§9.3PU大小不等的2S抽樣與群規(guī)模不等的CL對(duì)照著來(lái)理解本節(jié)的方法體系自加權(quán)樣本的構(gòu)造模式及估計(jì)方法(計(jì)算的重點(diǎn))10/13/20251統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分PU大小不等時(shí)解決問(wèn)題的思路思路一：PU大小不等的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為PU大小相等來(lái)討論，比如分層，將大小近似的PU分到一層，則層內(nèi)的2S抽樣就可以按PU大小相等的方法來(lái)處理思路二：如果做不到上述轉(zhuǎn)化，PU大小不等的處理就要復(fù)雜得多，復(fù)雜性體現(xiàn)在兩個(gè)方面：抽樣方法：PU的抽取是否考慮PU不等的因素估計(jì)方法：選擇估計(jì)方法是否要考慮PU規(guī)模不等的因素10/13/20252統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分§9.3方法體系類似于CL群規(guī)模不等的估計(jì)（一）對(duì)PU進(jìn)行srs1、加權(quán)估計(jì)2、比率估計(jì)（二）對(duì)PU進(jìn)行PPS抽樣(WR)1、H-H估計(jì)2、構(gòu)造自加權(quán)樣本10/13/20253統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分一、符號(hào)說(shuō)明兩個(gè)抽樣比兩個(gè)均值兩個(gè)方差10/13/20254統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分討論的前提A個(gè)PUa個(gè)PUM1個(gè)BUM2個(gè)BUMa個(gè)BU……m1個(gè)BUm2個(gè)BUma個(gè)BU……每個(gè)PU相互獨(dú)立地抽取相應(yīng)的BU數(shù)10/13/20255統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分基本符號(hào)(Yij，i=1,2,…,A;j=1,2,…,Mi)

(yij，i=1,2,…,a;j=1,2,…,mi)含義總體樣本第i個(gè)PU的個(gè)體均值總的個(gè)體均值PU間方差第i個(gè)PU內(nèi)BU間的方差不需要再進(jìn)一步綜合10/13/20256統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分二、均值估計(jì)量及其性質(zhì)10/13/20257統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分（一）對(duì)PU進(jìn)行srs抽樣方法的選擇上沒(méi)有考慮PU規(guī)模不等的因素估計(jì)方法的選擇是否考慮PU規(guī)模不等的因素呢？10/13/20258統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分討論的前提A個(gè)PUsrsa個(gè)PUM1個(gè)BUM2個(gè)BUMa個(gè)BU……srsm1個(gè)BUm2個(gè)BUma個(gè)BU……每個(gè)PU相互獨(dú)立地抽取相應(yīng)的BU數(shù)10/13/20259統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分等概抽樣的加權(quán)估計(jì)量(P1989.28-9.31)適應(yīng)性：一般用于Mi相差不大的情況是個(gè)無(wú)偏估計(jì)10/13/202510統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分（二）對(duì)PU進(jìn)行放回的不等概抽樣抽樣方法的選擇上考慮了PU規(guī)模不等的因素選擇與之配套的估計(jì)方法：H-H估計(jì)10/13/202511統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分1、抽選方法說(shuō)明A個(gè)PUPPSa個(gè)PUM1個(gè)BUM2個(gè)BUMa個(gè)BU……m1個(gè)BUm2個(gè)BUma個(gè)BU……每個(gè)PU相互獨(dú)立地抽取相應(yīng)的BU數(shù)PPS抽樣結(jié)果有可能重復(fù)。如果某PU被重復(fù)抽到，比如被抽到2次，則分別獨(dú)立的進(jìn)行2次BU的抽取。對(duì)樣本單元實(shí)施調(diào)查，相同的單元記錄2次？10/13/202512統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分2、H-H估計(jì)量及其性質(zhì)由H-H估計(jì)量的性質(zhì)可知，這是無(wú)偏估計(jì)量方差(P1999.36)(P2009.38)10/13/202513統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分說(shuō)明估計(jì)量方差的估計(jì)式僅與第一階段有關(guān)，與第二階段無(wú)關(guān)所以，一般對(duì)第二階段抽樣方法不做特別的規(guī)定10/13/202514統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分3、構(gòu)造自加權(quán)估計(jì)量①理論上，要想構(gòu)造自加權(quán)估計(jì)量，必須——將估計(jì)量形式表示成關(guān)于樣本觀測(cè)值之和的常數(shù)倍10/13/202515統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分關(guān)于f0含義的理解相當(dāng)于總體中任一BU被抽中的概率如果f0事先確定，則10/13/202516統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分②總結(jié)：

實(shí)踐中自加權(quán)樣本的構(gòu)造模式在2S中，自加權(quán)樣本按如下模式構(gòu)造：第一階段對(duì)PU實(shí)施與規(guī)模成比例的PPS抽樣第二階段對(duì)BU按srs抽取，且mi=m這時(shí)，總值的估計(jì)量及方差的估計(jì)為：10/13/202517統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分補(bǔ)例某小區(qū)擁有10座高層建筑，每座高層建筑擁有的樓層數(shù)如下表：用二階抽樣方法抽出10個(gè)樓層進(jìn)行調(diào)查，第一階抽樣為放回的、按與每座建筑擁有的樓層數(shù)成比例的PPS抽樣抽取5座建筑，第二階按srs對(duì)每座建筑抽取2個(gè)樓層。對(duì)10個(gè)樓層居民人數(shù)的調(diào)查結(jié)果如下表。估計(jì)小區(qū)的總居民數(shù)，并給出估計(jì)的精度。高層建筑ABCDEFGHIJ合計(jì)樓層12121615101610181620145一階樣本序號(hào)12345合計(jì)居民數(shù)18,1215,1819,1316,1016,11148yi1516.5161313.514.8y10/13/202518統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分解答2S自加權(quán)樣本的模式構(gòu)造：第一階段對(duì)PU實(shí)施與規(guī)模成比例的PPS抽樣第二階段對(duì)BU按srs抽取，且mi=m本例的做法：用2S方法抽出10個(gè)樓層進(jìn)行調(diào)查，第一階抽樣為放回的、按與每座建筑擁有的樓層數(shù)成比例的PPS抽樣抽取5座建筑，第二階按srs對(duì)每座建筑抽取2個(gè)樓層這時(shí)，總值的估計(jì)量及方差的估計(jì)為：10/13/202519統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分解答自加權(quán)的構(gòu)造模式a=5，m=2，M0=145

10/13/202520統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分補(bǔ)充習(xí)題某公司欲了解職工上班交通所需時(shí)間，該公司共有5個(gè)部門，根據(jù)每個(gè)部門的人數(shù)采用PPS抽樣抽出2個(gè)部門，并在2個(gè)部門中采用srs分別抽出5名職工，調(diào)查的結(jié)果如下：試估計(jì)該公司職工上班交通平均所需時(shí)間，并給出估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差。部門i職工人數(shù)Mi時(shí)間yij（分鐘）12040，10，20，30，4023560，30，20，60，30§9.3結(jié)束10/13/202521統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分§9.4其他問(wèn)題一、3S抽樣二、2S總樣本量及最優(yōu)樣本量的配置10/13/202522統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分一、3S及MS抽樣10/13/202523統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分（一）各階單元大小相等的MS

（以3S為例）1、含義總體包含A個(gè)PU，每個(gè)PU含M個(gè)二級(jí)單元，每個(gè)二級(jí)單元含G個(gè)BU分別srs抽取a個(gè)PU、m個(gè)二級(jí)單元、g個(gè)BUAaPUsrsMm二階單元srsGgBUsrs10/13/202524統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分2、估計(jì)量及其性質(zhì)(P1949.46-9.48)實(shí)踐中，對(duì)于更高階的情況，估計(jì)量的方差一般只需計(jì)算到第二或第三階就可以了這是誤差的主要組成部分amg一定時(shí)，提高a而減少m、g會(huì)有效提高估計(jì)的精度方差的無(wú)偏估計(jì)10/13/202525統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分（二）各階單元大小不等的MS(不要求)以總值Y的估計(jì)為例來(lái)說(shuō)明通常有兩種方法1、各階抽樣采用PPS抽樣2、構(gòu)造自加權(quán)樣本重點(diǎn)掌握：樣本為自加權(quán)的條件10/13/202526統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分構(gòu)造自加權(quán)樣本

（樣本為自加權(quán)的條件）10/13/202527統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分①抽樣方法前兩個(gè)階段PPS抽樣，最后一個(gè)階段srs從第二階開(kāi)始，每一階各下級(jí)樣本單元數(shù)都相等則，樣本是自加權(quán)的AaPUPPSMim二級(jí)單元PPSGijgBUsrs10/13/202528統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分②估計(jì)量與方差估計(jì)10/13/202529統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分3階以上的MS自加權(quán)樣本的構(gòu)造類似地，對(duì)于更高階的情況，除了最后一階采用srs(wor或wr都行)，前幾階均采用PPS抽樣；并且，從第二階開(kāi)始，每一階的樣本量都相同，則樣本是自加權(quán)的自加權(quán)樣本的好處估計(jì)量的形式及方差的估計(jì)都非常簡(jiǎn)單抽樣估計(jì)效果一般也不錯(cuò)10/13/202530統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分二、2S總樣本量及最優(yōu)樣本量的配置討論的前提：PU大小相等的2S背景說(shuō)明每個(gè)PU均包含M個(gè)BU兩個(gè)階段均采用srsA→a，M→m各PU相互獨(dú)立地抽取BU10/13/202531統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分（一）(am)的確定兩種思路：1、費(fèi)用2、n2S=nsrs×DeffDeff的確定是關(guān)鍵實(shí)踐中，一般，MS的Deff在1.3~3之間10/13/202532統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分（二）最優(yōu)樣本量的配置前提：1、PU大小相等2、(am)一定的前提下，合理分配a和m的大小相當(dāng)于確定最優(yōu)抽樣比f(wàn)1=a/A、f2=m/M10/13/202533統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分1、基本思想①怎樣算是最優(yōu)配置最優(yōu)設(shè)計(jì)、最優(yōu)分配C一定的前提下，使估計(jì)精度最高在一定精度的要求下，使C最省2S費(fèi)用函數(shù)形式：C=c0+c1a+c2am②實(shí)踐中的基本原則10/13/202534統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分②實(shí)踐中的基本原則a盡量大一些，m盡量小一些兩個(gè)階段方差的大小如果：PU間的方差S12大，PU內(nèi)BU間的方差S22小——?jiǎng)t，a大一點(diǎn)，m小一點(diǎn)如果：S12小，S22大——?jiǎng)t，a小一點(diǎn)，m大一點(diǎn)兩個(gè)階段單位調(diào)查費(fèi)用如果：PU的單位調(diào)查費(fèi)用c1大，BU的單位調(diào)查費(fèi)用c2小——?jiǎng)t，a小一點(diǎn)，m大一點(diǎn)如果：c1小，c2大——?jiǎng)ta多一點(diǎn)，m小一點(diǎn)10/13/202535統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分2、求a、m的最優(yōu)分配法(P2029.56)結(jié)論：其中：將mopt代入V公式，可求得V給定的情況下，使C→min的aopt(9.58)將mopt代入C公式，可求得C限定的情況下，使V→min的aopt(9.57)問(wèn)題：如何確定aopt？10/13/202536統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分來(lái)歷有兩種方法可以確定以上m的最優(yōu)分配公式①拉格朗日乘子法②柯西——施瓦茲不等式基本思想：——借助方差函數(shù)和費(fèi)用函數(shù)構(gòu)造損失函數(shù)，求使得損失函數(shù)達(dá)極小值的m10/13/202537統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分構(gòu)造損失函數(shù)利用方差函數(shù)和費(fèi)用函數(shù)構(gòu)造損失函數(shù)2S的方差函數(shù)為

最簡(jiǎn)單的費(fèi)用函數(shù)形式：10/13/202538統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分柯西——施瓦茲不等式求解使損失函數(shù)達(dá)到極小值的m這一求解過(guò)程借助C-S不等式完成C-S不等式的內(nèi)容：——若a1、a2、b1、b2非負(fù)，則(a12+a22)(b12+b22)≥(a1b1+a2b2)2，當(dāng)且僅當(dāng)a1/b1=a2/b2=k時(shí)，“=”成立令10/13/202539統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分需要說(shuō)明的問(wèn)題實(shí)際計(jì)算時(shí)，Su、S2、c1、c2都是估計(jì)值mopt往往非整，怎么辦？——實(shí)踐中常用卡梅倫規(guī)則來(lái)處理10/13/202540統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修課3學(xué)分3、實(shí)用規(guī)則

——卡梅倫(Cameron)規(guī)則(1951)解決mopt非整的問(wèn)題令m’=[mopt]，則按以下規(guī)則取m值①當(dāng)mopt2>m’(m’+1)，則取m=m’+1②當(dāng)mopt2≤m’(m’+1)，則取m=m’③當(dāng)mopt2>M或Su2<0，則取m=M，即CL當(dāng)M較小時(shí)，有可能出現(xiàn)第三種情況§9.4結(jié)束10/13/202