2021-2025年高考數(shù)學真題知識點分類匯編之平面向量及其應用（一）

一,選擇題（共9小題）

I.（2025?新高考II）在△4BC中，BC=2,AC=1+V5,AB=瓜,則NA=（）

A.45°B.60°C.120°D.135°

2.（2025?北京）已知平面直角坐標系屹F中，\OA\=\OB\=y[2,成|=2,設C（3,4）,則|2&+應|的

取值范圍是（）

A.[6,14]B.[6,12]C.[8,14JD.[8,12]

3.（2025?新高考I）帆船比賽中，運動員可借助風力計測定風速的大小和方向，測出的結(jié)果在航海學中

稱為視風風速，視風風速對應的向量是真風風速對應的向量與船行風速對應的向量之和，其中船行風速

對應的向量與船速對應的向量大小相等，方向相反.如表給出了部分風力等級、名稱與風速大小的對應

關系.已知某帆船運動員在某時刻測得的視風風速對應的向量與船速對應的向量如圖（風速的大小和向

量的大小相同，單位加s）,見真風為（）

等級風速大小加S名稱

21.1?3.3輕風

33.4?5.4微風

45.5?7.9和風

58.0?10.1勁風

Ay

123

A.輕風B.微風C.和風D.勁風

4.(2024?新高考H)已知向量工b滿足：La\=1,\a+2b\=2,且區(qū)-2；）_L1則或=（）

1V2V3

A.-B.一C.D.1

222

—?—>TT

5.(2024?新高考I)已知向量Q=(0,1),b=(2,x),右力_LCb-4a),貝■=()

A.-2B.-1C.1D.2

9

若2

D匕

6.（2024?甲卷）在△4BC中，內(nèi)角A,B,C所對邊分別為“，b,o=71=-

3*4則sin/4+sinC

=（）

3

A.一B.V2C.—D.—

222

7.（2024?全國）已知平面向量Z=（I,1）,b=（x+1,y）,則（）

A.“x=l,y=-2"是‘G||於'的必要條件

B.“x=l,y=-2"是（iaII+'的充分條件

C.“x=l,y=-2”是嗎1*的必要條件

D.。=1,y=-2”是“Z_L/'的充分條件

9

兀

若2

n==-

8.（2024?甲卷）在△ABC中，內(nèi)角4,B,C所對邊分別為a,b,o王4則sin-4+sinC

=（）

3C.亞D.在

A.-V2

222

Q2

9.（2024?臺灣）如圖所示,有一△A8C,已知BC邊上的高4。=12,且tan/B=S、tan/C=^.試問BC

的長度為何？（）

21C.24D.25

E.26

二,多選題（共1小題）

I)已知△ABC的面積為j若cos24+cos2B+2sinC=2,cosAcosBsinC=則

（多選）10.（2025?新高考

)

A.sinC=sin2A+sin2BB.AB=Vi

C.sin4+sinB=苧D.Aa+BC-=3

三,填空題（共7小題）

11.(2025?天津)△A8。中，O為A8邊中點，CE=\cD,AB=a,AC=b,則族=

(用工分表示)；若|晶1=5,AE_LC8,則族.?=.

12.(2025?新高考II汨知平面向量2=(x,\),b=(x-1,2x),若；JL&-b),則向尸.

1,x>0

0,x=0,a.b、工是平面內(nèi)三個不同的單位向量.若/(：?/))

1-1,x<0

+f(b*c)+f(c*a)=0,則|Q+b+%的取值范圍是.

14,(2025?上海)小申同學觀察發(fā)現(xiàn)，生活中有些時候影子可以完全投射在斜面上.某斜面上有兩根長為

1米的垂直于水平面放置的桿子，與斜面的接觸點分別為4、B,它們在陽光的照射下呈現(xiàn)出影子，陽

光可視為平行光；其中一根桿子的影子在水平面上，長度為0.4米：另一根桿子的影子完全在斜面上,

長度為0.45米.則斜面的底角6=.(結(jié)果用角度制表示，精確到0.01°)

15.(2025?上海)已知3=(2,1),b=(1,x),^a//b,則x=.

16.(2025?上海)在平面中，3和1是互相垂直的單位向量，向量7滿足而一4或|=2,向量了滿足正一61|=

1,貝山在；方向上的數(shù)量投影的最大值.

17.(2024?上海)已知“€R,a=(2,5),b=(6>k),a//bt則4的值為.

四.解答題(共3小題)

18.(2025?北京)在△ABC中，cosA=?sinC=4>/2.

(1)求c；

(2)在以下三個條件中選擇一個作為已知，使得△人8C存在，求8C的高.

①a=6；②bsinC=*?；③△A8C面積為10VL

19.(2025?天津)在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為小b,c.已知?sinB=yf3bcosA,c-2b=1,a=夕.

(/)求A的值;

2021-2025年高考數(shù)學真題知識點分類匯編之平面向量及其應用（一）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共9小題）

題號123456789

答案ADABDCDCE

二.多選題（共1小題）

題號10

答案ABC

一.選擇題（共9小題）

I.（2025?新高考II）在△ABC中，BC=2,AC=l+g,AB=R,則NA=（）

A.45°B.60°C.120°D.135°

【考點】余弦定理.

【專題】對應思想：綜合法；解三角形；運算求解.

【答案】八

【分析】由余弦定理求得cos4再結(jié)合A的取值范圍即可求得.

【解答】解：因為8C=2,4C=l+g,V6,

所以由余弦定理得?加34—4/+482-8〃一（1+總）2+6—4一2（3+6）一淺

所以出氽如上埋得.cosZA-2A&AB-2x（1+、③xe一2&（3+、⑸一2'

因為0°VNAVI80°,所以/A=45°.

故選：A.

【點評】本題考查余弦定理的應用，屬于基礎題.

2.（2025?北京）已知平面直角坐標系中，\OA\=\OB\=y[2,\AB\=2,設C（3,4）,則|2。4+88|的

取值范圍是（）

A.[6,14]B.[6,12]C.[8,14]D.[8,12]

【考點】平面向量加減法的坐標運算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解.

【答案】。

【分析】由|。*=|。8|=&,\AB\=2,可得點A、8在以。為圓心，魚為半徑的圓上，取4B的中

點”，得|0用=1,則點”在以。為圓心，1為半徑的圓上，根據(jù)向量的線性運算及數(shù)量積運算，可得

\2CA+AB\2=4CH2,再根據(jù)點到圓的距離范圍可求得結(jié)論.

【解答】解：由|、4|=|而|二VL\AB\=2,可知&1防,

故點八、8在以。為圓心，我為半徑的圓上，

取AB的中點”，可知

所以點”在以。為圓心，1為半徑的圓上，

則|2力+6|2=4CA2+4CA-AB+AB2

=4CA?(CA+而+4=疝?C%+4

=4(0+HA^CH+3B)+4=4(02_/2)+4

X||CO|-1|<\CH\<|CO|+1,而|=.32+42=5,

則4WI國I<6,故8<2|CHE12,

即|2&+6|的取值范圍是[8,12].

故選：。.

【點評】本題考查平面向量的線性運算及數(shù)量積運算，屬中檔題.

3.(2025?新高考I)帆船比賽中，運動員可借助風力計測定風速的大小和方向，測出的結(jié)果在航海學中

稱為視風風速，視風風速對應的向量是真風風速對應的向量與船行風速對應的向量之和，其中船行風速

對應的向量與船速對應的向量大小相等，方向相反.如表給出了部分風力等級、名稱與風速大小的對應

關系.已知某帆船運動員在某時刻測得的視風風速對應的向量與船速對應的向量如圖(風速的大小和向

量的大小相同，單位加/s),則真風為()

等級風速大小〃而名稱

21.1?3.3輕風

33.4--5.4微風

45.5?7.9和風

58.0-10.1勁風

A.輕風B.微風C.和風D.勁風

【考點】平面向量的概念與幾何表示.

【專題】應用題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；平面向量及應用；運算求解.

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，求出對應速度對應的坐標，然后求出真風速的坐標，求出模長判斷即可.

【解答】解：如圖：視風風速對應向量的坐標為3=(-3,-1),

所以船行風速對應的向量坐標為一■=(-1,-3),

設真風風速對應向量為則D-a=3，

所以“=%+以=(?2,2),

所以向=，(一2/+22=2夜~2.8286(1.1,3.3),

故真風為輕風.

故選：A.

【點評】本題考查平面向量的運算和應用，屬于中檔題.

4.(2024?新高考H)己知向量-5滿足：鬲=1,而+2&=2,且④一2辦11,則山=()

1V2八百

A.-B.—C.—D.I

222

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】計算題：轉(zhuǎn)化思想；綜合法：平面向量及應用：運算求解.

【答案】B

【分析】利用向量的模，以及向量的垂直關系，轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】解：向量2,1滿足而|=1,而+2&=2,且@一2辦_1/

可得小+4Q?b+4b2=4,b2—2a-b=0,

可得6涼=3,

所以向二探

故選：B.

【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積的應用，向量的模的求法，是基礎題.

5.(2024?新高考I)已知向量;二(0,1),b=(2,x),若］_L(b-4a),貝I」x=()

A.-2B.-1C.1D.2

【考點】數(shù)量枳判斷兩個平面向量的垂直關系.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量:及應用；運算求解.

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：a=(0,1)?b=(2,x),

則b-4a=(2,x-4),

Z?±(b—4a)?

則2X2+X(K-4)=(x-2)2=0,解得x=2.

故選：D.

【點評】本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎題.

9

若8=b2=

6.(2024?甲卷)在△ABC中，內(nèi)角A,B,。所對邊分別為7r4-則sinX+sinC

=()

3L夕V3

I.1B.V2C.—

222

【考點】正弦定理：余弦定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；解三角形；運算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理,余弦定理，即可求辭.

【解答】解：因為8=箏b2=lac,

所以由正弦定理可得，sim4sinC=^sin2B=1,

9

322

-QaA+c=134Q

由余弦定理可得:4Ja

sin2A+sin2C=-^-sinAsinC=誦，

所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2siHi4sinC=7,sinA+sinC=

1,4

故選：c.

【點評】本題主要考查正弦定理、余弦定理的應用，屬于基礎題.

7.(2024?全國)已知平面向量Q=(I,1),b=(x+l,y),則()

A.ax=\,y=-2”是“Z||I"的必要條件

B.“X=1,尸-2”是i(a||”的充分條件

C.“x=I,y=-2"是喘1的必要條件

D.“工=1,產(chǎn)-2”是(ta1的充分條件

【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系；充分條件的判斷；必要條件的判斷；平面向量共線(平

行)的坐標表示.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應用；運算求解.

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量平行、垂直的性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：對于解若aIIb,

則l?y=l?(x+l),即y=x+l,充分性不成立，錯誤，

對于3,當x=l,>>=?2時，

則匕=(2,-2),a||匕不成立，錯誤，

對于C,若a1b,

則x+l+y=O,必要性不成立，故錯誤，

對于￡>,當x=l,)，=-2時，

則1=(2,-2),

a-b=2-2=0,alb,充分性成立，故。正確.

故選：D.

【點評】本題主要考查向量平行、垂直的性質(zhì)，屬于基礎題.

9

若87b2-

4a

8.(2024?甲卷)在△ABC中，內(nèi)角4,B,C所對邊分別為a,TT-則sinX+sinC

=()

【考點】正弦定理；余弦定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：轉(zhuǎn)化法；解三角形；運算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，以及余弦定理，即可求解.

【解答】解：因為8=半b2=lac,

所以由正弦定理可,得，W5C=^s:i-n2R=i.

由余弦定理可得:b2=cr+c2-2ac*cosB=a2+c1-ac=、ac,iPa2+c2=竽ac,

sin2A+sin2C=^-sinAsinC=居,

所以(sinA+sinC)2=s\n2A+sin1C+2sinAsinC=psinA+sinC=

14

故選：C.

【點評】本題主要考杳正弦定理，以及余弦定理，屬于基礎題.

9.（2024?臺灣）如圖所示，有一zMBC,已知邊上的高12,且tanNB=去tan/C=系試問

的長度為何？（）

A.20B.21C.24D.25

E.26

【考點】解三角形.

【專題】計算題：數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；解三角形：運算求解.

【答案】E

【分析】由題意利用tan/B=器，可求8。的值，由tan/C=罌，可求得CQ的值，即可求解BC=

8ZHCO的值.

【解答】解：在△ABC中，因為8c邊上的高AO=12,tanN8=9=^=解得80=8,

又tanNC=|=^=備，解得。。=18,

所以8c=30+00=8+18=26.

故選：E.

【點評】本題考查了解三角形，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎題.

二.多選題（共1小題）

（多選）10.（2025?新高考I）已知△ABC的面積為士若cos2A+cos2B+2sinC=2,cos/AcosBsinC=則

44

（）

A.sinC=sin2/\+sin2^B.AB=\[2

C.siiM+si但第D.AC2+BC2=3

【考點】解三角形；利用正弦定理解三角形；余弦定理.

【專題】分類討論；綜合法；解三角形；邏輯思維；運算求解.

【答案】ABC

【分析】由cos2A+cos2B+2sinC=2,利用二倍角公式，可判斷A；sin274+sin25=sin>4cosB+cos/4sin5,

得sinA(sin/\-cosfi)+sinB(sinB-cosA)=0,對于4+和4+8〈與進行分類討論，可推出矛

盾，可得4+B=*,進而可判斷BCD

【解答】解：因為cos2A+cos2〃+2sinC=1-2sin?4+l-2sin28+2sinC=2,

/.sin24+sin2B=sinC>故4正確;

由sinJ+si/Busio4cos8+cos八sinB,/.sinA(sinX-cosB)+sinB(sin5-cosA)=0,

Vcos>4cosBsinC=*X),.'A,B為銳角，

(A-B

若4+n則J,

z

sinA>cosB,sinB>cosA,sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)>0,，矛盾,舍去,

同理，4+BV冬也矛盾，

???4+8=熱???8=掾一月，0=務

^?sinAcosA=*=^sin2A=sin2A=

Sf.ABC=^abs\nC=^ab=J,ab=

a=csinA,b=ccosA,

■1.21o

/.ab=2=csirL4?ccosA=c-sinAcos4=4c?，

AC2=2,即4B=遮，故B正確；

■7T...).3

VC=2f?,?sirkA+sin8=sinA+cosA,(sirtA+cosA)?=l+2siivlcosA=中

因為sin4+cosA>0>所以siM+cosA=坐,故C正確;

AC2+BC2=AB2=2,故。錯誤.

故選：ABC.

【點評】本題主要考查解三角形，屬于中檔題.

三,填空題(共7小題)

1T-->—T—1T2T

11.(2025?天津)AAAC中，D為AB邊中點、,CE=^CD,AB=a,AC=b,則AE=-a十一b(用

J-53

a,7表示)；若|旗|=5,AE±CB,則/?2)=-15.

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】方程思想；綜合法；平面向量及應用；邏輯思維：運算求解.

I-2T

【答案】-a+-b；-15.

63

【分析】由平面向量的線性運算計算可求得第一空；由|族1=5,AE_LCB結(jié)合平面向量的線性運算與數(shù)

量積建立關于滔，a-b,Q的方程組，求解可得之工=180—4a，a2=16d2-540,再由向量的數(shù)

量積運算計算6即可.

T1T

【解答】解：因為。為"邊中點，CE=、D,

所以北=幾+后=公+義益=AC+-AQ

oo

1一2-121T2T

--4---Q+-b

34D36363

T1T22f4T2

因為|4E|=5,所以一a+-a-b+-b=25,①

3699

因為告=幾一元=3-6,且AE_LC8,

TT1—2TTT1—1—TOT

所以AE-CB=(ra+-(a-b)=-za2+?b--^b2=0,②

由①②可得：a-b=180—4b2,a2=16b2—540,

因為CD=AD-AC=^AB-AC=^a-b,

TT1->2T1T_1.T2T

所以4E,CD=(a。+可匕),(2。-b)=-yjQ?+&Q■b_X

2T

b2

[21f-

=太(16b-540)+言(180-4b2)3=—15.

IT2T

故答案為：-a+-b；~15.

63

A

【點評】本題考查平面向量的線性運算和數(shù)最積，屬F中檔題.

I2.(2025?新高考II)已知平面向量之二(x,I),b=(x-l,2x),若Z_L(a-b),W>J|a|=\^2.

【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂宜關系.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解.

【答案】V2.

【分析】求出6的坐標，然后利用向量垂直的充要條件求出工，再利用求模公式求解.

【解答】解：因為a=(x,1),b=(x-1,2r),

所以之一匕=(1,1-2v),又Z_L(a-b),

所以a?(a—b)=x+l-2x=0?解得x=I,

所以a=(1,1),

則|Q|=Vl2+l2=A/2.

故答案為：y/2.

【點評】本題考查平面向最的坐標運算,垂直的充要條件以及求模公式等，屬于基礎題.

小。25?上海，已知函數(shù)?卡

X=0，Q、b.1是平面內(nèi)三個不同的單位向量.若/(Q?b)

x<0

+f(b*c)+f(c*a)=0,則la+b+。的取值范圍是(1,遮).

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；平面向量及應用；邏輯思維；運算求解.

【答案】(1,V5).

【分析】由題可得fG，b),f(b,c),f(a,")必為一個為1,一個為-1,一個為0,不妨設/(%?b)=

0,f(b-c)=—If(a,c)=1,且a=(1,0),b=(0,1),c=(cos。，sinO),0e(-n,n),由分

段函數(shù)可得。€(-5,0),再由向量模的坐標運算化簡后求三角函數(shù)的值域即可.

【解答】解：由題意可知，/(工7)，f(b,"fG，")三者全為0或一個為I,一個為-1.一個為0,

當全為。時，可知Zb,"兩兩垂直，不符合題意；

所以必為一個為1,一個為?1,一個為0,不妨設/'(%?5)=0,f(b-c)=-1,f(a-c)=1,

由函數(shù),,x>0

x=0?可知力.[v。，a-c>0/a-b=0,

x<0

不妨設a=(1,0)>b=(0^1),c=(cos。，sin6),0e(-n,n],

所以a?c=cos0>0,b-c=sinO<0,所以?！辏ㄒ粸椋?）,

所以而+%+"|=+cos6）2+（1+s出6）2=卜+2&s比（8+百），

因為0）?所以6+（W（—左）,所以2A/^SE（8+今）￡（—2,2）,

所以|a+b+c|G（1,V5）.

故答案為：（1，V5）.

【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積與函數(shù)的綜合，向量模的求解，屬于中檔題.

14.（2025?上海）小申同學觀察發(fā)現(xiàn)，生活中有些時候影子可以完全投射在斜面上.某斜面上有兩根長為

1米的垂直于水平面放置的桿子，與斜面的接觸點分別為A、B,它們在陽光的照射下呈現(xiàn)出影子，陽

光可視為平行光：其中一根桿子的影子在水平面上，長度為0.4米：另一根桿子的影子完全在斜面上,

長度為0.45米.則斜面的底角8=12.58°.（結(jié)果用角度制表示，精確到0.01°）

【考點】三角形中的幾何計算.

【專題】數(shù)形結(jié)合：粽合法：解三角形：邏輯思維；運算求解.

【答案】12.58°.

【分析】由題意作出示意圖，從而得到△AMNS/XECD,由相似三角形的性質(zhì)可得方程0.45cos6=

0.4+0.18sin0,sin20+cos29=I即可求得.

【解答】解：由題可得接觸點為A的旗桿影子在水平面上，接觸點為8的旗桿影子完全在斜面上，

不妨設影子完全在斜面上是旗桿為4C,影子為3Q,過。作平行于水平面的直線交C3的延長線于￡,

所以DE±I3E,

所以BE=0.45sin。，DE=O.45cos0,

因為陽光可視為平行光，所以MN〃C。，所以△AMNS/\ECD,

?,ANAM,0.41

所以--=----,即--------=---------；，

EDECO.45COS01+0.45SP16

所以0.45cose=0.4+0.l8sin8,①

因為sin29+cos20=1,②

聯(lián)立①②解得8=12.58°.

故答案為：12.58°.

【點評】本題考查解三角形的應用，屬于中檔題.

T-*T-1

15.(2025?上海)已知a=(2,1),b=(1,x),若a〃6,則x=：.

【考點】平面向量共線(平行)的坐標表示.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應用；運算求解.

【答案】"

2

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量共線的性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：1=(2,1),b=(1,x),a//bf

則2x=l,解得k]

故答案為：

【點評】本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎題.

16,(2025?上海)在平面中，3和g是互相垂直的單位向量，向量[滿足萬一4^1=2,向量I滿足向一6扇|=

1,則I在；方向上的數(shù)量投影的最大值.

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解.

【答案】4.

【分析】設&=工晶=/根據(jù)題意求得A、8所在圓的圓心和半徑，然后根據(jù)數(shù)量投影的意義，

結(jié)合圖形求得I在之方向上的數(shù)量投影的最大值.

【解答】解：根據(jù)題意不妨設%=(1,0),e2=(0,1),a=(x?y),b=(〃?，〃)，

則a—4e1=(x—4,y),b—6e2—(m,n—6),

由區(qū)一4川=2可得(x-4)2+)2=4,

由-6ezl=1可得m2+(〃-6)2=1?

設&=ZOB=b,故4在以。(4,0)為圓心，2為半徑的圓上,

3在以Q(0,6)為圓心，I為半徑的圓上，

過8作8OJ_OA于。，則。。即為Z在［上的數(shù)量投影，如下所示：

因為A,8分別為兩圓上任意動點，不妨固定B,則。8為定長，

設v￡b>=0,即NAO3=6,故|OE>|=|O3|?cos。，

因為此時|0用為定長,且8=NA08V180°,

故隨著e的減小，cos。增大，直至04恰好與圓Ci相切時，QQI取得最大值，如下所示:

在。4與圓。相切的基礎匕移動點B,過C2作Q￡_L0A于￡,故|0。|=|0月+|￡。卜

在△C1A。中，ZC\AO=90°,C\A=2,0cl=4,

故NAOCi=30°,ZC20E=600,因為|OC2|=6,

故在直角三角形C2OE中,\OC2\=2\OE\,則0E=3,即|OQ|=|O四+|EQ|=3+|EQ|：

在四邊形4QEC2中，因為/乃￡C2=NC2EQ=90",故|O￡1S|8C2|=1,

當且僅當8c2〃OE時等號成立，從而|OD|=3+|ED|W3+1=4,

綜上所述：了在：方向上的數(shù)量投影的最大值為4.

故答案為：4.

【點評】本題考查平面向最與直線和圓的位置關系的綜合應用，屬難題.

17.(2024?上海)已知&€R,a=(2,5),b=(6,k),a//b,則大的值為15

【考點】平面向我共線(平行)的坐標表示；平面向后的相等與共線.

【專題】方程思想；向量法；平面向量及應用；運算求解.

【答案】15.

【分析】根據(jù)向量平行的坐標表示，列方程求解即可.

【解答】解：由3=(2,5),9=(6,k),aIIb,

可得2k-5X6=0,解得女=15.

故答案為：15.

【點評】本題考查向量平行的坐標表示，屬基礎題.

四.解答題（共3小題）

18.（2025?北京）在△A8C中，cosA=asinC=4叵

（1）求c；

（2）在以下三個條件中選擇?個作為已知，使得△A6C存在，求6c的高.

①a=6；②如11。=粵馬③△A8C面積為10注.

【考點】解三角形.

【專題】方程思想；綜合法；解三角形；邏輯思維；運算求解.

【答案】（1）6；（2）不能選①；選②：—;選③：2?之

【分析】（1）由同角三角函數(shù)的基本關系可得sinA的值，再由正弦定理可得csinA的值，從而求得c；

（2）選①：由等邊對等角和三角形的內(nèi)角和定理可得△ABC不存在;選②:由正弦定理和條件可得sin&

再解直角三角形即可求得；選③：由三角形的面積公式求江由余弦定理求小再由三角形的面積公式

即可求得.

【解答】解：（1）因為cosA=-J,且AC（三，IT）,

32

所以sinA=V1—cos2A-1-

ac-

由正弦定理一一=--,得csiii4=asinC=4或，

sinAstnC

O-,.,4/24、泛,

所以,=麗=季=6；

（2）選①：因為4=6,由（1）知，c=6,

所以。=c,則A=C,

因為A為鈍角，所以不符合三角形的內(nèi)角和定理.，

所以aABC不存在；

選②：因為bsinC=*2,則由正弦定理..=——得cs出8=hsinC="

JsinBsinCJ

由（1）知，c=6,所以=一卜=一1一=七-，

所以BC邊上的IWJ/?=csinB=6x—^―=—^―；

選③：因為△A8C面積為10夜，由（1）知，c=6,sinA=

所以S=\bcsin4,即10魚=義x6x芻2力，解得〃=5,

由余弦定理可得：tz2=/?2+c2-2hccosA=25+36-2x5x6x（-1）=81,即4=9,

設BC邊上的高為〃，則S=2Q/I,所以/=§=挈.

乙Ci-X

【點評】本題考查利用正、余弦定理和三角形的面積公式解三角形，屬于中檔題.

19.（2025?天津）在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為小△c.已知asinB=V3bcosA,c-2b=l,a=V7.

（/）求A的值；

（n）求c；

（III）求sinCA+2B）的值.

【考點】解三角形；正弦定理；余弦定理.

【專題】對應思想；綜合法；解三角形；運算求解.

【答案】（/）人=幸

（II）c=3；

4百

（III）—.

7

【分析】（/）由正弦定理，邊角互化求解即可；

（II）由余弦定理可得《=廬2-2Acos4,代入已知數(shù)據(jù)及b=早，求解即可；

（III）由余弦定埋可得cos8=彎，sin8=等，從而求出cos28、sin28的值，最后由兩角和的正弦公

式求解即可.

【解答】解：（/）因為osinB=V5ZXX）SA,

所以sin/lsinA?=V3sin^cosA?

又因為sinBWO,

所以sin4=V5COSA,

即tanA=V3,

因為AW（0,IT）,

所以A=4；

(II)因為4=J,c-2b=1,a=\H,

所以a2=b2+c1-2bccosA,

即7=（與工）2+/-2x|x'D,

乙乙乙

整理得:3d=27,

解得c=3；

(III)因為A=g,c-2b=1,c=3,a=V7,

J

所以b=\,

222

Da+c-b5541

COSB=2ac=后F'

所以sinB=V1-cos2B=-^==

所以sin25=2sin8cos4=cos2/?=cos2/?-sin2Z?=

所以sin(A+2B)=sirL4cos23+cosAsin23=孚xm+5乃4百

X7T=—

【點評】本題考查了三角恒等變換、利用正弦定理及余弦定理解三角形，屬于中檔題.

20.（2025?上海）在△ABC中，角4、B、C所對的邊分別為a、b、c,且c=5.

,asinBn

⑴右五=石？0=2'求。；

（2）若而=20,求△A8C的面積的最大值.

【考點】解三角形.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；不等式；運算求解.

【答案】（1）2通;

5755

(2)----.

4

【分析】C）由看二鬻‘結(jié)合正弦定理算出〃=?,然后根據(jù)勾股定理求出邊〃的長;

（2）根據(jù)余弦定理與基本不等式，算出cos。的最小值，結(jié)合同角三角函數(shù)的關系求得sinC的最大值,

進而可得8c的面積的最大值.

ccIRch

【解答】解：（1）由玄=—；,根據(jù)正弦定理得六二一，化簡得。=28，

4bstnA4ba

因為C=3，c=5,所以。2+/）2=。2=25,gp4Z>2+/?2=25,解得》=b，a=2b=2V5；

223

（2）根據(jù)岫=20,c=5,由余弦定理得cosC=貯端士=余Ca+b-25）N焉（2M-25）-

8

當且僅當。=》時，等號成立.

所以cos2c言,HP1-sin2C>可得結(jié)合sinOO,解得sinCW竿.

因為△ABC的面積S=%sinC=lOsinCWIOX阜=工

Lo4-

所以當a=h=2遍時，△ABC的面枳取得最大值&竺.

4

【點評】本題主要考查正弦定理與余弦定理、三角形的面積公式、運用基本不等式求最值等知識，屬于

中檔題.

考點卡片

1.充分條件的判斷

【知識點的認識】

充分條件是指如果條件P成立，則條件。必然成立.在數(shù)學上，通常記作尸=。.充分條件的概念在邏輯

推理和數(shù)學證明中非常重要，常用于判斷某些結(jié)論是否成立.例如，在三角形中，如果一個三角形是等邊

三角形，那么它必然是等腰三角形，這就是等邊三角形是等腰三角形的充分條件.

【解題方法點撥】

要判斷一個條件是否為充分條件，可以通過驗證當條件P成立時，條件Q是否也必然成立.通?？梢酝ㄟ^

具體實例或邏輯推理來驗證.例如，假設P成立，通過推理或計算驗證。是否成立.如果可以找到反例，

即P成立但。不成立，則戶不是Q的充分條件.

【命題方向】

在高考和其他數(shù)學考試中，常見的充分條件的命題方向包括幾何圖形的性質(zhì)、函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列的性質(zhì)

等.例如，三角形全等判定條件中的“S、SSS等都是充分條件.函數(shù)的單調(diào)性和極值之間的關系也是常

見的命題方向.

下列選項中，滿足〃是q的充分條件的是()

A.p：x>>/2,q：x>1

B.p：/n=0,qzmn=O

C.p：x2WO,q：xWO

D.p：x>ytq：

解：對于A,由4>或可推出x>l,所以4>式是的充分條件，A正確，

對于B,由rn=O可推出mn=Q,所以m=O是mn=0的充分條件，B正確，

對于C,由/WO可推出工#(),所以/wo是X六0的充分條件，。正確，

對于。，當x=2,)，=-2時，x>y,但是/=/，所以不是/>)2的充分條件，。錯誤.

故選：ABC.

2.必要條件的判斷

【知識點的認識】

必要條件是指如果條件Q成立，那么條件P必然成立.用符號表示為QnP.必要條件是判斷一個結(jié)論是

否必須具備的條件.例如，如果一個數(shù)是偶數(shù)，那么它必然能被2整除，能被2整除是偶數(shù)的必要條件.在

解決數(shù)學問題時，確定必要條件可以幫助我們縮小可能的解答范圍.

【解題方法點撥】

要判斷一個條件是否為必要條件，可以通過假設條件Q成立，然后驗證條件尸是否也必然成立.可以使用

反證法，即假設。不成立，看看。是否也不成立.如果。不成立，那么。是。的必要條件?.此外，可以

通過邏輯推理和實例驗證來進行判斷.

【命題方向】

必要條件的命題方向通常包括數(shù)列的收斂性判定、幾何圖形的判定等.例如，判斷一個四邊形是否是平行

四邊形，可以利用對角線互相平分這個必要條件.

若關于x的方程『+（〃?-1）.計1=0至多有一個實數(shù)根，則它成立的必要條件可以是（）

A."\<m<3

13.-2<m<4

C./n<4

D.-\^m<2

解:因為方程/+（/n-1）x+l=0至多有一個實數(shù)根，

所以方程，+Cm-I）x+l=0的判別式AW（）,

即：（〃？-1）2-4W0,解得7WmW3,

利用必要條件的定義，結(jié)合選項可知，-1W〃?W3成立的必要條件可以是選項B和選項C.

故選：BC.

3.平面向量的概念與幾何表示

【知識點的認識】

向量概念

既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒有方向的量叫做數(shù)

量（物理中的標量：身高、體重、年齡）.在數(shù)學中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個標量.

向量的幾何表示

用有向線段表示向品，有向線段的長度表示有向向?qū)У拇笮?，用箭頭所指的方向表示向我的方向.即用表

示有向線段的起點、終點的字母