■第1講集合

Ijl知識點(diǎn)目錄/

【知識點(diǎn)1】判斷自然語言描述內(nèi)容能否組成集合........................................1

【知識點(diǎn)2】常用數(shù)集及其記法..........................................................4

【知識點(diǎn)3】集合的確定性、互異性、無序性............................................5

【知識點(diǎn)4】集合的表示方法............................................................8

【知識點(diǎn)5】集合的相等................................................................10

【知識點(diǎn)6】子集與真子集.............................................................11

【知識點(diǎn)7】集合的基本運(yùn)算...........................................................15

■知識點(diǎn)1/

知識點(diǎn)

【如識點(diǎn)1】判斷自然語言描述內(nèi)容能否組成集合

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

判斷自然語言描述內(nèi)容能否組成集合是高中數(shù)學(xué)中集合^念的重要部分.集合是由某種特

定性質(zhì)確定的對象組成的整體，這些對象稱為元素.自然語言描述內(nèi)容能否組成集合，關(guān)

鍵在于描述內(nèi)容是否明確、具體.例如，描述“所有小于10的偶數(shù)”能組成集合，因?yàn)榭?/p>

以明確確定這些元素為2,，，6,8.而描述“所有美麗的花”則不能組成集合，因?yàn)椤懊?/p>

麗”是主觀的，缺乏明確標(biāo)準(zhǔn).判斷時，需要分析描述的內(nèi)容是否具有唯一性和清晰性，

以確保所有元素均能明確歸類到該集合中.

【解題方法點(diǎn)撥】

在解題過程中，判斷自然語言描述內(nèi)容能否組成集合，通常需要以下步躲.首先，仔細(xì)閱

讀描述內(nèi)容，確定其標(biāo)準(zhǔn)或特征.其次，檢驗(yàn)這些標(biāo)準(zhǔn)是否具體明確，是否能對所有元素

進(jìn)行唯一判斷.例如，描述“所有3的倍數(shù)小于20的數(shù)”能組成集合，因?yàn)檫@些元素可以

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明確列舉為3,6,9,12,15,18.再者，通過反例臉證描述內(nèi)容的標(biāo)準(zhǔn)是否嚴(yán)謹(jǐn)，如描述

“所有高個子的學(xué)生”因“高”定義不明確，無法組成集合.最后，綜合判斷描述內(nèi)容是

否具備形成集合的條件.

【命題方向】

在高中數(shù)學(xué)考試中，關(guān)于判斷自然語言描述內(nèi)容能否組成集合的命題，常以簡單明了的方式出

現(xiàn).這類題目主要考查學(xué)生對集合概念的理解和應(yīng)用能力.例如，題目可能會給出一段描述，

要求學(xué)生判斷其能否組成集合并說明理由.題目可能描述“所有小于100的平方數(shù)”或“所有

以字母A開頭的英語單詞”，學(xué)生需通過分析描述的明確性和唯一性進(jìn)行判斷.這類命題旨在

培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和嚴(yán)謹(jǐn)性，要求他們在閱讀理解和分析推理方面具備一定的能力.通過這

些練習(xí)，學(xué)生能夠更好地掌握集合的基礎(chǔ)知識.

典型例題

例1.（2025秋?南充校級期中）下列選項(xiàng)中，能夠構(gòu)成集合的是（）

A.南充高中高2024級個子較高的學(xué)生

B.高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊中的難題

C.關(guān)于x的方程X?-1二。的所有實(shí)根

D.無限接近于n的所有實(shí)數(shù)

【答案】C

【分析】根據(jù)集合中的元素滿足的特征即可求解.

【解答】解：對于A,個子較高，不滿足集合元素的確定性，故A錯誤；

對于B,難題，不滿足集合元素的確定性，故B錯誤；

對于C,乂2-1二0的根為乂二±1,故集合為｛7,1）,故C正確；

對于D,無限接近于ri,不滿足集合元素的確定性，故D錯誤.

故選:C.

例2.（2025秋?西鄉(xiāng)塘區(qū)期中）下列對象能組成集合的是（）

A.非常接近。的數(shù)B.身高很高的人

C.絕對值為5的數(shù)D.著名的教學(xué)家

【答案】C

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【分析】借助集合中元素的性質(zhì)逐項(xiàng)判定即可得.

【解答】解：由集合中元素的確定性可知，A、B、D選項(xiàng)中的對象都不能組成集合,

故A、B、D錯誤;

對于C:絕對值為5的數(shù)有5或-5,符合集合的概念，故C正確.

故選：C.

跟蹤訓(xùn)練

【跟蹤訓(xùn)練1】（2025秋?于都縣校級月考）下列敘述能夠組成集合的是（）

A.我校所有體質(zhì)好的同學(xué)

B.我校所有800米達(dá)標(biāo)的女生

C.全國所有優(yōu)秀的運(yùn)動員

D.全國所有環(huán)境優(yōu)美的城市

【跟蹤訓(xùn)練2】（2025秋?北喏區(qū)校級月考）下列說法中正確的是（）

A.聯(lián)合國所有常任理事國（共5個）組成一個集合

B.朝陽中學(xué)年齡較小的學(xué)生組成一個集合

C.（1,2,3｝與［2,1,3｝是不同的集合

D.由1,0,5,1,2,5組成的集合有六個元素

【跟蹤訓(xùn)練3】（2024秋?嘉定區(qū)校級月考）下列各對象的全體不能構(gòu)成集合的有.（填

序號）

①上大嘉高高一年級全體學(xué)生；

②與1非常接近的全體實(shí)數(shù)；

③7的正整數(shù)倍的全體：

④給定的一條長度為1的線段上的所有點(diǎn).

【跟蹤訓(xùn)練4】（2025秋?浦東新區(qū)期末）請將下列各組對象能組成集合的序號填在后面的橫線

上.

①上海市2022年入學(xué)的全體高一年級新生；

②在平面直角坐標(biāo)系中，到定點(diǎn)（0,0）的距離等于1的所有點(diǎn)；

③影響力比較大的中國數(shù)學(xué)家；

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④不等式3x70V0的所有正整數(shù)解.

■知識點(diǎn)2/

知識點(diǎn)

【知識點(diǎn)2】常用數(shù)集及其記法

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

數(shù)學(xué)中一些常用的數(shù)集及其記法

全體非負(fù)整數(shù)組成的集合稱為非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N;

全體正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集，記作N*或N+；

全體整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集，記作Z;

全體有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集，記作Q;

全體實(shí)數(shù)組成的集合稱為實(shí)數(shù)集，記為R.

【解題方法點(diǎn)撥】

熟練掌握幾個常見數(shù)集的符號與含義，能判斷給出的數(shù)是否屬于這些數(shù)集.

典型例題

例1.（2024秋?雙清區(qū)校級期末）給出下列關(guān)系：①②&CR;③|-3|￡N;

@|-V3|GQ.其中正確的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)給定信息，利用元素與集合的關(guān)系判斷作答.

【解答】解：顯然R魚都是實(shí)數(shù)，①正確，②錯誤；

13|二3是自然數(shù)，③正確；|一百|(zhì)二8是無理數(shù)，不是有理數(shù)，④錯誤，

所以正確的個數(shù)為2.

故選：B.

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例2.（2024?包河區(qū)校級學(xué)業(yè)考試）下列元素與集合的關(guān)系中，正確的是（）

A.-3￡N*B.V5G7?C.|eZD.06N

【答案】B

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系依次判斷選項(xiàng)即得.

【解答】解：選項(xiàng)A,因-3不是正整數(shù)，故A錯誤；

選項(xiàng)B,4是無理數(shù)，故必是實(shí)數(shù)，故B正確；

選項(xiàng)C,g是分?jǐn)?shù)，故不是整數(shù)，故C錯誤；

選項(xiàng)D,0是自然數(shù)，故D錯誤.

故選：B.

跟蹤訓(xùn)練

【跟蹤訓(xùn)練1】（2025秋?武威月考）下列關(guān)系正確的是（）

A.OWN"B.|GZC.-V2GQD.-7.8GR

【跟蹤訓(xùn)練2】（2025秋?海陵區(qū)校級月考）設(shè)有下列關(guān)系：?V2ER：②4￡Q：③0￡N;@0

e[0,1}.其中正確的個數(shù)為（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【跟蹤訓(xùn)練3】（2025春?武威月考）用符號”或“生”填空：V5N,V16N.

【跟蹤訓(xùn)練4】（2025秋?虹口區(qū)校級期中）在下列表達(dá)式中，①。4N;②。C{0}：③n￡Q；

@[1]e{0,11,其中正確的為（填寫所有正確的序號）.

圖知識點(diǎn)3/

知識點(diǎn)

【知識點(diǎn)3】集合的確定性、互異性、無序性

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

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集合中元素具有確定性、互異性、無序性三大特征.

（1）確定性：集合中的元索是確定的，即任何一個對象都說明它是或者不是某個集合的元

素，兩種情況必居其一且僅居其一，不會模棱兩可，例如“著名科學(xué)家”，“與2接近的數(shù)”

等都不能組成一個集合.

：2）互異性：一個給定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出現(xiàn)相同的元素.例

如不能寫成｛1,1,2｝,應(yīng)寫成｛1,2｝.

⑶無序性：集合中的元素，不分先后，沒有如何順序.例如｛1,2,3｝與｛3,2,1｝是相

同的集合，也是相等的兩個集合.

【解題方法點(diǎn)撥】

解答判斷型題目，注意元素必須滿足三個特性；一般利用分類討論逐一研究，轉(zhuǎn)化為函數(shù)

與方程的思想，解答問題，結(jié)果需要回代臉證，元素不許重復(fù).

［命題方向】

本部分內(nèi)容屬于了解性內(nèi)容，但是近幾年高考中基本考查選擇題或填空題，試題多以集合

相等，含參數(shù)的集合的討論為主.

典型例題

例1.（2025?青山湖區(qū)校級模擬）8月20日《黑傳說悟空》風(fēng)靡全球，下列幾組對象可以構(gòu)成

集合的是（）

A.游戲中會變身的妖怪

B.游戲中長的高的妖怪

C.游戲中能力強(qiáng)的妖怪

D.游戲中擊敗后給獎勵多的妖怪

【答案】A

【分■析】根據(jù)集合的確定性依次判斷選項(xiàng)即可.

【解答】解：對A：游戲中會變身的妖怪可以構(gòu)成集合，故A正確；

對B、C、D：不滿足集合的確定性，故不能構(gòu)成集合，故B、C、D錯誤.

故選：A.

例2.（2024秋?安康期末）有4根火柴棒的長度可以構(gòu)成一個四元數(shù)集，將這4根火柴棒首尾

相接連成一個平面四邊形，則這個平面四邊形可能是（）

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A.梯形B.矩形C.菱形D.等腰梯形

【答案】A

【分析】根據(jù)集合中元素的互異性，可得四個元素互不相等，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.

【解答】解：根據(jù)題意，4根火柴棒的長度可以構(gòu)成一個四元數(shù)集，則4根火柴棒的長度互不

相等，

依次分析選項(xiàng)：

對于A,梯形的四條邊長度可以互不相等，符合題意；

對于B,矩形的對邊相等，不能由這4根火柴棒首尾相接連成，不符合題意；

對于C,菱形的四條邊都相等，不能由這4根火柴棒首尾相接連成，不符合題意；

對于D,等腰梯形的腰相等，不能由這4根火柴棒首尾相接連成，不符合題意.

故選：A.

跟蹤訓(xùn)練

【跟蹤訓(xùn)練1】（2024秋?潁上縣校級期末）下列說法中正確的是（）

A.1與｛1｝表示同一個集合

B.由1,2,3組成的集合可表示為｛1,2,3｝或｛3,2,1）

C.方程（x-1）2（x-2）;。的所有解的集合可表示為［1,1,2）

D.集合｛x|4VxV5｝可以用列舉法表示

【跟蹤訓(xùn)練2】（2025秋?浦東新區(qū)校級期中）若集合A=｛x|（a-1）x=a-1｝,則不論實(shí)數(shù)a取

何漁，集合A不可能是（）

A.RB.0C.（0）D.｛11

【跟蹤訓(xùn)練3】（2025秋?莎車縣期中）若一個集合中的三個元素a,b,c是AABC的三邊長，則

此三角形一定不足（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

【跟蹤訓(xùn)練4】（2025秋?水城區(qū)月考）若4￡匕3-12｝,則a=.

［跟蹤訓(xùn)練51（2025秋?楊浦區(qū)校級期中）已知集合M二｛7,3a-1｝,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

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El知識點(diǎn)4/

知識點(diǎn)

【知識點(diǎn)4】集合的表示方法

列舉法表示集合

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的

方法叫做列舉法.

【解題方法點(diǎn)撥】把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來即可.

描述法表示集合

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】一般地，設(shè)A是一個集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(X)的

元素X所組成的集合表示為{xIP(X)},這種表示集合的方法稱為描述法.

【解題方法點(diǎn)撥】明確描述對象：要清楚集合中包含的元素以及不包含的元素.理解描述

條件：描述條件要準(zhǔn)確、簡潔，通常用文字或符號來表示集合中的元素特征.統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)：

確保描述的方法能夠唯一確定一個集合，避免模糊或歧義的描述.

區(qū)間法

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】設(shè)aVb,①開區(qū)間：{x|a<x<b)=(a,b)

②閉區(qū)間：(x|a^x<b}=[a,b]

③半開半閉區(qū)間：{x|aVxWb}二(a,b]{x|a^x<b}=[a,b)

正無窮：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，表示某一大于零的有理數(shù)或無理數(shù)數(shù)值無限大的一種方式，沒有

具沐數(shù)字，但是正無窮表示比任何一個數(shù)字都大的數(shù)值.符號為+8.數(shù)軸上可表示為向右

箭頭無限遠(yuǎn)的點(diǎn).

負(fù)無窮：某一負(fù)數(shù)值表示無限小的一種方式，沒有具體數(shù)字，但是負(fù)無窮表示比任何一個

數(shù)字都小的數(shù)值.符號為-8.

{x|aWx)=[a,+8)

{x|a<x}二(a,+8)

{x|xWa}二(-°°,a]

{x|x<a)=(-oo,a)

{x|xER]=(-8,+8)

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【解題方法點(diǎn)撥】通常情況下，解答不等式，函數(shù)的單調(diào)性的問題利用單調(diào)性的定義，或者函

數(shù)的導(dǎo)數(shù)等知識，注意函數(shù)的定義域，變量的取值范圍，集合一般利用區(qū)間表示，函數(shù)的單調(diào)

性多個區(qū)間時，區(qū)間之間必須用“，”分開：不能利用并集符號連接.解題時注意區(qū)間的端點(diǎn)

的數(shù)值的應(yīng)用.

【命題方向】區(qū)間上的最值，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在閉區(qū)間上的最值，恒成立等知識有

關(guān)問題，高考?？碱}目.

典型例題

例1.(2024秋?新泰市校級期末)集合［x￡N*|x-3V2}的另一種表示法是()

A.{0,1,2,3,4)B,{1,2,3,4)

C.{0,1,2,3,4,5)D.(1,2,3,4,5)

例2.(2024秋?玉溪期末)已知集合A=(x|5x2+4x=0},則集合A=()

A.{0}B.-iC.0,D.0,g

跟蹤訓(xùn)練

【跟蹤訓(xùn)練1】（2025春?唐縣校級期中）集合｛x￡Njx-2W1｝用列舉法表示為（)

A.(0,1,2,3}B.(1,2,3}C.{0,1,2,3,4)D.(1,2,3,4)

【跟蹤訓(xùn)練2】.（2025秋?安溪縣期中）已知集合M二｛1,5,9,13,17｝,則忙（）

A.{x|x=2n+1,n￡N,n<8}B.{x|x=2n-1,n€N,nW9}

C.{x|x=4n+1,nEN,nW4}D.(x|x=4n-3,nEN,nW5}

【跟蹤訓(xùn)練3】（2025?黃浦區(qū)校級開學(xué)）用列舉法表示集合僅卜2WxW2,xGN）=

【跟蹤訓(xùn)練4】（2025秋?普陀區(qū)校級期中）能被3整除余2的自然數(shù)組成的集合可以用描述法

表示為.

【跟蹤訓(xùn)練5】（2025秋?牡丹區(qū)校級期中）已知集合A=｛x|x（x-1）（x+1）=0｝,則A=.

【跟蹤訓(xùn)練1】（2024秋?仁壽縣校級期末）方程組｛:+'=0的解組成的集合為______.

xz-4=0

■知識點(diǎn)5/

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知識點(diǎn)

【如識點(diǎn)5】集合的相等

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

C)若集合A與集合B的元素相同，則稱集合A等于集合B.

：2)對集合A和集合B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時

集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B,記作A=B.就是如果A

CB,同時BGA,那么就說這兩個集合相等，記作A=B.

【解題方法點(diǎn)撥】

集合A與集合B相等，是指A的每一個元素都在B中，而且B中的每一個元素都在A中.元

素——對應(yīng)：兩個集合相同，需確保每個元素都在兩個集合中出現(xiàn)，且沒有遺漏.直接對

比：對于簡單集合，可以直接對比元素列舉是否完全一致.

典型例題

例1.(2025?石景山區(qū)校級開學(xué))已知集合A二{x|x二2k,k￡Z},B={x|x=4m+6n,m,nGZ).則

()

A.AAB=0B.AiBC.A=BD.AUB=Z

【答案】C

【分析】由集合相等的概念，說明BGA,同時ACB即可；

【解答】解：從B中任取一個元素x=4m+6n=2(2m+3n),一定是偶數(shù)，所以BGA,

從A中任取一個元素x二2k二4(-k)+6k,xGB,所以AGB,

所以A=B.

故選：C.

例2.(2025秋?吉林月考)下列集合中，不同于另外三個集合的是()

A.(x|x=2020)B.{y|(y-2020)2=0}

C.{x=2020}D.(2020)

【答案】C

【分析】根據(jù)集合的表示方法判斷即可.

【解答】解：選項(xiàng)A、B是集合的描述法表示，選項(xiàng)D是集合的列舉法表示，且都表示集合中

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只有一個元素2020,都是數(shù)集，

選項(xiàng)C它是由方程構(gòu)成的集合，集合是列舉法且只含有一個方程.

故選：C.

跟蹤訓(xùn)練

【跟蹤訓(xùn)練1】(2024春?博湖縣期末)下列集合中表示同一集合的是()

A.M={(3,2)},N={(2,3)}

B.M={2,3),N={3,2}

0.M=((x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1)

D.M={2,3},N={(2,3)}

【跟蹤訓(xùn)練2】(2024秋?邨陽區(qū)校級期末)下列各組中集合P與Q,表示同一個集合的是()

A.P是由元素1,V3,n構(gòu)成的集合，Q是由元素n,1,|-，5|構(gòu)成的集合

B.P是由n構(gòu)成的集合，Q是由3.14159構(gòu)成的集合

C.P是由2,3構(gòu)成的集合，Q是由有序數(shù)對(2,3)構(gòu)成的集合

D.P是滿足不等式-1/xW1的自然數(shù)構(gòu)成的集合，Q是方程的解集

【跟蹤訓(xùn)練3】下列集合中，A二僅=2,y=1),B={2,1],C={(x,y)|(x-2)2+|y-l|=0},D=

(x,y)|{：+匕二"E={(x,y)|x=2且y=1},F={(x,y)|x=2或y=1},其中與集合((2,

1)}相等的集合共有個.

【跟蹤訓(xùn)練4】①拈{(1,2)}與N={(2,1)}表示同一個集合；

②M二{1,2}與N二{2,1}表示同一個集合；

③空集是唯一的；

④若M={y|y=x2+1,xER),N={x|x=t2+1,t￡R},則集合M二N,以上的說法中正確的序號為.

庭知識點(diǎn)6―/

知識點(diǎn)

【知識點(diǎn)6】子集與真子集

子集的判斷與求解

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【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

1、子集定義：一般地，對于兩個集合A,B,如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元

素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集(subset).

記作：AGB(或B3A).

2、真子集是對于子集來說的.

真子集定義：如果集合AGB,但存在元素x￡B,且元素x不屬于集合A,我們稱集合A是

集合B的真子集.

也就是說如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素，則稱A是B的子集，

若B中有一個元素，而A中沒有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，

注：①空集是所有集合的子集；

②所有集合都是其本身的子集；

③零集是任何非空集合的真子集

例如：所有亞洲國家的集合是地球上所有國家的集合的真子集.

所有的自然數(shù)的集合是所有整數(shù)的集合的真子集.

(1,3}C{1,2,3,4)

(1,2,3,4)C(1,2,3,4)

【解題方法點(diǎn)撥】

定義子集：A是B的子集，當(dāng)且僅當(dāng)A中的每一個元素都在B中.

驗(yàn)證元素：逐個檢查A中的元素是否在B中.符號表示：用G表示子集關(guān)系，若A是B的

子集，記為AGB.

【命題方向】

本考點(diǎn)要求理解，高考會考中多以選擇題、填空題為主，曾經(jīng)考查子集個數(shù)問題，常常與

集合的運(yùn)算，概率，函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合命題.

空集及空集的性質(zhì)

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

1、空集的定義：不含任何元素的集合稱為空集.記作。.空集的性質(zhì)：空集是一切集合的

子集.

2、注意：

空集不是沒有；它是內(nèi)部沒有元素的集合，而集合是存在的.這通常是初學(xué)者的一個難理

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解點(diǎn).

將集合想象成一個裝有其元素的袋子的想法或許會有幫助：

袋子可能是空的，但袋子本身確實(shí)是存在的.

例如：{x|x2+1=0,xGR}=0.雖然有x的表達(dá)式，但方程中根本就沒有這樣的實(shí)數(shù)x使得

方程成立，所以方程的解集是空集.

3、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

【解題方法點(diǎn)撥】

解答與空集有關(guān)的問題，例如集合AC1B二B0BGA,實(shí)際上包含3種情況：

①B二。;

②BUA且B手。；

③B二A；往往遺漏B是。的情形，所以老師們在講解這一部分內(nèi)容或題目時，總是說“空集

優(yōu)先的原則”,就是首先

考慮空集.

【命題方向】

一般情況下，多與集合的基本運(yùn)算聯(lián)合命題，是學(xué)生容易疏忽、出錯的地方，考查分析問

題解決問題的細(xì)心程度，難度不大，可以在選擇題、填空題、簡答題中出現(xiàn).

子集的個數(shù)

［知識點(diǎn)的認(rèn)識】

1、子集真子集定義：如果集合AGB,但存在元素x￡B,且元素x不屬于集合A,我們稱集

合A是集合B的真子集.

也就是說如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素，則稱A是B的子集，若B中

有一個元素，而A中沒有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，

注：①空集是所有集合的子集：

②所有集合都是其本身的子集；

③空集是任何非空集合的真子集

2、一般來說，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以對于含有n個（n不等于0）元素

的集合而言，它的子集就有2n個；真子集就有2匚1.但空集屬特殊情況，它只有一個子集,

沒有真子集.

【解題方法點(diǎn)撥】

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公式計(jì)算：若一個集合有n個元素，則它的子集個數(shù)為2〉.理解寐集：寐集是一個集合的所

有子集組成的集合.

典型例題

例1.（2023秋?綏寧縣校級期末）下列集合中，是集合{1,2}的真子集的是（）

A.11,2）B.0C.（0}D.（1,2,3）

例2.（2025秋?襄城區(qū)校級月考）已知集合M二{7,0,1},N={0,1},則（）

A.MGNB.MCIN=0C.昨MD.M二N

例3.（2025秋?敖漢旗校級月考）若。是集合M二{x|x?-ax+1=0,a￡R}的真子集，則a的取值

范圍是（）

A.-2<a<2B.aV-2或a>2C.-2WaW2D.aW-2或a22

跟蹤訓(xùn)練

【跟蹤訓(xùn)練1】（2025?武漢模擬）已知集合A={-3,-2,0,2},B={x|-1<x<4],則AC1B的

子集個數(shù)為（）

A.2B.4C.8D.16

【跟蹤訓(xùn)練2】（2025春?北京校級期中）已知集合A二{1,2,3,4,5,-,2025）的子集B滿

足：對任意x,y￡B,有x+y&B,則集合B中元素個數(shù)的最大值是（）

A.506B.507C.1012D.1013

【跟蹤訓(xùn)練3】（2025春?徐匯區(qū)校級期中）若從兩男兩女四人中隨機(jī)選出兩人，設(shè)兩個男生分

別用A,B表示，兩個女生分別用C,D表示，相應(yīng)的樣本空間為。={AB,AC,AD,BC,BD,CD）,

則與事件“選出一男一女”對應(yīng)的樣本空間的子集為.

【跟蹤訓(xùn)練4】（2024秋?仁壽縣校級期末）定義集合的商集運(yùn)算為：g=x|x=2,meAnWB,

Amf

已知集合A二[2,4）,B=x|x=i-lfkEA,則集合gUB的真子集個數(shù)是.

【跟蹤訓(xùn)練5】（2025秋?湖北期中）設(shè)集合A={x|ax?-（a+1）x+1=0,aER）,{x|x2-5x+4=0}.

（1）若AUB=B,求a的取值；

（2）記C=AUB,若集合C的非空真子集有6個，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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El知識點(diǎn)7/

知識點(diǎn)

【知識點(diǎn)7】集合的基本運(yùn)算

求集合的交集

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作AC1B.

符號語言：AC1B={x|x￡A,且x￡B}.

AAB實(shí)際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素.

當(dāng)兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集.

運(yùn)算性質(zhì)：

①ACIB=BDA.②AD。二。.③AHA=A.④ACBGA,ADBCB.

【解題方法點(diǎn)撥】

解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解.不能把“或”與“且”混用；

求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖.

掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集.

求集合的并集

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作AUB.

符號語言：AUB={x|x￡Aax￡B}.

AUB實(shí)際理解為：①x僅是A中元素；②x僅是B中的元素；③x是A且是B中的元素.

運(yùn)算性質(zhì)：

①ALJB=BUA.②ALJ0=A.③AUA=A.④AUB2A,AUB2B.

【解題方法點(diǎn)撥】

定義并集：集合A和集合B的并集是所有屬于A或?qū)儆贐的元素組成的集合，記為AUB.元

素合并：符?A和B的所有元素合并，去重，得到并集.

求集合的補(bǔ)集

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

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一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全

集,通常記作U.（通常把給定的集合作為全集）.

對于一個集合A,由全集U占不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U

的補(bǔ)集，簡稱為集合A的補(bǔ)集，記作KA,即CoA={x|x￡U,且x4A}.

【解題方法點(diǎn)撥】

常用數(shù)軸以及韋恩圖幫助分析解答，補(bǔ)集常用于對立事件，否命題，反證法.

通常情況下以小題出現(xiàn)，高考中直接求解補(bǔ)集的選擇題，有時出現(xiàn)在簡易邏輯中，也可以

與函藪的定義域、值域，不等式的解集相結(jié)合命題，也可以在恒成立中出現(xiàn).

典型例題

例1.(2025?煙臺三模)已知集合A={x|-3VxV