第10講全等三角形的判定與性質(zhì)及應(yīng)用（核心考點(diǎn)講與練）

聚焦考點(diǎn)

一.全等三角形的判定與性質(zhì)

（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全

等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)

造三角形.

二.全等三角形的應(yīng)用

（1）全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用

用全等尋找下一個(gè)全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要認(rèn)真

分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系.

（2）作輔助線構(gòu)造全等三角形

常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長(zhǎng)，把分散條件集中到同一個(gè)三角形中是解;央中線

問題的基本規(guī)律.②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”，這些問

題經(jīng)常用到全等三角形來證明.

（3）全等三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用

一般方法是把實(shí)際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條

件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵.

名師點(diǎn)睛

一.全等三角形的判定與性質(zhì)（共9小題）

I.（2020秋?寶山區(qū)校級(jí)期天）己知：如圖，點(diǎn)A、B、C、。在同一條直線上，AB=DC,AE//DF,

AE=DF,求證：EC=FB.

【分析】由AE〃。陶NA=N。，由AB=OC,得AC=3O,再根據(jù)S4S證明△AEC也即

可得出結(jié)論.

【解答】證明：???AE〃Z）F,

/.ZA=ZD,

*：AB=DC,

：.AC=BDt

在△AEC與△OFB中，

AE=DF

/A=/D.

AC=BD

??.△AECZ△。尸B（SAS},

：,EC=FB.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

2.（2021秋?普陀區(qū)期末）如圖，己知點(diǎn)8、。、C、F在同一條直線上，AB//EF,AB=EF,AC

〃力E,如果8/=6,DC=3,那么B。的長(zhǎng)等于（）

3

A.IB.—C.2D.3

2

【分析】由平行線的性質(zhì)得到NB=/F,N4CB=/E。尸，證得廣得到

[3

進(jìn)而得到5。=尸C,即可得出3。=—(BF-DC)=—.

22

【解答】解：???然〃￡：凡

Z.Z?=ZF,

?:AC"DE、

：.ZACB=ZEDF,

在和△MO中，

NACB=/EDF

?NB=/F,

AB=EF

：,^ABC^^EFD(AAS),

:.BC=FD,

：.BC-DC=FD-DC,

:?BD=FC,

113

：.BD=—(BF-DC)=—(6-3)=—.

222

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證得ABCgaEF/)是解決問題的關(guān)鍵.

3.(2021秋?崇明區(qū)校級(jí)期末)己知：如圖，AB//CD,NA8D=90°,NAEO=90°,BD=DE.求

證：ZAFC=2ZADC.

【分析】根據(jù)證明Rt^AB。絲RtZXAE。，得出/84。=/￡4。再由A8〃CO可推出NEAQ=

ZADC,最后根據(jù)外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】證明：在R【Z\A8O與力中，

AD=AD

BD=DE

???RtZ\A8。絲RtZXAE。(HL),

:.NBAD=NEAD,

\'AB//CD,

：.ZBAD=ZADC,

：.ZEAD=ZADC,

ZAFC=Z1EAD+Z1ADC,

：.ZAFC=2ZADC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握

全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.(2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)期末)如圖，△A8C和△OBC中，NAC8=NOBC=90°,七是3c的中點(diǎn)，

且EO_L4B于點(diǎn)F,且A8=。凡C。交AB于點(diǎn)M.

(I)求證：BD=2EC；

(2)求△ACM與△4CM的面積之比.

A

T

C

E

【分析】(1)由E是伙?的中點(diǎn)得出8C=2￡C,證明△A8C絲△EO3,得出。8=6。，即可得出

BD=2EC；

AC1AMAC1

(2)由(1)可知￡)3=2AC得出-----=—,由△ACMS/\3DM得出------=-----=—,

DB2MBBD2

即可得出△ACM與△8CM的面積之比.

【解答】(1)證明：???￡是BC的中點(diǎn)，

:.BC=2EC,

???NAC8=NQ8C=90°,

Z.ZABC+ZA=90°,

EDIAB,

ZABC+ZDEB=90°,

，NA=NDEB,

在△ABC和△EQ3中

ZACB=ZDBC

</A=/DEB,

AB=DE

AAABC^AEDB(AAS),

:.DB=BC,

：.DB=2EC；

(2)解：'：XABC^XEDB,

:.BE=AC,

?1E是BC的中點(diǎn)，

：,AC=CE=BC,

'：DB=2EC,

：,DB=2AC,

AC1

???------------,

DB2

?.?NAC8=NQ8C=90°,

：.AC//DB,

：.ZA=ZDBM,ZACM=ZBDM,

：.AACMs^BDM,

AMAC1

**MBBD2,

???△ACM與△BCM的面積之比為1：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握三珀形的全等和相似是解決問題的關(guān)鍵.

5.（2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）如圖，AB=AC,AD=AE,ZBAD=ZCAE,3E與C。相交于點(diǎn)

F.

求證：(1)ZADC=ZAEB；

(2)FD=FE.

【分析】（1）利用A4S證明△/$￡＞且AACE即可；

（2）連接力￡利用等腰三角形的性質(zhì)和判定即可證明結(jié)論.

【解答】證明：（1）ZBAD=ZCAE,

：.ZBAD^-ZEAD=ZCAE+ZDAE,

：.ZBAE=^CAD,

在△/WE與△ACO中，

AB=AC

,/BAE=/CAD,

AE=AD

A（SAS〕，

???ZADC=NAEB；

（2）連接。E,

'：AD=AE,

：.ZADE=ZAED,

ZADC=ZAEB,

ZADC-ZADE=ZAEB-NAED,

，NFDE=/FED,

：,FD=FE.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰

三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵.

6.(2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中)已知在△ABC中，AB=AC,在邊AC上取一點(diǎn)以。為頂點(diǎn)，DB

為一條邊作N3OF=/4,點(diǎn)E在4c的延長(zhǎng)線上，/ECF=/ACB.

求證：(1)NFDC=NABD；

(2)DB=DFx

(3)當(dāng)點(diǎn)。在4c延長(zhǎng)線上時(shí)，Q8=OF是否依然成立？在備用圖中畫出圖形，并說明理由.

【分析】(1)根據(jù)角的司差即可得到結(jié)論：

(2)過。作OG〃BC交A8于G,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得

到結(jié)論；

(3)過。作。G〃BC交AB于G,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N八。G=NAC8,ZAGD=ZABC,根

據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/A8C=N4CB,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：'：ABDC=ZA+ZABD,

即NBDF+NFDC=ZA+ZABD,

'：/BDF=/A,

AZFDC=ZABD：

(2)過。作QG〃BC^64B于G,

???ZADG=N4C3,ZAGD=ZABC,

'：AB=AC,

，/AHC=/ACB,

：.ZAGD=ZADG,

：.AD=AG,

：.AB-AG=AC-AD,

即8G=DC,

???ZECF=^ACB=/AG。，

:?NDGB=/FCD,

在△GQ8與△C"Q中，

(NDGB=/FCD

\GB=CD,

[ZGBD=ZFDC

:.△GDBQACFD(ASA),

:,DB=DF；

(3)仍然成立，

如圖2,過。作OG〃8c交48于G,

ZADG=ZACB,ZAGD=AABC,

*：AB=AC,

/.ZABC=ZACH,

：.ZAGD=ZADG,

：.AD=AG,

：.AG-AB=AD-AC,

即9Gh。。，

*/ZECF=ZACB=ZAGD,

：.ZDGB=ZFCD,

?；Z4CB+ZBCF+ZFCD=180°,

AZACB+ZBCF+ZDGB=\^O°,

?:NDGB=NABC.

AZACB+ZBCFZABC=180°,

VZA+ZA/?C+ZAC2?=180°,

???4A=NBCF,

VZBDF=NA,

/.ZBCF=NBDF,

工ZCBD=NCFD,

?//GBD=1800-AABC-NC8O=180。-ZFCD-ACFD=ZFDC,

：.ZGBD=ZFDC,

在△GQ8與△CbQ中,

[^DGB=^FCD

lGB=CD,

\^GBD=^FDC

?二△GOB空△CTO（ASA）,

：.DB=DF.

【點(diǎn)評(píng)】本題考資了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正

確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

7.（2021春?金山區(qū)期末）閱讀并填空：如圖，已知在△ABC中，人B=AC,點(diǎn)D、E在邊BC上，

且4O=4E,說明8O=CE的理由.

解：因?yàn)锳8=AC,

所以NB=NC；（等邊對(duì)等角）

因?yàn)?（已知）

所以（等邊對(duì)等角）

因?yàn)镹AEO=NE4C+NC,

ZADE=ZBAD+ZB,（三角形外角的性質(zhì)）

所以NB4D=NEAC：（等式性質(zhì)）

在△m/）與△ACF中，

K）

{AB=AC

l（）

所以△A3。絲△ACE（A.S.A）

所以BD=CE.（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知NB=NC,ZAED=ZADE,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可

知N84Q=N￡AC,即可證明△AB￡）0Z\ACE,即有6O=CE.

【解答】解：因?yàn)锳B=4C,

所以N8=NC；（等邊對(duì)等角）

因?yàn)槿恕?AE,（己知）

所以ZAED=ZADE；（等邊對(duì)等角）

因?yàn)镹AED=NEAC+NC,

ZADE=ZBAD+ZB,（三角形外角的性質(zhì)）

所以N/MO=ZEAC；（等式性質(zhì)）

在△48。與△ACE中，

\^BAD=^CAE

lAB=AC,

|ZB=ZC

所以△ABDg△人CE（ASA）

所以BD=CE.（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）

故答案為：N8=NC,AD=AE,三角形外角的性質(zhì)，BD=CE.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等

知識(shí)，熟練掌握全等三隹形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.（2021秋?松江區(qū)期末）在△/WC中，AO是8c邊上的中線，ADLAB,如果AC=5,AD=2,那

么48的長(zhǎng)是3.

【分析】過點(diǎn)C作C￡〃A8交A。的延長(zhǎng)線于￡,利用AAS證明△A8D經(jīng)△EC。，得AB=EC,AD

=ED=2,再利用勾股定理即可得出答案.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CE〃48交4。的延長(zhǎng)線于E

TA。是8c邊上的中線，

：.BD=CD,

FO148,CE//AB,

：.AD±CE,ZABD=ZECD,

/.ZE=90°,

在△A8。與△EC。中，

NADB=/EDC

./ABD=/ECD

BD=CD

:.△ABDeAECD(A4S),

：,AB=EC,AD=ED=2.

：.AE=2AD=4,

在RlZXAEC中，CE=J三_AE?=J52_4也3,

：.AB=CE=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，作輔助

線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

9.（2021秋?普陀區(qū)期末）已知：如圖，在△A5。中，AB=CB,NA8C=45",高AO與高BE相

交于點(diǎn)F,G為BF的中點(diǎn).

求證：（1）OG=OE；

（2）ZDEG=ZDEC.

【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明再根據(jù)直角三角形斜邊上的

中線等于斜邊的一半可得。進(jìn)而可以解決問題；

2

（2）由（1）得NDBG=/DAE,BG=—BF,AE=—AC,BF=AC,然后證明△BOGgA

22

ADE,進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可解決問題.

【解答】證明：（l）40_L8/）,NBAQ=45：

：.AD=BD,

?；NBFD=NAFE,ZAFE+ZCAD=90Q,ZCAD+ZACD=90°,

???/BFO=NACO,

在△8QF和△AC。中，

NBFD=/ACD

-Z_BDF=^ADC,

BD=AD

：.4BDFQ2ACD（AAS）,

：.BF=AC,

?；G為B尸的中點(diǎn).

1

：.DG=—BF,

2

*：AB=CB,BEA.AC,

，E為AC的中點(diǎn).

1

:?DE=—AC,

2

:?DG=DE；

（2）由（1）知：NDBG=NDAE,BG=—BF,AE=^-AC,BF=AC,

22

:.BG=AE,

在△BOG和△4?！辏褐?，

BD=AD

/DBG=/DAE,

BG=AE

（SAS）,

，NBDG=NAOE,

NDGB=NDBG+NBDG,

???NDEC=NDAE+NADE,

，NDGB=ADEC,

,:DG=DE,

："DGE=/DEG,

；?ZDEG=/DEC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到△8。6名44?！?/p>

二.全等三角形的應(yīng)用（共3小題）

10.（2021春?金山區(qū)期末）如圖，有兩根鋼條45、CD,在中點(diǎn)O處以小轉(zhuǎn)軸連在一起做成工具

（卡鉗），可測(cè)量工件內(nèi)槽的寬.如果測(cè)量AC=2cm,那么工件內(nèi)槽的寬8Q=2cm.

【分析】利用SAS可判定根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BO=AC=2厘米.

【解答】解：???有兩根鋼條48、CD,在中點(diǎn)。處以小轉(zhuǎn)軸連在一起做成工具，

：.OA=OB,OD=OC,

AO=BO

在△40C和△60。中，NAOC=/BOD,

C0=D0

??.△AOCg/XBO。(SAS).

?*.8O=AC=2厘米，

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考資全等三角形的應(yīng)用.在實(shí)際生活中，對(duì)于難以實(shí)地測(cè)量的線段，常常通過兩

個(gè)全等三角形，轉(zhuǎn)化需要測(cè)量的線段到易測(cè)量的邊上或者己知邊上來，從而求解.

II.(2020春?嘉定區(qū)期末)如圖，兩車從路段MMI勺兩端同時(shí)出發(fā)，以相同的速度行駛，相同時(shí)

間后分別到達(dá)A,B兩地，兩車行進(jìn)的路線平行.那么A,8兩地到路段MN的距離相等嗎？為什

【分析】要判斷A,3兩地到路段MN的距離是否相等，可以由條件證明△AEM四△9W,再根

據(jù)全等三角形的性質(zhì)就可以的得出結(jié)論.

【解答】解：A,8兩地到路段MN的距離相等.

理由：TAE，MN,BF1MN,

???N4FN=N4EM=90°.

/.NM=NN.

在和△8/W中，

NAEM=/BFN

NM=NN,

AM=BN

：.4AEMWABFN(AAS),

：.AE=BF.

???A,8兩地到路段MN的距離相等.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，點(diǎn)到直線的距離的理解，在解答時(shí)弄清

判斷三角形全等的條件是關(guān)鍵.

12.（2019春?嘉定區(qū)期末）如圖，兩車從路段48的兩端同時(shí)出發(fā)，以相同的速度行駛，相同

時(shí)間后分別到達(dá)C，。兩地，兩車行進(jìn)的路線平行.那么C，。兩地到路段48的距離相等嗎？為

【分析】要判斷C,。兩地到路段的距離是否相等，正以由條件證明△AECg/XB"）,再根

據(jù)全等三角形的性質(zhì)就可以的得出結(jié)論.

【解答】解：C,。兩地到路段A6的距離相等.

證明：DF±AB,

/.ZAEC=90'.

■:AC//BD,

：,NA=NB.

在△AEC和△8FQ中.

ZBFD=^AEC

,NA=/B,

AC=BD

???

:?CE=DF.

??.C,。兩地到路段AB的距離相等.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，點(diǎn)到直線的距離的理解，在解答時(shí)弄清

判斷三角形全等的條件是關(guān)鍵.

能力提升

4分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

一.選擇題（共3小題）

1.（2016秋?天津期末）小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標(biāo)有1、2、

3、4的四塊），你認(rèn)為將其中的哪一些塊帶去，就能配一塊與原來一樣大小的三角形？應(yīng)該帶

)

A.第1塊B.第2塊C.第3塊D.第4塊

【分析】本題應(yīng)先假定選擇哪塊，再對(duì)應(yīng)二角形全等判定的條件進(jìn)行驗(yàn)證.

【解答】解：1、3、4塊玻璃不同時(shí)具備包括一完整邊在內(nèi)的三個(gè)證明全等的要素，所以不能

帶它們?nèi)ィ?/p>

只有第2塊有完整的兩角及夾邊，符合ASA,滿足題目要求的條件，是符合題意的.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形全等的判定，看這4塊玻璃中哪個(gè)包含的條件符合某個(gè)判定.判

定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS.

2.（2015?義烏市）如圖，小敏做了一個(gè)角平分儀ABC。，其中BC-DC.將儀淵_￡的

點(diǎn)4與NPRQ的頂點(diǎn)R重合，調(diào)整48和A。，使它們分別落在角的兩邊上，過點(diǎn)A,C畫一條射線

AE,AE就是NPRQ的平分線.此角平分儀的畫圖原理是：根據(jù)儀器結(jié)構(gòu)，可得△A3Cg△AOC

這樣就有NQAE=/P4￡則說明這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是（）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

【分析】在△4OC和△ABC中，由于AC為公共邊，AB=AD,BC=DC,利用SSS定理可判定△

ADC^^ABC,進(jìn)而得到ND4C=NB4C,即

【解答】解：在△4QC和△A8。中，

^AD=AB

{DC=BC,

\AC=AC

：.^ADC^^ABC（SSS）,

：.ZDAC=ZBAC,

即NQAE=NPAE.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的應(yīng)用；這種設(shè)計(jì)，用SSS判斷全等，再運(yùn)用性質(zhì)，是全等三

角形判定及性質(zhì)的綜合運(yùn)用，做題時(shí)要認(rèn)真讀題，充分理解題意.

3.（2021秋?營山縣期中）在△A8C中，AB=5,AC=7,4Z）是8C邊上的中線，則4。的取值范圍

是（）

A.0<AD<\2B.\<AD<6C.0<AD<6D.2<AD<12

【分析】作出圖形，延長(zhǎng)中線A。到E,使QE=AZ）,利用“邊角邊”證明△ACQ和△E8。全等，

根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AC=3￡,然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之

差小于第三邊求出4E的范圍，再除以2即可得解.

【解答】解：如圖，延長(zhǎng)中線AO到E,使?！?AO,

?「AO是三角形的中線，

:.BD=CD,

在△ACD和△￡3。中，

[CD=BD

1/ADC=/BDE,

\AD=DE

:.△ACDQAEBD(SAS),

：.AC=BE,

*：AB=5,BE=AC=1,

：.7-5<AE<7+5,

即7-5V2AOV7+5,

，1VAQV6.

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)輔助線的作法，”遇

中線加倍延”作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)健.

二.填空題（共10小題）

4.（2021秋?沂水縣期中）如圖，點(diǎn)8、E、。、尸在同一條直線上，AB//DE,AB=DE,ZA=Z

D,BF=IO,BC=6,則EC=2.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可利用ASA證明△A8C9/\。后凡根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)得出6C=E/=6,即可根據(jù)線段的和差得解..

【解答】解：???人8〃。￡

???N8=ZDEF,

在△ABC和△。七「中，

（NA=/D

lAB=DE,

|/B=/DEF

:.△AB84DEF（.ASA）,

:?BC=EF,

???8尸=10,BC=6,

：.EF=6,CF=BF-BC=4,

:,EC=EF-CF=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用ASA證明尸是解題的關(guān)犍.

5.（2021春?楊浦區(qū)期末）在△ABC與AOE產(chǎn)中，Z4=ZD,NB=NE,BC=EF,AB=3cm,

AC=5cin,那么C￡=3cm.

【分析】根據(jù)已知可得△ABCgaQE/中，從而DE=A&即可得到答案.

【解答】解：如圖：

在△48。與△￡>￡/1>,

NA=/D

</E,

BC=EF

：.^ABC^^DEF^(AAS),

：.AB=DE,

\*AB=3cm,

/.DE=3cm,

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定及應(yīng)用，掌握全等三角形的判定定理和根據(jù)已知畫出圖形

是解答本題的關(guān)鍵.

6.(2015秋?蒙城縣期末)如圖所示，將兩根鋼條AA',BB'的中點(diǎn)O連在一起，使A4'.BB'

可以繞著點(diǎn)。自由轉(zhuǎn)動(dòng)，就做成了一個(gè)測(cè)量工具，則A'B的長(zhǎng)等于內(nèi)槽寬人8,那么判定△0人8

0△OA'B'的理由是一SAS.

X

【分析】已知二邊和夾隹相等，利用SAS可證兩個(gè)三角形全等.

【解答】解：'：OA=OA',OB=OB',ZAOB=ZA'OB',

：.AOAB^^OA'B'(SAS)

所以理由是SAS.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的應(yīng)用；根據(jù)題目給出的條件，要觀察圖中有哪些相等的邊和

角，然后判斷所選方法，題目不難.

7.(2009?楊浦區(qū)二模)如國所示，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到波瑞店

去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶去玻璃店.

【分析】本題就是已知三角形破損部分的邊角，得到原來三角形的邊角，根據(jù)三角形全等的判

定方法，即可求解.

【解答】解：第一塊和第二塊只保留了原三角形的一個(gè)角和部分邊，根據(jù)這兩塊中的任一塊均

不能配一塊與原來完全一樣的；

第三塊不僅保留了原來三角形的兩個(gè)角還保留了一邊，則可以根據(jù)4sA來配一塊一樣的玻璃.應(yīng)

帶③去.

故答案為：③.

【點(diǎn)評(píng)】這是一道考查全等三角形的判定方法的開放性的題，要求學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)運(yùn)用于實(shí)

際生活中，要認(rèn)真觀察圖形，根據(jù)已知選擇方法.

8.(2021秋?普陀區(qū)期中)如圖，中，AO_L8c于點(diǎn)。，8EJL4C于點(diǎn)E,A。、BE相交于點(diǎn)E

如果B"=AC,8C=8,CD=2,那么Ab=4.

【分析】利用A4S證明△BFDZ△八C。，得BD=AD,CD=DF,即可解決問題.

【解答】解：???AQ_L8CBELAC,

：.ZADC=ZBDF=W,

???NC4￡)+NC=90°,ZCfiE+ZC=90°,

:?/CBE=/CAD,

在尸。與△/(7)中，

^BDF=^ADC

^CBF=^DAC

BF=AC

:?△BFDQAACD(AAS),

:?BD=AD,CD=DF,

VBC=8,CD=2,

：.BD=AD=BC-CO=8?2=6,

：.AF=AD-DF=6-2=4,

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△8”。絲△HCO是解題的關(guān)鍵.

9.(2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考)如圖，△ABC的周長(zhǎng)為26,點(diǎn)。、E都在邊8C上，N/WC的平分線

垂直于4區(qū)垂足為。，N4CB的平分線垂直于4。，垂足為P,若BC=10,則DE的長(zhǎng)是6.

【分析】證明△八根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到B4=BE,AP=PD,根據(jù)三角形的

周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案.

【解答】解：平分NA8C,

，NABQ=NEBQ,

在△/WQ和△EBQ中，

(NABQ=/EBQ

出Q=BQ,

|ZAQB=ZEQB=90°,

:.△ABQ@LEBQ(ASA),

；.BA=BE,

同理：AP=PD,

???△/WC的周長(zhǎng)為26,

：.AB+AC+BC=26,

：.AB+AC=\6,

：.DE=BE+CD-BC=16-10=6,

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解

題的關(guān)鍵.

10.(2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考)△A6C中，AB=6,AC=8,點(diǎn)。是8。邊上的中點(diǎn)，則AO的取值

范圍是1VAQV7.

【分析】作出圖形，延長(zhǎng)A。至￡使。根據(jù)三角形中線的定義可得B/)=CO,然后利

用“邊角邊”證明△A8Z)和△ECQ全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CE=A8,再根據(jù)三

角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊只差小于第三邊求出八，然后求解即可.

【解答】解：如圖，延長(zhǎng)4。至E,使。

卜?的中線，

:.BD=CD,

在△A8Q和△EC。中，

AD=DE

,/ADB=/EDC,

BD=CD

:?△ABDQAECD(SAS),

：.CE=AB=6,

VAC=8,

,6+8=14,8-6=2,

：.2<AE<\4,

,\\<AD<7.

故答案為：1VAQV7.

【點(diǎn)評(píng)】本題考兗了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，“遇中線，加倍延”構(gòu)造

出全等三角形是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀.

II.（2021春?鹽湖區(qū)校級(jí)期末）在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)。是△人8C外一點(diǎn)，連接人。、BD、CD,

且充4c于點(diǎn)。，在8D上取一點(diǎn)E,使得4E=A。，NEAD=NBAC,若NACB=70°,則/

BDC的度數(shù)為40。.

【分析】根據(jù)S4S證明△ABEg/UCQ,再利用全等三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)和三角

形的內(nèi)角和解答即可.

【解答】解：*：ZEAD=ZBAC,

：.ZBAC-ZEAC=ZEAD-ZEAC,

即NBAE=NCA。，

在△/WE和△ACO中，

[AB=AC

(Z_BAE=Z.CAD,

[AE=AD

AAABE^Z^ACD(SAS).

，ZABD=ZACD,

???N3。。是AAB。和△QCO的外角，

???ZBOC=ZABD+ZBAC,ZBOC=ZACD+ZBDC,

，NAB力+/BAC=NACD+NBDC,

：.ZBAC=ZBDC,

VZACB=70°,AB=AC,

AZABC=ZACB=1^0,

Z.ZBAC=180°-NA8C-NACB=180°-70°-70°=40°,

/.ZBDC=ZBAC=40°.

故答案為：40°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,

也是本題的難點(diǎn).

12.（2021秋?長(zhǎng)沙期中）如圖，ZACB=9（）°,AC=BC,BELCE,ADA.CE,垂足分別為E,D,

【分析】可先證明△3CE0△CAQ,可求得CE=AO,結(jié)合條件可求得CQ,則可求得3E.

【解答】解：???NACB=90°,

：.ZBCE+ZACD=90a,

乂〈BE工CE,AD±CE,

???/￡=NAOC=90°,

：.ZBCE+ZCBE=90°，

：.ZCBE=ZACD.

/E=/ADC

在△C8E和ZVlC。中，，/CBE=/ACD,

BC=AC

：.XCBE@XACD(AAS),

：.BE=CD,CE=AD=25,

???￡）￡=17,

：.CD=CE-DE=AD-DE=25-17=8,

?"E=CO=8；

故答案為：8.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)；證明三角形全等得出對(duì)應(yīng)邊相等是解決問題

的關(guān)鍵.

13.（2021秋?梅里斯區(qū)期末）小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標(biāo)有

1、2、3、4的四塊），你認(rèn)為將其中的哪一塊帶去，就能配一塊與原來一樣大小的三角形？應(yīng)

該帶第2塊.

【分析】本題應(yīng)先假定選擇哪塊，再對(duì)應(yīng)三角形全等判定的條件進(jìn)行驗(yàn)證.

【解答】解：1、3、4塊玻璃不同時(shí)具備包括一完整邊在內(nèi)的三個(gè)證明全等的要素，所以不能

帶它們?nèi)ィ?/p>

只有第2塊有完整的兩角及夾邊，符合4SA,滿足題目要求的條件，是符合題意的.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形全等的判定，看這4塊玻璃中哪個(gè)包含的條件符合某個(gè)判定.判

定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA.AAS.HL.

三.解答題（共15小題）

14.（2021春?黃浦區(qū)期末）如圖，點(diǎn)A、B、C、。在一條直線上如果AC=3。，BE=CF,且

CF,那么AE〃力F.為什么？

角心*：BE//CF（已知），

：.ZEBC=ZFCB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

VZEBC+ZE?A=180°,ZFCT+ZFCD=180°（平角的意義），

：.ZEBA=ZFCD（等角的補(bǔ)角相等）.

'：AC=BD（已知），

AAC-BC=BD-BC（等式性質(zhì)），

即A8=CD.（完成以下說理過程）

【分析】證△A8E和△OCT全等，可得出NA=N。，從而AE//DF.

【解答】解：（已知），

：./EBC=/FCB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

ZEBC+ZEBA=iS（r,ZFCB+ZFCD=180°（平角的意義），

:?/EBA=NFCD（等角的補(bǔ)角相等）.

?：AC=BD（已知），

?,.AC-8C=BQ-BC（等式性質(zhì)），

即A8=CO.

在/XABE和△￡）（7尸中

(BE=CF

^EBA=^FCD,

AB=CD

:.△ABE9XDCF(SAS},

/./A=/。,

：.AE//DF.

故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；等角的補(bǔ)角相等；AB=CD

【點(diǎn)評(píng)】本題考資了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握憑想象

的判定與性質(zhì)，證明三光形全等是解題的關(guān)鍵.

15.（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）已知，如圖，△ABC中，ZC=90°,。是4B上一點(diǎn)，DEA.CD

于O,交BC于E,且有AC=AO=CE,求證：DE=—CD.

2

【分析】如圖，作輔助線；首先證明△八CTgaCED,得到CT=OE；其次證明Cr=，CD,

2

即可解次問題.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)4作A匚LC》

VZC=90°，DELCD,

???ZACF+ZDCE=ZDCE+ZDEC,

???ZACF=/DEC；

在△ACF與△CED中,

\/ACF=^DEC

/AFC=/CDE,

AC=CE

AAACF^ACED(AAS),

:.CF=DE；

'：AC=AD,H.AF1CD,

1

：.CF=—CD,

2

1

：.DE=—CD.

2

等腰三角形的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問題;

解題的關(guān)鍵是作輔助線；靈活運(yùn)用全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)來分析、

判斷、解答.

16.（2020春?普陀區(qū)期末）如圖，已知AC=DF,BF=EC.

（1）說明△ABC與△OEF全等的理由;

(2)如果AC=CRZl=30°,ZD=105°,求NAFC的度數(shù).

【分析】（I）由8/=EC,可得BC=E凡根據(jù)“SSS“可得△ABCgZWEF：

（2）由（1）得：△4BC四△/）￡：凡有/B4C=/。，根據(jù)N/）=105°,Zl=30°,可得/尸4c

=75°,而AC=CE故/A/<=/E4C=75°.

【解答】（1）證明：???8"=EC,

：,BF+CF=EC+CF,^BC=EF,

在△/WC和△￡)￡”中,

[AB=DE

lAC=DF,

[BC=EF

:.△AB84DEFCSSS)；

(2)由(1)得：△AB84DEF,

，N8AC=NQ,

VZD=105°,

???NBAC=105°,

VZI=30°,

AZFAC=ZBAC-Z1=75",

\'AC=CF,

：.ZAFC=ZFAC=15°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，屬基礎(chǔ)題型，解題的

關(guān)鍵掌握三角形全等的判定：SSS、SAS、ASA.AAS.

17.（2019秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，8。平分NA8C,用、N分別是84、8C上的點(diǎn)，

HZMDN+ZMBN=180°,求證：DM=DN.

ADC

【分析】根據(jù)一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓，然后根據(jù)圓周角相等，即可證明對(duì)應(yīng)的

弦相等.

【解答】證明：?；NMDN+NMBN=180°,

??.3、M、D、N四點(diǎn)共圓，

又?：NMBD=NNBD,

：.DM=DN.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了四點(diǎn)共圓的證明方法以及圓周角定理，證明8、M、。、N四點(diǎn)共圓是關(guān)鍵.

18.（2021春?浦東新區(qū)月考）如圖所示，在△A8C中，是N8AC的平分線，M是的口點(diǎn)，

M"〃DA交B4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,求證：BE=CF.

【分析】過點(diǎn)8作BN〃4C2EM的延長(zhǎng)線于M根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得NMBN=NC,

ZN=ZMFC,根據(jù)線段中點(diǎn)的定義燈得BM=CM,然后利用“角角邊”證明△8MN和△40

全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BN=CR根據(jù)角平分線的定義求出NMO=N3。，

然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出NE=/84。，NN=N（7bM=NC4。，從而得到/E=NN,再根

據(jù)等角對(duì)等邊可得最后等量代換即可得證.

【解答】證明：如圖，過點(diǎn)8作8N〃八C交EM的延長(zhǎng)線于N,

D

N

："MBN=4C,4N=/MFC,

為3C的中點(diǎn)，

：.BM=CM,

在△8MN和△CMF中，

NN=/MFC

NMBN=/C,

BM=CM

：,ABMNQ叢CMF(AAS),

:?BN=CF,

??F。為N84C的角平分線，

，N8AO=NCAO,

yME/ZAD,

:./E=NBAD,ZMFC=ZCAD,

???NE=/MFC,

:?NE=/N,

:.BE=BN,

：,BE=CF.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，熟練掌握

三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形并找出一條與8￡、

CF都相等的線段作為過渡橋梁.

19.(2021春?閔行區(qū)期末)如圖，已知在等腰△ABC中AB=AC,點(diǎn)/),點(diǎn)E和點(diǎn)尸分別是月C,AB

和4C邊上的點(diǎn)，且/B=/EDF,試說明OE=OF.

A

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得NB=NC,由外角的性質(zhì)可得N8EO=NCQF,由“4

可證可得OE=/)F.

【解答】解；*：AB=AC,

:.NB=NC,

N8=4EDF,

：.ZC=ZEDF,

,?NEDC=NB+/BED=NEDF+NFDC,

:?/BED=/CDF,

在△8DE和△CTO中，

(/BED=/CDF

lBE=CD,

|/B=NC

工ABDE烏ACFD(ASA),

：.DE=DF.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，證

明△BOEgZXCFQ是解題的關(guān)鍵.

20.(2021春?閔行區(qū)期末)如圖，△AOC中，AOJ_OC,垂足為點(diǎn)O,垂足為點(diǎn)K,AD

=DC,CE和AO交于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)8F,試說明//3。=45°.

【分析】由“ASA”可證可得8D=DF,由等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.

【解答】解：??工。_1_3。.CE1AB,

：.ZADC=ZADB=90°=ZCEB,

???/ABQ+NRA/)=90°=/BCE+/A8。，

:"BAD=/BCE,

在△48。和△CFO中，

(ZBAD=ZBCE

\AD=CD

\^ADB=ZCDF

:.XABF咫XCFD(ASA),

：.BD=DF,

又???NAO8=90°，

：.ZFBD=45°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證明△ABOg/XC/O是解

題的關(guān)鍵.

21.（2021春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知NB=/C=90°,AELED,AB=EC,EF1AD,

試說明點(diǎn)戶是4）的中點(diǎn)的理由.

【分析】證出NBAE=NCEO,證明△4?￡：0△ECO（ASA）,得出得出△AED是

等腰三角形.由等腰三隹形的三線合一性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】解：:

ZAED=9(r，

又???NB=90°,

.*.ZB=ZAED,

,/NAEC=NB+NBAE,

即NAED+NDEC=N8+/84E,

:?NBAE=/DEC,

在AABE與△ECD中,

"B=/C

AB=EC

/BAE=/DEC

.'.△ABE咨AECD(ASA),

：.AE=ED,

\*EF1AD,

：?點(diǎn)廠是4。的中點(diǎn).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)

等知識(shí)：熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

22.（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，在三角形A8C中，已知點(diǎn)。、E、F分別在邊BC、AC.ABE,

且FD=DE,BF=CD,NFDE=NB,那么NB與NC相等嗎？為什么？

【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得力尸&再

根據(jù)/產(chǎn)?！?/從證明/OF8=/￡OC,然后根據(jù)邊角邊定理證明△。以與△EQC全等，根

據(jù)此思路寫出相關(guān)的理由與步驟即可.

【解答】解：與NC相等，

理由：,:4FDC=/FDE+/EDC,

又丁ZFDC=NB+NBFD,

???ZFDE+^EDC=/B+/BFD,

又，：4FDE=4B,

：,/BFD=NEDC,

在△"/）和△CQE中

FD=DE

■NBFD=NEDC.

BF=CD

:.△BFDW4CDE（SAS）,

???N8=NC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握判定定理與性質(zhì)定理，

理清證明思路是寫出理由與步驟的關(guān)鍵.

23.（2（）21春?浦東新區(qū)期末）如圖，在△A3。中，點(diǎn)。是邊8C的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作直線CE,使CE

//AB,交八。的延長(zhǎng)線干點(diǎn)E.試說明4力=￡7）的理由.

解：因?yàn)镃￡〃A8（已知），

所以N3AD=NE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

因?yàn)辄c(diǎn)?是邊BC的中點(diǎn)，

所以BD=CD，

在△A3。和△ECO中,

0

^ADB=^EDC^,

0

所以△人BOgaEC力（AAS）,

所以（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.

【分析】先利用平行線的性質(zhì)得到再利用線段中點(diǎn)的定義得到BO=CD,則可根

據(jù)“A4S”判斷△48。g△EC。，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AQ=￡Q.

【解答】解：因?yàn)镃E〃八B（已知），

所以NB4O=/E（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

因?yàn)辄c(diǎn)。是邊6c的中點(diǎn)，

所以BD=CD,

在△A3。和△EC。中，

（/BAD=/E

{/ADB=/EDC（對(duì)頂角相等）

[BD=CD

所以△A3。0△ECO（AAS）,

所以AO=E。（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.

故答案為/￡,兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；ZBAD=ZE,對(duì)頂角相等，BD=CD：AAS；全等

三角形的對(duì)應(yīng)邊相等.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證

明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

24.（2021春?黃浦區(qū)期末）如圖在四邊形/WC力中，AD//BC,E是48的中點(diǎn)，連接QE并延長(zhǎng)交

C8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R點(diǎn)G在邊8c上，且N1=N2.

（1）說明的理由；

（2）聯(lián)結(jié)EG,那么EG與OF的位置關(guān)系是EGA-DF,請(qǐng)說明理由.

【分析】（1）由4Q〃BC