f(u)，而u=φ(x)，且f(u)及φ(x)都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]的導(dǎo)數(shù)為：dy/dx=dy/du·du/dx或y'(x)=f'(u)·φ'(x)要點：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵在于正確分解復(fù)合過程，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，不能遺漏。3.5隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果變量x和y之間的函數(shù)關(guān)系是由某一方程F(x,y)=0所確定，那么這種函數(shù)稱為隱函數(shù)。求導(dǎo)方法：方程兩端同時對x求導(dǎo)，遇到含有y的項，把y看作x的函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，然后解出y'。3.6高階導(dǎo)數(shù)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y'=f'(x)仍然是x的函數(shù)，如果f'(x)可導(dǎo)，則稱其導(dǎo)數(shù)為y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記作y''，f''(x)，d2y/dx2或d2f(x)/dx2。類似地，可以定義三階導(dǎo)數(shù)、四階導(dǎo)數(shù)……，統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)。3.7微分*定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x?及x?+Δx在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量Δy=f(x?+Δx)-f(x?)可表示為Δy=AΔx+o(Δx)，其中A是不依賴于Δx的常數(shù)，o(Δx)是比Δx高階的無窮小，那么稱函數(shù)y=f(x)在點x?是可微的，而AΔx叫做函數(shù)y=f(x)在點x?相應(yīng)于自變量增量Δx的微分，記作dy，即dy=AΔx。*可微與可導(dǎo)的關(guān)系：函數(shù)f(x)在點x?處可微的充分必要條件是函數(shù)f(x)在點x?處可導(dǎo)，且當(dāng)f(x)在點x?處可微時，其微分一定是dy=f'(x?)Δx。通常把自變量x的增量Δx稱為自變量的微分，記作dx，即dx=Δx。于是函數(shù)的微分又可記作dy=f'(x)dx。*微分的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在點x?處的微分dy，表示當(dāng)自變量x有增量Δx時，曲線y=f(x)在點(x?,f(x?))處的切線縱坐標(biāo)的增量。*微分基本公式與運(yùn)算法則：由dy=f'(x)dx可知，微分的基本公式和運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則類似。*微分在近似計算中的應(yīng)用：當(dāng)|Δx|很小時，Δy≈dy=f'(x?)Δx，即f(x?+Δx)≈f(x?)+f