2023年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難點(diǎn)與壓軸題型專項(xiàng)突圍訓(xùn)練

（全國(guó)通用解析版）

專題09圓的綜合問題

FW^I

KT【中考考向?qū)Ш健?/p>

目錄

【直擊中考】....................................................................................1

【考向一利用圓性質(zhì)求角的度數(shù)】............................................................1

【考向二利用圓性質(zhì)求線段的長(zhǎng)度】..........................................................4

【考向三利用圓性質(zhì)求圓的半徑】...........................................................12

【考向四利用圓性質(zhì)求線段的最值】.........................................................18

【考向四利用圓性質(zhì)求陰影部分的面積】....................................................20

【考向五切線的證明綜合應(yīng)用】.............................................................21

（-后【直擊中考】

【考向一利用圓性質(zhì)求角的度數(shù)】

例題：（2022秋?浙江杭州?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，四邊形A8C。內(nèi)接于O。，48=8,

A為8。中點(diǎn)，ZBZX?=60°,則NAD8等于（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【分析】根據(jù)A8=Q）,4為80中點(diǎn)求出"8。=/4田=乙鉆”再根據(jù)I員I內(nèi)接四邊形的

性質(zhì)得到ZAAC+Z/UX^IW0,即可求出答案.

【詳解】解：也4為3。中點(diǎn)，

^AB=AD>

⑦ZADB=ZABD,AB=AD,

團(tuán)A8=C。，

0ZCBD=AADB=ZABD，

團(tuán)四邊形A8CQ內(nèi)接于O。，

團(tuán)Z4BC+Z47X7=180°,

團(tuán)3ZAOA+600=18（）。，

團(tuán)乙408=40。，

故選從

【點(diǎn)睛】此題考查圓周角定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握在同圓中等弧所對(duì)的圓周角相等、相

等的弦所對(duì)的圓周角相等，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：對(duì)角互補(bǔ).

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?湖北省直轄縣級(jí)單位??？级＃┤鐖D，-塊直角三角板的30。角的頂點(diǎn)P落在。O

上，兩邊分別交OO于AB兩點(diǎn),連結(jié)AO,BO,則NA08的度數(shù)是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)圓周角定理解決問題即可.

【詳解】解：vZP=30°,

義,/OB=2乙P,

408=60。，

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，解決問題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理，屬于中考?？碱}型.

2.（2022?黑龍江哈爾濱??？级＃┤鐖D，\、B、C、。四個(gè)點(diǎn)均在上，ZA（9D=70°,

AO//DC,則N8的度數(shù)為.

【答案】55。##55度

【分析】首先連接AO,由A、B、C、。四個(gè)點(diǎn)均在0。上，ZAOD=70°,AO//DC,

可求得NADO與NOOC的度數(shù)，然后由圓的內(nèi)接四邊新的性質(zhì)，求得答案.

【詳解】解：連接AO,

?；OA=OD,Z4OZ)=70°,

.“?！?/空=55。,

2

vAO//DC，

ZODC=ZAOD=70°,

:.ZADC=ZADO+ZODC=}25°,

:.ZB=\^r-ZADC=55°.

故答案為：55°.

【點(diǎn)睛】此題考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì).此題比

較適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

3.（2022?內(nèi)蒙古通遼?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，已知四邊形A8CO是00的一個(gè)內(nèi)接四邊形,

且/ACQ=1IO。，貝=.

【答案】55。##55度

【分析】先根據(jù)圓周角定理求出2A的度數(shù)，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】解："8=110。,

/.NA=LNBOD=550.

2

???四邊形ABC。是圓內(nèi)接四邊形，N7X苕是四邊形A8C。的一個(gè)外角，

ZDCE=ZA=55°.

^BC=2CE=2y/3,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理和垂徑定理，解直角三角形,作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?江蘇鹽城?鹽城市第四中學(xué)（鹽城市藝術(shù)高級(jí)中學(xué)、鹽城市逸夫中學(xué)）?？寄M預(yù)

測(cè)）如圖，以A8為直徑的G>O與AC相切于點(diǎn)A,點(diǎn)7）、E在上，連接AE、ED、DA,

連接班）并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)C,AE與XC交于點(diǎn)F.

（1）求證：ZDAC=ZDEA-.

⑵若點(diǎn)E是弧80的中點(diǎn)，。。的半徑為3,BF=2,求AC的長(zhǎng).

【答案】⑴見解析

（2）8

【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得NC4O+N8A￡）=90。，再由A8為。。的直徑，可得

NB+NBAD=90°,從而得到NC4Z）=N8,再由圓周角定理，即可求證；

（2）根據(jù)點(diǎn)E是弧8。的中點(diǎn)，可得NDAE=NBAE,再由可得NC4〃-/C/%,

從而得到C4=b,設(shè)C4=b=x,則8c=x+2,在RtZxABC中，根據(jù)勾股定理，即可

求解.

【詳解】（I）證明：例。0與AC相切，

0AC1AB.用j/8AC=9D°,

回NC4D+NB4￡>=90。，

團(tuán)A8為。O的百?gòu)剑?/p>

0ZADB=9OO,

ISZB+ZBAD=90°,

團(tuán)NC4O=4,

團(tuán)NA瓦）=々，

0ZmC=ZDE4；

（2）解：團(tuán)點(diǎn)E是弧8。的中點(diǎn)，

團(tuán)ND4￡=NA4后,

0ZC4D=Z^,ZCAF=^CAD+ZDAF,NCFA=NEAB+/DBA,

0ZC4F=ZCE4,

0C4=CF,

設(shè)CA=CF=x,則4C=x+2,

團(tuán)。。的半徑為3,

團(tuán)A8=2,

在RtZ\45C中，AB2+AC2=BC2,

062+x2=(2+x)2,

解得：x=S.

即AC=S.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周用定理、切線的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用同角的余角相

等求得NC4D=/8.

2.(2022?內(nèi)蒙古通遼?模擬預(yù)測(cè))如圖，0。與四3。的邊相切于點(diǎn)8,與AC、AB邊

分別交于點(diǎn)。、E,DE//OC,是。。的直徑.

⑴求證：AC是。。的切線；

(2)若AO=2,AE=\,求8的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析

(2)3

【分析】(1)連接8,根據(jù)切線的性質(zhì)得到？890?,根據(jù)平行線和等腰三角形的性質(zhì)可

得NCOD=NCOB,再利用“邊角邊〃證明△CO慮△6?,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到

NCDO=NCBO=900,即可證明AC是0。的切線；

(2)設(shè)GQ的半徑為，則OD=OE=OB=〃，根據(jù)勾股定理解求出r,進(jìn)而求

出AB的長(zhǎng)度，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到8C的長(zhǎng)度，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖，連接。。.

B

oo與"3C的BC邊相切于點(diǎn)B,EB是。。的直徑,

.B90?.

???DE//OC,

ZDEO=ZCOB,NODE=NCOD.

???OD=OE,

???/DEO=/ODE,

NCOD=/COB,

在△COZ)與△COB中，

OD=OB

<NCOD=NCOB,

co=co

汪△CO8(SAS),

ZCZX)=ZCBO=90°,

二?AC是。。的切線；

(2)解：設(shè)。。的半徑為廣

OD=OE=OB=r.

???A￡=l,

/.AO=r+\.

???ZADO=90°,

AD2+OD2=AO2,

/.224-r2=(r+l)2,

3

解得：“1，

...AB=AE+2r=\+2x-=4.

2

vZADO=Z^=90°,ZA=Z4,

AVADO^VABC,

ADOD

..——=——,

ABBC

3

，2_2，

4-BC

BC=3,

由（1）知，△COD^ACOB,

ACD=BC=3.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性

質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?湖北省直轄縣級(jí)單位??？?模）如圖，。。是“8。的外接圓，A。是。。的直徑，

戶是AO延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CO,CF,且NDCF=/C4/）.

⑴求證：C尸是O。的切線；

3

（2）若cosB=g,AD=5,求P。的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析

（2）T

【分析】（1）連接。C,4。是O。的直徑，則448=90°,得到N/U）C+NC4O=90。，由

OC=OD得到Z4DC=ZOCD,又由NDCF=ZCAD得到NDCF+4OCD=90°,即可得到

結(jié)論；

（2）解直角三角形得到CO=3,4c=4,得到C=D;=3,再證明△/CD-△耳4C,得到C三D

AC4AC

=====1,設(shè)/7A3x,FC=4x,AF=3x+5,進(jìn)一步求得x二二，即可得到答案.

FAFC47

【詳解】（1）解：連接OC,

團(tuán)AO是OO的直徑,

0ZACEMK)0,

回NA力C+NC4力=90°,

又團(tuán)OC=OD,

^ZADC=ZOCD,

又回N￡>b=NC4O.

0ZDCF+ZOCD=90°,

即OC_LCF,

團(tuán)CT是。。的切線；

3

(2)0/8=N4Z)C,cos3=g,

3

^cosZADC=-,

5

在RtZXACO中，

3CD

0cosZ.ADC=—=----,4)=5,

5AD

3

0CD=AZ>cosZ>4DC=5x-=3,

5

團(tuán)4C=Jm-e?=4,

CD3

0——=-,

AC4

0ZFCO=ZMC,NF=/F，

0AFC￡>^AE4C,

|「P|CD1FC■FD3

ACFAFC4

設(shè)FD=3x,FC=4x,4F=3x+5,

乂回方。2=&）?￡4,

即(4x)2=3M3x+5),

解得x號(hào)(取正值),

45

0FD=3x=—.

7

【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等

知識(shí)，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?四川綿陽(yáng)凍辰國(guó)際學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，A3為0。的直徑，AC為弦，過點(diǎn)

。的切線與A3的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,E為。。上一點(diǎn)，且CE=AC,連接并延長(zhǎng)交CQ于

點(diǎn)從

c

H

A

E

⑴求證：BHLCP.

(2)若人8=36，ian/E=g,求PH的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析

⑵羋

【分析】（I）連接OC，。石，由切線的性質(zhì)可知NO"=90,再證明切〃OC,則

/BHP=ZOCP=90,可得8"_LCP：

（2）連接OC,BC,根據(jù)A8為OO的直徑得NACB=90，根據(jù)NA=NE得

tanZE=tanZA=^=^得m=2兆，利用勾股定理AC,+/^=人人解得比:3或

pRp「r-o?

8c=—3(舍去)，則AC=28C=6,證明APCBS.C,則===設(shè)依=X,

PCPAAC2

則PC=2P8=2x,勿=2PC=4工，可得4x—x=3石，解工=石，則。8=石，PC=2君,

由（1）可得BH〃OC,冬=會(huì)=§,從而可得?，=22。=生￡

PCPO555

【詳解】（1）解：如圖①，連接OCOE,

圖①

AC=EC

在△ACO和△ECO中，＜OC=OC,

OA=OE

△ACO^AECO(SSS),

AZAC。=NECO,

???OA=OC,

NA=NACO.

ZA=ZECO,

又???ZA=4CEB,

NECO=NCEB,

/.EH//OC,/BHP=NOCP

???CP與ex）相切，

???OC±CP,

13HA.CP.

（2）解：如圖②，連接OCBC,

圖②

???48為C。的直徑,

ZAC8=90，

???ZA=ZE,

/L/ABCI

tanNE=tan/A==—,

AC2

AC=2BC,

---AC2+BC2-AB2-

A（2BC）2+BC2=（3>/5）2,解得8c=3或3c=-3（舍去）,

AAC=2BC=6,

???CP為切線，

???ZOCP=ZOCB+ZPCB=ZOBC+4PCB=90.

???A8為OO的直徑,

???NOBC+/A=90,

NPCB=ZA,

又二ZP=ZP,

/CBS/AC,

PBPCCB3\

/.===—=—,

PCPAAC62

設(shè)=則PC=208=2x,PA=2PC=4x,

???PA-PB=AB=3y/5,

4.r—x=3-75,解x=石，

；?PB=舊,PC=26，由（1）可得8〃〃OC,

PHPBy/52

-----=------=_=—

.叩_22zr_4不

??PH——PC——x2,5—?

555

【點(diǎn)睛】此題考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定

與性質(zhì)、勾股定理、二次根式的化簡(jiǎn)等知識(shí)與方法，解題的關(guān)鍵是正確地作出所需要的輔助

線，構(gòu)造出直角三角形、全等三角形、相似三角形、矩形，利用全等三角形、相似三角形、

矩形的性質(zhì)以及勾股定理求得結(jié)果.

【考向三利用圓性質(zhì)求圓的半徑】

例題：（2022?福建福州??？家荒＃┤鐖D，四邊形A8CO內(nèi)接于OO,ZABC=135°,AC=4,

則。。的半徑為（）

B

A.4B.2&C.26>D.4拉

【答案】B

【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得出NAZXH45。，由圓周角定理得出/AOC=90°,

根據(jù)OA=OC可得出答案.

【詳解】連接。4，OC,

B

團(tuán)四邊形A8C。內(nèi)接于。。，ZABC=135°

O/AQC=45。

團(tuán)/AOC=90°

由勾股定理得：OT+OC2=AC2

回OA=OC,AC=4

同0A=2&

團(tuán)OO的半徑為：2拉

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角與圓心角的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相

關(guān)定理.

1.（2022?福建福州??？家?模）如圖，BC為。。的直徑，P為CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過。作

的切線P4,A為切點(diǎn)，%=4,PB=2,則。O的半徑等于.

【答案】3

【分析】連接04,因?yàn)樽笫荗。的切線，得NQ4O=90。，結(jié)合已知在中運(yùn)用勾

股定理即可求解.

【詳解】連接。A,

團(tuán)小是。。的切線，

回"40=90。，

vPA=4,PB=2,

在HhPA。中，

PO2=PA2+AO2^

即（8O+2『=4?+AO2,

田（40+2）2=4、A*

解得49=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用：掌握切線的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形是解題

的關(guān)鍵.

2.（2022?湖北省直轄縣級(jí)單位??？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)A,4,在。。上，ZAOC=90°,AB=2&，

BC=1，則O。的半徑為.

【分析】過點(diǎn)A作AEJ_C8交C8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡,連接AC,先求出NA8C=135。，則

N/WE=45。，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到4?=或=2,則EC=3,利用勾股定理求出

AC的長(zhǎng)即可得到答案.

【詳解】解：過點(diǎn)A作AE_LC8交C8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接4c.

0ZABC=g(360°-90°)=l35°,

^ZABE=45°,

國(guó)NE=90。,AB=2近，

^AE=EB=2,

圖8c=1,

0EC=3,

^AC=>IAE2+CE2=V13?

國(guó)()A=OC=AC=-----.

22

故答案為：叵.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，勾股定理，等腰直角三角形

的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

3.(2022?云南文山?統(tǒng)考三模)如圖，在中，ZA=90°,。、E分別是AB、BC上的點(diǎn),

過8、。、E三點(diǎn)作交CO延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,AC=3,BC=5,40=1.

⑴求證：7CDEWCBF；

⑵當(dāng)0。與。。相切于點(diǎn)。時(shí)，求0。的半徑;

(3)若Sv=3Sw?,求。尸的值.

【答案】(I)見解析

(2)巫

2

⑶得而

【分析】(I)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到NC￡O=N8皿，即可證明；

13

(2)連接O。，過點(diǎn)。作OM_L8O,垂足為M,求出80=3,DM=-BD=二，再證明

22

△DMO^EAD,從而求出求0。的半徑

(3)過點(diǎn)。作OHJ.3C,垂足為，，過點(diǎn)B作3GJ_CF,垂足為G,利用等積法求出

DH=(BG=R屈,設(shè)。尸=后1,則C￡=15x,利用VCQEsVCBF,即可求出。尸的

值.

【詳解】(1)因四邊形8ED尸是團(tuán)。的內(nèi)接四邊形，

田NBED+NBFD=180。，

團(tuán)NB￡P(guān)+NCEO=180。，

?/CED=NBFD,

@/DCE=/RCF,

BVCDEKCBF；

(2)連接OO,過點(diǎn)。作OM_LBO,垂足為M,

A

DM=BM=-DB、NOMD=90°,

2

團(tuán)NOOA7+NM。/)=90。.

0Z4=9O°,BC=5,AC=3,

：.AB=yjBC2-AC2=x/52-32=4

團(tuán)AD=1?

^BD=AB-AD=4-1=3,

:.DM=-BD=-

2?.t

在用AAOC中，CD=>/AC2+AD2=V32+12=Vio?

團(tuán)G)o與co相切于點(diǎn)。，

0ZOZ)C=90°,

0NODM+ZADC=180?！狽ODC=90°,

0ZMOD=ZADC,

團(tuán)NQWO=NA=90。，

0QMO^SAD，

PHDO

~CA~~CD

2=型，

3M

二.DO考

圖。。的半徑為限

（3）過點(diǎn)D作DHJ.BC,垂足為“，過點(diǎn)8作3G_Lb,垂足為G,

電BCDH=BDAC=BGCD,

,\5D/7=3x3=Vl0BG,

:.DH=2即=號(hào)屈,

510

因SACDL3s通力F,

：,-CEDH=3x-DFBG,

22

?CEDH=3DFBG,

99/—

.".-CE=3DF—V10,

510

9

.DF_5_V10

,CE=27V10=~ir，

10

團(tuán)設(shè)。尸=屜，則CE=15工，

由（1）得：7CDE吶CBF,

CDCE

——=——,

CBCF

,Vio_15x

-5―加+而『

2

解得：^=~?

2

經(jīng)檢驗(yàn)：4=百是原方程的根,

DF=V10A=—V10,

13

圖。尸的長(zhǎng)為

【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定，解題

的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題目的條件，進(jìn)行推理證明.

【考向四利用圓性質(zhì)求線段的最值】

例題：（2022?安徽合肥?校聯(lián)考三模）如圖，A3是。。的直徑，AB=8,點(diǎn)M在。。上，

NM48=20o,N是股3的口點(diǎn)，P是直徑A8上的一動(dòng)點(diǎn)，若MN=2,則△「/次周長(zhǎng)的最小

【答案】C

【分析】根據(jù)動(dòng)點(diǎn)最值，將軍飲馬模型，如圖所示，作點(diǎn)N關(guān)于A8的對(duì)稱點(diǎn)NL連接

交A3于尸，APMN周長(zhǎng)為PM+PN+MN=2+PM+PN,由對(duì)稱性知△P的周長(zhǎng)為

=2+PM+P/V=2+PM+HV',根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知/MN周氏的最小為2+MV',

利用圓心角、弧、弦的關(guān)系以及軸對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.

【詳解】解：作點(diǎn)N關(guān)于A8的對(duì)稱點(diǎn)N',則點(diǎn)M在上，連接交AB于尸，

由對(duì)稱性知PN=PM,

：?APMN同長(zhǎng)為PM+PN+MN=2+PM+PN=2+PM+PN',

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知APA/N周長(zhǎng)的最小為2+MM,

團(tuán)點(diǎn)N是物B的中點(diǎn)，ZM4B=20°,

田MN=NB=BN'，

團(tuán)N8AN'=10。，

團(tuán)NM4Ar=200+10°=30。，

圖ZMON'=60。，

團(tuán)△MON'是正三角形，

^OM=ON,=MN,=-AB=4,

R1MV=2,

團(tuán)/MN周長(zhǎng)的最小值為2+4=6,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)最值問題?將軍飲馬模型，涉及圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系

以及軸對(duì)稱性質(zhì)，掌握?qǐng)A周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系以及軸對(duì)稱的性質(zhì)是解決問題的

關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?廣東江門??？家荒＃┚匦蜛8C￡>中，AB=2,BC=6,點(diǎn)P為矩形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且

滿足N依C=NPCO,則線段PO的最小值為.

【答案】713-2##-2+713

【分析】通過矩形的性質(zhì)和等角的條件可得N3PC=9O。，所以。點(diǎn)應(yīng)該在以3c為直徑的

圓上，根據(jù)兩邊之差小于第三邊及三點(diǎn)共線即可解決問題.

團(tuán)四邊形A8CQ為矩形，

AB=CD=2,ZBCD=90°.

Z1PCD+Z1PCB=90°,

NPBC=NPCD,

\?PBC?PCB90?,

/.NAPC=90°,

回點(diǎn)。在以8c為直徑的O。上，

在RIZXOCD中，OC=48C='x6=3,CD=2,

22

由勾股定理得，OD=dOC2=，3-+22二屈,

-：PD>OD-OP,

團(tuán)當(dāng)夕，。，。三點(diǎn)共線時(shí)，PD最小，

??.叨的最小值為OD-OP=a-2.

故答案為：V13-2.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，線段最小值問題及圓的性質(zhì)，分析出尸點(diǎn)的運(yùn)

動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?廣東江門??？家荒＃?C中，AB=AC=\3,8C=24,點(diǎn)O.Q為&43c的對(duì)稱

軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。作。。與BC相切，與。。相交于點(diǎn)E,那么AE的最大值為

【答案】6+屈##標(biāo)+6

【分析】設(shè)△48C的對(duì)稱軸交8C「八連接族，根據(jù)圓周角定理及題意得出點(diǎn)￡在以8/

為直徑的圓上，由勾股定理得出4/=屈。萬(wàn)=際養(yǎng)=病，結(jié)合圖形即可得出最大

值.

0AB=AC?

團(tuán)△48。的對(duì)稱軸。

團(tuán)O。切于F,

團(tuán)7）戶是。。的直徑，

團(tuán)/。防=90。，

0NBEF=180°-NDEF=90。，

團(tuán)點(diǎn)E在以8尸為直徑的圓上，

AB=AC=\3,

團(tuán)BF=CF=12,BI=FI=6,

圖4/=產(chǎn)2=5,

團(tuán)A/=JA尸+42=舊+?=向'

團(tuán)AE加=A/+E7=6+疝.

故答案為：VbT+6.

【點(diǎn)睛】題目主要考查圓周角定理及等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理解三角形等，理解題意,

作出相應(yīng)輔助線是解題關(guān)健.

【考向四利用圓性質(zhì)求陰影部分的面積】

例題：（2022?廣東江門??？家荒＃┤鐖D，正方形的邊長(zhǎng)為2,則圖中陰影部分的面積為（）

2Q.1-1

2c4

【答案】D

【分析】如圖，根據(jù)S留=S垓"E-Sv求解即可.

團(tuán)四邊形A8C。是正方形,

0ZE4F=45°,

^EF±AB,

團(tuán)ZXA所是等腰宜用三角形,

^AB=AE=2,

^AF=EF=>/2，

⑦5陰=5而形A8E_S\3EF=^^~一；X6X?二鼻

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積的計(jì)算，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用分割法解決問題，屬于中考?？碱}型.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?湖北省直轄縣級(jí)單位?校考一模）如圖，在半徑為2,圓心角為9（）。的扇形內(nèi)，以3C

為直徑作半圓，交弦A87點(diǎn)。，則圖中陰影部分的面積是（）

A.n-\B.7r-2C.-7T-\D.—^+1

22

【答案】A

【分析】已知3C為直徑，則NCDB=90。，在等腰直角三角形ABC中，。。垂直平分Ak

CD=DB,。為半圓的中點(diǎn)，陰影部分的面積可以看作是扇形AC3的面枳與八4。€的面積

之差.

【詳解】解：在RlZ\AC8中，43=在萬(wàn)=2血，

團(tuán)4c是半圓的直徑，

團(tuán)"06=90°,

在等腰RtZkACB中，CD垂直平分AB,CD=BD二五,

（3D為半圓的中點(diǎn)，

S

0S陰影部分=S城形八仁8一^ADC=%X2?一;X（人）=4一1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算公式及不規(guī)則圖形面積的求法，掌握面積公式是解題的關(guān)

鍵.

3

2.（2022春?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，矩形A8CQ中，AB=2,BC=-,尸是人B中點(diǎn).，以

點(diǎn)A為圓心，AZ）為半徑作弧交AB于點(diǎn)E,以點(diǎn)8為周心，所為半徑作弧交8c于點(diǎn)G,

則圖中陰影部分面積的差*為.

【答案】3-學(xué)

16

【分析】根據(jù)圖形可以求得用戶的長(zhǎng)，然后根據(jù)圖形即可求得S-s2的值.

3

【詳解】解：?.?在矩形A8c。中，A4=2,BC=G，產(chǎn)是A8中點(diǎn)，

；.BF=BG=I,

S'=S矩形八8co-S畝形-S扇形B<7F+^2，

90Txi213乃?

360IT

故答案為：3-學(xué)

Io

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的il算、矩形的性質(zhì)，解本迤的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問

題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

3.（2022秋?四川瀘州?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AB,AC分別是OO的直徑和弦，半徑

OE/AC于點(diǎn)。.過點(diǎn)A作。。的切線與OE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,PC,A8的延長(zhǎng)線交于

點(diǎn)F.

⑴求證：PC是的切線；

⑵若尸C=2AO,A8=10,求圖中陰影部分的面積.

【答案】⑴見解析

⑵250—汽

26

【分析】（1）連接OC，可以證得根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)

定理可以得到NOCP=90。，即OCJ_PC,即可證得PC是。。的切線；

（2）根據(jù)垂徑定理得到AO=CO=gAC,根據(jù)切線的性質(zhì)得到%=PC,求得

ZC4F=ZPAO-ZPAC=30°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NC4/=ZACO=30。，根據(jù)勾股

定理得到「F=J。產(chǎn)一CC=而K,根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得出結(jié)論.

?.?小是的切線，A3是。。的直徑,

/.ZE4O=90°,

?.?。七1.47于點(diǎn)。，

AE=CE,

:.ZAOE=ZCOE,

在AAOP和ACOP中，

AO=CO

4Aop=/COP,

OP=OP

:,/\AOP^/\COP(SAS),

.?.NPCO=NPAO=90°,

:.OCLPC,

???OC是的半徑，

.?.PC是8的切線.

(2)解：?.?OE_LAC于點(diǎn)

AD=CD=-AC,

2

-PA,PC是O。的切線，

:.PA=PC,

PC=2AD,

,\PA=PC=AC,

/.Z^4C=60°>

.-.ZCAF=^PAO-ZPAC=30P,

?：OA=OC'

.?./。/=/4久>=30°,

.?.ZCOF=2ZC4F=60°,

.-.ZF=90°-ZCOF=30°,

.OF=?OC=\0.

在R/aOCF中，CF=-OC2=V102-52=5x/3，

6O.7r.52_25/25%

S&COF出形=gx5港x5-

SBOC360=~26"

25/254

故答案為:

6-

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形和扇形的面積公式，全等三角形

的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?江蘇揚(yáng)州??？既＃┤鐖D，R/HABC中，2B90?,ZC=30°,。為AC上一點(diǎn),

OA=2,以。為圓心，以04為半徑作圓與AA相交于點(diǎn)F,點(diǎn)E是團(tuán)。與線段8C的公共點(diǎn)，

連接OE、OREF,并且NE0F=2NBEF.

⑴求證：是?O的切線;

⑵求圖中陰影部分的面枳.

【答案】（I）見解析

【分析】（1）連接OF、DE,由4。是直徑，得出ND匹E+NB莊=90。，進(jìn)而得出

ZBEF=ZDFE,由圓周角定理得出/七。/二2/五。/，進(jìn)而得出N8EF=NEZ＞，然后得

出/DFE=/EDF,再證明△。?！渡?。叫，得出NEOD=NEOF,再證明△OAF是等邊三

角形，進(jìn)而得出/初。=60。，證明OE〃A8,即可得H；QE_LBC,即可得出結(jié)論.

（2）先求出等邊三角形△麗的面積為：1x2xV3=^3,由（1）可得出NC?=120。，

求出扇形ODb的面積為：一臂4=、*再由勾股定理得出8c=3仃，求出△人8c的面積

3603

為：；乂3乂30=三￡,然后可求得陰影部分的面積.

【詳解】（I）如圖，連接。F、DE,

回4。是直徑，

0ZDFE+Z^FE=90°.

回？690?,

田NBEF+NBFE=90°.

B/BEF=/DFE,

?NE0F=2NBEF,/EOF=2/EDF,

國(guó)NBEF=NEDF,

eNDFE=NEDF,

田DE=EF,

團(tuán)OQ=OF,

9￡)DEw￡)FE,

電NEOD=/EOF,

回？390?,ZC=30°,

團(tuán)4=60。，

0OA=OF,

團(tuán)是等邊三角形，

回NAOF=60。，

0ZEOD=6O°,

I3OE//AB.

回NQ￡C=90°

0OE1BC.

圖OE是半徑，

團(tuán)BC是團(tuán)。的切線.

(2)121△見尸是等邊二角形，

0Z4OF=6O°,

00/4=2,

[3AZM廠的面枳為：-x2xV3=>/3,

2

0ZCOF=120°,

團(tuán)扇形。。尸的面積為：生兀，

3603

團(tuán)“￡C=90°,ZC=30°,OA=OE=2,

^OC=2OE=4,

團(tuán)AC=OC+OA=6,

^AB=-AC=3,

2

團(tuán)由勾股定理可得：BC=36,

團(tuán)”13C的面積為：^x3x3>/3=^V3,

22

團(tuán)陰影部分的面積為：苫6-6-2用=<6-《乃.

2323

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，切線的判定，扇形的面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，正確

作輔助線是解題的關(guān)鍵.

5.（2022秋?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知A8,CD為。。的直徑，過點(diǎn)A作弦AE垂

直于直徑于凡點(diǎn)6恰好為的中點(diǎn)，連接臺(tái)C，BE.

⑴求證：AE=BC-

（2）若4E=2b，求。。的半徑；

⑶在（2）的條件下，求陽(yáng)影部分的面積.

【答案】⑴證明見詳解；

（2）2；

⑶梟一6.

【分析】（1）連接6。，AB，C。為。。的直徑，得到兩個(gè)直角及兩條線段相等，再根據(jù)

弧的中點(diǎn)得到弧相等，從而等到角相等，證明兩個(gè)三角形全等即可得到答案；

（2）連接OE,根據(jù)弧的中點(diǎn)得到弧相等，從而等到圓周角圓心角的關(guān)系，結(jié)合平角/AOE,

求出/A的度數(shù)，在用A4O尸中根據(jù)勾股定理即可得到答案：

（3）由（2）可得圓心角度數(shù)直接求扇形面積，再算出八。用T的面積即可得到陰影部分面積.

【詳解】（I）證明：連接4。，

田A3,。。為的直徑，

0ZAEB=ZABD=9O°,AB=CD,

團(tuán)點(diǎn)3是。石的中點(diǎn)，

電BE=BD，

團(tuán)N4=NC,

在AAE3與△C8Z）中，

0ZA=ZC.ZAEB=ZABD=^）°,AB=CD.

團(tuán)AAEB團(tuán)AC。。，

團(tuán)AE=4C；

（2）解：連接。石，

瓜點(diǎn)B是OE的中點(diǎn)，

團(tuán)4石=8。，

@NDOR=NEOR,ZA=ZC=-ZBOE,

2

團(tuán)AE垂直于直徑CO于F,AO=EO,

0zS4OF=ZCOF,ZAro=ZCFO=90°,AF=EF=、AE=6

2

田/DOB=ZAOF,

^ZAOF=ZCOF=ZBOE,

0Z4OF+Z.COF+/BOE=180°,

0ZAOF=NCOF=/BOE=60°,

0ZA=ZC=3O0,

^OE=-OA=-r,

22

在H/AAO/中，

/-（＞）2=（G）2,

解得：r=2；

（3）由（2）可得,

60x乃x2?2

$欣形=^^二鏟

在RMEB中,

0Z4=ZC=3O°,

f?]BE=-AB=r=2,OF=-OA=l

22f

回SAO8￡=SM.—SMO￡=TXAEX8E—TXAEXO/=3X2^X2—3X2GX1=G,

2

團(tuán)S用影—S1a形-S4OBE=3兀-6?

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、扇形的面積以及解直角三角形等，作出輔助線

構(gòu)建直角三角形和等邊三角形是解題的關(guān)犍.

【考向五切線的證明綜合應(yīng)用】

例題：（2022?湖南株洲??？级＃┤鐖D，在菱形A3CO中，。是對(duì)角線4。上一點(diǎn)（8。＞。。），

OELAB,垂足為E,以。E為半徑的。。分別交。C于點(diǎn)，，交E。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，EF

與。C交于點(diǎn)G.

⑴求證：8c是。。的切線；

（2）若G是8的中點(diǎn)，OG=2,DG=l.

①求扇形?！睆S的面積；

②求A。的長(zhǎng).

【答案】⑴見解析

⑵①卜②J

【分析】（1）過點(diǎn)。作OM_L8C于點(diǎn)M,證明QM=OE即可；

（2）①先求出NG”O(jiān)=30。，再求出NEOH=60。.。"=4,代入扇形面積公式即可;

（2）過人作47_1.8。，由/\1%；5/\?0，對(duì)應(yīng)邊成比例求出A/J的長(zhǎng).

【詳解】（1）解：證明：如圖，過點(diǎn)。作OM_L8C于點(diǎn)

QBD是菱形ABCD的對(duì)角線，

:.ZABD=/CBD,

OM工BC,OEA.AB,

:.OE=OM,

???4c是。。的切線.

(2)①G是8的中點(diǎn)，OF=OH,

..OG=-OH,

2

VAB//CD.OEA.AB,

：.OFLCD,

：.NOG"=90°,

/.sinZG//O=—,

2

.-.ZG//O=30°,

.?./GO"=60°,H[1NAO〃=60。，

?/OG=2.

.?.OH=4,

???扇形OHF的面積=嗤凹=g%；

②如圖，過A作ANJ.4。廣點(diǎn)N,

,.'DG=\,OG=2,OE=OH=4,

：.OD=亞,OB=OH=2x/5?BD=OB+OD=345?

\-AD=AB，ANIBD,

,-.DN=—,

2

,.乙\DB="）DH,ZAND=/DOH=90P,

:.^DOG^^DAN,

.OPDG

"~AD=~DN'

石二1

,?AD35/5，

F

：.AD=—,

2

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線判定定理、菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的

判定與性質(zhì)，關(guān)鍵在于熟練掌握證明是圓的切線的方法、菱形的性質(zhì)以及三角形