立體幾何初步解答題易錯(cuò)精選練習(xí)

高一數(shù)學(xué)下學(xué)期人教A版必修第二冊(cè)

1.(2024高一下?鎮(zhèn)江期末)如圖,在正方體48CD中.

(1)求證：48〃平面4B1CD：

(2)求證：A181c.

2.(2024高一下?南充期末)如圖，在四棱錐P-中，底而力"。為平行四邊形.Z.ADC.=46。,

AD=AC=2,。是AC與80的交點(diǎn)，P。_L平面ABC。，P0=2,M是PD的中點(diǎn).

(1)求證：P8〃平面4CM；

(2)求證：平面P8CL平面PAC；

(3)求直線4M與平面A8C。所成角的正切值.

3.(2024高一下?吉林期末)四棱錐P-ABC。中，PDJL平面||DC,ABLAD,CD=AD=

\AB.^PAD=45°,E是24的中點(diǎn)，G在線段AB上，且滿足CGJ.BO.

(1)求證：DE||平面PBC；

(2)求平面GPC與平面PBC夾角的余弦值.

(3)在?線段PA上是否存在點(diǎn)H,使得GH與平面GPC所成角的正弦值是坐，若存在，求出/1H的

長；若不存在，請(qǐng)說明理由.

4.(2024高一下?柳州期末)在正方體ABC。一公81。1。1中

(1)若E,F分別為和CG的中點(diǎn)，求證:E-〃平面ABCD

(2)求二面角Ci-B。-。的正切值

(3)如圖，。為8。的中點(diǎn)，問：在棱441上是否存在一點(diǎn)M,使平面M8D1平面。Ci。1？如

果存在，求出力M：M久的值：如果不存在,請(qǐng)說明理由.

5.(2024高一下?韶關(guān)期末)如圖，在直三棱柱力8C-481G中，48J.BC,E,尸分別為梭4￡,8C

的中點(diǎn).

(1)求證：C/〃平面ABE

(2)求證：平面4BE1平面BCG名

(3)若AB=BC=44i=2,求二面角E-AB-C的余弦值.

6.(2024高一下?遼寧期末)如圖，在直三棱柱48c-&81GL中，/C=6,AB=10,cos乙CAB=

(1)求證：AQ〃平面CD/；

（2）求證：AC±BQ；

（3）求三棱錐Ai-BiCD狗體積.

7.（2024高一下?溫州期末）如圖，ZkABC繞邊BC旋轉(zhuǎn)得到△DBC,其中AC=BC=2,AC1

BC,71E1平面ABC,DE//AC.

（1）證明：BC1平面ACD；

（2）若二面角8—OE—C的平面角為60。，求銳二面隹。一。8-4平面角的正弦值.

8.（2024高一下?辛集期末）如圖，己知等腰梯形ABC。中，AD//BC,AB=AD=^BC=2,E是

8c的中點(diǎn);，AEC\BD=M,將484E7甘著力E翻折1或4使平面1平面AECD

⑴求證：CD1平面8”M；

（2）求與平面/MD所成的角；

（3）在線段8]C上是否存在點(diǎn)P,使得MP〃平面々AD,若存在，求出差的值；若不存在，說

明理由.

9.（2024高一下?即墨期末）如圖，在四棱錐E-48co中，底面48co為正方形，AE1平面COE,

己知?1E=OE=2,尸為線段DE的中點(diǎn).

（1）求證：BE〃平面ACF；

（2）求四棱錐E—A8C0的體枳.

10.（2024高一下.廣州期末）如圖，48是半球0的直徑，P是半球底面圓周上一點(diǎn)，Q是半球面

答案解析部分

1.【答案】(1)證明：在正方體中力8〃DC,

又ABC平面A1B1CD,DCu平面A&CD,所以48〃平面%3傳。；

(2)證明：連接BQ、ADlf在正方體48co-48向。1中85出1為正方形,

所以BG1BC

又AB_L平面BCGBi，B］Cu平面BCG/,所以481/C,

又ABCBg=B,48,BCiu平面ABC［。］,

所以BiCJ■平面又力。1u平面ABCiOi，所以4Gl81c.

2.【答案】(1)證明：連接0M,在平行四邊形48co中，

因?yàn)?。為與BD的交點(diǎn)，所以。為8。的中點(diǎn)，又因?yàn)镸為PD的中點(diǎn)，所以PB//M0,

又因?yàn)镻B0平面4cMM。u平面ACM,所以PB〃平面4cM；

(2)證明：因?yàn)镻。平面A8C0,8Cu平面A8C0,所以BC1P。，

在△710。中，因?yàn)?10=/C,AD±AC,AD//BC,所以

因?yàn)镻OC\AC=0,P0u平面PA&ACu平面PAC,所以8c_L平面PAC,

又因?yàn)?Cu平面PBC,所以平面P8CJL平面PAC；

(3)解：取。。的中點(diǎn)N,連接M/V,AN,如圖所示：

因?yàn)镸為PD的中點(diǎn)，所以MN〃P0,且MN=2PO=1

由P01平面力8c0,得MN_L平面A8C0,

則乙MAN是百線AM與平面ABCD所成的角，

因?yàn)?45°,40=AC=2,^ACD=/-ADC=45°,所以NC40=90°,

RtADAO'V，AD=2,AO=^AC=1,則0。=V5，AN=^D0

J4/(

,，fMN1275

在RtAANM中，tan4M4N=麗=挺=丁,

￥

則直線AM與平面48co所成角的正切值為攣.

3.【答案】(1)證明：取P8的中點(diǎn)M,連接如圖所示:

圖1

因?yàn)锳8||DC且CD=，8，所以瓦M(jìn)分別是P4PB的中點(diǎn)，所以EMIIA8且EM=鼻8,

乙乙

所以E例〃CD且EM=CD,所以四邊形CDEM為平行四邊形，所以DE||CM,

又因?yàn)镃Mu平面PBC,DEC平面PBC,所以DE〃平面PBC；

(2)解：因?yàn)镻。1平面4BCD,DAu平面4BC。，所以PD1DA,

因?yàn)橐襊4O=45。，所以P0=0力，令。4=1,

又因?yàn)锳B||DC,所以。C_L/D,

以。為原點(diǎn)，萬彳，說，而所在方向分別為x,y,z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz,如圖所

示：

則力(1。0),8(120),C(0,L0),P(0,0,1),E(10胃)，

PC=(0,l,-l),C5=(1,1,O),AP=(-1,0,0)*

設(shè)點(diǎn)G坐標(biāo)為(1",0)，則而=(1,￡一1,0),麗=(1,2,0),

由CGI8。得布?麗=1+2(—1)=0,則t=；，G(“,0),C5=(1,-1,0),

設(shè)平面GPC的一個(gè)法向量為五二(x,y,z),

n-PC=y—z=0

令％=1,則y=2,z=2,即平面GPC的一個(gè)法向量為法：(122),

貝H沅?PC=b-c=0

設(shè)平面P8C的一個(gè)法向量為記=(a,b,c),,令b=1,得Q=—1,c=1,

?CB=a+b=0

即平面P8C的一個(gè)法向量為記=(—1,1,1),

—tn3B

cos<S>=麗=福=’故平面GPC與平面PBC夾角的余弦值為爭(zhēng)

(3)解：存在，AH=^理由如下：

設(shè)而=AAP=(-A,0,A),Ae[0,1],

設(shè)就=耐+通=(一九一：,/1),訶下=入-1,

cos<n,GH>=nGP!2A-2

則

n\-\GH

因?yàn)榕c平面GPC所成角的正弦值為華，所以?2=/，

3318鏟+1

整理得20M+8/1-1=0,解得2=右

故存在滿足條件的點(diǎn)H,AH=(一轉(zhuǎn),0,白)，則i4H=J(-否2+扁)2=寺

4.【答案】(1)證明：取白點(diǎn)N,連接EN,CN,

因?yàn)镋N〃AAi，EN=；AAi，所以EN〃CF,EN=CF,

乙

所以四邊形CFEN為平行四邊形，則EF〃CN,

又EFC平面ABCD,CNu平面4BCD,

所以“〃平面4BCD；

(2)解：連接CO，G。，設(shè)正方體邊長為I，

由正方體性質(zhì)可得8。1CO,

又CGI平面A8C0,8。u平面力8c0,所以80J.CG，

COACCX=C,CO,CCXu平面COQ,所以BO_1平面COC〉

又GOU平面COG，貝IJBD_LC1O,

所以2coei為二面角Ci一8。一C的平面角，

=A

(3)解：在棱/Ui上存在一點(diǎn)M,使平面例BDJ_平面。QDi，

連接AiCi，MO(iM,AC,如圖所示:

L5

=>/2,A0=CO=-y?

因?yàn)?是正方體48CO-A1B1GD1中，BD的中點(diǎn)，所以B。=0。,=OC「

所以的018。，因?yàn)槠矫鍹BD_L平面。的。1，所以的。1面MBD,

所以GOJLM。，所以“。2+G。2=GM?,

222

又MO?=4時(shí)2+4。2,6。2=CtC+CO,C^=A1C^MAj,

222

則AM?+AO+CrC+CO=AxCl+M心

則4M2+鼻1+,=2+”洛，所以AM=M4,

乙乙

即4M：M&=1:1.

5.【答案】(1)證明：取48的中點(diǎn)M,連接M八

因?yàn)閒為棱8c的中點(diǎn),

所以MF〃4C,MF=^AC,

又因?yàn)锳C〃力1G，AC=A1Cl,E為41cl的中點(diǎn),

所以MF〃EG，MF=Eg,

所以四邊形M"GE是平行四邊形，

所以ME〃GF,

又因?yàn)镃/0平面ABE,MEu平面4BE,

所以gF〃平面ABE.

(2)證明：因?yàn)槿庵?8C-481cl為直三棱柱，

所以BBiJ_平面ABC,

又因?yàn)?8u平面ABC,

所以8BiLAB,

又因?yàn)?81BC,B&CBC=B,BBru平面"。出，BCu平面87出

所以ASJL平面BCC1名,

乂因?yàn)?8u平面ABE,

所以平面平面BCQBi.

(3)解：取AC的中點(diǎn)G,連接EG,

因?yàn)镸為48的中點(diǎn),

所以MG〃8C,

又因?yàn)?81BC,

所以MG_L48,

因?yàn)橹比庵膸缀翁卣骺傻肊G_1面48。，又因?yàn)锳Bu面力BC,

所以EG14B,

又因?yàn)镸GnEG=G,MGu平面EMG,EGu平面EMG,

所以4B1平面EMG,

又因?yàn)镋Mu平面EMG,

所以481EM,

所以二面角E-AB-C的平面角為4EMG,

因?yàn)?IB=BC=441=2,

所以MG=1,EG=2,

在Rt△EGM中，ME=>JEG2+MG2=Vl2+22=而,

所以cos4EMG=^=+=^

所以二面角E-AB-C的余弦值為償.

6.【答案】(1)證明：設(shè)&C與SC1交于點(diǎn)E,E為的中點(diǎn)，連接DE,如圖所示:

G

在△480中，0E是△48G的中位線，則。EII4G，

因?yàn)镺Eu平面。。當(dāng)，AGU平面CO%,所以||平面CD名；

(2)證明：在△ABC中，AC=6?4B=10,cosz.CAB=p>

由余弦定理=AC2+AB2-2AC-ABcosZ.CAB,解得BC=8,

則1()2=62+82,^VAB2=/C2+5C2,△力BC為直角三角形，AC1BC,

又因?yàn)镮平面4AC4「(=平面力?！?所以0的IAC.

又因?yàn)镃GnBC=C,BC,CCiu平面48C,所以ACJL平面BCC：

又因?yàn)?Gu平面BCG，所以AC1BCi；

(3)解：在△48C中過點(diǎn)C作CF14B,垂足為F,

因?yàn)槠矫鍶_平面力BC,且平面4881力1n平面4BC=AB,所以CF平面

易知S“aBi=④&&?44=40,CF==冬

由匕41-80=^C-AlDBl，可得匕4［叫6=gX40X警=64.

7.【答案】(1)證明：因?yàn)锽C14C,BCJ.CD,且4CnCD=C,4C,CDu平面4CD,所以BC1平

面ACD；

(2)解：過C作C/1OE,垂足為F,連接8F,如圖所示：

A

即CF1EF,因?yàn)锽C1平面ACD,EFu平面ACD,則BC1EF,

且CFnBC=C,CF,BCu平面BCF,則EF1平面8C9,

由8/u平面8C打，可得E尸18口,

可知二面角8-0￡-C.的平面角為48口：=60。，且8C'=2,可得CF=百，

由(1)可知：BCLAC.BCLCD,則銳二面角0—C8—從平面角為乙4c0,

B.DE//AC,可知乙4co=乙CDF,

_2_廣

可得sinzjlCO=s\nz.CDF=幕=深=浮'

OL/乙O

則銳二面角。-CB-4平面角的正弦值為孚

8.【答案】解：(1)證明：因?yàn)?0〃BC,E是BC的中點(diǎn)，所以4B=40=BE=48C=2,

故四邊形48E0是菱形，從而4E180,

所以△8AE沿著4E翻折成△&4E后，AE1AE1DM,

又因?yàn)锽iMClOM=M,

所以4E_L平面8iMD,

由題意，易知AD〃CE,AD=CE,

所以四邊形4ECD是平行四邊形，故4￡7/CD,

所以CO1平面&DM；

(2)因?yàn)锳E1平面&MO,

所以8止與平面所成的角為NE81M,

由已知條件，可知4B==G),AB=AD=BE=BC=2,

所以△8ME是正三角形，所以NE/M=30。，

所以81E與平面81Mo所成的用為30°；

(3)假設(shè)線段81。上是存在點(diǎn)P,使得MP〃平面8遇。，

過點(diǎn)P作PQ〃C。交當(dāng)。于Q,連結(jié)MP,AQ,如下圖：

所以AM〃CO〃PQ,所以4M,P,Q四點(diǎn)共面，

又因?yàn)镸P〃平面8MD,所以MP〃/1Q,

所以四邊形AMPQ為平行四邊形，故AM=PQ=,CO,

所以戶為8道中點(diǎn)，

故在線段為C上存在點(diǎn)P,使得MP〃平面々/W,且黑另.

九【答案】（1）證明：連結(jié)BD和AC交于0,連結(jié)0F,

R

?[BCD為正方形，

???。為80中點(diǎn)，

丁尸為0E中點(diǎn)，

：.OF//BE.

〈BEC平面A",0"u平面ACF,

???BE〃平面A”.

(2)解：作EG14。于G,

*：AE_L平面COE,CDu平面COE,

：.AE1CD,

??F8CD為正方形，

：.CD1AD,

*：AEHAD=A,AD,AEu平面ZME,

ACD_L平面DAE,

ACD1EG,

*：ADnCD=0,

：.EG_L平面力BCD,

*：AElYffiCDF,OEu平面COE,

：.AE1DE,

'：AE=DE=2,

-'-AD=2vLEG=企，

2

???四棱錐E-ABC。的體積為：v=h^ABCDxEG=￡x(272)x&=挈?

10.【答案】Q)證明：因?yàn)锳B為半球0的直徑，P為半球底面圓周上一點(diǎn),

所以4P1BP,

因?yàn)镴L『Q,PQG=RPQ、BPu平面PBQ,

所以4P1平面P8Q,

又因?yàn)锽Qu平面PBQ,

所以4P1BQ,

又因?yàn)镼為半球面上一點(diǎn)，

所以AQ1BQ,

HAP=A,AQ,APc平面QHP

所以8Q1平面QAP,

乂因?yàn)镻Qu平面Q4P,

所以BQJLPQ.

（2）解：因?yàn)槿切?8P為直角三角形，4B=4,AP=1,

所以8P=y/AB2-AP2=危，

又因?yàn)锽Q=3,BQ1平面Q/P,

所以PQ=y/BP2-PQ2=V6，

又因?yàn)槿切蜵4B也是直角三角形,

所以Q4=y/AB2-BQ2=夕,

所以SAQAP=；.AP.PQ=：X1X遍=苧'

]137V

S^QAB=2Q4BQ=2x夕x3=-2-

設(shè)點(diǎn)P到平面Q48的距離為忙

則Pp-Q/18=B-QAP,

所以,九=：5縱力「?BQ，

所以公噌竺二警二竽

\&QAB竽/

設(shè)直線PQ與平面48Q所成的角為6,

則sin。=h丁E

PQ=76=~'

II.【答案】（1）證明：因?yàn)镻OL底面力BCD,BCu底面4BCD,所以PD_LBC,

因?yàn)樗倪呅?BC0為正方形，所以DC1BC,

因?yàn)镻DnDC=D,所以BCL平面PCD,

因?yàn)镺Eu平面『。。，所以BC_LOE,

在△PCD中，PD=CD,E是PC的中點(diǎn)，則OE1PC,

因?yàn)锽CnPC=C,所以DEI平面PBC,

因?yàn)镻Bu平面PBC,所以。E1PB,

因?yàn)镋F_LBP,DECEF=E,所以BP1平面OEF,

因?yàn)閡平面OEF,所以BP1。立

（2）解：連接AC交8。于點(diǎn)M,如圖所示:

因?yàn)镻D_L底面A8C0,ACu平面ABCO,所以AC_LPD