2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽模運(yùn)算試卷一、選擇題（每題5分，共30分）1.若(a\equiv3\mod5)，(b\equiv4\mod5)，則((a+b)\mod5)的值為（）A.1B.2C.7D.12解析：根據(jù)模運(yùn)算加法法則，((a+b)\modm=[(a\modm)+(b\modm)]\modm)。代入得((3+4)\mod5=7\mod5=2)，故選B。2.滿足(2x\equiv1\mod3)的最小正整數(shù)解為（）A.1B.2C.3D.4解析：通過(guò)試值法，當(dāng)(x=2)時(shí)，(2×2=4\equiv1\mod3)，故選B。3.下列算式正確的是（）A.(10\mod3=3)B.((-5)\mod4=-1)C.(7\mod7=1)D.(12\mod5=2)解析：模運(yùn)算結(jié)果非負(fù)，A項(xiàng)應(yīng)為1，B項(xiàng)((-5)+8=3)，故((-5)\mod4=3)；C項(xiàng)(7\mod7=0)；D項(xiàng)正確，故選D。4.若今天是星期三，則2025天后是星期（）A.三B.四C.五D.六解析：一周7天為周期，(2025\div7=289)周余2天，星期三加2天為星期五，故選C。5.設(shè)(n)為正整數(shù)，若(n\mod4=3)，則(n^2\mod4)的值為（）A.1B.2C.3D.9解析：設(shè)(n=4k+3)，則(n^2=(4k+3)^2=16k^2+24k+9=4(4k^2+6k+2)+1)，故(n^2\mod4=1)，選A。6.模10下與7互為逆元的數(shù)是（）A.3B.7C.9D.13解析：逆元滿足(7x\equiv1\mod10)，試值得(7×3=21\equiv1\mod10)，故選A。二、填空題（每題5分，共30分）7.計(jì)算(2025\mod12=)__________答案：9解析：(12×168=2016)，(2025-2016=9)。8.若(x\equiv5\mod7)，則(3x+2\equiv)__________(\mod7)答案：4解析：(3×5+2=17)，(17\mod7=3)？？？修正：(3×5=15\equiv1\mod7)，(1+2=3)，答案應(yīng)為3。9.滿足(x\equiv2\mod3)且(x\equiv3\mod4)的最小正整數(shù)(x=)__________答案：11解析：設(shè)(x=3k+2)，代入第二個(gè)條件得(3k+2\equiv3\mod4)，即(3k\equiv1\mod4)，解得(k=3)，故(x=3×3+2=11)。10.(10^{2025}\mod3)的值為_(kāi)_________答案：1解析：(10\equiv1\mod3)，故(10^n\equiv1^n=1\mod3)。11.若(a\equivb\modm)，則(a^k\equiv)__________(\modm)（用(b)表示）答案：(b^k)解析：模運(yùn)算乘法法則的推廣，指數(shù)運(yùn)算保持同余性。12.某數(shù)除以5余3，除以7余2，該數(shù)最小為_(kāi)_________答案：23解析：枚舉法：滿足除以5余3的數(shù)為3,8,13,18,23,...，其中23除以7余2，故答案為23。三、解答題（每題15分，共60分）13.計(jì)算：((23×17-15×8)\mod11)解：[\begin{align*}23\mod11&=1,\quad17\mod11=6,\15\mod11&=4,\quad8\mod11=8,\\text{原式}&=(1×6-4×8)\mod11\&=(6-32)\mod11\&=(-26)\mod11\&=(-26+33)\mod11=7.\end{align*}]14.解同余方程：(4x+5\equiv3\mod6)解：化簡(jiǎn)方程得(4x\equiv-2\mod6)，即(4x\equiv4\mod6)。兩邊同除以2（因gcd(4,6)=2，且2整除4），得(2x\equiv2\mod3)，解得(x\equiv1\mod3)。故通解為(x=3k+1)（(k)為整數(shù)），最小正整數(shù)解為1。15.證明：對(duì)于任意整數(shù)(n)，(n^3-n)能被6整除。證明：(n^3-n=n(n^2-1)=(n-1)n(n+1))，即三個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積。三個(gè)連續(xù)整數(shù)中必有一個(gè)偶數(shù)，故能被2整除；三個(gè)連續(xù)整數(shù)中必有一個(gè)3的倍數(shù)，故能被3整除。因此，該乘積能被(2×3=6)整除。16.某班級(jí)學(xué)生排隊(duì)，若每排站5人則余3人，每排站7人則余4人，每排站11人則余6人，求班級(jí)最少人數(shù)。解：設(shè)人數(shù)為(x)，則：[\begin{cases}x\equiv3\mod5\x\equiv4\mod7\x\equiv6\mod11\end{cases}]步驟1：解前兩個(gè)方程，設(shè)(x=5a+3)，代入第二個(gè)方程得(5a+3\equiv4\mod7)，即(5a\equiv1\mod7)，解得(a\equiv3\mod7)（因(5×3=15\equiv1\mod7)），故(a=7b+3)，(x=5(7b+3)+3=35b+18)。步驟2：代入第三個(gè)方程：(35b+18\equiv6\mod11)，(35\mod11=2)，(18\mod11=7)，故(2b+7\equiv6\mod11)，即(2b\equiv-1\equiv10\mod11)，解得(b\equiv5\mod11)。因此，(b=11c+5)，(x=35(11c+5)+18=385c+193)。最小正整數(shù)解為(c=0)時(shí)，(x=193)。四、附加題（20分）17.求所有正整數(shù)(n)，使得(2^n\equiv1\mod3)。解：通過(guò)計(jì)算找規(guī)律：(n=1)時(shí)，(2^1=2\equiv2\mod3)；(n=2)時(shí)，(2^2=4\equiv1\mod3)；(n=3)時(shí)，(2^3=8\equiv2\mod3)；(n=4)時(shí)，(2^4=16\equiv1\mod3)。規(guī)律：當(dāng)(n)為偶數(shù)時(shí)，(2^n\equiv1\mod3)；當(dāng)(n)為奇數(shù)時(shí)，(2^n\equiv2\mod3)。證明：用數(shù)學(xué)歸納法：基礎(chǔ)：(n=2)時(shí)成立；假設(shè)(n=k)（偶數(shù)）時(shí)(2^k\equiv1\mod3)，則(n=k+2)時(shí)，(2^{k+2}=4×2^k\equiv1×1=1\mod3)。故所有正偶數(shù)(n)滿足條件。參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題1-6：BBDCAA二、填空題98.39.1110.111.(b^k)12.23三、解答題7（步驟完整得15分，結(jié)果正確但過(guò)程簡(jiǎn)略扣5分）(x=3k+1)（通解正確得10分，最小正整數(shù)解正