2021-2025年高考數(shù)學(xué)真題知識點分類匯編之立體幾何初步（四）

一.選擇題（共8小題）

1.（2021?新高考I）已知圓錐的底面半徑為遮，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（）

B.2&D.4V2

2.（2021?甲卷）己知A,B,。是半徑為1的球O的球面上的三個點，且AC_L3C,AC=BC=\,則三棱

錐O-/WC的體積為（）

3.（2021?浙江）如圖，已知正方體M,N分別是4。，。18的中點，則（）

「、I，

——、、'/

A.直線Ai。與直線。山垂直，直線MN〃平面A3CQ

B.直線Ai。與直線。/平行，直線平面50。出

C.直線4。與直線。窗相交，直線MN〃平面A4CO

D.直線4。與直線異面，直線MML平面BQQiBi

4.（2021?乙卷）在正方體48C。-AIBICIDI中，P為BQ的中點，則直線PB與AD1所成的角力（）

71nTCn

A.-B.-C.-D.—

2346

5.（2021?新高考l【）北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球

靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000k〃（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面

的距離）.將地球看作是一個球心為O,半徑r為6400%的球，其上點A的緯度是指Q4與赤道平面所

成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測到的一顆地球靜止同步凱道衛(wèi)星點的緯度最大值為a,該衛(wèi)星信號

覆蓋地球表面的表面積S=2TTM（1-cosa）（單位：bn2）,則S占地球表面積的百分比約為（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

6.（2021?甲卷）在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E,F,G.該正方體截去三棱錐A?

EPG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）

正視圖

7.（2021?北京）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（）

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

3版C.|+V3

A.-+一B.3+V3D.3+空

22

8.（2021?浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：。力則該幾何體的體積（單.位：C7〃3）是（）

正視圖

俯視圖

33\[2

A.-B.3C.---D.3V2

22

二.多選題（共2小題）

（多選）9.（2021?新高考II）如圖，下列正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M,N為正方

體的頂點，則滿足MN_L。尸的是（）

AZ

（多選）10.（2021?新高考I）在正三棱柱A8O48C1中，A8=AAi=1,點尸滿足誦=入位?,

其中入[0,1],ne[0,1],則（）

A.當入=1時，△AB1P的周長為定值

B.當口=1時，二棱錐A由C的體積為定值

C.當人=3時，有且僅有一個點P,使得AiP_L8P

D.當時，有且僅有一個點P,使得Ai8_L平面AB1產(chǎn)

三,填空題（共5小題）

11.（2021?上海）已知圓柱的底面半徑為1,高為2,則圓柱的側(cè)面積為.

12.（2021?上海）已知圓柱的底面圓半徑為I,高為2,人笈為上底面圓的一條直徑，C是下底面圓周上的

一個動點，則△ABC的面積的取值范圍為.

13.（2021?甲卷）已知一個圓錐的底面半徑為6,其體積為30m則該圓錐的側(cè)面積為.

14.（2021?乙卷）以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的

三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要求的一組答案即可）.

22

圖④圖⑤

2021-2025年高考數(shù)學(xué)真題知識點分類匯編之立體幾何初步（四）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

題號12345678

答案BAADCDAA

二.多選題（共2小題）

題號910

答案BCBD

一.選擇題（共8小題）

I.（2021?新高考I）已知圓錐的底面半徑為遮，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（）

A.2B.2播C.4D.4V2

【考點】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）的體積.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；立體幾何；邏輯思維；運算求解.

【答案】B

【分析】設(shè)母線長為/，利用圓錐底面周長即為側(cè)面展開圖半圓的弧長，圓錐的母線長即為側(cè)面展開圖

半圓的半徑，列出方程，求解即可.

【解答】解：由題意，設(shè)母線長為/，

因為圓錐底面周長印為側(cè)面展開圖半圓的弧長，圓錐的母線長即為側(cè)面展開圖半圓的半徑，

則有27r?&="」，解得/=2或，

所以該圓錐的母線長為2企.

故選：R.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)體的理解和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握圓錐底面周長即為側(cè)面展開圖半圓的弧長,

圓錐的母線長即為側(cè)面展開圖半圓的半徑，考查了邏輯推理能力與運算能力和空間思維能力，屬于基礎(chǔ)

題.

2.（2021?甲卷）已知A,B,。是半徑為1的球O的球面上的三個點，S.ACJ-BC,AC=BC=l,則三棱

錐O-A6c的體積為（)

V2V3V3

A.一B.一cWD.一

121244

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；球；直觀想象；運算求解.

【答案】A

【分析】先確定△A8C所在的截面圓的圓心Oi為斜邊48的中點，然后在RC4BC和RtZMOOI中,

利用勾股定理求出0(91,再利用錐體的體積公式求解即可.

【解答】解：因為ACLBC,AC=BC=\,

所以底面ABC為等腰直角三角形，

所以△/IBC所在的截面圓的圓心Oi為斜邊人8的中點，

所以00」平面4BC,

在RtZWC中，AB=yjAC2+BC2=>/2,則佃=孚，

在RtZXAOOi中，00i=J。42一人。/=冬

故三棱錐0-ABC的體積為V=1.SMBC?H1X1X孝=夸.

故選：A.

【點評】本題考查了錐體外接球和錐體體積公式，解題的關(guān)鍵是確定△ABC所在圓的圓心的位置，考

查了邏輯推理能力、化簡運算能力、空間想象能力，屬于中檔題.

3.(2021?浙江)如圖，已知正方體/IBCO-AIBICIQI,M,N分別是40,。方的中點，貝U(

Cl

A.直線4。與直線。出垂直，直線MN〃平面ABC。

B.直線4D與直線。山平行，直線MNJ_平面BDDiBi

C.直線4。與直線。山相交，直線MN〃平面ABCQ

D.直線4。與直線018異面，直線MN_L平面8?！辏境?

【考點】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；直線與平面平行；直線與平面垂直.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯思維.

【答案】4

【分析】通過證明直線4。，平面AB。，MN是△48。的中位線，可判斷4根據(jù)異面直線的判斷可

知4。與直線D】B是異面直線,可判斷B；根據(jù)異面直線的判斷可知直線AiD與直線D】B是異面直線，

可判斷C；由MN〃AB,可知MN不與平面8QQ181垂直，可判斷。.

【解答】解：連接AQi，如圖：

由正方體可知AiO_LADi,A\D±AB,平面ABOi,

：,A\DLD\Bf由題意知A/N為△Qi/W的中位線，：.MN//AIL

又YABu平面ABC。，MNC平面ABCQ,，MN〃平面A8CD..'A對；

由正方體可知Al。與平面BODi相交于點。，力/u平面BODi,DEDiB,

???直線4。與直線。iB是異面直線，，氏C錯；

VMN//AB,48不與平面8DD181垂直，，MN不與平面8。。出|垂直，工。錯.

故選：A.

【點評】本題考查了線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理與性質(zhì)，考查了邏輯推理核心素養(yǎng)，屬

于中檔題.

4.（2021?乙卷）在正方體48CO-481C1OI中，P為BiDi的中點，則直線與人。所成的角為（）

TCTtnTC

A.—B.-C.-D.一

2346

【考點】異面直線及其所成的角.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間角；邏輯思維：運算求解..

【答案】。

［分析］法：由得2尸5。是直線P6與4囪所成的角（或所成角的補角），由此利用氽

弦定理，求出直線03與AA所成的角.

法二：AD\//BC\,從而直線P4與所成角為NPA。，在正△4/。中，是N48C1的平分線,

由此能求出直線PB與AD1所成的角.

【解答】解法一：，NPBCi是直線P8與4n所成的角（或所成角的補角），

設(shè)正方體ABCD-A\B\C\D\的棱長為2,

WOPB\=PC\=|V224-22=A/2,BC\=A/22+22=2V^,BP=J22+（＞^）2=V6,

-cosZPBCi-P/+BY-P-_6+8-2_2

,|-2XPBXBCI-2x^x2^-2）

，NPBCi=I

o

???直線PB與AD\所成的角為三

D

解法二：??,4?|〃4。，???直線。4與AOi所成角為NP8C1,

在正△48。中，8Q是N48C1的平分線，

/.ZPBCI=7O.

???直線PB與AD所成的角為三

D

故選：D.

u

1

【點評】本題考查異面直線所成角和余弦定理，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

5.（2021?新高考II）北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球

靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000h〃（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面

的距離）.將地球看作是一個球心為。，半徑，?為6400M?的球，其上點A的緯度是指04與赤道平面所

成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測到的一顆地球靜止同步凱道衛(wèi)星點的緯度最大值為a,該衛(wèi)星信號

覆蓋地球表面的表面積S=2n?（1-cosa）（單位：km2）,則S占地球表面積的百分比約為（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

【考點】球的體積和表面積.

【專題】計算題；閱讀型；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；三角函數(shù)的求值；運算求解.

【答案】C

【分析】由題意，地球靜止同步衛(wèi)星軌道的左右兩端的豎直截面圖，求解cosa,根據(jù)衛(wèi)星信號覆蓋的

地球表面面積可得S占地球表面積的百分比.

【解答】解：由題意，作出地球靜止同步衛(wèi)星軌道的左右兩端的豎直械面圖，

貝ij0P=36000+6400=42400,那么cosa=~

V乙什UU

衛(wèi)星信號覆蓋的地球表面面積S=2ir/（1-cosa）,

2（

那么，S占地球表面積的百分比為一27irjl—c-osa}-=—45?42%.

471T2106

故選：C.

【點評】本題考查了對題目的閱讀能力和理解能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.（2021?甲卷）在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E,F,G.該正方體截去三棱錐A?

EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）

正視圖

【考點】簡單空間圖形的三視圖.

【專題】作圖題：對應(yīng)思想；分割補形法；空間位置關(guān)系與距離；直觀想象.

【答案】D

【分析】作出正方體，截去三棱錐根據(jù)正視圖，擺放好正力體，即可求解側(cè)視圖.

【解答】解：由題意，作出正方體，截去三棱錐人-E尸G,根據(jù)正視圖，

可得4-EFG在正方體左側(cè)面，如圖，根據(jù)三視圖的投影，

可得相應(yīng)的側(cè)視圖是。圖形，

故選：D.

【點評】本題考查簡單空間圖形的三視圖，屬基礎(chǔ)題.

7.（2021?北京）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（)

俯視圖

A.—+—B.3+\GC.~+y/sD.3+印

2222

【考點】由三視圖求面積、體積.

【專?題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離；運算求解.

【答案】4

【分析】由三視圖還原原幾何體，其中附_L底面ABC,AB1AC,PA=AB=AC=2,再由三角形面積公

式求

【解答】解：由三視圖還原原幾何體如圖，

必J_底面ABC,ABLAC,PA=AB=AC=\>

則△P4C是邊長為四的等邊三角形，

則該四面體的表面積為S=3x1xlxl+lxV2xV2x^=芍g.

故選：A.

【點評】本題考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題.

8.（2021?浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：c,祈則該幾何體的體積（單位：a/）是（)

3

A.-B.3D.3V2

2

【考點】由三視圖求面積、體積.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離：直觀想象；運算求解.

【答案】4

【分析】由三視圖還原原幾何體，可知該兒何體為直四棱柱，底面四邊形人8C。為等腰梯形，由H知

三視圖求得對應(yīng)的量，再由棱柱體積公式求解.

【解答】解：由三視圖還原原幾何體如圖，

該幾何體為直四棱柱，底面四邊形A8CD為等腰梯形，

其中A3〃C。，由三視圖可知，延長人。與3c相交于一點，且AQJ_3C,

且AB=2&,CD=V2,A4=l,等腰梯形的高為“D2一（石耳=J1一（郛二亨,

3

則該幾何體的體積V=1x（V2+2V2）x*x1-

2

故選：A.

瓦

【點評】本題考查由三視圖求面積、體枳，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題.

二.多選題（共2小題）

（多選）9.（2021?新高考II）如圖，下列正方體中，。為底面的中心，P為所在棱的中點，M,N為正方

體的頂點，則滿足MNJLOP的是（）

A/

【考點】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.

【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；空間角：邏輯思維；運算求解.

【答案】BC

【分析】對丁A,設(shè)正方體棱長為2,設(shè)MN與"所成角為①求出⑶6=冬從而不滿足MN_LOP；

對于B,C,。，作出平面直角坐標系，設(shè)正方體棱長為2,利用向量法進行判斷.

【解答】解：對于A,設(shè)正方體棱長為2,設(shè)MN與0P所成角為。,

則扁二￥，

，不滿足MN_LOP,故A錯誤;

對于4,如圖，作出平面直角坐標系，設(shè)正方體棱長為2,

則N(2,0,0),M(0,0,2),P(2,0,1),O(1,1,0),

MN=(2,0,-2),OP=(1,-1,1),

嬴?茄=0,?,?滿足MMLOP,故8正確;

對于C,如圖，作出平面直角坐標系，設(shè)正方體棱長為2,

則M(2,2,2),N(0,2,0),O(I,1,0),P<0,0,1),

加二(-2,0,-2),OP=(-I,-I,1),

MN-OP=0,I.滿足MN_LOP,故CIE確；

對于。,如圖，

作出平面直角坐標系，設(shè)正方體棱長為2,

則M(0,2,0),N(0,0,2),P(2,1,2),O(1,1,0),

MN=(0,-2,2),GP=(L0,2),

-OP=4,J不滿足MN_LOP,故D錯誤.

故選：BC.

【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系基礎(chǔ)知識，考查數(shù)學(xué)運

算、邏輯思維等核心素養(yǎng)，是中檔題.

(多選)10.(2021?新高考I)在正三棱柱48C-41B1。中，A8=A4=1,點P滿足薪=入辰*+pB%i,

其中入日0,1],pe[O,1],則()

A.當入=1時，△ABiP的周長為定值

B.當u=l時，三棱錐P-4BC的體積為定值

C.當入=2時，有且僅有一個點P,使得AiP_LBP

D.當時，有且僅有一個點P,使得48_L平面ABi尸

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：轉(zhuǎn)化法；立體幾何：邏輯思維；直觀想象.

【答案】BD

【分析】判斷當入=1時，點P在線段CCi±,分別計算點戶為兩個特殊點時的周長，即可判斷選項4

當日=1時，點P在線段以。上，利用線面平行的性質(zhì)以及錐體的體積公式，即可判斷選項4：當入

時，取線段8G61a的中點分別為Mi,連結(jié)A/iM,則點尸在線段上，分別取點P在Mi,

M處，得到均滿足AiPJ_3P,即可判斷選項C；當尸;時，取C。的中點。I,總的中點。，則點P

在線的上，證明當點P在點。I處時，48_L平面ABIOI,利用過定點A與定直線48垂直的平面

有且只有一個，即可判斷選項

【解答】解：對于A，當入=1時，BP=即己二曲百，所以4II8%,

故點P在線段C。上，此時AABiP的周長為AB\+B\P+AP,

當點P為CC1的中點時，△AB1P的周長為遙+VL

當點P在點Ci處時，/XABiP的周長為2企+1,

故周長不為定值，故選項A錯誤；

對于4，當p=l時，BP=ABC+BBlt即8鏟=初（?,所以名尸||8C,

故點F在線段Z?iCi上，

因為以?！ㄆ矫?BC,

所以直線B\C\上的點到平面A\BC的距離相等，

又△48C的面積為定值，

所以三棱錐P-4BC的體積為定值，故選項B正確；

.41

對于C,當人=/時，取線段8C,81cl的中點分別為M,Mi,連結(jié)MiM,

因為而=*薪+〃謁1，即MP=〃8%i，所以加||8時，

則點P在線段MM上，

當點P在Mi處時，AiA/ilBiCi，

又由C'if[&8=&,所以A1M_L平面881cle

又BMiu平面881cle所以即4P_L8P,

同理，當點。在M處，4P_L3P,故選項C錯誤；

對于。，當產(chǎn)/時，取CCi的中點。1,8Bi的中點。，

因為俞=4后HIJDP=ABC,所以而||盛，

則點。在線的上，

當點P在點。1處時，取AC的中點E,連結(jié)4E,BE,

因為8月，平面ACCMi,又ADiu平面4CCi4,所以ADi_LBE,

在正方形ACC4中,ADi±A\E,

XBE(~}A\E=E,BE,Ai￡u平面AiBE,

故ADi_L平面48E,又A出u平面48E,所以44_1_4。|,

在正方體形ABBiAi中,AiBlABi,

又孫riAB=A,AD\fABiu平面ABiQi,所以48J_平面ABiQi,

因為過定點A與定直線A\B垂直的平面有目只有一個，

故有且僅有一個點P，使得AiB_L平面ABiR故選項。正確.

故選：BD.

【點評】本題考查了動點軌跡，線面平行與線面垂直的判定，錐體的體積問題等，綜合性強，考查了邏

輯推理能力與空間想象能力，屬于難題.

三,填空題（共5小題）

11.（2021?上海）已知圓柱的底面半徑為1,高為2,則圓柱的側(cè)面.積為4TT.

【考點】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）的體積；棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積.

【專題】對應(yīng)思想；定義法；立體幾何；運算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式計算即可.

【解答】解：圓柱的底面半徑為r=l,高為〃=2,

所以圓柱的側(cè)面積為5側(cè)=2加〃=如義1X2=4TT.

故答案為：41r.

【點評】本題考查了圓柱的側(cè)面積公式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

12.（2021?上海）已知圓柱的底面圓半徑為1,高為2,A3為上底面圓的一條直徑，C是下底面圓周上的

一個動點，則△A8C的面積的取值范圍為12,因.

【考點】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）的體積.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；立體幾何；邏輯思維；直觀想象.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】上頂面圓心記為。，下底面圓心記為。'，連接0G過點C作CM_LAB,垂足為點M,由于

AB為定值，則S&IBC的大小隨著CM的長短變化而變化，

分別求解CM的最大值和最小值，即可得到答案.

【解答】解：如圖1,上底面圓心記為0,下底面圓心記為。',

圖3

貝USMBC=ax48xCM,

根據(jù)題意，48為定值2,所以S”時的大小隨著CM的長短變化而變化，

如圖2所示，當點M與點。重合時，CM=OC=Vl2+22=V5,

此時S”5c取得最大值為｝x2xVs=Vs：

如圖3所示，當點M與點3重合，CM取最小值2,

此時SAABC取得最小值為：x2x2=2.

綜上所述，S”5c的取值范圍為[2,V5].

故答案為：[2,V5].

【點評】本題考查了空間中的最值問題，將三角形面積的最值問題轉(zhuǎn)化為求解線段CM的最值問題進行

求解是解題的關(guān)鍵，考查了空間想象能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.

13.（2021?甲卷）已知一個圓錐的底面半徑為6,其體積為30TT,則該圓錐的側(cè)面積為39Tt.

【考點】圓錐的側(cè)面積和表面積.

【專題】計算題；方程思想；定義法：空間位置關(guān)系與距離；立體幾何；運算求解.

【答案】39n

【分析】由題意，設(shè)圓錐的高為人根據(jù)圓錐的底面半徑為6,其體積為30n求出人再求得母線的長

度，然后確定圓錐的側(cè)面積即可.

【解答】解：由圓錐的底面半徑為6,其體積為3071,

1-C

設(shè)圓錐的高為人則&X（7TX62）X/I=30兀，解得力=

所以圓錐的母線長I=J,"+62=竽，

1Q

所以圓錐的側(cè)面積S=nrl=yrx6x=397r.

故答案為：39n.

【點評】本題考查了圓錐的側(cè)面積公式和圓錐的體積公式，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題.

14.（2021?乙卷）以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的

三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為②⑤或③?（寫出符合要求的?組答案即可）.

【專題】作圖題：開放型；數(shù)形結(jié)合；分析法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)據(jù)分析.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】通過觀察已知條件正視圖，確定該正視圖的長和高，結(jié)合長、高、以及側(cè)視圖視圖中的實線、

虛線來確定俯視圖圖形.

【解答】解：觀察正視圖，推出正視圖的長為2和高1,②③圖形的高也為1,即可能為該三棱錐的側(cè)

視圖，

④⑤圖形的長為2,即可能為該三棱錐的俯視圖，

當②為側(cè)視圖時，結(jié)合側(cè)視圖中的直線，可以確定該三棱錐的俯視圖為⑤，

當③為側(cè)視圖時，結(jié)仆側(cè)視圖虛線，虛線所在的位置有立體圖形的輪廓線，可以確定該二楂錐的俯視圖

為④.

p

【點評】該題考查了三棱錐的三視圖，需要學(xué)生掌握三視圖中各個圖形邊長的等量關(guān)系，以及對于三視

圖中特殊線條能夠還原到原立體圖形中，需要較強空間想象，屬于中等題.

15.（2021?全國）三棱錐ABC"以"L底面A8C,且出=3,AB=CB=2,AC=2\f2,則側(cè)面尸8c

的面積是_g_.

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運算求解.

【答案】V13.

【分析】由題意可得三棱錐三個側(cè)面都是直角三角形，再由勾股定理結(jié)合面積公式即可求得側(cè)

面P8C的面積.

【解答】解：如圖：

<以_1_底面A8C

CBu底面48C,

???辦_L8C,

又AB=CB=2,AC=2>/2,即

可得BCLAB,

/WO必=A,

A8u平面PAB,

APu平面PAB,

???4C_L平面PAB,

P8u平面MB,

：,BC1PB,

??,必_L底面ABC,PALAB,

PB=V32+22=V13,

在RtZXPBC中，BC=2,

JSttJlR1/^c=|xfiCXPB=1x2xV13=V13.

故答案為：V13.

【點評】本題主要考查棱錐的側(cè)面面積的計算，是基礎(chǔ)題.

四.解答題（共3小題）

16.（2021?新高考I）如圖，在三棱錐人-BCO中，平面八平面BCD,AB=AD,。為8。的中點.

（1）證明：OA_LCO；

（2）若△OCO是邊長為1的等邊三角形，點E在棱A。上，OE=2E4,且二面角E-BC-O的大小為

45°,求三棱錐A?8C。的體積.

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直；二面角的平面角及求法.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間角；邏輯思維；運算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）利用等腰三角形中線就是高，得到AO_L8Q,然后利用面面垂更的性質(zhì)，得到AO_L平面

BCD,再利用線面垂直的性質(zhì)，即可證明AO_LCQ；

（2）方法一：建立合適的空間直角坐標系，設(shè)A（0,0,1）,利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，由

向量的夾角公式求出/的值，然后利用錐體的體積公式求解即可.

方法二：利用幾何法求出二面角E-8C-O的平面角，然后利用錐體的體積公式求解即可.

【解答】解：(1)證明：因為A8=A。，。為BD的中點,所以A0_L8。，

又平面A8O_L平面BCD,平面ABDA平面BCD=BD,AOu平面ABD,

所以AO_L平面次》,又CQu平面6C。，

所以4O1.CD；

(2)方法一：

取O。的中點F,因為△OCO為正三角形，所以CRLO。，

過0作0M〃CF與BC交于點M,則OM_L0D,

所以。M,OD,0A兩兩垂直，

以點。為坐標原點，分別以O(shè)M,OD,04所在直線為x軸，,，軸，z軸建立空間直角坐標系如圖所示,

則8(0,-1,0),C(空,0),D(0,1,0),

設(shè)A(0,0,/),則E(0,y),

因為。4_L平面8CO,故平面8c。的一個法向量為&=(0,0,￡),

設(shè)平面BCE的法向量為蔡=Q,y,z),

又盛=(孚，0),晶=(0,,y),

3

所以由—卜.t些=°,得_L?"_；n?二，

??BE=0(|y+yZ=0

令x=顯,則y=-l,z=],故九=(g,-1/-),

因為二面角E-BC-。的大小為45°,

.二二?|九?0川2xj2

月「以|cosOi,0/1>|=-^―=r-=-y,

1川1。川

解得，=1,所以0A=1,

又S^OCD=|xlxlx^=^,所以S4BCD=竽,

故匕-BCD=扣ABCD0i4=1x-yXl=-^.

方法二:

過E作EFLBD,交3D于點F,過F作R；_L8C于點G,連結(jié)EG,

由題意可知，石尸〃人O,又人O_L平面8coi

所以KF_L平面BCD,又BCu平面BCD,

所以E廣_L8C,又BCLFG,FG^EF=F

所以8C_L平面EFG,又EGu平面EFG,

所以4c_LEG,

則NEG廠為二面角七-8C-/J的平面角，即NEGF=45°,

又CD=DO=OB=OC=I,

所以/80C=120°,則NOCB=NO8C=30°,

故N8CO=90°，

所以FG//CD,

,DEDFEF2

因為一=—=—=

ADODAO3

則40=5",OF=去,DF=各

乙。D

^,,BFGF1+42

所以二二=二7?i則tlGF=^=余

BDCD23

所以則40=抑=1,

【點評】本題考查了面面垂直和線面垂直的性質(zhì)，在求解有關(guān)空間角問題的時候，一般要建立合適的空

間直角坐標系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題，屬于中檔題.

17.(2021?乙卷)如圖，四棱錐P?A8c。的底面是矩形，PO_L底面ABC。，M為8c的中點，且戶8_LAM.

(1)證明：平面必用平面產(chǎn)80；

（2）若PD=DC=1,求四棱錐P?ABC。的體積.

【考點】棱錐的體積；平面與平面垂直.

【專題】證明題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；立體幾何；邏輯思維.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）通過線面垂線即可證明；即只需證明4M_L平面

（2）根據(jù)PO_L底面A8C。，可得P。即為四棱錐尸?A8CQ的高，利用體積公式計算即可.

【解答】（1）證明：???戶。_1_底面ABC。，AA/u平面A8C。，

：,PDA.AM,

又

PDCPB=P,PB,POu平面PBO.

???AM_L平面尸BD.

?:4MU平面PAM,

，平面%M_L平面PBD；

（2）解：由PO_L底面43C。，

：.PD即為四棱錐P-ABCD的高，ADPB是直角三角形；

???/WCQ底面是矩形，PO=OC=1,M為8c的中點，且PB_LAM.

設(shè)AO=BC=2a,取CP的中點為F.作E/_LCO交于區(qū)

連接M尸，AF,AE,

可得MF〃PB,EF//DP,

那么AMA-MF.且EF=AE=>/AD2+ED2=Ji+4*AM=y/AB2+BM2=Va2+1.

AF=y/EF2+AE2=/1+4a2.

?「△OP8是直角三角形,

.______2+4Q2

，根據(jù)勾股定理：BP=V2+4Q2,則MF=\—；

由△AM尸是直角三角形,

可得ZU/2+M產(chǎn)=人尸,

解得?=￥.

底面ABCO的面積S=&,

則四棱錐P-ABCD的體積V=l./i?5=|xlxV2=^.

【點評】本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，體積計算，考查運算求解能

力,是中檔題.

18.（2021?甲卷）已知直三棱柱ABC-A出Ci中，側(cè)面A4山赭為正方形，AB=BC=2,E,尸分別為AC

和CCl的中點,BF±AiBi.

（1）求三棱錐尸?E8C的體積；

（2）已知及為棱AiBi上的點，證明：BF1DE.

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.

【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；立體幾何；運算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

［分析］（1）先證明A8_L平面ACCi/力，即可得到AB±BC,再杈據(jù)直角三角形的性質(zhì)司.知CE=V2=BE,

最后根據(jù)三棱錐的體積公式計算即可；

（2）取BC中點G,連接EG.BiG,先證明EG〃A8〃Bi。，從而得到七、G、B1、。四點共面，再由

（1）及線面垂直的性質(zhì)定理可得4尸J_￡G,通過角的正切值判斷出

/CBF=NMG,再通過角的代換可得，B凡L81G,再根據(jù)線面垂直的判定定理可得B凡L平面日泅。，

進而得證.

【解答】解：（1）在直三棱柱A8C■在小三中,

又8尸_1_481,BBgBF=B,BBI,平面8CC181,

???4BiJL平面BCCiBi,

*：AB//A\B\t

???A8_L平面BCCIBI,

：.AB±BC,

乂AB=BC,故4c=V22+22=2>/2,

:,CE=a=BE,

而側(cè)面AA\B\B為正方形，

：,CF=^CCl=\AB=1,

CF=|x|x^/2xV2xl=i即三棱錐F-EBC的體積為：；

（2）證明：如圖，取4c中點G,連接EG,/力G,設(shè)BiGCBF=H,

???點E是AC的中點，點G時BC的中點，

:.EG"AB,

：.EG//AB//B\D,

???E、G、Bi、。四點共面，

由（1）可得48_1_平面BCCiSi,

??.￡G_L平面BCCM,

ABF1EG,

?：tan/CBF=霽=3,tan乙BB、G=禺=3,且這兩個角都是銳角，

:?NCBF=NBBiG,

：?NBHBT=NBGRT+NCBF=NBGBI+NBBTG=90°,

又EG「i5iG=G,EG,51GU平面上GSi。,

???BrJL平面EGBiD,

乂OEu平面EGBiD,

BFA.DE.

【點評】本題主要考查三棱錐體積的求法以及線線，線面間的垂直關(guān)系，考查運算求解能力及邏輯推理

能力，屬于中檔題.

考點卡片

1.棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積

【知識點的認識】

側(cè)面枳和全面積的定義：

（1）側(cè)面積的定義：把柱、錐、臺的側(cè)面沿著它們的一條側(cè)棱或母線剪開，所得到的展開圖的面積，就

是空間幾何體的側(cè)面積.

（2）全面積的定義：空間幾何體的側(cè)面積與底面積的和叫做空間幾何體的全面積.

柱體、錐體、臺體的表面積公式（c為底面周長，4為高，h'為斜高，/為母線）

SM柱表=2nr（什/），5岬表=711（什/），SIRI臺表=TT（r+rl+Rl+R2）

2.棱柱、棱錐、棱臺的體積

【知識點的認識】

柱體、錐體、臺體的體枳公式：

V^=sh,vm=^Sh.

3.棱錐的體積

【知識點的認識】

棱徘的體積可以通過底面面積B和高度h計算，頂點到底面的垂直距離即為高度.

【蟀題方法點撥】

-計算公式：體積計算公式為，=

■底面面積計算：底面面積B可以根據(jù)底面多邊形的性質(zhì)計算.

【命題方向】

極錐的體積計算；考查如何根據(jù)底面面積和高度計算極錐的體積.

-實際應(yīng)用：如何在實際問題中應(yīng)用棱錐體積計算.

4.圓錐的側(cè)面積和表面積

【知識點的認識】

圓錐的側(cè)面積和表面積依賴于底面圓的半徑八母線長度/和底面圓的面積.

【酢題方法點撥】

-測面積：計算公式為"L

-表面積：包括底面圓的面枳和側(cè)面的面積，計算公式為仃2+7r兒

【命題方向】

-圓錐的表面積計算：考查如何計算圓錐的側(cè)面積和表面積.

-實際應(yīng)用：如何在實際問題中應(yīng)用圓錐的表面積計算.

5.旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）的體積

【知識點的認識】

旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征：?條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的?條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面：該定

直線

叫做旋轉(zhuǎn)體的軸；封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體.

I.圓柱

①定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓

柱,IS1柱

圓柱用軸字母表示，如下圖圓柱可表示為圓柱0。'.

②認識圓柱

?底面

軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸

高：軸上的邊（或它的長度）叫做圓柱的高

底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面

側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面

母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱的母線

③圓柱的特征及性質(zhì)

_fi.有兩個底面互相平行,且形狀、大小一樣的圓

圓柱、

12.側(cè)面為曲面,展開為矩形

圓柱與底面平行的截面是圓，與軸平行的截面是矩形.

④圓柱的體積和表面積公式

設(shè)圓柱底面的半徑為〃高為小

V^=nr2h

S畫？/=2xnr2+2nrh=2nr(r+h)

2.圓錐

①定義：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做

圓錐.

圓錐

圓錐用軸字母表示，如下圖圓錐可表示為圓錐SO.

②認以圓錐

軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸

高：軸上的邊(或它的長度)叫做圓錐的高

底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓錐的底面

側(cè)面：三角形的斜邊繞軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面

母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位差，斜邊所在的邊都叫做圓錐的母線

③圓錐的特征及性質(zhì)

1.只有一個頂點,只有一個底面為圓

圓錐?

2.側(cè)面為曲面,展開為扇形

與圓錐底面平行的截面是圓，過圓錐的頂點的截面是等腰三角形，兩個腰都是母線.

母線長/與底面半徑一和高〃的關(guān)系：/2=M+J

④劇錐的體積和表面積公式

設(shè)圓錐的底面半徑為八高為h,母線長為/:

(“健二3兀N九

圓錐表面枳=%產(chǎn)+nrl=7rr(r+/)

3.圓臺

①定義：以直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面所圍成的幾何

體叫做圓臺.

周臺

圓臺用軸字母表示，如下圖圓臺可表示為圓臺.

②認識圓臺

軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓臺的軸

高：軸上的邊(或它的長度)叫做圓臺的高

底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓臺的底面

圓臺有兩個底面，分別是上底面和下底面

側(cè)面：不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓臺的側(cè)面

母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓臺的母線

③圓臺的特征及性質(zhì)

(1.上下底面平行,為半徑不等的圓

圓臺

(2.側(cè)面展開圖為一個扇環(huán)

平行于底面的截面是圓，軸截面是等腰梯形.

④圓臺的體枳和表面枳公式

設(shè)圓臺的上底面半徑為，，下底面半徑為凡高為〃，母線長為/：

，網(wǎng)臺=/"(產(chǎn)+R2+Q)

“罔臺表面積=71T2+7rA?+nr/+nRl=7r(r2+/?2+rZ4-RI')

6.球的體積和表面積

【知識點的認識】

1.球體：在空間中，到定點的距離等于或小于定長的點的集合稱為球體，簡稱球.其中到定點距離等于

定長的點的集合為球面.

2.球體的體積公式

設(shè)球體的半徑為R,

4c

V^=^TTR3

3.球體的表面積公式

設(shè)球體的半徑為R,

S身體=4TTR2.

【命題方向】

考查球體的體積和表面積公式的運用，常見結(jié)合其他空間幾何體進行考查，以增加試題難度，根據(jù)題目所

給條件得出球體半徑是解題關(guān)鍵.

7.簡單空間圖形的三視圖

【知識點的認識】

1.三視圖：

①正視圖：光線自物體的正前方向后投影所得的投影圖

②左視圖：光線自物體的左側(cè)向右投影所得的投影圖

③俯視圖：光線自物體的上方向下投影所得的投影圖

2.三視圖的排放規(guī)則：

俯視圖在主視圖的正下方，左視圖在主視圖的正右方.

3.三視圖的畫圖規(guī)則：

①主、俯視圖長對正；主、左視圖高平齊：俯、左視圖寬相等

②分界線與可見的輪廓線都用實線畫出，不可見的輪廓線用虛線畫出.

8.由三視圖求面積、體積

【知識點的認識】

I.三視圖：觀測者從不同位置觀察同一個幾何體，畫出的空間幾何體的圖形，包括：

（I）主視圖：物體前后方向投影所得到的投影圖，反映物體的高度和長度；

（2）左視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖，反映物體的高度和寬度；

（3）俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖，反映物體的長度和寬度.

2.三視圖的畫圖規(guī)則：

主視圖左視圖

(I)高平齊：主視圖和左視圖的高保持平齊;

(2)長對正：主視圖和俯視圖的長相對應(yīng);

(3)寬相等：俯視圖和左視圖的寬度相等.

3.常見空間幾何體表面積、體積公式

'圓柱：S圈柱=2nr(r+I)

圓錐:S撰錐=nr(r+，)

(I)表面積公式:

圓臺:S的合=7r(r2+r'2+rZ+r'l)

、球：S球=4M