專題03二次函數(shù)中三角形存在性的三種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2題型一、等腰三角形存在性 2題型二、直角三角形的存在性 11題型三、等腰直角三角形的存在性 20壓軸能力測評（5題） 34一、等腰三角形存在性根據(jù)等腰三角形的定義，若為等腰三角形，則有三種可能情況：（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB．但根據(jù)實際圖形的差異，其中某些情況會不存在，所以等腰三角形的存在性問題，往往有2個甚至更多的解，在解題時需要尤其注意．1、知識內(nèi)容：在用字母表示某條線段的長度時，常用的方法有但不僅限于以下幾種：（1）勾股定理：找到直角三角形，利用兩邊的長度表示出第三邊；（2）兩點間距離公式：設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）2、解題思路：（1）利用幾何或代數(shù)的手段，表示出三角形的三邊對應(yīng)的函數(shù)式；（2）根據(jù)條件分情況進行討論，排除不可能的情況，將可能情況列出方程（多為分式或根式方程）（3）解出方程，并代回原題中進行檢驗，舍去增根．二、直角三角形存在性在考慮△ABC是否為直角三角形時，很顯然需要討論三種情況：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°．在大多數(shù)問題中，其中某兩種情況會較為簡單，剩下一種則是考察重點，需要用到勾股定理。以函數(shù)為背景的直角三角形存在性問題1、知識內(nèi)容：在以函數(shù)為背景的此類壓軸題中，坐標軸作為一個“天然”的直角存在，在解題時經(jīng)常會用到，作出垂直于坐標軸的直線來構(gòu)造直角。另外，較困難的情況則需要用到全等或者勾股定理的計算來確定直角三角形．2、解題思路：（1）按三個角分別可能是直角的情況進行討論；（2）計算出相應(yīng)的邊長等信息；（3）根據(jù)邊長與已知點的坐標，計算出相應(yīng)的點的坐標．題型一、等腰三角形存在性【例1】．（23-24九年級下·四川眉山·期中）如圖，拋物線交軸于點和點，交軸于點(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點是軸上一點，是否存在點，使是等腰三角形？若存在請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．(3)如圖，點是拋物線上且在直線上方的一個動點，試求出面積的最大值及此時點的坐標．【變式1】（2023春·湖北武漢·九年級?？计谥校┤鐖D，拋物線與x軸于A，B兩點，交y軸于點C，．(1)直線過A，C兩點，①如圖1，求拋物線的解析式；②如圖1，將直線向右平移，A的對應(yīng)點為B，且，以為一腰作等腰三角形，求N的坐標；(2)如圖2，M為拋物線第一象限上任意一點，直線交y軸于點H，若，求a的值．【變式2】．（23-24九年級上·湖南湘西·期末）拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，拋物線的對稱軸交軸于點，已知．(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點，使是以為腰的等腰三角形？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，請說明理由；(3)點是線段上的一個動點，過點作軸的垂線與拋物線相交于點，當面積最大時，求點的坐標及的最大值．【變式3】．（23-24九年級上·山東濟寧·期末）如圖，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點．直線與拋物線交于A，D兩點，與y軸交于點E，點D的坐標為．(1)求拋物線的解析式；(2)若點P是拋物線上的點且在直線上方，連接、，求當面積最大時點P的坐標及該面積的最大值；(3)在y軸上是否存在點Q，使是以為腰的等腰三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．題型二、直角三角形存在性【例2】．（23-24九年級上·安徽淮南·期末）已知，如圖點C在y軸正半軸上，，將線段繞點O順時針旋轉(zhuǎn)到OB的位置，點A的橫坐標為方程的一個解且點A、B在y軸兩側(cè)；(1)求經(jīng)過A、B、C的拋物線的解析式；(2)在如圖拋物線的對稱軸l上是否存在點M，使為直角三角形，若存在，求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．【變式1】（2023春·甘肅金昌·九年級統(tǒng)考期中）平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，，兩點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式，并直接寫出點，的坐標；(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點，使是直角三角形？若存在，請直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由；(3)如圖，點是直線上的一個動點，連接，，是否存在點使最小，若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由；【變式2】．（23-24九年級上·安徽宣城·期末）如圖，拋物線經(jīng)過，兩點，與y軸交于點C，連接，，．(1)求拋物線的表達式；(2)求證：平分；(3)拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得是以為直角邊的直角三角形．若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．【變式3】．（23-24九年級上·浙江紹興·期中）如圖，拋物線與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，對稱軸為直線，頂點為D，點B的坐標為．(1)填空：點A的坐標為______，點D的坐標為______，拋物線的解析式為______；(2)是拋物線對稱軸上一動點，是否存在點P，使是以為斜邊的直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；(3)當二次函數(shù)的自變量x滿足時，函數(shù)y的最小值為，求m的值．題型三、等腰直角三角形的存在性【例3】．（23-24九年級上·山東濟寧·期末）在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋bx－3與x軸交于點A（－1，0）和點B（3，0），與y軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)若點P為第四象限內(nèi)拋物線上一點，當△PBC面積最大時，求點P的坐標；(3)若點P為拋物線上一點，點Q是線段BC上一點（點Q不與兩端點重合），是否存在以P、Q、O為頂點的三角形是等腰直角三角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．【變式1】．（23-24九年級上·江西上饒·期末）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點，（點在點的左側(cè)），與軸交于點．(1)寫出點、、的坐標；(2)過動點作平行于軸的直線，直線與二次函數(shù)的圖象相交于點，．①若，以為直徑作，當與軸相切時，求的值；②直線上是否存在一點，使得是等腰直角三角形？若存在，請直接寫出的值：若不存在，請說明理由．【變式2】（2024·四川眉山·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點在拋物線上．

(1)求該拋物線的解析式；(2)當點在第二象限內(nèi)，且的面積為3時，求點的坐標；(3)在直線上是否存在點，使是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【變式3】（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)已知為拋物線上一點，為拋物線對稱軸上一點，以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，求出點的坐標；(3)如圖，為第一象限內(nèi)拋物線上一點，連接交軸于點，連接并延長交軸于點，在點運動過程中，是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．1．（23-24九年級下·江蘇常州·期末）在平面直角坐標系中，拋物線過點，(1)求拋物線的解析式；(2)平移拋物線，平移后的頂點為．①如果，設(shè)直線，在這條直線的右側(cè)原拋物線和新拋物線不全是上升趨勢，求的取值范圍；②若平移后的新拋物線交軸于點，且恰好為頂角是的等腰三角形，求點的坐標、2．（23-24九年級上·重慶銅梁·期末）如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線的對稱軸是直線，拋物線與x軸分別交于點A、B，與y軸交于點C，點A的坐標是．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1所示，P是第一象限拋物線上的一個動點，點D是拋物線對稱軸與x軸的交點，連接、、．求四邊形的面積的最大值，并求出此時點P的坐標；(3)如圖2所示，在（2）的條件下，點M是直線上一點，當是以為腰的等腰三角形時，請直接寫出點M的坐標．3．（23-24九年級上·新疆烏魯木齊·期末）如圖，點為二次函數(shù)的頂點，直線與該二次函數(shù)圖象交于兩點（點在軸上），與二次函數(shù)圖象的對稱軸交于點．(1)求的值及點坐標；(2)根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的的取值范圍；(3)連接、，求的面積；(4)在該二次函數(shù)的對稱軸上是否存在點，使得以為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．4．（23-24九年級上·山東煙臺·期末）如圖，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上存在一點P，使的值最小，此時P的坐標為；(3)點是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點（不與點、點重合），過點作軸于點，交直線于點，連接，直線能否把分成面積之比為的兩部分？若能，請求出點的坐標；若不能，請說明理由；(4)若為拋物線對稱軸上一動點，使得為直角三角形，請直接寫出點的坐標．5．（23-24九年級上·江蘇無錫·期末）已知二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)）