專題強(qiáng)化2《三角函數(shù)》全章考點(diǎn)梳理

【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】

正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)

三角函數(shù)的

余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì):

圖象和性質(zhì)

正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù).v=Asin(<ox+<p)的圖象和性質(zhì)

」三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用

【考點(diǎn)突破】

一、三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值

1.已知tanO=2,則sin?O+sinOcos。-2cos2。=()

4534

A.—B.-C.—D.一

3445

【答案】D

【詳解】試題分析：site+smaos好28s多=sire+smecose：28s2?=畫"⑹/心,

sin'<7+cos'0tan_0+\5

考點(diǎn)：同角間三角函數(shù)關(guān)系

(n

2.已知sina+cosa一些且aw,則cosa-sina

2，142J)

6

AB.-避c.±3

222

【答案】B

【分析】結(jié)合已知條件，對(duì)sina+cosa=好兩邊同時(shí)平方求出2sinacosa=1,然后對(duì)cosa-sina平方求

24

值，結(jié)合。的范圍即可求解.

【詳解】0(sin?+cos?)=l+2sin?cos?=—,團(tuán)2sinacosa=L

44

2]3

團(tuán)(cosa-sina)'=l-2sin?cosa=1——=—,

\，44

0cosa-sina=±—,

2

又

(30<cos(z<sin?,Bpcosa-sina=--

2

故選:B.

7萬(wàn)=無(wú)，則COS

3.已知sin——+a)

63

2121

A.——B.——C.D.-

3333

【答案】B

【分析】用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知式和求值式，求值式變形有后用二倍角公式計(jì)算.

【詳解】由題意sin(§+a)=sin"+5+4)=-sin(1+a),

666

所以sin(￡+a)=一3，

63

所以cos(—2笈—2a)=cos乃一(工+勿)=-cos(—7T+2a)=-cos2(—+a)

3333336

=2sin2(-^-+cf)-l=2x2\_

3

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式與二倍角公式求值.解題關(guān)鍵是對(duì)"直■角''和"復(fù)角”的相對(duì)性的理解與應(yīng)用.本題

中用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)和用二倍角公式求值，都是把￡作為一個(gè)"單角"進(jìn)行變形參與運(yùn)算，而不是作為兩個(gè)

O

角的和.

cos(a-/?)=-^^,37T34

4.已知sina=且0<”彳，03彳，則si%()

7

1而

A?嗜D

3535

【答案】A

【解析】易知sin/7=sin(a—(。一0)，利用角的范圍和同角三角函數(shù)關(guān)系可求得cosa和sin(a—⑶，分別

在$in(a-￡)=巫和-巫兩種情況下，利用兩角和差正弦公式求得sin/y,結(jié)合夕的范圍可確定最終結(jié)果.

55

【詳解】?.?sina=^^＜巫且0＜。＜包，()＜?＜—,/.cosa-x/l-sin'a--.

72447

乂0＜/?＜與，sin(?-/?)=±^1-cos2(a-/?)=±.

當(dāng)$畝(°一/7)="工時(shí)，

sin^=sin(a-(a-/?))=sin(zcos(a-/?)-cosasin(a-^)==,

:.sin夕＞0,.七皿6二-巫不合題意，舍去；

435

當(dāng)sin(a-〃)=-W，同理可求得sin/?=警，符合題意.

綜上所述：4n/?=M^.

35

故選：A.

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題中求解8SCHH，易忽略Sina的值所確定的a的更小的范圍，從而誤認(rèn)為cosa的

取信也有兩種不同的可能性，造成求解錯(cuò)誤.

5.已知sin(a-3")=-3cos(a-%),則sin2a的值是()

A.2GB.亞C.-2&D,-遞

77

【答案】D

【分析】利用兩角差的正弦和余弦公式可求得tanc的值，利用二倍角公式可得出sin2a=2sinocosa,在

所得代數(shù)式上除以si/a+co/a，在所得分式的分子和分母中同時(shí)除以co/a，代入tan。的值計(jì)算即可得

解.

百1

即；sina——cosa=-3——cosa+—sin。

2A*\AB*

整理得2sina=->/5cosa,tana=-—,

2

..、.2sinacosa2tana4石

因此,sin2a=2sinacosa=—；------；—

sin-a+cos-atan2a+l

故選；D.

.sina

sina-cos?---------.o

cosasiira.

---------------：----------=----------=sina.

sincisina

cosa----

cosa

所以/（a）=sina=—；,因?yàn)閍40,2兀），則771TIIn

?=—>或e==.

o6

⑵由⑴知：〃a）=sina

37r1

+a=sincr-si仔n+小sina+cosa=一

2I2J5

即sina+cosa='，所以sina=1-cosa,

55

1

所以cos2a+——cosa=1,Bp(5coscr-4)(10cosa+6)=0,

5

4_3

可得cosa=-或cosa=一-.

55

「兀3冗'3j4

因?yàn)閍w—，-1―,則cosa=一，，所以sina=一-cosa=1.

<22J55555

“…sina444

所以tana=-------=-x故tana=-].

cosa5<-3>

71￡

8.已知0<av一,cosa+—

243

（1）求sin。的值;

⑵若一］＜尸＜，B兀、門

0cos--------=—,求a-尸的值.

2■4J3

【答案】⑴—；⑵"〃蘭

【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合兩角差的正弦公式可求得sina的值;

（2）利用二倍角的余弦公式可求得sin夕的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及兩角差的余弦公式求出

8s（a-尸）的值，結(jié)合角二一尸的取值范圍可求得結(jié)果.

八乃式TV3用

（）＜?＜—

【詳解】（1）解：因?yàn)?,444,

71

又cosa+7=—,所以sin

k4JJ3

llir??|冗7T兀14-6

所以sina=sina+--cosa+—cos—=

k44423~6~

c°s..A=3

(2)解：因?yàn)?24；3

sinp=cosP~~^=cosI22上=2cos2|----I=2xl-1=—1,

54J2433

又因?yàn)橐皇?lt;0,所以cosQ=Jl—sin"=半

7V貳7Tin(a+訃i714+V2

lil(1)知，cosa=cosa+—a+—+sinsin—=

474cos746

所以8s(a-/)=cosacos/?+sinasin/=±^x手+?!=V2

2

因?yàn)?<a<、，-y</?<0,則Ova-力<乃，所以a-/二:.

二,三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.函數(shù)的圖象可以看成是將函數(shù)y=3sin2x的圖象（）得到的.

A.向左平移個(gè)單位B.向右平移；個(gè)單位

66

C.向左平移個(gè)￡單位D.向右平移;個(gè)單位

33

【答案】B

【分析】直接利用函數(shù)y=Asin（3x+Q）的圖象變換規(guī)律，即可得出結(jié)論.

【詳解】函數(shù)y=3sin"xT）=3sin2（i故它的圖象可以看成是

將函數(shù).V=3sin2x的圖象向右平移?個(gè)單位得到的，

6

故選：B.

2.為了得到函數(shù)）=28$（2大-與）的圖象，只需將函數(shù)y=2sinx的圖象（）

A.所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的!，縱坐標(biāo)不變，再向右平移白個(gè)單位長(zhǎng)度

212

B.所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向右平移？個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變

D.向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度，再招所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的!，縱坐標(biāo)不變

62

【答案】A

【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移和伸縮變換原則，結(jié)合誘導(dǎo)公式可得到結(jié)果.

【詳解】對(duì)于A,將一9橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)嗎，可得y=2sg；再向右平咤個(gè)單位，可得

21一劄=23&哥2咤=28s(2T

y=2sin2；+2x-—，A正確;

3)

對(duì)于B,將)，=2sinx橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，可得y=2sin；.u再向左平移,個(gè)單位，可得

),=2sin［如+副=2疝I工

-x+一

1,2\2)B錯(cuò)誤:

對(duì)于C,將)，=2sin.r向右平移？個(gè)單位，可得y=；再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,

可得)，=2sin(gX-3C錯(cuò)誤;

對(duì)于D，將-J左平移冷單位，可得聯(lián)｝再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的;，可

D錯(cuò)誤.

故選：A.

3.函數(shù)f(x)=Asin(a)x+。)(A>0,切>0,-左v。v0)的部分圖象如圖所示，為了得到g(x)=Asincox的圖象,

只需將函數(shù)y=/(x)的圖象()

B.向左平移合個(gè)單位長(zhǎng)度

c.向右平移g個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移高個(gè)單位長(zhǎng)度

614

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得到/(3)、g(x)的解析式，然后利用圖象平移的結(jié)論進(jìn)行圖象平移即可.

【詳解】根據(jù)圖象可得A=2,周期丁=乃，因?yàn)?=二，所以”=2,〃x)=2sin(2x+0),

CO

將與2)代入〃x)可得2=2sin(與+p]n號(hào)+展方+2火乃化間，解得少=一2+2版(％cZ),因?yàn)?/p>

一乃<0<0,所以8=一2,所以/(x)=2sin(2x-?),*(x)=2sin2x,因?yàn)?(x)=2sin2x-^,所以f(x)

向左平移專個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到g（x）的圖象.

故選：B.

4.已知函數(shù)/'（x）=sin3：?>°）在區(qū)間（°弓內(nèi)是增函數(shù).

⑴求。的取值范圍；

（2）將函數(shù)），=/（"的圖像向左平移低個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖像與將其向右平移整個(gè)單位長(zhǎng)度后所得到的

圖像重合.求”的值.

【答案】⑴。VM3；（2）2

【分析】（1）確定8《0,加，根據(jù)單調(diào)性得到會(huì)嗎，解得答案.

（2）根據(jù)三角函數(shù)的平移法則得到。=22,結(jié)合。的范圍得到答案.

【詳解】（1）因?yàn)閤/o,4，0>0,則與］,

V6」I6.

已知〃x）=sin5?>0）在區(qū)間（0弓］內(nèi)是增函數(shù)，則弓解得OvoW3.

（2）由已知可得sin='泊［/（4一年）］，即sinrwx+y6yj=sin^fwx-^^yj,

所以——?ry］=2E,即<y=2A,kwZ、當(dāng)且僅當(dāng)k=l時(shí)，s=2,符合OvcoW3.

故⑷=2.

5.已知函數(shù)/（幻=水皿⑺+!心皿其職能即坤足下列三個(gè)條件中的兩個(gè)：①函數(shù)JS）的最大值為2；

②函數(shù)/。）的圖象可由），=a5訪3-：）的圖象平移得到；（^）函數(shù)/"）圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為

兀

2,

⑴請(qǐng)寫出這兩個(gè)條件序號(hào)，說(shuō)明理由，并求出/（x）的解析式；

⑵求方程/。）+1=0在區(qū)間［-兀江］上所有解的和.

【答案】⑴/'（X）=2sin（2x+/）：（2）—

63

【分析】（1）根據(jù)題意，條件①②互相矛盾，所以③為函數(shù)/（x）=4sin（cM+?）滿足的條件之一，根據(jù)條

件③，可以確定函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而求得0的值，并對(duì)條件①②作出判斷，最后求得函數(shù)解析式；

⑵將/"）=2sin（2x+F）代入方程/（外+1=0,求得sin（2x+5=—,從而確定方程的實(shí)數(shù)根，結(jié)合題中

662

所給的范圍，得到結(jié)果.

【詳解】(1)函數(shù)，(幻=4sin(s+V)滿足的條件為①③；

理由如下：由題意可知條件①②中的最大值不一樣，所以互相矛盾,

故③為函數(shù)/&)=Asin(3x+m)滿足的條件之一，

O

由③可知，T=n,所以切=2,故②不合題意，

所以函數(shù)/(x)=Asin(^-r+多)滿足的條件為①③；

6

由①可知A=2,所以/(x)=2sin[2x+2)；

O

(2)因?yàn)?*)+1=0,所以sin(2x+》=」，

62

所以21+2=-4+2也(后62)或21+巳=4+2履(％￡2),

6666

所以k=_2+kit(keZ)或x=巳+kn(kGZ),

62

又因?yàn)榭?，所以x的取值為—g

oo22

所以方程/(公+1=()在區(qū)間[-71,可上所有的解的和為g.

三、三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題

1.已知函數(shù)/(X)=2sin6yxeosCDX+6+Gcos?ox-G+1.將周期為"的函數(shù)/'(x)圖像上所有點(diǎn)的

橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x).

⑴求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求g(”圖像的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心坐標(biāo).

【分析】(1)先求得函數(shù)/(x)解析式，進(jìn)而得到函數(shù)g(x)解析式，利用代入法去求g(*的單調(diào)區(qū)間;

(2)利用代入法去求g(x)的圖像的對(duì)稱軸方程和對(duì)?稱中心坐標(biāo).

2

【詳解】(1)/(%)=2sin6?xcos(t)x+x/3+cos+1

=加2兇+百小絲跑_G+I

22

=sin2cox+\/3cos2cox-+1=2sin(26yx+—)-+1

232

則^(x)=2sin(6yx+—)--+1

32

由函數(shù)/(X)周期為兀，可得麗=兀，解之得/=±|

當(dāng)<y=l時(shí)，^(x)=2sin(x+-^)--^+l

由---F2kit<xd—<—F2女兀，可得---F2kli<x<—F2kli

23266

則網(wǎng)力的單調(diào)增區(qū)間為|"-?+2阮3+2E|/eZ

_O0_

由三+2E?x+二4至+2E,ujf5—+2hc<x<—+2kn

23266

則g(x)的單調(diào)減區(qū)間為■^■+2E,1+2E、kwZ

當(dāng)①=-1時(shí)，g(x)=2sin(-.r+y)~+*=2sin(x+g)一孚+

由一￡+2EKX+&W￥+2而，可得一江+2EKxW-￥+2E

23266

則g(x)的單調(diào)增區(qū)間為-親+2配蘭+2癡、kwZ

由色+2E?x+空《電+2E,可得一二+2EKX〈2+2E

23266

則網(wǎng)”的單調(diào)減區(qū)間為-『2E*2E,kwZ

(2)當(dāng)。=1時(shí)，g(x)=2sin(x+：)-等+1

I71Tt—(?“！兀.

由x+—=—+Et,可得x=一+E

326

TT

則展X)的對(duì)稱軸方程為X=F+EMeZ

6

.71Tt.

由4+—=攵f兀，可得了=——+版

33

(n石1

則以外的對(duì)稱中心為-4+%兀，一彳+1,keZ

J4?

當(dāng)6>=-1時(shí)，^(x)=2sin(-x+y)-^+1=2sin(x+爭(zhēng)一當(dāng)

由"史=^+/at,可得1=-春+也

3

貝Ug(x)的對(duì)稱軸方程為4=-3+阮，keZ

6

.2兀,口2兀.

由X+-y=E,可得X=一-—+^71

/2G、

則g(x)的對(duì)稱中心為--2個(gè)7c+E,--7+1，keZ

2.已知函數(shù)仆）=氐小聯(lián)卜25修+母-3。）的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離嶺

⑴求人力的解析式;

⑵將函數(shù)〃力的圖像向右平移￡個(gè)單位長(zhǎng)度，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的;（縱坐標(biāo)不變），得到函

數(shù)y=4）的圖像，當(dāng)xc時(shí)，求函數(shù)小）的值域；

【答案】⑴/（x）=2sin2x；（2）[-2,6]

【分析】（1）利用倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)即可求解;

（2）根據(jù)函數(shù)圖像的平移和縮放公式得到），=ga）=2sin（4x-?,再利用整體法分析函數(shù)值域即可求解.

【詳解】⑴函數(shù)/（司=瓜/鎮(zhèn)+口+2初彳竽+白]-1,整理得：

\6）\212/

/（x）=J5sin"+^-cos"+*=2sin"+^q）=2sinsx,由于相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為g,故函

數(shù)的最小正周期為“故。=2.

所以/'(x)=2sin2x.

（2）函數(shù)/（x）的圖像向右平移g個(gè)單位長(zhǎng)度，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的[（縱坐標(biāo)不變），得到函

6N

數(shù)y=g(x)=2sin(4x-三J的圖像,

n兀2萬(wàn)K_

由于ku故4*一可已T'3

所以g(x)w[-2,G].

3.已知￡+&sin(x+￡]cos(x+9]-:.

（1）求/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間;

⑵若函數(shù)k|/（文）|-加在區(qū)間[一卷乃志上恰有兩個(gè)零點(diǎn)不為,求的取值范圍.

【答案】⑴|-二+%%,々川,ZeZ：（2）（1，7）U｛。｝

oo42

【分析】（1）由三角恒等變換公式化簡(jiǎn)，再結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求解，

（2）轉(zhuǎn)化為y=l/（x）l與）=機(jī)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求解,

【洋解】（1）/（x）=sin?x+J+>/5sinjx+q]cos[x+q]-:，

1-COS(2A+—)

4+—sin(2x+-)--

2222

=--cos2x+^^sin2x+^^coslx=sin2x+cos2x

44244

=-sin(2x+—)

24

由一g+2k冗<2x+^<^+2k7T得一,+上萬(wàn)<1??+&萬(wàn)，keZ,

故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-4+而^+M1/eZ

oo

(2)令/=2x+f,當(dāng)xe一三九，"時(shí)，

424oo

作函數(shù)8(幻=加山”[.”的圖象,

數(shù)形結(jié)合可得，當(dāng)〃?=()或;<"7<g時(shí)，)，=々(*)與)'=加有兩人交點(diǎn)，

即:|sin/|-6=0有兩解，

1

M-

53

綜上，當(dāng)函數(shù))，=|/(力|一m在區(qū)間-弓肛：不上恰有兩個(gè)零點(diǎn)不工2時(shí)，

Z4o

【隨堂演練】

cos'a-cosa_

1.已知lan0=2,則(萬(wàn))()

cos^+-l

D.

2

【答案】A

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式對(duì)所求式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)齊次式進(jìn)行求值即可.

【詳解】因?yàn)閠ana=2,

cos3a-cosa_cos?-(cos2a-1)coscr(-sin'a)

sinacosatana2

----------------------=sinacosa=

所以一-sina-sinasin2a+cos2a1+tan2a5?

cosa+y

故選：A.

2.已知ae(0,兀)，且3cos加一8cosa=5,則sina=()

A岳B。I

二3D.

39

【答案】A

【分析】用二倍角的余弦公式，將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosa的?元二次方程，求解得出cosa,再用同角間

的三角函數(shù)關(guān)系，即可得出結(jié)論.

【詳自軍】3cos2。-8cos。一5,W6uos2a-8uus(z-8=0?

2

即3cos2a-4cosa-4=0,解得8sa=-1或cosa=2(舍去),

又?:aw(0,乃),sina=-71-cos2a=乎.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換和同角間的三角函數(shù)關(guān)系求值，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能

力，屬于基礎(chǔ)題.

31

3.已知sina+cos(乃-a)=sina,則2sin?a-sinacosa=()

A.0B.工

D.2

1()2

【答案】D

【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得tana的值，再利用弦化切可求得所求代數(shù)式的值.

3萬(wàn)

【詳解】解：由誘導(dǎo)公式可得sina=sinct+cos(萬(wàn)一a)=-2cosa,所以，tan2=-2.

2sin，a-sinacosa2tan'a-tana10

因此，2sin'a-sinacosa=2.

si/a+cos2atan2a+15

故選:D.

4.為了得到函數(shù)y=sin3x+cos3MxwR）的圖象，可以將函數(shù)），=V?sin3x的圖象（）

A向右平吟個(gè)單位B.向左平吃個(gè)單位

C.向右平移展個(gè)單位D.向左平移展個(gè)單位

【答案】D

【分析】化簡(jiǎn)得至I」y=sin3x+cos3x=0sin3（x+/）,根據(jù)圖象的平移得到答案.

【詳解】y=sin3x+cos3x=0sin（3x+（=0sin3（x+*^.

故y=0sin3x向左平移立個(gè)單位長(zhǎng)可以得到），=sin3x+cos3A:為圖像.

12

故選:D.

7T、7T

5.已知函數(shù)/*）=sin（公r+。）（其中”>0,|夕|<另）圖像相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為另，一個(gè)對(duì)稱中心為

乙4

f-^°L為了得到以外=4M族的圖像，只需將/（X）的圖像（）

VoJ

A.向左平移2個(gè)單位B.向左平移三個(gè)單位

612

C.向右平移g個(gè)單位D.向右平移三個(gè)單位

612

【答案】C

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)得/（x）=sin'2x+gh再根據(jù)平移變換求解即可.

【詳解】解：由題設(shè)7=2xg=；r,所以切=且=2,

27t

所以，/（x）=sin（2x+p）,

因?yàn)橐粋€(gè)對(duì)稱中心為\g，o],且loKg,

所以，將（-￡,0）代入可得sin（-￡+夕）=0,解得e=

633

所以，/（x）=sin（2x+?）=sin[2（x+著,

所以，函數(shù)/（x）的圖像向右平移三個(gè)單位可得到gW=sin2x的圖像.

故選：C

6.要得到函數(shù)），=&cos2x的圖象，只需將函數(shù)），=缶in?的圖象（

A.向左平移J個(gè)單位B.向右平移￡個(gè)單位

oO

C.向左平移[個(gè)單位D.向右平移:個(gè)單位

44

【答案】A

【分析】先將），=V5cos2x化簡(jiǎn)為產(chǎn)虛sin（2x+9=&sin2[1+?）],再根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移即可

得出答案.

【詳解】y=V2cos2A-=x/2sin^2A-+^=V2sin2（x+￡j],所以丁二&sin（2x+?）的圖象向左平移（個(gè)

單位得：y=x/2sin2%+/）+?=^sin（2x+/）.

故選：A.

7.若sin2a=@,sin（/7-=且,PG兀,1■兀，則。+夕的值是________.

5v71014」L2」

【答案】?

4

【分析】依題意，可求得aw,進(jìn)一步可知夕-aw557t,于是可求得cos（/7-0與cos2a的值，再

利用兩角和的余弦公式及角〃的范圍即可求得答案.

【詳解】因?yàn)閍e不兀，所以2ae|,2TC,

因?yàn)閟in2a=乎，所以2aw,即aw所以cos2a二一"一sin?2a=一,

兀ItC3LLr■C兀5

因?yàn)閍w，P€小,兀，所以《一aw—,

所以cos(/7+a)=cos(1一a+%)

=cos(/?-a)cos2a-sin(/?-a)sin2<7

/3g/2石〕啊芳

一1--io-)[--5-J~-io-xT

*

2

-7T7T--3-.5

因?yàn)閍e,Pe7r,-n,所以1+ae-n,2^,

?乙乙1

■MJk*■

所以a+,二^^.

4

故答案為：耳.

4

8.已知cosex：—sin(a-6)="°,且a、6團(tuán)(0,—).求:

5102

(E)cos(2a-6)的值;

(0)6的值.

【答案】5)—;(0)

104

【分析】(回)由外6的范圍求出a-6的范圍，由題意和平方關(guān)系求出sina和cos(a-6),由兩角和的余

弦公式求出cos(2a-6)=cos[(a-6)+a]的值；

(Q)由兩角差的余弦公式求出cos6=cos[a-(a-6)]的值，再由6的范圍求出6的值.

【詳解】(倒)團(tuán)外夕0a-60(-y,y),

Hcosa=—,sin(a-=>

5v710

團(tuán)sina=Jl-sin%=,cos(a-6)=?/l-cos2(a+p\=,

5vv710

0cos(2a-0)=cos[(a-6)+a]=cos(a-6)cosa-sin(a-8)sina

3>/io小M2不近

=--------x----------------x-------=—，

10510510

(E)由(13)得,

cos3=cos[a-(a-6)]=cosacos(a-6)+sinasinCa-6)

加3V1025/5Vi0

=——X-----------+-----------X----------亞

510510V

又歷/€(0,1),團(tuán)6=(.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：拆角2。-尸=(a-￡)+a,〃(a-⑶是本題解題關(guān)鍵.

9.已知函數(shù)/3=3sin(@x+e)(網(wǎng)<9滿足對(duì)任意的xeR，都有“力=/停-，，且/(0)=一看

⑴求滿足條件的最小正數(shù)切及此時(shí)/(X)的解析式；

(2)若將問(wèn)題(1)中的/(力的圖象向右平移.個(gè)單位得到函數(shù)《)的圖象，設(shè)集合人=卜|0。工兀},集合

9

B=<H〃x)+g(x)=］、求人cB.

【答案】⑴正數(shù)◎的最小值為2,〃x)=3sin(2xq)；(2){1,引

【分析】(1)由〃0)=-|可構(gòu)造方程求得％根據(jù)已知關(guān)系式可知/(x)關(guān)于x=g對(duì)稱，采月整體對(duì)應(yīng)法

可求得?=2+3A(A￡Z),由此可得最小正數(shù)①，進(jìn)而得到了(X)；

(2)根據(jù)三角函數(shù)平移變換原則可得g(x),利用兩角和差正弦公式和輔助角公式可化簡(jiǎn)得到/(x)+g(x),

根據(jù)〃x）+g（x）=￡可求得sin卜=結(jié)合集合A中X的范圍可求得AcB.

【詳解】（1）??,/（O）=3sin0=-1,.?.sin8=-J,又|域

???/（力=/停-］，,xq是〃x）的一條對(duì)稱軸，

:3）3

ITIT7T

.\-co-^=^+k7i(keZ)f解得：0=2+3攵仕"),

，當(dāng)人=（）時(shí)，正數(shù)。的最小值為2,此時(shí)/（%）=3sin（2%-，

TC

（2）由（1）得：g（x）=fX——=-3cos2x；

6J

sinf2.r--71l-3cos2.r=—sin2x--cos2x=30.c叫

/(x)+g("=3sin2x—,

622I3j

令3石p則

令it兀t27ra””,兀-n

當(dāng)0＜x＜定時(shí)，一A2x--=—,解得：I=Q或x)

333JJJJz

"(13=工

io.已知函數(shù)/(%)=A8s(s+e)(其中人＞0,①＞o,。＜。＜萬(wàn)）的部分圖象如圖所示.

⑴求函數(shù)/。）的解析式；

⑵將/（X）的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的g（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)g（幻

的圖象.求函數(shù)y=g（x）aw［-2/D的值域.

【答案】（1）〃力=2辰OS旨+裔；（2）［-瘋2石］.

【分析】（1）由最大值和最小值確定A,由周期確定"，由最小值點(diǎn)確定。值得函數(shù)解析式；

（2）由圖象變換得出g（x）的表達(dá)式，由整體思想結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)得值域.

【詳解】（1）由圖知，A=2x/3,—=2x（6+2）,解得。=￡,

CD8

即f（x）=2Gcos（/x+e}

由圖知，函數(shù)/（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（2、-26）,7+0=4+2版■（丘Z）,

3〃

回0<°<不，^(p=—,0/(x)=2\/3cos

7xn

(2)由題意得，^(x)=2x/3cos一+一=_2鬲nN

424

7T7T

0xe[—2,l],回一^-e團(tuán)g(x)c[-瓜26],

5'W

即函數(shù)y=g("(x?-25)的值域?yàn)閇-76,2石].

11.己知函數(shù)/3)=Asin(5+0)aeR),其中(A>0M>0,0<"〈克的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交

點(diǎn)之間的距離為T，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為"(g,-2).

⑴求了。)的周期:

⑵當(dāng)xe盛甲時(shí)，求/*)的值域.

【答案】⑴兀；(2)[-1,2].

【分析】(1)由題得即得解；

(2)首先求出/(x)=2sin(2x+J)，再利用不等式的性質(zhì)和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)得解.

【詳解】(1)解：由X軸.上相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為W，得即7=兀，

222

函數(shù)/(幻的周期為九.

(2)解：由函數(shù)圖象的最低點(diǎn)為M(年,-2),得A=2,

由T=兀得/=2=2.

7C

又點(diǎn)加(/~,一2)在圖象上，得2sin(2x[+。)=—2,U|Jsin(—+p)=—1,

故---\-(p—2kit—,A6Z,所以。=2〃兀----，kEZ,

326

又Oe(0,1)，所以8=?,所以〃x)=2sin(2x+g).

26o

-r-y「冗九]「匚|、]。t乃丸7兀

又所以2X+、W—,

122。L」6-

所以sin(2x+=)e[-2,l],2sin(2x+3)e[T，2],

626

所以f。)的值域?yàn)閇T,2].

12.已知函數(shù)f(x)=2>/3sinxcosx-2cos2x+1+aaeR,且/閨=1.

⑴求。的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間：

⑵求函數(shù)/（X）在區(qū)間“以上的最小值和最大值.

［答案］（1）。=0,-3+鳳,1+履,AeZ

o3

（2）最小值一1,最大值2

【分析】（1）化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，由條件列方程求。的值，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)論求函數(shù)“X）的單調(diào)區(qū)

間.

（2）結(jié)合不等式的性質(zhì)及正弦函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)/“）在區(qū)間［。，］上的最小值和最大值.

【詳解】（1）IS/（A）=2\/3sinJCOSX-2cos2x+1+a,

所以fM=VJsin2x_2x〔++1+。，

f（x）=yj3sin2x-cos2x+a,

/w=

/(x)=2sin^2x-^+a

由尼）1知l+a=l,則。=0,所以f(x)=2sin12x-看.

--+2lai<12x--<—+2/ai,kwZ,則一二+AirWxW'+E,kwZ,

26263

則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為專嗚+E,keZ.

(2)由(1)知/(幻=2加(2%-孔ne0,g,JjliJ-i<2x-^^>

k67L2」666

當(dāng)=即x=0時(shí)，函數(shù)/（力有最小侑一1；

6o

當(dāng)2x4=9即x=3時(shí)，函數(shù)有最大值2.

62J

13.已知函數(shù)/（x）=