河南省鄭州外國語學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)

學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.函數(shù)/(x)=3'+ln2的導(dǎo)數(shù)為()

|13”

A.3Xln3+-B.3V+-C.3vln3D.—

22In3

2.已知隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布N(4。>若以2<J<6)=3p,尸偌K6)=4〃，則p=()

A.0.4B.0.3C.0.2D.0.1

3.卜+：卜1-2幻4的展開式中的系數(shù)為()

A.24B.-24C.-36D.-40

4.天津市第四十七中學(xué)為了弘揚(yáng)我國二十四節(jié)氣文化，特制作出“立春皿雨水"“驚蟄春

分”“清明,,“谷雨”“立夏,，七張知識展板放置在七個并列的文化櫥窗里，要求“立春，，和，，春分，，

兩塊展板相鄰.且“清明”和“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式種數(shù)為()

A.265B.320C.480D.960

5.若函數(shù)/(')=/+*"一]]B在(1,+8)上單調(diào)遞增，則實數(shù)〃?的取值范圍是()

A.m>-\B.m>-\C.w>0D.-1<m<Q

6.定義在(o,，)上的函數(shù)/(x),/'(x)是/(x)的導(dǎo)函數(shù)，且/")<TaM/a)恒成立，

則()

A./臥研月B.后臥/({I

D

c.尼卜代佃后好及仔

7.設(shè)4BC為一個隨機(jī)試驗中的三個事件且概率均不為0,則P(4)=P(8)的充要條件是

()

A.P(A\JB)=P(A)+P(B)B.P?C)=P(4uC)

C.P(AB)=P(AB)D.P(AC)=P(BC)

試卷第1頁，共4頁

8.如圖，這是一張圓形紙片，其半徑衣=2百，剪掉周用的白色部分，將陰影部分折起,

使得點(diǎn)E（/=h2,…，6）重合于點(diǎn)P,得到正六棱錐F-/灰刀），則該六棱錐體枳的

最大值是（）

8

384石口192加「192x/5n96石

--------------D?---------------C/?--------------L).-----

1251252525

二、多選題

9.若keZ,則函數(shù)/'（x）=fe、的函數(shù)圖象可能是（〕

10.甲、乙、丙、丁、戊5名大學(xué)生參加2024年南京半程馬拉松志愿者服務(wù)活動，有賽道

補(bǔ)給、路線引導(dǎo)、物品發(fā)放、興奮劑檢測四項工作可以安排，則以下說法正確的是（）

A.若每人都安排一項工作，則不同的方法數(shù)為下

B.若每項工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為240

C.如果興奮劑檢測工作不安排，其余三項工作至少安排1人，則這5名同學(xué)全部被安

排的不同方法數(shù)為300

D.每項工作至少有1人參加，甲乙不會興奮劑檢測，但能從事其他三項工作，丙,丁、

試卷第2頁，共4頁

戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是126

11.已知函數(shù)/(》)=4--6/+(2~)工+2"則下列結(jié)論正確的是()

A.當(dāng)。=2時，若/(》)有三個零點(diǎn)，則6的取值范圍是(0,1)

B.當(dāng)a=2且xc(OJ)時，/(cosx)</(cos2x)

C.V.VGR,/(x)+/(l-.x)=2h--j

D.若/'(x)存在極值點(diǎn)與，且〃Xo)=/(xJ,其中與工內(nèi)，則2%+再=,

三、填空題

12.已知書架的第一層隨機(jī)擺放了1本語文書，2本不同的數(shù)學(xué)書，3本不同的英語書現(xiàn)從

中抽取2本書，則在已經(jīng)確定第一本抽取的是語文書的務(wù)件下，第二本抽取的是數(shù)學(xué)書的概

率為.

13.某種電子玩具按下按鈕后，會出現(xiàn)紅球或綠球.已知按鈕第一次按下后，出現(xiàn)紅球與綠

球的概率都是從按鈕第二次按下起，若前一次出現(xiàn)紅球，則下一次出現(xiàn)紅球、綠球的概

率分別為若前一次出現(xiàn)綠球，則下一次出現(xiàn)紅球、綠球的概率分別為記第

JDJJ

〃(〃N)次按下按鈕后出現(xiàn)紅球的概率為Pn,則.

14.已知數(shù)列｛《,｝滿足。=e“"T(〃eN"),/+%=3%,其中與為函數(shù)V=e'"-』(x>1)的

極值點(diǎn)，則q+%-%=.

四、解答題

15.已知二項式(l+2x)"的展開式中第6項和第7項的系數(shù)相等.

(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；

(2)若(1+2x)"=劭+q*+2)+%*+2)2+…+勺(x+2)",求的值.

r=l

16.為宣揚(yáng)中國文化，某校組織古詩詞知識比賽.比賽分為兩階段，第一階段為基礎(chǔ)知識問

答，每位選手都需要回答3個問題，答對其中至少2個問題，進(jìn)入第二階段，否則被淘汰；

第二階段分高分組和低分組，第?階段3個問題都答對的選手進(jìn)入高分組,共回答4個問題，

每答對一個得2()分，答錯不得分；第一階段答對2個問題的選手進(jìn)入低分組，共回答4個

試卷第3頁，共4頁

《河南省鄭州外國語學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號12345678910

答案CCDDACCBBCDABD

題號11

答案ABD

1.C

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo)即可.

【詳解】/'(x)=3”n3,

故選：C.

2.C

【分析】利用正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，再根據(jù)條件，即可求出結(jié)果.

【詳解】解析：由已知得上態(tài)曲線關(guān)于直線34對稱，./(算6)=P(4W2)=4p-3p=p,

:.p+3p+p=\,解得p=0.2,

故選：C.

3.D

【分析】求出展開式(1-2x)4的通項，即可求出W的系數(shù).

【詳解】因為展開式(1-2幻4的通項為7；“=C(-2x)*=C：(-2)。，

所以x2的系數(shù)為Ci(-2)'+*2)3=-40.

故選：D.

4.D

【分析】利用捆綁法和插空法，以及分步乘法計數(shù)原理求解即可.

【詳解】將“立春”和“春分”兩塊展板看成一個整體，與“雨水”，“谷雨”，“立夏”三塊展板進(jìn)

行全排列，再將“清明”和“驚蟄”兩塊展板插空.

所以不同的放置方式種數(shù)為A；A；A；=2x24x20=960.

故選：D.

5.A

【分析】由/(x)=e、+-lnx在(1,+到上單調(diào)遞增，所以八x)N()在(1,+8)上恒成立，分離

參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g(x)=ln'-x的最大值即可.

X

答案第1頁，共15頁

【詳解】函數(shù)/(X)=。"川-InX在(1,+8)上單調(diào)遞增,

所以/'(x)=eE-，20在(1,+8)上恒成立，

?X

所以efL^ni>\n--x,

xx

令g(x)=ln‘-x,貝|J〃?2g(x)mx即可，

X

gf(X)=---1<O所以g(X)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

Xf

故g(x)vg⑴=-1,所以加之一1.

故選：A

6.C

【分析】由條件可得/'a)+tanx-/a)<0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=?,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)g(x)

COSX

的單調(diào)性，比較函數(shù)值的大小即"J.

【詳解】因為時，cosx>0,

所以f\x)<-tanx-/(x)可化為f\x)+tan.v/(x)<0,

設(shè)g(x)=M±x《0,胃

COSXI2)

則g，3=fZW)=/'(x)cosry(x>!二/'(x)+laiu?/(■￥),

?<V

ICOSJ)cos4cosx

所以函數(shù)g(x)在0，T上的單調(diào)遞減，

因為？<2<5,所以gf4>gd>g(H

643⑴⑴

瞿即竽/部物第2佃

所以」原」(:))，圖

n7t

cos—cos-

643

因為/⑶>多圖A選項/即可

對于A：不一定成立;

對于B：因為何仁)>3/仁)，B選項鬲用>佃不一定成立;

對于c：/(2)>&/(目成立；

對于D：⑸用〉島1圖，D選項不成立；

答案第2頁，共15頁

故選：c.

7.C

【分析】通過恰當(dāng)?shù)呐e例找到ABD三個選項的反例，然后利用和事件的概率公式證明C選

項.

【詳解】拋拂（一枚質(zhì)地均勻的段子朝上的點(diǎn)數(shù),

設(shè)A表示事件”點(diǎn)數(shù)是I點(diǎn)”,8表示事件“點(diǎn)數(shù)是3點(diǎn)或5點(diǎn)”,

C表示事件”點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)點(diǎn)”，D表示事件“點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)點(diǎn)”,

P（4）=［，P（8）="（C）="（PA"心

63222

此時滿足尸"U8）=P（⑷+尸（8）,但P（4）HP（B）,故選項A錯誤;

P（AuD）=P（BuD）=；,但P（4）H〃（8）,故選項B錯誤:

〃（/C）=〃（8C）=0成立，但P（/）#P（9）,故選項D錯誤;

對于選項C,對于隨機(jī)事件48,且P（4）N0,P（3）N0,

則由力=和?+力耳得尸（4）=P（48）+P（/l》），又B=BA+B4

得P（8）=P（用）+/（4?）,

又因為尸（，）=尸（8）,所以尸（”）+尸（而）=尸（氏4）+尸］瓦J）,

則尸（力耳）=。（14）,故必要性成立，

反之，由P（/⑻=。（初）可得P（48）+P（力為=P（歷1）+「（0），

所以尸（力）=尸（8）,故充分性成立，所以C選項正確.

故選：C

8.B

【分析】連接OF，0P、,由題意得。6設(shè)。E=?,則05=。，=-宇〃，

由已知求出0<“<2,利用條件得六棱錐的體積/=迪歷二P■，構(gòu)造函數(shù)/（。）=2/-/,

2

利用導(dǎo)數(shù)法求解最值即可.

【詳解】連接OE,OR,OP,與DE交于點(diǎn)、M.

答案第3頁，共15頁

設(shè)OE=a,則。E=“，0M=與。,P4M=2x/3-a.

設(shè)正六棱錐尸-48CQEE的高為h,

則h=在爐_0河2={(26-爭尸-(日

a)?=J12-6a(0<tz<2),

所以正六棱錐P-ABCDEF的體積JZ=1x6x叵。24=立〃2厄右=逑也以-7.

3422

令/(〃)=2〃4一/,求導(dǎo)得/'(a)=&J_5/,由/，(〃)=(),得“=%

當(dāng)時,/'(。)>0,當(dāng)"他2)時，/(。)<0,

Q

則當(dāng)時，/(。)取得極大值，也是最大值，

此時P的最大值為—a~、/12-6a=—x—xJl2-6x-='勃亞.

2225V5125

故選：B

9.BCD

【分析】分攵=0、左為正的奇數(shù)、〃為正的偶數(shù)、％為負(fù)的奇數(shù)、〃為負(fù)的偶數(shù)等五種情況

討論，分別研究其單調(diào)性即可.

【詳解】①當(dāng)k=0時，/(x)=e'(xw0),其圖象為指數(shù)函數(shù)的一部分:

②當(dāng)A為正的奇數(shù)時，定義域為R,/(外二/-壯卜+攵),

可知當(dāng)XG(YO,—〃)時，/(x)<0,/'(X)單調(diào)遞減，

當(dāng)XW(-七+00)時,/(x)>0,/(X)單調(diào)遞增，

函數(shù)/(X)在工=-〃處取得極小值，此時M是負(fù)數(shù)；

4個選項中沒有與以上兩種情況對應(yīng)的圖象.

③當(dāng)次為正的偶數(shù)時,定義域為R,/。)=-%?+4),

答案第4頁，共15頁

可知當(dāng)A)時，r(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(M,O)時，r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)X€(0,+8)時，/'(X)>O,/(X)單調(diào)遞增，

且XWO時，/>(),/>(),則/(x)=xbx>0,且/⑼=0,故B選項正確;

④當(dāng)左為負(fù)的奇數(shù)時，定義域為(F,0)U(0,+8),r(x|=xA-'e'(x+Aj,

可知當(dāng)XE(YO,0)時,/'(切<0,/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xc(OT)時，/<x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(d,y)時，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

且x<0時，J<0,ex>0,則f(x)=xkex<0,

x>0時，xA>0,e￥>0,M/(x)=x*ex>0,故C選項正確；

⑤當(dāng)人為負(fù)的偶數(shù)時，定義域為(―,0)U(0,+8),/'(x)=W(x+k),

可知當(dāng)X?YO,0)時,/")>0,/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xw(O,-Z)時，r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(-左,內(nèi))時，r(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,

且xwO時，x*>0,e*>0,則/(力=/->0,故D選項正確.

故選：BCD

10.ABD

【分析】A項由分步計數(shù)原理求解；B項先從5人中選2人作為1組，再與另外3人共4組

進(jìn)行全排列；C項先將5名同學(xué)分為3組，然后再分別安排賽道補(bǔ)給、路線引導(dǎo)、物品發(fā)放

三項工作：D項分從丙、丁、戊3人中選2人興奮劑檢測和選1人興奮劑檢測進(jìn)行求解.

【詳解】解：對于選項A,給其中的一人安排一項工作，則有4種不同的安排方法，則每人

都安排一項工作，

則不同的方法數(shù)為4s=1024,即選項A正確；

對于選項B,每項工作至少有1人參加，先從5人中選2人作為1組，再與另外3人共4組,

答案第5頁，共15頁

每組選一項工作，則不同的方法數(shù)為C；A：=240,即選項B正確：

對于選項C,先將5名同學(xué)分為3組，然后再分別安排賽道補(bǔ)給、路線引導(dǎo)、物品發(fā)放三項

工作，

則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為，(零+等)A；=150,即選項C錯誤：

對于選項D,當(dāng)從丙、丁、戊3人中選2人興奮劑檢測，則不同安排方案的種數(shù)是

當(dāng)從丙、丁、戊3人中選1人興奮劑檢測，則不同安排方案的種數(shù)是C；C：A]

即不同安排方案的種數(shù)是C；C；A；+C；A；=126,即選項D正確,

故選：ABD.

11.ABD

【分析】對于A,B,求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性，求得極值，構(gòu)造不等式即可判斷；對于C,代

入解析式化簡即可；對于D,由/(.%)=/(xJ推理得到4卜：+x內(nèi))+片)-6(西+/)+2-”0,

又由函數(shù)極值點(diǎn)定義，由/”(％)=0得到/'(%)=12片—12x0+(2—a)=0代入化簡即得.

【詳解】對于A,當(dāng)。=2時,/(x)=4.？-6x2+2bJ-\x)=12.r2-12x=\2x(x-\),

由/可得K<0或X>1,由/'(x)<0,可得0<x<l,

故函數(shù)/(X)在(-叫o)和(1，+8)上單調(diào)遞增；在(0,1)上單調(diào)遞減.

則函數(shù)/(X)在x=0處取得極大值，在X=1處取得極小值，

/、f(0)=2b>0/、

若f(x)有三個零點(diǎn)，則(=_2+26<0,解得故A正確；

對于B,當(dāng)4=2且xw(0」)H寸，0<cosr<1,0<co<Tx<1,

因為CO&Y-COS2X=COSA-(1-COSA-)>0,所以COS.V>cos2x?

由A函數(shù)/(X)在(0/)上單調(diào)遞減，故〃cosx)</(cos2x),故B正確；

對于C,因為/(1_力+/卜)=4(1_工)3_6(1_幻2+(2—4)(17)+2/>+49_6/+(2-4)*+26

=4(1-3x+3x2-x3)-6(l-2x+x2)+(2-?)-(2-a)x+2o+4.r3-6x2+(2-a)x+2b=4b-a,

故C錯誤；

答案第6頁，共15頁

對于D,由/（力=4/—6/+（2—a）x+2〃求導(dǎo)得，/（J）=12?-12X+（2-?）,

依題意，?。?12*-12%+（2-a）=0,可得"2=12x；-12x0①

由/（/）=/（X）,可得4d-6x[+（2-a）x}+2b=4*-6x；+（2-。）/+28，

由于,化簡得4（x：+X[X0+￡）-6（X]+Xo）+2-a=O②

將①代入②式,可化簡得:4（x：+X]X0+x；）-6（X[+Xo）-（12%-12%）=0,

即（戈|-/）[4（$+2/）-6]=0,因與工再，故得2.%+±=1，即D正確.

故選：ABD.

2

12.-/0.4

【分析】根據(jù)給定條件，利用縮小空間的方法求出條件概率.

【詳解】依題意，抽取第二本書有5個不同結(jié)果，第二本抽取的是數(shù)學(xué)書有2個結(jié)果，

2

所以所求概率為〃=（?

故答案為：!2

13.—

15

【分析】依題意根據(jù)球顏色出現(xiàn)的概率得出相應(yīng)的遞推公式，再結(jié)合等比數(shù)列定義求出其通

項公式代入計算可得結(jié)果.

【詳解】由題意第〃-1（〃22,〃CN）次按下按鈕后出現(xiàn)紅球的概率為勺…則出現(xiàn)綠球的概率

為1-加；

因此可得勺=的+義1_么3化簡可得々=KT+巳

，J1JJ

94（9、1

BPP---=---P1----,又q=一,

"1915（nM-,19J'2

因此可得勺-291是以1：-03=1看為首項，-44為公比的等比數(shù)列，

1力2193o15

可得^--=—xf-土,可得19勺_9-巴『；

1938I15J"2I15J

所以嬴5

答案第7頁，共15頁

故答案為：器

14.-In2/ln—

2

【分析】由與為函數(shù)j，=eZ-Y的極值點(diǎn)，推理得到e&T=2x°,利用此式和題設(shè)條件，將

分別用/表示，億簡消元即得.

【詳解】因為y=ez-x2(x>]),則y=ei—2x,

令g(x)=y'=ei-2x,A>1,則g'(x)=e'」-2,

易知g'(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，令g'(x)=ei—2=0,得x=l+ln2,

即xe(l,l+ln2),gf(A-)<0,X€(l+ln2,+co),g'(x)>0,

所以xe(l,l+ln2),V=exT-2x單調(diào)遞減，xe(l+ln2,+oo),了二U一24單調(diào)遞增，

,2,2

又切尸產(chǎn)―1<0,yU+ln2=e^--2(l+ln2)=-21n2<0,/|^3=e-6>0,

即存在與?1,3),使得當(dāng)xe。,/)時，y'<0,當(dāng)x?x),+co)時，/>0,

所以函數(shù)y=cr-'-x2存在唯一得極值點(diǎn)吃,

則e""=2x0,A0>1.

且％=e/T，a2+a3=3x0,可得《+e02T=3%=%+2/氣+六,，

因為y=X,y=eI在R上單調(diào)遞增，則曠=》+。1在R上單調(diào)遞增，

可得。2=X。，43=2/，

且。2=e的T,則q=Itkz,+1=\nx()+1,可得q+%-4=In%+l-_r0.

又因為e"T=2%,則x0-1=In(2x0)=ln2+lnx0.

所以％+a2-a3=lnv0+l-.r0=-ln2.

故答案為：-In2.

15.())1120.?：

Q)-6560.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，列式求出嘉指數(shù)〃，再利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求解.

答案第8頁，共15頁

（2）利用賦值法求出常數(shù)項及所有項系數(shù)和即可.

n\

【詳解】（1）依題意，C：-25=C：-26,即=2?--，解得〃=8,

5!(/?-5)!6!(〃-6)!

所以（1+2x）8的展開式中二項式系數(shù)最大的項是第5項：C：（2.4=1120/.

(2)由(1)知，(1+2x)*=4+4(x+2)+%(x+2)~+L+。8(m+2)8,

取x=-2,得g=38=6561,取、=一1,得“0+=I

1=1

所以2卬=1-4O=_656O.

Z=1

16?⑴2

144

（2）分布列見解析，20

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用互斥事件及相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗的概率公式列式

求解.

（2）求出X的可能值及各個值對?應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望.

【詳解】（1）選手甲在該次比賽得分?jǐn)?shù)為40分有兩種情況：進(jìn)入高分組，答對2個問題;

進(jìn)入低分組，答對4個問地，所以概率為：〃=（|）七：弓）2（；『+《（$2（4（；）［=白.

(2)X的可能取值有0,20,40,60,80,

P。=0）=C審=*"=20）=吟如黑,

3=40）=C痔）審啜,P心60）=C娉）（扣=裝,

*=80）=叫、總

所以分布列為：

X020406080

S1272731

P

25664T2864256

所以E(X)=0x-^-+20x些+40x^~F60X^~F80X二20.

256256256256256

17.(1)8

⑵(0,甸

【分析】（1）解法1：設(shè)直線，：y=2x+〃,與曲線夕=/（幻=/、的切點(diǎn)坐標(biāo)為（公,汽），利用

答案第9頁，共15頁

導(dǎo)數(shù)的意可求得X。，進(jìn)而求得切線方程，聯(lián)立切線與8（'）=而，利用△=（）可求解；解法

2：設(shè)直線/：y=2戈+〃,與曲線y=/（x）=c2>的切點(diǎn)坐標(biāo)為（X。,％,）,利用導(dǎo)數(shù)的意可求得飛,

進(jìn)而求得切線方程，設(shè)直線/與曲線y=g（x）=。的切點(diǎn)坐標(biāo)為（為，匕），利用導(dǎo)數(shù)的幾何

意義可求解;

（2）解法1：當(dāng)〃<0時，計算可得/-<g，不符合題意，當(dāng)時，由題意可得

右咤，令63=/丫>0）,利用導(dǎo)數(shù)可求得力3的最小值，可求解.解法2：由題意可

f§2x>i（lntz+lnv）,令g（x）=4x-lnx（x>0）,利用導(dǎo)數(shù)求得g（x）的最小值即可.

【詳解】（1）解法1：設(shè)直線/：y=2x+，〃與曲線歹二/。）=片的切點(diǎn)坐標(biāo)為（飛,為）,

由于r(x)=2e”，則/'(玉)=2e2%=2,

解得Xo=Ojo=e2/=l,

則切點(diǎn)坐標(biāo)為（0.1）.

直線/:歹一1二2%，即y=2x+l.

y=2x+l

由(得4廠+(4-亦+1=0,

y=\lax

由A=（4-。）2-16=0,解得a=8或0=0（舍去），

當(dāng)4=8時，得x=g,符合題意，

所以。=8.

解法2：設(shè)直線/：y=2.v+m與曲線y=/'（》）=/'的切點(diǎn)坐標(biāo)為（/，為）,

由于r(x)=2e2)則/G)=2cX=2,

解得Xo=O/o=e2xn=l,

則切點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）.

直線/：?-1=2》，即y=2x+l.

當(dāng)4>0時，函數(shù)g（x）=x/ax的定義域為［。,+8）,

設(shè)直線/與曲線y=g（x）=的切點(diǎn)坐標(biāo)為（演，/）,

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由g'(x)=-7^?得g'(再J=rI—=2,得”=16X].

2x/x2,X[

得/:y—日7=2(X-XJ,即歹=2%一2七+,

則_2M+y[ax]=1.

解得X=；,a=8.

(2)解法1：①當(dāng)。<0時，則函數(shù)g(x)=G7的定義域為(-8.0].

由于/：)=e"e0=Lg(j，

則/白<g仕],不符合題意.

所以。<0不符合題意.

②當(dāng)a>0時，則函數(shù)g(x)=\AI的定義域為[。,+8).

顯然/(0"g(0).

當(dāng)X>()時，由/(x"g(x),得€“>疝，即&W案.

2x2x,匚_2x,?

令A(yù)(A)=J=(x>0),則*小)=."一.灰=逅上亡f(4公1).

Xx2x42x\fx

當(dāng)0<x<；時，〃'(x)<0/心)在(0,；)上單調(diào)遞減，

當(dāng)X>；時，h\x)>0,/2(A)在(g，+8)上單調(diào)遞增.

則當(dāng)X=(時，”X)取得最小值，其值為力(；)=2幾.

則4a<2\/e，即aW4e.

綜上所述，。的取值范圍為(0,4e].

解法2：當(dāng)x>0時，由/(x)Ng(x),得e2'2疝，即2xNg(lna+hu),

得Ina<4x-Inx.

令g(x)=4x-lnx(x>0),則g(x)=4」=4x1.

XX

當(dāng)0<x<；時，g'a)<0,g(x)在(0,皆上單調(diào)遞減,

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當(dāng)X>；時，g'(x)>O,gG)在(1+8)上單調(diào)遞增.

則當(dāng)x=1時，g(x)取得最小值，其值為=lTn廠In4c.

則Ina<ln4e,即aV4e.

綜上所述，。的取值范圍為(0,4e].

呢

【分析】(1)根據(jù)而.M=0得。=力，列出符合條件的基本事件可得答案；

(2)設(shè)N點(diǎn)到直線0M的距離為"=里，由￡=心坎得|。+6|金0,列出符合條

2A.rjvz.'v21

件的基本事件可得答案；

(3)設(shè)直線/：y=x,要想/MON是銳角則點(diǎn)N應(yīng)在直線N=x下方，其中滿足要求的點(diǎn)有

28個，古典概率概型公式計算出P(C),若△MON是銳角三角形，則點(diǎn)N落在直線

與直線〃?"二一2之間，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出滿足要求的點(diǎn)，再求P(0C)即可.

【詳解】(1)。有8數(shù)字、力有8數(shù)字可取，有放回地隨機(jī)抽取兩次(每次抽取1個球)，

共有8x8=64種取法，dM=(l,-l),ON=(a,b),麗=(。-1力+1),

若OA?.麗=0,則。-6=0,即。=力，符合條件的基本事件

(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(8,8)有8種，

若0面.而R=0，則”1-6-1=0,即。-6=2,符合條件的基本事件

(3,1),(4,2),(5,3),(6,4),(7,5),(8,6)有6種，

所以「(小鬻

(2)直線QW的方程為x+y=0,設(shè)N點(diǎn)到直線。w的距離為“=卑1,

v2

因為|OM|=J5,所以S,AQN=：x&x妃0=二^?5.

2722

可得M+/)歸10,符合條件的基本事件有

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),

答案第12頁，共15頁

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4⑸,(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(7,1),(7,2),(7,3),(8,1),(8,2),

共35個,尸6

(3)口有8數(shù)字、。有8數(shù)字可取，有放回地隨機(jī)抽取兩次(每次抽取1個球),

共有8x8=64種取法，

設(shè)直線/與直線。M垂直，且過原點(diǎn)，因為自“=-1,則直線/：y=x,

其64個點(diǎn)中，有8個落在直線丁二》上，剩余56個點(diǎn)中，一半在直線N=x上方,

一半在直線V=x下方\要想NMON是銳角，則點(diǎn)N應(yīng)在直線V=x下方，

其中滿足要求的點(diǎn)有28個，

027

故/M0N是銳角即P(C)=/=記,

與=x平行且過河點(diǎn)的直線方程為〃?：n=工-2,

若4MON是銳角三角形，則點(diǎn)N落在直線l-y=x與直線m:y=x-2之間,

根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，應(yīng)在直線，='-1上，

滿足要求的點(diǎn)有(2,1),(3,2),(4,3),(5.4),(6,5),(7.6),(8,7)共7個.

所以尸(CcZ))=二,

64

7

所以p(o|c)=寫^詞小

16

19.⑴/⑶在(0,1)和(d?)上單調(diào)遞增,在(1M)上單調(diào)遞減

(2)答案見解析

答案第13頁，共15頁

(3)答案見解析

【分析】(1)先確定/(x)的定義域，再求出的導(dǎo)數(shù)，再對參數(shù)范圍分類討論求解單調(diào)

性即可.