高三數(shù)學上學期專題突破練：函數(shù)應用

一.選擇題（共8小題）

1.（2026春?山東校級期末）用二分法求方程y-3r=0的近似解時，所取的第一個區(qū)間可以是（）

A.（0,1B.61，1C.（?1?D.02，1）

2.（2025春?東城區(qū)校級期中）設函數(shù)/X>Q,若函數(shù)g（x）=/（x）有三個

+1）夕x40

零點，則實數(shù)力的取值范圍是（）

A.（1,+8）B.[-/，0]C.{0}U（1,4-00）D.（0,1]

3.（2025春?安徽月考）已知/（x）=⑺3+加&cx+d（。<0）有兩個極值點xi,X2,且/（xi）=%2,f

（x）的導函數(shù)為g（x）,則關于x的方程gV（x）]=（）的不同實根個數(shù)為（）

A.6B.5C.4D.3

Inx

4.（2025春?泰安校級期末）設函數(shù)/（x）=x，%，若關于x的方程（/（x）]2+mf（x）

-（x-1）3,X<1

-1-m=0恰好有4個不相等的實數(shù)解，則實數(shù)m的取值范圍是（）

11

A.（-1,--1）B.（-1-7?-1）

ee

11

C.（1,-+1）D.（0,-）

ee

fr2—,2xfx<。

5.（2025?武強縣校級模擬）已知/■（為=七萬x>Q，則方程/（X）=8所有的根之和為（）

A.1B.2C.5D.7

6.（2025?五河縣校級模擬）在神經網絡優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學習率模型為乙=d。為（。為常數(shù)），

其中L表示每一輪優(yōu)化時使用的學習率.，口表示初始學習率，。表示衰減系數(shù)，〃表示訓練迭代

輪數(shù)，G）表示衰減速度.已知某個指數(shù)衰減的學習率模型中Go=2O,當〃=10時，學習率為0.25；

當〃=30時，學習率為0.0625,則學習率衰減到0.05以下所需的訓練迭代輪數(shù)至少為（）（已

知/叱（）.3）

A.31B.32C.33D.34

7.（2025?武強縣校級模擬）設函數(shù)/（外=/-6"+6,”'0,若互不相等的實數(shù)m，火，刈滿

I3x+4,x<0

足/'（XI）=/（A2）則XI+X2+X3的取值范圍是（）

A.（壽第B.（y,竽）C.得,6]D.得，6）

8.（2024秋?朝陽區(qū)校級期末）已知函數(shù)/?（乃=1?①"’0c2,若關于丫的方程/G）="]

U2-8x+13,x>2

有4個不同的實根X]、X2、％3、X4,且XIVA2Vx3Vx4,則（—+/）/=（）

X1X2

A.（16,32-8V3）B.（16,32）

C.（32+8忖48）D.（32,48）

二.多選題（共3小題）

（多選）9.（2026春?山東校級期末）設s,/>（）,若滿足關于x的方程麻二日+配而=2s恰有

三個不同的實數(shù)解X1VX2V%3=S，則下列選項中，一定正確的是（）

64

A.A：l+X2+X3>0B.s

125

t4

c.-=-Dnstf_=24

s5-~25

（多選）10.（2025春?邯鄲期中）已知函數(shù)。（%）=7+513_奴/，則下列說法正確的是（)

A.若/（%）恰有3個零點,

B.若/（x）恰有3個零點,

則。的取值范圍是（e+,整）

C.若/（%）恰有4個零點,

3Z>J.I

D.若/（外恰有4個零點,則〃的取值范圍是（2°-2,哭）

（多選）11.（2025春?梁溪區(qū)校級期中）定義方程/Cr）=f（x）的實數(shù)根刈叫做函數(shù)f（上）的“新

不動點”，有下列函數(shù):

①g（%）=x?2±

②g（x）=--2r；

③g（x）=lnx-,

④g（x）=sinx+2cosx.

其中只有一個“新不動點”的函數(shù)有（）

A.①B.②C.③D.@

三.填空題（共3小題）

12.（2025春?三亞校級期中）已知函數(shù)/（x）=〃/?7+3有兩個零點，則實數(shù)m的取值范圍

是.

13.（2024秋?江西校級月考）設函數(shù)/?（切=171用’0<X"4,若方程/（x）=〃？有匹個不相等

1/（8-x）,4<x<8

的實根與（i=l，2,3,4）,則*+喘+巖+*的最小值為

14.(2025?福建模擬)如圖，對于曲線G所在平面內的點。若存在以。為頂點的角a,使得對于

曲線G上的任意兩個不同的點A,8,恒有NAOBWa成立，則稱角a為曲線G的相對于點O的

“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲線G的相對于點O的“確界角”.已知曲線C：y=

xex~1+1,x>0,

#+L%工°(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))，O為坐標原點，曲線C的相對丁點。的“確界

角”為由則

0

四.解答題(共5小題)

15.(2024秋?眉山期末)已知函數(shù)/(乃=。%-末93(*+1)為偶函數(shù).

(I)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)設九(乃=/0。3(53乂)，若函數(shù)y=x-/(x)與函數(shù)力(x)的圖象有且僅有一個公共點，求實

數(shù)c的值.

16.(2024秋?朝陽期末)現(xiàn)定義了一?種新運算“十”：對于任意實數(shù)x,戶都有％十y=，。9式/+))

(心0且啟1).

(1)當a=2時,計算4十4；

(2)證明：Vx,y,zGR,都有(x十y)十z=.r十(.v十z)；

22

(3)設m=loga(x-3ax+2a),若f(x)=〃?十〃llog.2在區(qū)間[s,1](0<5<r<c)上的值

域為[logflZ,log?5],求實數(shù)a的取值范圍.

17.(2025春?通州區(qū)校級期中)已知函數(shù)/?(%)=[M+皿，0<X-1的圖象過點4，2),其

,log2x+x+I,1<x<2

中wGR.

(1)求〃?及/(2)的值;

(2)求證：V-(0,2],都有xV/(x)Wx+2；

(3)記函數(shù)g(x)=[/1(x)-(x+a)|(</GR)在(0,2]上的最大值為M(a),當M(a)最小

時，求a的值.

18.(2025春?吉首市校級期中)已知/(外=2?+辦+力過點(0,-1),且滿足/(-I)=/(2).

(1)求/(x)在[加，〃?+2]上的最小值〃(〃?).

(2)若/(須)=加，則稱刈為y=/(x)的不動點，函數(shù)g(x)=/(x)-〃x+〃有兩個不相等的

高三數(shù)學上學期專題突破練：函數(shù)應用

參考答案與試題解析

一.選擇題(共8小題)

題號12345678

答案BDDBADDA

二.多選題(共3小題)

題號91011

答案BCADABC

一.選擇題(共8小題)

1.(2026春?山東校級期木)用二分法求方程依-3-x=0的近似解時，所取的第一個區(qū)間可以是()

111122

A.(0,包B.0,分C.應,電D.(仔，1)

【解答】解：令/'(X)=4-3T,則/(0)=0-1=-1<0,

/⑴=4-3-1=1-1>0.

11

故用二分法求方程4-3交=0的近似解時，所取的第一個區(qū)間可以是(F-).

故選:B.

2.(2025春?東城區(qū)校級期中)設函數(shù)/(%)={黑;若函數(shù)g(x)=/(x)-b有三個

零點，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(1,+8)B.[-去，0]C.[()}U(1,+oo)D.(0,1]

【解答】解:由題意/(X)=6有三個根，即直線y=〃與函數(shù)f(x)的圖象有三個交點，

當xWO時，/(x)="(x+1),則/(x)(x+2),

由/'(x)V0,得x+2V0,即在(?8,?2),此時f(x)在(?8,-2)上單調遞減，

[tl/(x)>0,得x+2>0,即xW(-2,0],此時/(x)在(?2,0]上單調遞增,

當X--8時，/（x）f0,當x=-2時，/（外取得極小值/（-2）=-

下面我們作出了（幻的圖象如圖：

要使/（x）=6有三個根，則尤（0,1],故。正確.

故選：D.

3.（2025春?安徽月考）已知j（x）=o?+b/+cx+d（〃<0）有兩個極值點加，，且/（XI）=X2?f

（x）的導函數(shù)為g（x）,則關于x的方程g[/（x）]=。的不同實根個數(shù)為（）

A.6R.5C.4D.3

【解答】解:由題意可得g（x）=/（x）=3o?+2/zr+c,

由/（x）有兩個極值點XI，X2，

則g（X）=3〃/+2版+c存在兩個變號零點XI,X2,且％|W.V2,

貝|JA=4廬?12ac>0,

且g（xi）=g（X2）=0,

則由J—0,得/（X）—XI或/（X）—X2,

①若XI〈X2,結合/（XI）=X2,

所以/（K）=內存在1個根，/（X）=也存在2個根，如下圖所示：

所以關于x的方程g|/（x）]=0的不同實根個數(shù)為3：

②若X|>A2，結合/（XI）=X2，

所以/（X）=內存在1個根，/（X）=X2存在2個根，如下圖所示：

綜上，關于X的方程gi/a)]=0的不同實根個數(shù)為3.

故選：D.

dnx7

4.(2()25春?泰安校級期末)設函數(shù)/(x)=才'"，若關于工的方程1/(x)『+勿獷(「

(-(%-1)\x<l

-1-6=0恰好有4個不相等的實數(shù)解，則實數(shù)/〃的取值范圍是()

11

A.(-1,--1)B.(-I--1-1)

ee

11

C.(1,-+1)D.(0,-)

ee

【解答】解：因為[/(x)]W(X)-1-m=0恰好有4個不相等的實數(shù)解，

所以|/(工)+w+l][/'(x)-1]=0恰好有4個不相等的實數(shù)解，

所以/(JV)=I或/(x)=-m-I共有4個解，

設以無)=#(x>l),

則”(x)=與警

所以在(1,e)時,/?’(x)>0,h(x)單調遞增，

xE(e,+0°)時，h'(%)<0,h(x)單調遞減，且。(1)=0,/i(e)=

,h(x)-0,

所以h(x)E[0,1],

設g(x)=?(X-1)3(A<1),

則g'(x)=-3(x-1)2<0,g(x)為單調減函數(shù)，

且人一-8時，g(x)-*+oo,g(1)=0,g(x)e(0?-8),

作出函數(shù)/(x)的圖象如圖所示：

由圖可知/(/)=1只有一解，

要+〃?+1][/.(x)-1]=0恰好有4個不相等的實數(shù)解,

即要f(X)=-〃?-1恰有3解，

所以。<一加一1</即一1一《VmV-l.

故選：B.

—2x.xVO

5.（2025?武強縣校級模擬）已知f（x）=，則方程/（x）=8所有的根之和為（）

,2",x>0

A.1B.2C.5D.7

【解答】解：當xVO時，

令』?2r=8,

BPx2-^-8=0,

解得x=-2；

當x20時，

令2*=8,

解得工=3,

所以方程/（x）=8的根為3,-2,

所以所有根之和為I.

故選：A.

6.（2025?五河縣校級模擬）在神經網絡優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學習率模型為（。為常數(shù)），

其中L表示每一輪優(yōu)化時使用的學習率，〃）表示初始學習率，。表示衰減系數(shù)，〃表示訓練迭代

輪數(shù)，Go表示衰減速度.已如某個指數(shù)衰減的學習率模型中Go-20,當〃一1（）時，學習率為0.25；

當〃=30時，學習率為0.0625,則學習率衰減到0.05以下所需的訓練迭代輪數(shù)至少為（）（已

知/叱0.3）

A.31B.32C.33D.34

【解答】解：因為衰減學習率模型為L=L0D合，

101

所以根據已知條件可得：0.25=LoD20=L0D2@,

303

0.065=L0D2U=②,

用②式除以①式可得:

3

0.0625

T=年“‘化簡可得：。=°.25.

L0D2

將0=0.25代入①式中可得：Lo=O.5.

所以衰減學習率模型為L=0.5-0.25雙

當學習率衰減到0.05以下時,

BPL=0.5-0.2520<0.05.

化簡上述不等式得：‘■ZgO.25Vg0.1,

20

n

即nX（-2）lg2<-1,

……九713

所以一?/g2>l,----->1,

1011010

所以2—右33.3.

因為〃為正數(shù)，所以最小值取34.

故選：D.

7.（2025?武強縣校級模擬）設函數(shù)/CO=1/-6"+6,"0,若互不相等的實數(shù)不，.必依滿

.3》+4,x<0

足/（xi）=/（n）=f（r3?,則口+門+13的取值范圍是（）

A.（冬,給B.（冬，學）C.（孝，6]D.得，6）

【解答】解：不妨設XIV.r2Vx3,f（XI）=f（X2）=f（X3）=t,f（x）的圖象如圖所示，

故—/<X]V0,X2+X3=6,故%1+*2+%3W(學，6).

故選：D.

8.（2024秋?朝陽區(qū)校級期末）已知函數(shù)/'（%）=1292加‘°V%"2,若關于式的方程/（“）=〃?

U2-8x4-13,x>2

有4個不同的實根內、.V2、小、“4,且XIVX2VK3VK4,則（""4網=（）

X1X2

A.(16,32-8百)B.(16,32)

C.（32+8G48）D.（32,48）

【解答】解：作出函數(shù)），=f（x）和函數(shù)），=，〃的圖象可知,

假設兩個函數(shù)的圖象共有4個交點A,B,C,D,

且橫坐標分別為XI,X2,A3.X4,XI〈X2Vx3Vx4，0<Xl<1<A-2<2,

由f（A1）=f（X2），W|log2V||=|log2X2|，則有?10g2Kl=10g2X2，

所以logZYl+k）gZV2=0,所以X|X2=1.

由于二次函數(shù)），=/-8X+13圖象的對稱軸為直線x=4,

則點C、。兩點關了直線人=4對稱，所以4+M=8.則6+”4）%3=

X1X2

令』?8x+13=O,解得％=4-遍或％=4+6，所以43^（2,4-V3）,

（"3+“4"3

所以=8叼e（16,32-8A/5）.

xlx2*

故選：A.

二.多選題（共3小題）

（多選）9.（2026春?山東校級期末）設s,/>0,若滿足關于x的方程麻=Fi+JjKT7i=2s恰有

三個不同的實數(shù)解RV,v2Vx3=s,則下列選項中，一定正確的是（）

64

A.XI+A2+X3>0B.s?￡=

【解答】解:設f(x)=yj\X-t|+yf\x+t\,滿足,f(?％)=f(x),

可知/(x)為偶函數(shù)，

/.Ai+x2+x3=O,故A不正確；由/(x)=2s,其中必有一解為0,則/(O)=V?+Vt=2s,

???24=2"當OWxW/時，/(x)=VF^X+VFTX<2『一字+X=2VL

當且僅當工=0時，取等號；

當時，f(X)=—%++X在(f,+8)遞增，

,**f(x)=2.s=2,yftr?*.yjx-t+\/x+t=2.y/t=>x—t+2J(x-￡)(X+t)+x+f=4/

=>“4A=5v/=>A=75/,

又?"（x）在又+8）遞增,

?；V3="即X3=S=搭￡=五=/=票，m]t=1，可得所以C正確.

44ZD4>55

???$?/=1X1|=基，所以8正確；S7=言.所以。錯誤.

故選：BC.

(多選)10.(2025春?邯鄲期中)已知函數(shù)/(x)=,+>[3-6a則下列說法正確的是(

A.若/(外恰有3個零點，則。=矍

B.若/(x)恰有3個零點：則a=

C.若/(x)恰有4個零點，則”的取值范圍是(。4，整)

D.若/(%)恰有4個零點，則。的取值范圍是(2e-2,罷)

【解答】解：因為函數(shù)/G)=?+e2k3-如產的定義域為R,當工=0時，/(X)=/3/0,

令f(x)=0,則/+。2工3_ar/=0,

x^+elx3=axex,

兩邊同時除以

得。=a+號awo),

令。(%)=*+9(S。)，

則函數(shù)/(/)的零點個數(shù)即為直線)，=〃與函數(shù)y=g(x)的圖象交點個數(shù),

十日殂、1—xex-3(x—1)(x—l)(e2x-3—x2)/,.

求導得g(%)=.+—力--=--/7--------(xw°n)，

令函數(shù)h(x)=e2r'3-A-2,

求導得/(x)=207一次

令函數(shù)(p(x)=li(x),

求導得(p'(x)=4e"3?2,

易知函數(shù)4'(x)在R上單調遞增，

令(p'(x)=4e2x3-2=0,解得x=，:成，

當％V支磐時，(pfG)=4>廠3-2<0；當支羅時，“J)=4e2V-3?2>0,

則函數(shù)(p(x),即"'(x)在(一8,三磐)上單調遞減，在(3鏟，+8)上單調遞增,

而"(0)=2。-3>0,h'(3=2e-2-lV0,h'(^)=-l<0,h'(2)=2e-4>0,

14

則存在加e(0，/)，%ie(1,2),使得(AO)=?(AO=0,

當xVxo或x>xi時，h'(x)>0?

當xoVxVxi時，h'(.x)<0?

于是函數(shù)萬（X）在（-8,刈），（XI,+OO）上單調遞增，在（xo,xi）上單調遞減,

5

2

又/i（_l）=e-s_ivo,h（0）=e-3>0,h（^）=e-2<0,h（2）=-=e-245

2

>0,

則存在不€（—1，0），x3e（0,i）,x4e（2,1）,

使得人（X2）=h（X3）=h（X4）=0,

所以當X〈X2或X3〈X〈X4時，力（x）<0；

當X2<X〈X3或X>X4時，h（x）>0,

于是函數(shù)屋（x）有4個零點X2，X3，1，X4,

且X2<0<X3<1<X4,

當XVX2或X3〈XV1或工>工4時，g'（X）>0;

當r2VYVO或OOO3或IVxVr4時，g'（r）VO,

函數(shù)g（x）在（-00,X2）上單調遞增，在（X2,0）上單調遞減，

且當xVO時，g（x）<0：當x>0時，g（x）>0?

因此當xVO時，直線y=a與函數(shù)），=g（x）的圖象最多兩個交點；

函數(shù)g（A-）在（X3，1），（A4,+8）上單調遞增，

在（0,X3）,（1,X4）上單調遞減，

當x=l時，函數(shù)g（x）取得極大值g（l）=皆<1,

11,3030°2

乂g（布）>30e2>p->1,或5）>虧>1，

令h（x）=/尸3-7=0,

則有eZi3=7,e2x=e3.7,—二9.工,

由h（X3）=h（X4）=0,

33

x

得鏟3=x3e2,e4=x4e2,

當X=X3，X=X4時，g（X）取得極小值，

3

。。3）=,+《—=口+普=2eW,同理。（孫）=2e~2f

692X3e

作出函數(shù)y=g（x）的圖象，如圖所示:

即直線y=a與函數(shù)y=g(工)的圖象有3個交點，

由圖可得。二號，故A正確，B錯誤；

對于CD,/'(x)恰有4個零點，

即直線)，=。與函數(shù)y=g(x)的圖象有4個交點，

3p_i_i

由圖象可得2C-2VQV號，故C錯誤，。正確.

e￡

故選：AD.

(多選)11.(2025春?梁溪區(qū)校級期中)定義方程/(X)=/(x)的實數(shù)根xo叫做函數(shù)/(<)的“新

不動點”，有下列函數(shù)：

①g(x)=x*2S

②g(x)=--2x：

?g(x)=hvc；

④g(x)=sinx+2cosx.

其中只有一個“新不動點”的函數(shù)有()

A.①B.②C.③D.@

【解答】解:對于①，/(x)=2、+爐2、?及2,解、?2、=2、+X?2八。72,得：%=不先，

???g(x)只有一個“新不動點”，故①滿足題意；

對于②,針(X)=-ex-2,W-ex-2=-ex-2x,得：x=l,

???g(x)只有一個“新不動點”，故②滿足題意；

對于③，g'(%)=<，

根據y=btx和y=2的圖象可看出仇x=:只有一個實數(shù)根，

人人

???g(x)只有一個“新不動點”，故③滿足題意；

對于④，g'(x)=cosx-2sin.v,

由sin.v+2cosx=cosx-2sinx,得3sinx=-cosx,

tanx=一，

1J

根據y=taiu?和尸一之的圖象可看出方程tcmx=有無數(shù)個解,

???g(x)有無數(shù)個“新不動點”，故④不滿足題意.

故選：ABC.

三.填空題(共3小題)

12.(2025春?三亞校級期中)已知函數(shù)/(x)=機，-』+3有兩個零點，則實數(shù)m的取值范圍是

(-2e，0]U底}一.

【解答】解：因為/(x)=m/-/+3有兩個零點，

所以/(x)=mex-7+3=0,

即血=分有兩個實數(shù)根,

Y2_Q

記g(x)=

2xex-(x2-3)ex_X2-2X-3_-(x-3)(x-l-l)

則g'(x)

(3

當xV-1和x>3時，/(%)<0,

當?1VXV3時，g'(x)>0?

故g(x)在(-8,-i),(3,+8)單調遞減，在(-1,3)單調遞增,

g(-2)=-2e，g(3)=/,

由圖象可知：當02m>-2e或帆=盤時，直線尸與g(x)的圖象有兩個交點,

故實數(shù)機的取值范圍(一2e,0]U瑜.

故答案為：(-2e,0]U{/}.

3(2。24秋?江西校級月考)設函數(shù)&)={黑:；：：匚⑴若方程小)f有三個不相等

的實根r(i=l，2,3,4).則*+后+省+舄的最小值為92.

t解答】解;由/(x)=/(8-x),

所以函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=4對稱，

當4VxV8時，0V8-XV4,f(x)=/(8-x),

因此/(x)在4<x<8的圖象是0<x<4的圖象關于直線X=4對稱而得,

作出函數(shù)y=/(x)的圖象，如圖所示：

方程/(x)=〃?有四個不相等的實根，

即函數(shù)>=/(幻的圖象與直線,=機有4個交點,

由圖知0V〃?V2/〃2,

不妨設XiVx2Vx3Vx4,lnx\="m,bvc2=fn,

則luxI+//Z.Y2=0,即戈1X2=1,

令-bix=ln4t得A—

所以％iW(/，1),

又因為函數(shù)的圖象關于x=4對稱，

所以X1+X4—8,X2+X3—8,

則33=8—小=8一丁,勾=8—%1，

X1

則好+域+好+螳=*+*+(8—出2+(8-4)2

=2(xf+—16(乃1+—)+128

2

=2(X1+^-)-16(X1+^)+124

=2(右+；—4)2+92,

X1

由EG,1)，則力+/w(2,%，

因此當%1+3=4,即川=2—6W(；,I)時，好+好一螃+弱取得最小值92.

X14

故答案為：92.

14.(2025?福建模擬)如圖，對于曲線G所在平面內的點0,若存在以。為頂點的角a,使得對于

曲線G上的任意兩個不同的點4,從恒有NAOAWa成立，則稱角a為曲線G的相對于點O的

“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲線G的相對于點O的“確界角”.已知曲線C；y

xe'T+1,x>0/

1,(其中。是自然對數(shù)的底數(shù))，。為坐標原點，曲線。的相對于點。的“確界

m/+1，x<0

0

【解答】解：當x>0時，過原點作的切線，

設切點4(右，%通必7+1),

y=(x+i)自=(必+1)靖】-1,

則切線方程為廠(.靖「1+1)=(xi+1)ex】一1(x-xi),

又切線過點(0,0),

所以?xie*L】-1=-(AI+1)e*Li,

整理得"靖】一1一1=0,

設g(x)=xLex'1(x>0),

則g'(x)=(?+Zv)"」>0,

故g(x)為單調遞增函數(shù)，且g(1)=1,

所以xi=l,M=2,

當A<0時，過原點作y=+1的切線，

設切點8。2,擊廄+1)，

,1.1

y=QX,k2=gX2?

則切線為y—(普超+1)=—xz)?

又切線過點(0,0).

所以一金螃一1=一,行'

又X2W0,

所以X2=-4,七=一］

因為k\k)=-I,

所以兩切線垂直，所以6=當

TC

故答案為：

四.解答題(共5小題)

15.(2024秋?眉山期末)已知函數(shù)/(乃=6-，。。3(/+1)為偶函數(shù).

(1)求函數(shù)/(x)的解析式;

(2)設九(%)=Io*"?3*),若函數(shù)y=x?/(x)與函數(shù)力(％)的圖象有且僅有一個公共點，求實

數(shù)。的值.

【解答】解:因為/(x)=Q%-因。3(9"+1)，—R,且為偶函數(shù),

所以f(-x)=-ax-logs(9x+1)=-ax-[log3(>+l)-2x]=-(a-2)x-Iog3(>+1),

所以or-log3(9*+1)=-(a-2)x-Iog3(9'+1),

解得。=1，

所以/(%)="-10仍(9，+1);

x

(2)y=x-f(x)=log3(9+1),

Xx

由題意可得!。93??3)=log3(9+1)只有一個解，

即c?3x=9'+l只有一個解，

又因為3、>0,

所以。=3'+=只有一個解，

(D

乂因為3弓“卜仔二2,

當且僅當3、=/，即x=0時，等號成立，

所以c=2.

16.(2024秋?朝陽期末)現(xiàn)定義了一種新運算“十”：對于任意實數(shù)x,y,都有％十y=1。%(戶+心)

(a>0且。大1).

(1)當〃=2時,計算4十4；

(2)證明：Vx,zER,都有(A0.V)十z=x十(y十z)；

(3)設m=，。。式/-3ax+2a2),若f(A-)=〃?十m-k>g〃2在區(qū)間[s,〃C0<s<t<a)上的值

域為[log/,logos]?求實數(shù)a的取值范圍.

445

【解答】解：(1)當。=2時，4?4=ZO^2(2+2)=log232=log22=5；

xylO3a(aX+ayzx

(2)證明：因為(％十y)十z=loga(a+a)十z=loga(a-^+a)=loga(a+a"+

吟，

zxloyxz

X(J)(y(J)z)=x?[loga(ay+a)l=loga(a+a^-^)=loga(a+a、+a)>

所以(A?y)十2f十(.v十z)；

mm

(3)山新運算可知，f(乃=m①mloga2=loga{aIa)loga2=mIloga2loga2=

22

m=loga(x-3ax+2a),

22

所以/(x)=loga(x—3ax4-2a),

令g(x)=7-3at+2a2=Cx-a)Cx-2a),開口向上，對稱軸為\=當，

令g(x)>0,得xVa或x>2a,

又因為。>0且nWl,

則g(x)在(0,a)上單調遞減，

又因為/(x)在［s,力上的值域為［log7,log.s］,

所以log?/<logaS(5<z),

所以y=log△?在［s,”上為單調遞減函數(shù)，

則OVoVl,

所以/(x)在［s,4上單調遞增，

iihlW(s)=tpnfs2-3as4-2a2=t

則t-叫_3砒+2°2=S，

整理得，3a($_/)=-($_/),

所以s+t-3a=-1,

將f=3a?s-1代入s2~3as+2a2=t,

得J-(3a-1)s+2j-3。+1=0,

同理得，?-(.3a-1)z+2t?2-3〃+l—0.

所以s,t是函數(shù)h(x)=.r-(3。-1)x+2a2-3a+\在(0>a)上的兩個不同的零點，

QV或01

7I(0)=2Q2_3Q+1>0,

h(a')=-2a+l>0.a<1

則?3a-l，即2,

0<^y-L<a,1<a<l

22

U=(3Q-I)-4(2a-3Q+1)>0,。〈一3-26她>一3+2百

解得2巡一3VaV：

故實數(shù)。的取值范圍為（2D一3,1）.

17.（2025春?通州區(qū)校級期中）已知函數(shù)/'0）=1'+皿'0<%-1的圖象過點4，?）,其

24

（log2x+x+l,l<x<2

中mGR.

(1)求〃?及/(2)的侑：

(2)求證：V.re(0,2］,都有％V/(x)Wx+2；

(3)記函數(shù)g(x)=\f(x)-(xia)|(?CR)在(0,2］上的最大值為M(a),當M(a)最小

時，求a的值.

【解答】解:(1)因為圖象過點

“，1m3m1

所以_+_=-，—=

42422

解得m=L

所以/(2)=1032+2+1=4；

x2+x,0<x<1

(2)證明：由(1)可知/(x)=

log2x+%+1,1<x<2

當OVxWl時，OVfWl,

所以xv/+xWx+1Wx+2，

當1VXW2時，OVlogzxWl,

所以r<r+1VIag2r+r+l<r+2,

綜上，VA-e(0,2],都有xV/(x)Wx+2；

0<x<1

(3)設/?(X)=fCx)-x=

log2x+1,1<x<2

則g(x)=\f(x)-(x+a)\=\h(x)-a\f

因為在(0,1］單調遞增，且在x=l處取最大值1,

廠logM+l在(1,2］單調遞增，且在x—1處取最小值1,

所以力(x)在(0,2］單調遞增，值域為(0,2］,

所以-a<h(x)?aW2-a,

故-a<g(x)W2-a,

所以當aWl時,此時間W|2-a|=2-m

故M(a)=2-a,

當a>l時，此時a>|2-a|M(a)不存在,

所以當M(a)最小時，。=1

18.(2025春?吉首市校級期中)已知f(x)=2?+辦+力過點(0,-1),且滿足/(-I)=/(2).

(1)求/求)在［m,1+2］上的最小值2(TW).

(2)若/(燦)=加，則稱刈為y=/(x)的不動點，函數(shù)g(x)=/(x)-以+〃有兩個不相等的

不動點XI、X2,且XI>X2>0,求上■+包的最小值.

%2

【解答】解：(1)因為/(］)=2?+ax+〃過點(0,-1),且滿足/(-1)=/(2),

所以｛b=-1

2—a+b=8+2a+b

解得｛￡：1；，

所以/(x)=2r-2x-1,對稱軸為A-I，

當j<7幾時，/(x)在［m,〃?+2］上單調遞增,

所以/?Cm)=f("7)=2nr-2m-1,

當?nv/vm+2,即一2VmV,時，

f(x)在［m,占上單調遞減，g,m+2］上單調遞增,

3

所以h(m)=/(I)=1-1=-

2

當m+2*即m+-楙時,/(x)在防m(xù)+2］上單調遞減，

所以/?(m)=/(，〃+，.)=2-I=?m^+6m+3,

2m2—2m-1,m>

-i,-<?n<i;

乙乙乙