人教版八年級(jí)上冊(cè)13.4《課題學(xué)習(xí)??最短路徑問(wèn)題》同步練習(xí)卷

一.選擇題

1.如圖，直線/是一條河，P,。是兩個(gè)村莊.計(jì)劃在/上的某處修建一個(gè)水泵站M,向P,

。兩地供水.現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案（圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道），則所需管道最短的是

2.如圖，直線用表示一條河，M,N表示兩個(gè)村莊，欲在〃?上的某處修建一個(gè)給水站，向

兩個(gè)村莊供水，現(xiàn)有如圖所示的四種鋪設(shè)管道的方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則所

需管道最短的方案是（）

3.如圖，已知NO,點(diǎn)P為其內(nèi)一定點(diǎn)，分別在NO的兩邊上找點(diǎn)A、8,使△FB周長(zhǎng)最

4.如圖，直線/是一條河，P,。兩地在直線/的同側(cè)，欲在/上的某點(diǎn)M處修建一個(gè)水泵

站，分別向P，。兩地供水.現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，則鋪設(shè)的管道最短的方案是（)

0?

5.如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（4,2）,點(diǎn)3坐標(biāo)為（1,-3）,在y軸上

有一點(diǎn)P使以+P6的值最小，則點(diǎn)。坐標(biāo)為（

fy,

x

"B

A.(2,0)B.(-2,0)C.(0,2)D.(0,-2)

6.如圖，點(diǎn)P是NAOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=5a〃，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線0A和射線。8上

的動(dòng)點(diǎn)，△PMN周長(zhǎng)的最小值是5°〃，則NAO8的度數(shù)是（)

30°C.35°D.40°

7.如圖，在△ABC中，AB=AC,A。、CE是△ABC的兩條中線，尸是4。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),，則

下列線段的長(zhǎng)度等于BP十EP最小值的是（）

B.CEC.ADD.AC

8.如圖，點(diǎn)總是正方形A8C。的邊。C上的一點(diǎn)，在AC上找一點(diǎn)P,使也＞+〃￡的值最小,

這個(gè)最小值等于線段（）的長(zhǎng)度.

A.ABB.ACC.BPD.BE

9.如圖，在銳角三角形中，A3=4,△A6C的面積為8,40平分NA6c.若M、N分

別是4。、4c上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是（）

A.2B.4C.6D.8

10.如圖，在△A3。中，AB=AC,BC=4,面積星16,AC的乖育平分線EF分別交AC,

人4邊于E,F點(diǎn),若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)例為線段Er上一動(dòng)點(diǎn)，則△C。歷周長(zhǎng)的

最小值為（）

A.6B.8C.10D.12

二.填空題

11.如圖所示，NAO4=30",角內(nèi)有點(diǎn)P,PO=lOcv/b兩邊上各有一點(diǎn)Q,R（均不同于

點(diǎn)O）,則的周長(zhǎng)最小值是____

上

RB

12.如圖，已知NAOB=30'',OC平分NAOB,在。4上有一點(diǎn)M,OM=10cw,現(xiàn)要在

OC、OA上分別找點(diǎn)Q、N,使QM+QN最小，則其最小值是______.

R

17.河的兩岸成平行線，A,8是位于河兩岸的兩個(gè)車(chē)間（如圖），要在河上造一座橋，使橋

垂直于河岸，并且使43間的路程最短確定橋的位置的方法是：作從A到河岸的垂線,

分別交河岸PQ，MN于F,G.在AG上取A￡=FG,連接E8,EB交MN于D.在。處

作到對(duì)岸的垂線。C,垂足為C,那么。C就是造橋的位置.請(qǐng)說(shuō)出橋造在C。位置時(shí)路

程最短的理由，也就是（AC+CZHO4）最短的理由.

18.如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC=BC=4,NBCD=15°,P為C￡）上的動(dòng)點(diǎn),

則1%-P8|的最大值為

19.有人會(huì)說(shuō)：“這也太簡(jiǎn)單了！”別著急，請(qǐng)看下面這道題（如圖）

/?

?3

有一位將軍騎著馬要從4地走到8地，但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最

近.這道題乍一看似乎無(wú)從下手.但經(jīng)過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)此題依然可以利用“兩點(diǎn)之間，

線段最短”來(lái)解決問(wèn)題，具體方法為：做B點(diǎn)與河面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)夕，連接人夕，可得到

馬喝水的地方C（如圖）.

A.

再連接CB得到這道題的解A~C-艮這就是著名的“將軍飲馬”問(wèn)題.不信的話(huà)你可

以在河邊任意取一點(diǎn)C'連接AC'和C'8，比較一下就知道了.

20.已知：如圖所示，

(1)作出△ABC關(guān)于,，軸對(duì)稱(chēng)的△4'B'C,并寫(xiě)出B'C三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).

21.如圖，A、2在直線/的同側(cè),在直線/上求一點(diǎn)P,使△RW的周長(zhǎng)最小.

B

A

22.（1）如圖1,在AB直線一側(cè)C、。兩點(diǎn)，在48上找一點(diǎn)P,使C、D、P三點(diǎn)組成的

三角形的周長(zhǎng)最短，找出此點(diǎn)并說(shuō)明理由.

（2）如圖2,在NA08內(nèi)部有一點(diǎn)P,是否在。4、。8上分別存在點(diǎn)￡、F,使得￡、F、

戶(hù)三點(diǎn)組成的三角形的周長(zhǎng)最短，找出￡、尸兩點(diǎn)，并說(shuō)明理由.

（3）如圖3,在NA06內(nèi)部有兩點(diǎn)M、N,是否在04、08上分別存在點(diǎn)E、F,使得E、

F、M、N,四點(diǎn)組成的四邊形的周長(zhǎng)最短，找出E、F兩點(diǎn)，并說(shuō)明理

參考答案

一.選擇題

1.解：作點(diǎn)尸關(guān)于直線/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P',連接QP'交直線/于M.

根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可知選項(xiàng)4修建的管道，則所需管道最短.

故選：D.

2.解：作點(diǎn)“關(guān)于直線，"的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P',連接〃P交直線「TP.

根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可知選項(xiàng)。鋪設(shè)的管道，則所需管道最短.

故選：D.

3.解：分別在N。的兩邊上找點(diǎn)A、B,使△辦8周長(zhǎng)最小的是。選項(xiàng)，

故選：D.

4.解：作點(diǎn)P關(guān)于直線/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P',連接QP'交直線/于

根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可知詵項(xiàng)8修建的管道，所需管道最短.

又由垂線段最短，可知鋪設(shè)的管道最短的方案是選項(xiàng)人

故選：A.

5.解：如圖所示：作8點(diǎn)關(guān)于)，軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)及‘點(diǎn)，連接4B',交y軸于點(diǎn)P,則此時(shí)4P+PB

E......./

——5-^

。/':X

/：、：

B'?rr飛……c

=AP+PB'=AB'的值最小，

???點(diǎn)8坐標(biāo)為(1,-3),

工"(-1,-3),

???8'C=AC=5,

C=45°,

：.PD=B'0=1,

VOD=|-3|=3,

：.0P=2,

???P(0,-2),

故選：Q.

6.解：分別作點(diǎn)。關(guān)于04、05的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C、連接CQ,

分別交04、08于點(diǎn)M、N,連接0C、OD、PM、PN、MN,如圖所示:

???點(diǎn)P關(guān)于QA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D,關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C,

：?PM=DM,OP=OD,ZDOA=ZPOA；

丁點(diǎn)。關(guān)于08的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C,

:?PN=CN,OP=OC,NCOB=NPOB,

：.OC=OP=OD,ZAOB=^ZCOD,

2

???△PMN周長(zhǎng)的最小值是5cm,

:,PM+PN+MN=5,

:?DM+CN+MN=5,

即CD=5=0P,

：.OC=OD=CD,

即△OCO是等邊三角形，

：,ZCOD=60°,

AZAOB=30°；

：.ADA.BC,

:.PB=PC,

:?PB+PE=PC+PE，

?；PE+PCeCE,

:?P、C、E共線時(shí)，PB+PE的值最小，最小值為CE的長(zhǎng)度,

故選：B.

8.解：???四邊形A3C。是正方形，

，點(diǎn)。與點(diǎn)4關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng)，

連接BE,則線段BE的長(zhǎng)就是PD+PE的最小值.

故選：D.

9.解：過(guò)點(diǎn)C作CEJ_A8于點(diǎn)E,交8。于點(diǎn)M',過(guò)點(diǎn)M作MN'_L8C于N'

B

???8D平分NA8C,M'EJL4B于點(diǎn)E,M'M_L8C于N

?'?"N'=M'E,

：.CE=CM'+M'E

，當(dāng)點(diǎn)M與"重合，點(diǎn)N與N'重合時(shí)，CM+MN的最小值.

???三角形48c的面積為8,A8=4,

.,」X4?CE=8,

2

：.CE=4.

即CM+MN的最小值為4.

故選：B.

10.解：連接AD,AM.

:△ABC是等腰三角形，點(diǎn)。是8c邊的中點(diǎn)，

：.AD±BC,

???S"8C=4C?AD=」X4XAO=16,解得人0=8,

22

???E/是線段AC的垂直平分線，

:.點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)4,

：.MA=MC,

〈ADWAM+MD,

/.AD的長(zhǎng)為CM+MD的最小值，

.?.△CQM的周長(zhǎng)最短=(CM+MD)+CD=AD+ABC=8+AX4=8+2=10.

22

作出點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E,作出點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F,連接EF,交04于Q,

交OB于R.連接PQ,PR,PE,PF,0E,OF.

則PQ=EQ,PR=RF,

則△PQR的周長(zhǎng)=PQ+QR+PR=EQ+QR+RF=EF.

VZAOP=ZAOE,/POB=/FOB,zTAO6=NACF十2戶(hù)06=30°,

AZ￡OF=60°,

又,：OE=OP,OF=OP,

???OE=OF=\0,

即AE。尸是等邊三角形，

：,EF=OP=\0,

所以△PQA的周長(zhǎng)的最小值為10.

故答案為：10.

12.解：作M關(guān)于OC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)尸，過(guò)P作PN_LQ4于N,交。。于Q,則此時(shí)QM+QN

的值最小，

VZAOB=30°,OC平分NAOa在OA上有一點(diǎn)”，

???OA、關(guān)于OC對(duì)稱(chēng)，

???P點(diǎn)在OB上,

/.OP=OM=\Ocm,QM=PQ,NPNO=90°,

-：PN=1VP=^X10=5c/n,

22

/.QM+QN=PQ+QN=PN=5cm,

故答案為5cm.

13.解：連接人力，

「△ABC是等腰三角形，點(diǎn)。是8C邊的中點(diǎn)，

：.AD1BC,

，S“8C=Zc?AO=1X4XAO=16,解得人。=8,

22

???E/是線段4c的垂直平分線，

???點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)A,

：,AD的長(zhǎng)為CM+MD的最小值，

的周長(zhǎng)最短=（CM+MD）+CD=AD+ABC=8+AX4=8+2=10.

故答案為：10

14.解：作人關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C,連接交x軸于P,則此時(shí)AP+BP最小,

???4點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,3）,B點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2,I）,

(2,-3),

設(shè)直線BC的解析式是：），="+4

把8、。的坐標(biāo)代入得：f-2k+b=1

2k+b=-3

解得（k=T.

Ib=_l

即直線BC的解析式是），=-x-1,

當(dāng)y=0時(shí)，-x-l=O,

解得：x=-1,

??，點(diǎn)的坐標(biāo)是（7,0）.

故答案為：（-1,0）.

解：如圖，連接CE，過(guò)點(diǎn)C作C”_LA8于H,

???CH=2X65=10,

13

,

：AB=AC=\3tA。平分N8AC,

：.ADA.BC,BD=CD,

BE=EC,

；?BE+EF=CE+EF,

???當(dāng)點(diǎn)E,點(diǎn)C,點(diǎn)尸三點(diǎn)共線，且。凡L48時(shí)，8E+E尸有最小值,

即點(diǎn)從點(diǎn)尸都在線段C"上，

???BE+E/的最小值為10,

故答案為：10.

三.解答題

16.解：(1)作點(diǎn)P關(guān)于04、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)用、N；

(2)連接M、N,分別交OA,。8分別于為、尸2,則△尸P1P2即為所求的三角形.

17.解：利用圖形平移的性質(zhì)及連接兩點(diǎn)的線中，線段最短，可知：

AC+CD+DB=(ED+DB)+CD=EB+CD.

而CD的長(zhǎng)度又是平行線PQ與MN之間的距離，所以AC+CD+DB最短.

18.解：作人關(guān)于CO的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A',連接A'B交CD于P,則點(diǎn)。就是使|%-P8的值

最大的點(diǎn)，附-PA|=A'B,

連接“C,

△ABC為等腰直角三角形，AC=BC=4,

；?NCAB=NABC=45°,ZACB=90c,

?:/BCD=15°,

???NACO=75°,

：,ZCAA'=15°,

'：AC=A'C,

?M'C=BC,NCA'A=ZCAA'=15°,

AZACA'=150°,

VZACB=90°,

/.ZA'CB=60°,

???△A'8C是等邊三角形，

?"'B=BC=4.

故答案為：4.

A

19.解：在河邊任意取一點(diǎn)C'連接AC'和C'B,

???C。是線段BB'的垂直平分線可求出C,

：.AC+BC=AC+B,C=AB',

同理，BC=B'C',

：.AC'+BC=AC+B'C',

：,AC+B'C>AB'.

???C為所求的點(diǎn).

A'(-1,2),B1(-3,1),C(-4,3)

(2)先找出C點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)C”(4,-3),連接C"A交x軸于點(diǎn)P,

(或找出A點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)A〃(1,-2),連接A"C交x軸于點(diǎn)P)則尸點(diǎn)即為

連接A'8交/于點(diǎn)P.

則點(diǎn)夕就是所要求作的點(diǎn)；

理由：在/上取不同于P的點(diǎn)P,連接4P'、BP'.

???4和A'關(guān)于直線/對(duì)稱(chēng)，

：,PA=PA',P'A=PfA',

而A'P+BP<A'P'+8尸'

：,PA+BP<AP'+BP'

：,AB+AP+BP<AB+AP'+BP'

即△A4P周長(zhǎng)小于△ABP'周長(zhǎng).

22.解：(1)如圖1,作C關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C',

連接C'D交AB于點(diǎn)、P.

則點(diǎn)尸就是所要求作的點(diǎn)