邏輯代數(shù)基礎(chǔ)事物往往存在兩種對立的狀態(tài)，在邏輯代數(shù)中可以抽象地表示為0和1，稱為邏輯0狀態(tài)和邏輯1狀態(tài)。邏輯代數(shù)是按一定的邏輯關(guān)系進行運算的代數(shù)，是分析和設(shè)計數(shù)字電路的數(shù)學(xué)工具。在邏輯代數(shù)，只有０和１兩種邏輯值，有與、或、非三種基本邏輯運算，還有與或、與非、與或非、異或幾種導(dǎo)出邏輯運算。

邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量，用大寫字母表示。邏輯變量的取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1，0和1稱為邏輯常量，并不表示數(shù)量的大小，而是表示兩種對立的邏輯狀態(tài)。邏輯是指事物的因果關(guān)系，或者說條件和結(jié)果的關(guān)系，這些因果關(guān)系可以用邏輯運算來表示，也就是用邏輯代數(shù)來描述。2.1概述2.2.1基本邏輯函數(shù)及運算1、與邏輯（與運算）與邏輯的定義：僅當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的所有條件（A，B，C，…）均滿足時，事件（Y）才能發(fā)生。表達式為：開關(guān)A，B串聯(lián)控制燈泡YＹ＝ＡＢＣ…2.2邏輯函數(shù)及其表示法兩個開關(guān)必須同時接通，燈才亮。邏輯表達式為：Ｙ＝ＡＢA、B都斷開，燈不亮。A斷開、B接通，燈不亮。A接通、B斷開，燈不亮。A、B都接通，燈亮。這種把所有可能的條件組合及其對應(yīng)結(jié)果一一列出來的表格叫做真值表。將開關(guān)接通記作1，斷開記作0；燈亮記作1，燈滅記作0?？梢宰鞒鋈缦卤砀駚砻枋雠c邏輯關(guān)系：功能表實現(xiàn)與邏輯的電路稱為與門。與門的邏輯符號：Ｙ＝ＡＢ真值表邏輯符號2、或邏輯（或運算）或邏輯的定義：當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的各種條件（A，B，C，…)中，只要有一個或多個條件具備，事件（Y）就發(fā)生。表達式為：開關(guān)A，B并聯(lián)控制燈泡YＹ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋…兩個開關(guān)只要有一個接通，燈就會亮。邏輯表達式為：Ｙ＝Ａ+ＢA、B都斷開，燈不亮。A斷開、B接通，燈亮。A接通、B斷開，燈亮。A、B都接通，燈亮。實現(xiàn)或邏輯的電路稱為或門?；蜷T的邏輯符號：Y=A+B真值表功能表邏輯符號3、非邏輯（非運算）非邏輯指的是邏輯的否定。當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的條件（A）滿足時，事件不發(fā)生；條件不滿足，事件反而發(fā)生。表達式為：Ｙ＝Ａ開關(guān)A控制燈泡Y實現(xiàn)非邏輯的電路稱為非門。非門的邏輯符號：Y=AA斷開，燈亮。A接通，燈滅。真值表功能表邏輯符號1、與非運算：邏輯表達式為：2、或非運算：邏輯表達式為：2.2.2幾種導(dǎo)出的邏輯運算3、異或運算：邏輯表達式為：4、與或非運算：邏輯表達式為：5、同或運算：邏輯表達式為：一、邏輯函數(shù)的建立：

2、邏輯函數(shù)：如果對應(yīng)于輸入邏輯變量A、B、C、…的每一組確定值，輸出邏輯變量Y就有唯一確定的值，則稱Y是A、B、C、…的邏輯函數(shù)。記為

注意：與普通代數(shù)不同的是，在邏輯代數(shù)中，不管是變量還是函數(shù)，其取值都只能是0或1，并且這里的0和1只表示兩種不同的狀態(tài)，沒有數(shù)量的含義。2.2.3邏輯函數(shù)及其表示法

1、邏輯表達式：由邏輯變量和與、或、非3種運算符連接起來所構(gòu)成的式子。在邏輯表達式中，等式右邊的字母A、B、C、D等稱為輸入邏輯變量，等式左邊的字母Y稱為輸出邏輯變量，字母上面沒有非運算符的叫做原變量，有非運算符的叫做反變量。建立舉例：課本P16[例2.2.1]、[例2.2.2]二、邏輯函數(shù)的表示方法

1、真值表

2、邏輯函數(shù)式

3、邏輯圖通過真值表可以直接寫出邏輯函數(shù)表達式。方法是將真值表中Y為1的輸入變量相與，取值為1用原變量表示，0用反變量表示，將這些與項相加，就得到邏輯表達式。這樣得到的邏輯函數(shù)表達式是標(biāo)準(zhǔn)與－或邏輯式。各種表示法之間可以相互轉(zhuǎn)換2.3邏輯代數(shù)的基本定律和規(guī)則2.3.1

邏輯代數(shù)的公式（1）常量之間的關(guān)系（2）基本公式分別令A(yù)=0及A=1代入這些公式，即可證明它們的正確性。利用真值表很容易證明這些公式的正確性。如證明A·B=B·A：2.3.2

邏輯代數(shù)的基本定律與普通代數(shù)相似(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC分配率A(B+C)=AB+AC=A+AB+AC+BC等冪率AA=A=A(1+B+C)+BC分配率A(B+C)=AB+AC=A+BC0-1率A+1=1證明分配率：A+BA=(A+B)(A+C)證明：分配率A+BC=(A+B)(A+C)互補率A+A=10-1率A·1=1互補率A+A=1分配率A(B+C)=AB+AC0-1率A+1=1例如，已知等式，用函數(shù)Y=AC代替等式中的A，根據(jù)代入規(guī)則，等式仍然成立，即有：2.3.3邏輯代數(shù)的三個重要規(guī)則（1）代入規(guī)則：任何一個含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個邏輯函數(shù)代替，則等式仍然成立。這個規(guī)則稱為代入規(guī)則。（2）反演規(guī)則：對于任何一個邏輯表達式Y(jié)，如果將表達式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，那么所得到的表達式就是函數(shù)Y的反函數(shù)Y（或稱補函數(shù)）。這個規(guī)則稱為反演規(guī)則。例如：（3）對偶規(guī)則：對于任何一個邏輯表達式Y(jié)，如果將表達式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，而變量保持不變，則可得到的一個新的函數(shù)表達式Y(jié)＇，Y＇稱為函Y的對偶函數(shù)。這個規(guī)則稱為對偶規(guī)則。例如：對偶規(guī)則的意義在于：如果兩個函數(shù)相等，則它們的對偶函數(shù)也相等。利用對偶規(guī)則,可以使要證明及要記憶的公式數(shù)目減少一半。例如：

注意：在運用反演規(guī)則和對偶規(guī)則時，必須按照邏輯運算的優(yōu)先順序進行：先算括號，接著與運算，然后或運算，最后非運算，否則容易出錯。本節(jié)小結(jié)

邏輯代數(shù)是分析和設(shè)計數(shù)字電路的重要工具。利用邏輯代數(shù)，可以把實際邏輯問題抽象為邏輯函數(shù)來描述，并且可以用邏輯運算的方法，解決邏輯電路的分析和設(shè)計問題。與、或、非是3種基本邏輯關(guān)系，也是3種基本邏輯運算。與非、或非、與或非、異或則是由與、或、非3種基本邏輯運算復(fù)合而成的4種常用邏輯運算。邏輯代數(shù)的公式和定理是推演、變換及化簡邏輯函數(shù)的依據(jù)。2.4.1化簡的意義與標(biāo)準(zhǔn)2.4.2邏輯函數(shù)的公式化簡法退出2.4.3代數(shù)化簡法舉例

2.4邏輯函數(shù)的公式化簡法一、邏輯函數(shù)化簡的意義：邏輯表達式越簡單，實現(xiàn)它的電路越簡單，電路工作越穩(wěn)定可靠。2.4.1化簡的意義與標(biāo)準(zhǔn)二、邏輯函數(shù)式的幾種常見形式和變換。一個邏輯函數(shù)的表達式可以有以下5種表示形式。（1）乘積項個數(shù)最少；（2）每個乘積項中的變量個數(shù)也最少。利用邏輯代數(shù)的基本定律，可以實現(xiàn)上術(shù)五種邏輯函數(shù)式之間的變換。三、邏輯函數(shù)的最簡與—或式最簡與或表達式2.4.2邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法1、并項法邏輯函數(shù)的公式化簡法就是運用邏輯代數(shù)的基本公式、定理和規(guī)則來化簡邏輯函數(shù)。利用公式Ａ＋Ａ＝1，將兩項合并為一項，并消去一個變量。

若兩個乘積項中分別包含同一個因子的原變量和反變量，而其他因子都相同時，則這兩項可以合并成一項，并消去互為反變量的因子。運用摩根定律運用分配律運用分配律2、吸收法如果乘積項是另外一個乘積項的因子，則這另外一個乘積項是多余的。運用摩根定律（１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的項。（２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ＋Ｂ，消去多余的變量。

如果一個乘積項的反是另一個乘積項的因子，則這個因子是多余的。３、配項法（１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），為某一項配上其所缺的變量，以便用其它方法進行化簡。（２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，為某項配上其所能合并的項。４、消去冗余項法利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ，將冗余項ＢＣ消去。例：化簡函數(shù)解：①先求出Y的對偶函數(shù)Y＇，并對其進行化簡。②求Y＇的對偶函數(shù)，便得Ｙ的最簡或與表達式。2.4.3代數(shù)化簡法舉例課本P25--26[例

2.4.1][例

2.4.2]2.5邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法2.5.1最小項與卡諾圖2.5.2用卡諾圖表示邏輯函數(shù)2.5.3用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)2.5.4具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的化簡退出2.5.1最小項與卡諾圖一、邏輯函數(shù)的最小項二、卡諾圖1、邏輯函數(shù)的最小項及其性質(zhì)（1）最小項：如果一個函數(shù)的某個乘積項包含了函數(shù)的全部變量，其中每個變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個乘積項稱為該函數(shù)的一個標(biāo)準(zhǔn)積項，通常稱為最小項。

3個變量A、B、C可組成8個最小項：（2）最小項的表示方法：通常用符號mi來表示最小項。下標(biāo)i的確定：把最小項中的原變量記為1，反變量記為0，當(dāng)變量順序確定后，可以按順序排列成一個二進制數(shù)，則與這個二進制數(shù)相對應(yīng)的十進制數(shù)，就是這個最小項的下標(biāo)i。

3個變量A、B、C的8個最小項可以分別表示為：一、邏輯函數(shù)的最小項（3）最小項的性質(zhì)：①任意一個最小項，只有一組變量取值使其值為1。③全部最小項的和必為1。ABCABC②任意兩個不同的最小項的乘積必為0。2、邏輯函數(shù)的最小項表達式任何一個邏輯函數(shù)都可以表示成唯一的一組最小項之和，稱為標(biāo)準(zhǔn)與或表達式，也稱為最小項表達式對于不是最小項表達式的與或表達式，可利用公式A＋A＝1和A(B+C)＝AB＋BC來配項展開成最小項表達式。如果列出了函數(shù)的真值表，則只要將函數(shù)值為1的那些最小項相加，便是函數(shù)的最小項表達式。m1＝ABCm5＝ABCm3＝ABCm1＝ABC將真值表中函數(shù)值為0的那些最小項相加，便可得到反函數(shù)的最小項表達式。二、卡諾圖卡諾圖的構(gòu)成邏輯函數(shù)的圖形化簡法是將邏輯函數(shù)用卡諾圖來表示，利用卡諾圖來化簡邏輯函數(shù)。將邏輯函數(shù)真值表中的最小項重新排列成矩陣形式，并且使矩陣的橫方向和縱方向的邏輯變量的取值按照格雷碼的順序排列，這樣構(gòu)成的圖形就是卡諾圖?？ㄖZ圖的特點是任意兩個相鄰的最小項在圖中也是相鄰的。（相鄰項是指兩個最小項只有一個因子互為反變量，其余因子均相同，又稱為邏輯相鄰項）。每個2變量的最小項有兩個最小項與它相鄰每個3變量的最小項有3個最小項與它相鄰每個4變量的最小項有4個最小項與它相鄰最左列的最小項與最右列的相應(yīng)最小項也是相鄰的最上面一行的最小項與最下面一行的相應(yīng)最小項也是相鄰的兩個相鄰最小項可以合并消去一個變量邏輯函數(shù)化簡的實質(zhì)就是相鄰最小項的合并（1）邏輯函數(shù)是以真值表或者以最小項表達式給出：在卡諾圖上那些與給定邏輯函數(shù)的最小項相對應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0。m1m3m4m6m7m11m14m152.5.2用卡諾圖表示邏輯函數(shù)（2）邏輯函數(shù)以一般的邏輯表達式給出：先將函數(shù)變換為與或表達式（不必變換為最小項之和的形式），然后在卡諾圖上與每一個乘積項所包含的那些最小項（該乘積項就是這些最小項的公因子）相對應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0。變換為與或表達式ＡＤ的公因子ＢＣ的公因子說明：如果求得了函數(shù)Ｙ的反函數(shù)Ｙ，則對Ｙ中所包含的各個最小項，在卡諾圖相應(yīng)方格內(nèi)填入0，其余方格內(nèi)填入1。1、卡諾圖的性質(zhì)（1）任何兩個（21個）標(biāo)1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去一個變量（消去互為反變量的因子，保留公因子）。2.5.3用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)（2）任何4個（22個）標(biāo)1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去2個變量。ＢＤＢＤＢＤBD（3）任何8個（23個）標(biāo)1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去3個變量。BD

小結(jié)：相鄰最小項的數(shù)目必須為個才能合并為一項，并消去個變量。包含的最小項數(shù)目越多，即由這些最小項所形成的圈越大，消去的變量也就越多，從而所得到的邏輯表達式就越簡單。這就是利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的基本原理。2nn2、圖形法化簡的基本步驟邏輯表達式或真值表卡諾圖11合并最小項①圈越大越好，但每個圈中標(biāo)１的方格數(shù)目必須為個。②同一個方格可同時畫在幾個圈內(nèi)，但每個圈都要有新的方格，否則它就是多余的。③不能漏掉任何一個標(biāo)１的方格。最簡與或表達式ＢＤＣＤＡＣＤ冗余項2233將代表每個圈的乘積項相加兩點說明：

①在有些情況下，最小項的圈法不只一種，得到的各個乘積項組成的與或表達式各不相同，哪個是最簡的，要經(jīng)過比較、檢查才能確定。不是最簡最簡

②在有些情況下，不同圈法得到的與或表達式都是最簡形式。即一個函數(shù)的最簡與或表達式不是唯一的。2.5.4具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的化簡隨意項：函數(shù)可以隨意取值（可以為0，也可以為1）或不會出現(xiàn)的變量取值所對應(yīng)的最小項稱為隨意項，也叫做約束項或無關(guān)項。1、含隨意項的邏輯函數(shù)例如：判斷一位十進制數(shù)是否為偶數(shù)。不會出現(xiàn)不會出現(xiàn)不會出現(xiàn)不會