高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1甘肅省定西市岷縣2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.已知兩點，，且直線AB的傾斜角為，則a的值為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】因直線AB的傾斜角為，則直線AB的斜率不存在，則A，B兩點橫坐標(biāo)相等，故.故選：D2.等差數(shù)列的前項和為，公差，，則（）A.-2 B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，解得.故選：D.3.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以，且拋物線開口向上，所以拋物線準(zhǔn)線為：.故選：B.4.從4個男生2個女生中任選3個人參加一個活動，所有選擇的方法有（）種.A.120種 B.60種 C.20種 D.40種【答案】C【解析】從4個男生2個女生中任選3個人參加一個活動有種方法.故選：C.5.的展開式中的系數(shù)為（）A.60 B.50 C.40 D.20【答案】A【解析】的展開式的通項為，則的展開式中的系數(shù)為.故選：A6.已知數(shù)列滿足，，則（）A.2 B.1 C. D.-1【答案】C【解析】由，，得，，，，，…，由此不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)列的項具有周期性，且最小正周期為3，故.故選：C.7.中國空間站（ChinaSpaceStation）的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.2022年10月31日15：37分，我國將“夢天實驗艙”成功送上太空，完成了最后一個關(guān)鍵部分的發(fā)射，“夢天實驗艙”也和“天和核心艙”按照計劃成功對接，成為“T”字形架構(gòu)，我國成功將中國空間站建設(shè)完畢.2023年，中國空間站將正式進(jìn)入運營階段.假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實驗，三艙中每個艙至少一人至多三人，則不同的安排方法有（）A.450種 B.72種 C.90種 D.360種【答案】A【解析】由題知，6名航天員安排三艙，三艙中每個艙至少一人至多三人，可分兩種情況考慮：第一種：分人數(shù)為的三組，共有種；第二種：分人數(shù)為的三組，共有種；所以不同的安排方法共有種.故選：A.8.已知橢圓（）在左、右焦點分別為，，傾斜角為且過原點的直線交橢圓于，兩點，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示，因為，且分別為和的中點，所以四邊形為矩形，又因為直線過原點且傾斜角為，即，，所以為等邊三角形，所以，在中，可得，即，所以，可得，所以橢圓的離心率為.故選：B.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線與圓，則下列說法正確的是（）A.直線l恒過定點 B.圓M的圓心坐標(biāo)為C.存在實數(shù)k，使得直線l與圓M相切 D.若，直線l被圓M截得的弦長為2【答案】AB【解析】變形為，故恒過定點，A正確；變形為，圓心坐標(biāo)為，B正確；令圓心到直線的距離，整理得：，由可得，方程無解，故不存在實數(shù)k，使得直線l與圓M相切，C錯誤；若，直線方程為，圓心在直線上，故直線l被圓M截得的弦長為直徑4，D錯誤.故選：AB.10.數(shù)列的前項和為，且，下列說法正確的是（）A.若數(shù)列為等差數(shù)列，則的公差為1B.若數(shù)列為等差數(shù)列，則的首項為1C.D.【答案】ACD【解析】若數(shù)列為等差數(shù)列，則可設(shè)，所以，所以解得，，所以，所以數(shù)列的首項為0，公差為1，故A正確，B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，因為，即，故D正確.故選：ACD.11.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝年所著的《詳析九章算法》就給出著名的楊輝三角，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.如圖所示，由楊輝三角的左腰上的各數(shù)出發(fā)，引一組平行線，從上往下每條線上各數(shù)之和依次為.以下關(guān)于楊輝三角的猜想中正確的是（）A.由“與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等”猜想B.由“在相鄰兩行中，除以外的每個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)字之和猜想；C.第條斜線上各數(shù)字之和為；D.在第條斜線上，各數(shù)從左往右先增大后減少【答案】ABD【解析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合楊輝三角即可得，成立，故AB選項正確；對于CD選項，第1條斜線上的數(shù)為，第2條斜線上的數(shù)為，第3條斜線上的數(shù)為，第4條斜線上的數(shù)為，第5條斜線上的數(shù)為，第6條斜線上的數(shù)為，第7條斜線上的數(shù)為，由此，歸納得到：第條斜線上的數(shù)依次為：第條斜線上的數(shù)依次為：所以，第條斜線上各數(shù)字為：，和為，故C錯誤；在第條斜線上，各數(shù)從左往右先增大后減少，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是首項為負(fù)數(shù)，公比為q的等比數(shù)列，若對任意的正整數(shù)n，恒成立，則q的值可以是____________________．（只需寫出一個）【答案】-3（答案不唯一，即可）【解析】由可得，恒成立，因為，顯然有，又，所以，.13.二項式的展開式中常數(shù)項為，則含項的系數(shù)為_____.【答案】15【解析】二項式的展開式的通項公式為，令，求得，由展開式中常數(shù)項為，得，解得.令，求得，所以含項的系數(shù)為.14.直線與雙曲線（）相交于，兩點，且，兩點的橫坐標(biāo)之積，則雙曲線的離心率為_____.【答案】【解析】由，兩點在直線上，設(shè)（），由對稱性可知，，兩點關(guān)于原點對稱，所以，由，兩點的橫坐標(biāo)之積為，得，解得，所以，代入雙曲線方程得，解得，所以，所以離心率為.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知直線過點.（1）若直線在軸上的截距為3，求直線的方程；（2）若直線與直線平行，且兩條平行線間的距離為，求.解：（1）由條件可知，直線過點和，所以直線的斜率，所以所求直線的方程為，即.（2）設(shè)所求的直線的方程為，則有，得，即直線的方程為，∵與直線間的距離為，∴，整理可得.又，∴.16.已知二項式.（1）求二項展開式中的常數(shù)項；（2）記二項展開式中奇數(shù)項系數(shù)之和為，偶數(shù)項系數(shù)之和為，求.解：（1）的二項展開式的通項為，令，得，所以的二項展開式中的常數(shù)項為.（2）的二項展開式中奇數(shù)項系數(shù)之和為，偶數(shù)項系數(shù)之和為，因為的二項展開式的通項為，所以，，.17.已知數(shù)列的前項和為，滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前20項和.解：（1）∵數(shù)列的前項和為滿足，，而，數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，，即，當(dāng)時，，顯然也滿足上式，.（2）由（1）知，，，.18.（1）用0，1，2，3，4，5可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？（2）用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，若所有的六位數(shù)按從小到大的順序組成一個數(shù)列，則240135是第幾項．解：（1）由于是五位數(shù)，首位數(shù)字不能為0，首位數(shù)字有種排法；其它位置有種排法；所以，用0，1，2，3，4，5可以組成個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).（2）由于是六位數(shù)，首位數(shù)字不能為0，首位數(shù)字為1有個數(shù)，首位數(shù)字為2，萬位上為0，1，3中的一個有個數(shù)，∴從小到大排列，240135是第＋＋1＝193個，即所有的六位數(shù)按從小到大的順序組成一個數(shù)列，240135是數(shù)列的第193項19.設(shè)F為雙曲線（，）的右焦點，O為坐標(biāo)原點，以為直徑的圓與圓交于P，Q兩點，滿足．（1）求C的離心率；（2）若，點A在雙曲線C上，點B在直線上，滿足，試判斷直線與圓O的位置關(guān)系，并說明理由．解：（1）由，即也是以為直徑的圓的一條直徑，所以與相互垂直平分，又在圓上，所以，又，所以.（2）直線與圓O相切，理由如下：由題設(shè)，雙曲線，且圓，，半徑，令且，，則，，又，所以，則，則直線，整理得，所以到直線距離，又，則，所以直線與圓O相切.甘肅省定西市岷縣2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.已知兩點，，且直線AB的傾斜角為，則a的值為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】因直線AB的傾斜角為，則直線AB的斜率不存在，則A，B兩點橫坐標(biāo)相等，故.故選：D2.等差數(shù)列的前項和為，公差，，則（）A.-2 B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，解得.故選：D.3.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以，且拋物線開口向上，所以拋物線準(zhǔn)線為：.故選：B.4.從4個男生2個女生中任選3個人參加一個活動，所有選擇的方法有（）種.A.120種 B.60種 C.20種 D.40種【答案】C【解析】從4個男生2個女生中任選3個人參加一個活動有種方法.故選：C.5.的展開式中的系數(shù)為（）A.60 B.50 C.40 D.20【答案】A【解析】的展開式的通項為，則的展開式中的系數(shù)為.故選：A6.已知數(shù)列滿足，，則（）A.2 B.1 C. D.-1【答案】C【解析】由，，得，，，，，…，由此不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)列的項具有周期性，且最小正周期為3，故.故選：C.7.中國空間站（ChinaSpaceStation）的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.2022年10月31日15：37分，我國將“夢天實驗艙”成功送上太空，完成了最后一個關(guān)鍵部分的發(fā)射，“夢天實驗艙”也和“天和核心艙”按照計劃成功對接，成為“T”字形架構(gòu)，我國成功將中國空間站建設(shè)完畢.2023年，中國空間站將正式進(jìn)入運營階段.假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實驗，三艙中每個艙至少一人至多三人，則不同的安排方法有（）A.450種 B.72種 C.90種 D.360種【答案】A【解析】由題知，6名航天員安排三艙，三艙中每個艙至少一人至多三人，可分兩種情況考慮：第一種：分人數(shù)為的三組，共有種；第二種：分人數(shù)為的三組，共有種；所以不同的安排方法共有種.故選：A.8.已知橢圓（）在左、右焦點分別為，，傾斜角為且過原點的直線交橢圓于，兩點，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示，因為，且分別為和的中點，所以四邊形為矩形，又因為直線過原點且傾斜角為，即，，所以為等邊三角形，所以，在中，可得，即，所以，可得，所以橢圓的離心率為.故選：B.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線與圓，則下列說法正確的是（）A.直線l恒過定點 B.圓M的圓心坐標(biāo)為C.存在實數(shù)k，使得直線l與圓M相切 D.若，直線l被圓M截得的弦長為2【答案】AB【解析】變形為，故恒過定點，A正確；變形為，圓心坐標(biāo)為，B正確；令圓心到直線的距離，整理得：，由可得，方程無解，故不存在實數(shù)k，使得直線l與圓M相切，C錯誤；若，直線方程為，圓心在直線上，故直線l被圓M截得的弦長為直徑4，D錯誤.故選：AB.10.數(shù)列的前項和為，且，下列說法正確的是（）A.若數(shù)列為等差數(shù)列，則的公差為1B.若數(shù)列為等差數(shù)列，則的首項為1C.D.【答案】ACD【解析】若數(shù)列為等差數(shù)列，則可設(shè)，所以，所以解得，，所以，所以數(shù)列的首項為0，公差為1，故A正確，B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，因為，即，故D正確.故選：ACD.11.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝年所著的《詳析九章算法》就給出著名的楊輝三角，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.如圖所示，由楊輝三角的左腰上的各數(shù)出發(fā)，引一組平行線，從上往下每條線上各數(shù)之和依次為.以下關(guān)于楊輝三角的猜想中正確的是（）A.由“與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等”猜想B.由“在相鄰兩行中，除以外的每個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)字之和猜想；C.第條斜線上各數(shù)字之和為；D.在第條斜線上，各數(shù)從左往右先增大后減少【答案】ABD【解析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合楊輝三角即可得，成立，故AB選項正確；對于CD選項，第1條斜線上的數(shù)為，第2條斜線上的數(shù)為，第3條斜線上的數(shù)為，第4條斜線上的數(shù)為，第5條斜線上的數(shù)為，第6條斜線上的數(shù)為，第7條斜線上的數(shù)為，由此，歸納得到：第條斜線上的數(shù)依次為：第條斜線上的數(shù)依次為：所以，第條斜線上各數(shù)字為：，和為，故C錯誤；在第條斜線上，各數(shù)從左往右先增大后減少，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是首項為負(fù)數(shù)，公比為q的等比數(shù)列，若對任意的正整數(shù)n，恒成立，則q的值可以是____________________．（只需寫出一個）【答案】-3（答案不唯一，即可）【解析】由可得，恒成立，因為，顯然有，又，所以，.13.二項式的展開式中常數(shù)項為，則含項的系數(shù)為_____.【答案】15【解析】二項式的展開式的通項公式為，令，求得，由展開式中常數(shù)項為，得，解得.令，求得，所以含項的系數(shù)為.14.直線與雙曲線（）相交于，兩點，且，兩點的橫坐標(biāo)之積，則雙曲線的離心率為_____.【答案】【解析】由，兩點在直線上，設(shè)（），由對稱性可知，，兩點關(guān)于原點對稱，所以，由，兩點的橫坐標(biāo)之積為，得，解得，所以，代入雙曲線方程得，解得，所以，所以離心率為.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知直線過點.（1）若直線在軸上的截距為3，求直線的方程；（2）若直線與直線平行，且兩條平行線間的距離為，求.解：（1）由條件可知，直線過點和，所以直線的斜率，所以所求直線的方程為，即.（2）設(shè)所求的直線的方程為，則有，得，即直線的方程為，∵與直線間的距離為，∴，整理可得.又，∴.16.已知二項式.（1）求二項展開式中的常數(shù)項；（2）記二項展開式中奇數(shù)項系數(shù)之和為，偶數(shù)項系數(shù)之和為，求.解：（1）的二項展開式的通項為，令，得，所以的二項展開式中的常數(shù)項為.