第1章豐富的圖形世界（單元測試·拔尖卷）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．下列說法不正確的是（）A．長方體是四棱柱B．八棱柱有8個面C．六棱柱有12個頂點D．經(jīng)過棱柱的每個頂點有3條棱2．如圖，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，把矩形ABCD繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．23．若干個正方體形狀的積木擺成如圖所示的塔形，平放于桌面上，上面正方體的下底四個頂點是下面相鄰正方體的上底各邊中點，最下面的正方體棱長為1，如果塔形露在外面的面積超過7，則正方體的個數(shù)至少是（）A．2 B．3 C．4 D．54．下列圖形中，哪一個是圓錐的側(cè)面展開圖？A． B． C． D．5．畢業(yè)前夕，同學們準備了一份禮物送給自己的母校，現(xiàn)用一個正方體盒子進行包裝，六個面上分別寫上“祝、母、校、更、美、麗”，其中“?！迸c“更”，“母”與“美”在相對的面上．則此包裝盒的展開圖（不考慮文字方向）不可能是（）A．B．C． D．6．下面四個幾何體中，同一幾何體從前往后看和從上往下看，看到的圖形形狀相同的共有（）幾何體．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．用小立方塊搭成的幾何體，從左面看和從上面看如下，這樣的幾何體最多要個小立方塊，最少要個小立方塊，則等于（

）A． B． C． D．8．用一個平面去截一個幾何體，得到的截面是五邊形，這個幾何體可能是（）A．圓錐 B．圓柱 C．球體 D．長方體9．如圖是某正方體的展開圖，在頂點處標有數(shù)字，當把它折成正方體時，與重合的數(shù)字是（

）A．和 B．和 C．和 D．和10．如圖，是由若干個完全相同的小正方體組成的一個幾何體的主視圖和左視圖，則組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)是(

)A．3個或4個或5個 B．4個或5個C．5個或6個 D．6個或7個二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．一個正方體木塊，棱長是15厘米，從它的八個頂點處各截去棱長分別為1，2，3，4，5，6，7，8厘米的小正方體，這個木塊剩下部分的表面積最少是平方厘米．12．如果圓柱的側(cè)面展開圖是相鄰兩邊長分別為6，16π的長方形，那么這個圓柱的體積等于13．在一個高與底面直徑相等的圓柱內(nèi)放置一個體積最大的球.已知球的表面積公式為，其中為球的半徑.那么該球與它的外切圓柱的表面積的比為.14．如圖，正三棱柱的底面周長為9，截去一個底面周長為3的正三棱柱，所得幾何體的俯視圖的周長是．15．一個倉庫管理員需要清點倉庫的物品，物品全是一些大小相同的正方體箱子，他不能搬下箱子進行清點，靈機一動，他想出了一個辦法，通過觀察物品的三視圖得出倉庫里箱子的個數(shù)．他所看到的堆放的箱子的三視圖如右圖，則倉庫管理員清點出的箱子的個數(shù)是．16．一個正方體的六個面上分別寫著六個連續(xù)的整數(shù)，且相對面上的兩個數(shù)之和相等，如圖所示，能看到的數(shù)為7，10，11，則這六個整數(shù)的和為.17．有同樣大小的三個立方體骰子，每個骰子的展開圖如圖1所示，現(xiàn)在把三個骰子放在桌子上（如圖2），凡是能看得到的點數(shù)之和最大是．

18．瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)：簡單多面體的頂點數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E之間滿足一種有趣的關(guān)系：V+F﹣E＝2，這個關(guān)系式被稱為歐拉公式．比如：正二十面體（如右圖），是由20個等邊三角形所組成的正多面體，已知每個頂點處有5條棱，則可以通過歐拉公式算出正二十面體的頂點為個．那么一個多面體的每個面都是五邊形，每個頂點引出的棱都有3條，它是一個面體．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）19．已知長方形的長為，寬為，將其繞它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個立體圖形．(1)得到的立體圖形的名稱是______；(2)求這個幾何體的表面積．（結(jié)果保留）．20．（8分）如圖，某銀行大堂的旋轉(zhuǎn)門內(nèi)部由三塊寬為2m、高為3m的玻璃隔板組成．將此旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周，能形成的幾何體是圓柱．這能說明的事實___________（選擇正確的一項填入）．A．點動成線

B．線動成面

C．面動成體(2)求該旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積．（邊框及銜接處忽略不計，結(jié)果保留）21．（10分）如圖所示，圖1為一個棱長為6的正方體，圖2為圖1的表面展開圖（數(shù)字和字母寫在外表面上，字母也可以表示數(shù)），請根據(jù)要求回答問題：如果正方體相對面上的兩個數(shù)字之和相等，則x=___________，y=___________；如果面“2”是左面，面“4”在后面，則上面是___________（填6或10或x或y）；圖1中，點M為所在棱的中點，在圖2中找到點M的位置，直接寫出圖2中的面積___________.22．（10分）如圖1至圖3是將正方體截去一部分后得到的多面體．根據(jù)要求填寫表格面數(shù)（f）頂點數(shù)（v）棱數(shù)（e）圖1______914圖268______圖37______15猜想f，v，e三個數(shù)量間有何關(guān)系．根據(jù)猜想計算，若一個多面體有頂點數(shù)2021個，棱數(shù)4041條，試求出它的面數(shù)．23．（10分）如圖，在一次數(shù)學活動課上，張明用17個底面為正方形，且底面邊長為，高為的小長方體達成了一個幾何體，然后他請王亮用盡可能少的同樣的長方體在旁邊再搭一個幾何體，使王亮所搭的幾何體恰好可以和張明所搭的幾何體拼成一個大長方體（即拼大長方體時將其中一個幾何體翻轉(zhuǎn)，且假定組成每個幾何體的小長方體粘合在一起）.（1）王亮至少還需要個小長方體；（2）請畫出張明所搭幾何體的左視圖，并計算它的表面積（用含的代數(shù)式表示）；（3）請計算（1）條件下王亮所搭幾何體的表面積（用含的代數(shù)式表示）.24．（12分）十八世紀瑞士數(shù)學家歐拉證明了簡單多面體中項點數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間存在的一個有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式．請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題:(1)根據(jù)上面多面體模型，完成表格中的空格:多面體項點數(shù)(V)面數(shù)(F)棱數(shù)(F)四面體長方體正八面體正十二面體你發(fā)現(xiàn)項點數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(F)之間存在的關(guān)系式是__________________________.（2）一個多面體的面數(shù)比頂點數(shù)小8，且有30條棱，則這多面體的頂點數(shù)是20；（3）某個玻璃飾品的外形是簡單多面體，它的外表是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，且有48個頂點，每個頂點處都有3條棱，設(shè)該多面體表面三角形的個數(shù)為x個，八邊形的個數(shù)為y個，求x+y的值．參考答案1．B【分析】根據(jù)四、六、八棱柱的特點可得答案．【詳解】解：A、長方體是四棱柱，選項說法正確，不符合題意；B、八棱柱有8+2＝10個面，選項說法錯誤，符合題意；C、六棱柱有2×6＝12個頂點，選項說法正確，不符合題意；D、經(jīng)過棱柱的每個頂點有3條棱，選項說法正確，不符合題意；故選：B．【點撥】此題主要考查了認識立體圖形，關(guān)鍵是認識常見的立體圖形，掌握棱柱、棱錐、圓柱、圓錐的特點．2．B【詳解】把矩形ABCD繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱是以BC=2為底面半徑，AB=1為高．所以，它的側(cè)面積為．故選B．3．B【詳解】解：∵要求塔形露在外面的面積超過7（不包括下底面），最下面的立方體棱長為1，∴最下面的立方體露出的面積為：4×（1×1）+0.5=4.5；那么上面一層假如有立方體的話露出的面積為4×0.5+0.5×0.5=2.25，這兩層加起來的面積為：6.75．那么上面一層假如還有立方體的話露出的面積為4×0.25+0.25×0.25=1.0625，這三層加起來的面積為：7.8125．∴立方體的個數(shù)至少是3．故選B．4．B【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖的特點作答．【詳解】A選項：是長方體展開圖．B選項：是圓錐展開圖.C選項：是棱錐展開圖.D選項：是正方體展開圖.故選B.【點撥】考查了幾何體的展開圖，注意圓錐的側(cè)面展開圖是扇形．5．C【分析】根據(jù)立方體的平面展開圖規(guī)律解決問題即可．【詳解】理由：選項C不能圍成正方體，不符合題意．故選C．【點撥】本題考查靈活運用正方體的相對面解答問題，立意新穎，是一道不錯的題．注意正方體的平面展開圖中，相對的兩個面中間一定隔著一個小正方形．6．B【分析】根據(jù)三視圖的定義、結(jié)合圖形對各個幾何體進行觀察即可判斷．【詳解】正方體從前往后看和從上往下看，看到的圖形形狀都是正方形，①符合題意；球從前往后看和從上往下看，看到的圖形形狀都是圓，②符合題意；圓錐從前往后看和從上往下看，看到的圖形形狀分別是三角形和圓，③不合題意；圓柱從前往后看和從上往下看，看到的圖形形狀分別是矩形和圓，④不合題意，故選B．【點撥】本題考查的是簡單幾何體的三視圖，理解三視圖的概念、正確觀察圖形是解題的關(guān)鍵．7．A【詳解】由左視圖和俯視圖可得，如圖所示：第1個圖最多共有6+1＝7個，第2個圖最少有3+1+1＝5個，故x=7，y=5,所以x+y=12．故答案是12．8．D【分析】根據(jù)圓錐、圓柱、球體、長方體的幾何特征，分別分析出用一個平面去截該幾何體時，可能得到的截面的形狀，逐一比照后，即可得到答案．【詳解】A、用一個平面去截一個圓錐，得到的圖形可能是圓形，橢圓，拋物線，雙曲線的一支，三角形，故A選項錯誤；B、用一個平面去截一個圓柱，得到的圖形只能是圓，橢圓，長方形，故B選項錯誤；C、用一個平面去截一個球體，得到的圖形可能是圓，故C選項錯誤；D、用一個平面去截一個長方體，得到的圖形可能是五邊形，長方形，三角形，故D選項正確．故選D．【點撥】此題考查立體圖形，會識別圖形的形狀，學生有空間立體感很關(guān)鍵，培養(yǎng)學生的空間想象能力.9．D【分析】當把這個平面圖形折成正方體時，左面五個正方形折成一個無蓋的正方體，此時，1與13重合、2與4重合、5與7重合、10與12重合，右面一個正方形折成正方體的蓋，此時8與2、4的重合，9與1、13的重合．【詳解】解：當把這個平面圖形折成正方體時，與4重合的數(shù)字是2、8.故選：D．【點撥】本題是考查正方體的展開圖，訓練學生觀察和空間想象的能力．10．A【詳解】根據(jù)主視圖，左視圖，畫出俯視圖可能情況.所以選A.11．1252【分析】一般情況下，正方體八個頂點截取小正方體，表面積不會變．但當截取的棱長為8和7的小正方體相鄰時，表面積就會有變化，少掉2個邊長為7的正方形的面積．至于其它6個頂點不可能割穿，所以不用考慮．因此要求“至少”，就是截取的棱長為8和7的小正方體相鄰的情況．【詳解】解：15×15×6﹣7×7×2＝1350﹣98＝1252．答：這個木塊剩下部分的表面積最少是1252平方厘米．【點撥】本題考查了截一個幾何體的知識，此題解答的關(guān)鍵在于注意考慮當截取的棱長為8和7的小正方體相鄰時，剩下部分的表面積最少．12．144或384π【分析】分兩種情況：①底面周長為6高為16π；②底面周長為16π高為6；先根據(jù)底面周長得到底面半徑，再根據(jù)圓柱的體積公式計算即可求解．【詳解】解：①底面周長為6高為16π，π×（）2×16π=π××16π=144；②底面周長為16π高為6，π×（）2×6=π×64×6=384π．故答案為：144或384π．13．【分析】根據(jù)題意可知圓柱的底面圓的半徑為r，圓柱的高為2r，由此求得圓柱的表面積，再計算比值即可.【詳解】根據(jù)題意可知圓柱的底面圓的半徑為r，圓柱的高為2r，∴圓柱的表面積為：，∴該球與它的外切圓柱的表面積的比為：.故答案為2：3.【點撥】本題考查了圓柱表面積的求法，熟知圓柱的表面積公式是解決問題的關(guān)鍵.14．8【詳解】試題分析：根據(jù)從上邊看得到的圖形是俯視圖，可知從上邊看是一個梯形：上底是1，下底是3，兩腰是2，周長是1+2+2+3=8，故答案為8．考點：1、簡單組合體的三視圖；2、截一個幾何體15．8【詳解】試題分析：從三視圖的左視圖和俯視圖來看，只有最中間的兩個正方形箱子才是兩層，其他的都是一層，最中間有4個小正方形箱子；結(jié)合主視圖和俯視圖來看，除中間的小正方形外還有四個小正方形，都是一層，所以總共有8個考點：三視圖點評：本題考查三視圖，要求考生掌握三視圖的概念，會看幾何體的三視圖16．57【分析】根據(jù)六個面上的數(shù)是連續(xù)整數(shù)可得另外三個面上的數(shù)有兩個是8，9，再根據(jù)已知數(shù)有10，11可知另一個數(shù)不可能是6，只能是12，然后求解即可．【詳解】解：∵六個面上分別寫著六個連續(xù)的整數(shù)，∴看不見的三個面上的數(shù)必定有8，9，若另一個面上數(shù)是6，則10與7是相對面，與題不符，所以，另一面上的數(shù)是12，此時7與12相對，8與11相對，9與10相對，所以，這六個整數(shù)的和為3×（10+9）=57．故答案是：57．【點撥】本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題，難點在于確定出看不見的三個面中有一個是12．17．51【分析】觀察圖形可知，1和6相對、2和5相對，3和4相對；要使能看到的紙盒面上的數(shù)字之和最大，則把第一個正方體的數(shù)字1的面與第二個正方體的數(shù)字2的面相連，把數(shù)字2的面放在下面，則第一個圖形露出的數(shù)字分別是3、4、5、6；第二個正方體的數(shù)字1面與第三個正方體的數(shù)字1的面相連，數(shù)字3的面放在下面，則第二個正方體露在外面的數(shù)字是4、5、6，第三個正方體露在外面的數(shù)字就是3、4、5、6，據(jù)此可得能看得到的點數(shù)之和最大值．【詳解】解：根據(jù)題意得：露在外面的數(shù)字之和最大是：，故答案為：51．【點撥】本題主要考查學生的空間想象能力和推理能力，也可動手制作一個正方體，根據(jù)題意在各個面上標上數(shù)字，再確定對面上的數(shù)字，可以培養(yǎng)動手操作能力和空間想象能力．18．12．12．【分析】①設(shè)出正二十面體的頂點為n個，則棱有條.利用歐拉公式構(gòu)建方程即可解決問題.②設(shè)頂點數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F、每個點都屬于三個面，每條邊都屬于兩個面，利用歐拉公式構(gòu)建方程即可解決問題.【詳解】解：①設(shè)出正二十面體的頂點為n個，則棱有條．由題意F＝20，∴n+10﹣＝2，解得n＝12．②設(shè)頂點數(shù)V，棱數(shù)E，面數(shù)F，每個點屬于三個面，每條邊屬于兩個面由每個面都是五邊形，則就有E＝，V＝由歐拉公式：F+V﹣E＝2，代入：F+﹣＝2化簡整理：F＝12所以：E＝30，V＝20即多面體是12面體．棱數(shù)是30，面數(shù)是12，故答案為12，12.【點撥】本題考查歐拉公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是弄清題意、利用等量關(guān)系列出方程是解答本題的關(guān)鍵.19．(1)圓柱(2)圓柱的表面積為或【分析】（1）根據(jù)面動成體解答即可；（2）分長方形的長為軸旋轉(zhuǎn)和以長方形的寬為軸旋轉(zhuǎn)兩種情況根據(jù)圓柱的表面積公式計算即可求解．【詳解】（1）由題意可知，得到的立體圖形的名稱是圓柱．故答案為：圓柱．（2）①以長方形的長為軸旋轉(zhuǎn)，則圓柱的底面半徑為，高為，所以圓柱的表面積為（）．②以長方形的寬為軸旋轉(zhuǎn)，則圓柱的底面半徑為，高為，所以圓柱的表面積為（）．綜上可得圓柱的表面積為或．【點撥】本題考查的是點、線、面、體，根據(jù)圖形確定出圓柱的底面半徑和高的長是解題的關(guān)鍵．20．(1)C(2)【分析】（1）旋轉(zhuǎn)門的形狀是長方形，長方形旋轉(zhuǎn)一周，能形成的幾何體是圓柱；（2）根據(jù)圓柱體的體積=底面積×高計算即可．【詳解】（1）∵旋轉(zhuǎn)門的形狀是長方形，∴旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周，能形成的幾何體是圓柱，這能說明的事實是面動成體．故答案為：C．（2）該旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓柱，體積為：（m3）．故形成的幾何體的體積是．【點撥】本題考查了圓柱的體積的求法，掌握圓柱的體積公式，能夠正確得出圓柱的底面面積是解決問題的關(guān)鍵．21．(1)12，8(2)y(3)9或45【分析】(1)根據(jù)兩個面相隔一個面是對面，對面的和是14，列式可得答案；(2)根據(jù)臨面，對面的關(guān)系，可得答案；(3)根據(jù)展開圖面與面的關(guān)系，可得M的位置，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案．【詳解】（1）解：如果長方體相對面上的兩個數(shù)字之和相等，則x+2=y+6=10+4，解得：x=12，y=8；故答案為：12，8；（2）解：如果面“2”是左面，面“4”在后面，則上面是y．故答案為：y；（3）解：如圖：，或，故的面積為9或45，故答案為：9或45．【點撥】本題主要考查了正方體展開圖面與面之間的關(guān)系，熟悉并熟練掌握展開圖面與面之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．22．(1)7，12，10(2)(3)2022【分析】（1）觀察3個圖形，直接填寫表格，即可求解；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，即可得到f，v，e之間的數(shù)量關(guān)系；（3）把，代入（2）中的結(jié)論，即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，填寫表格如下：面數(shù)（f）頂點數(shù)（v）棱數(shù)（e）圖17914圖26812圖371015（2）解：根據(jù)圖1得：，根據(jù)圖2得：，根據(jù)圖3得：，由此猜想f，v，e三個數(shù)量間為；（3）解：因為，，，所以，所以，即它的面數(shù)是2022．【點撥】本題考查了截一個幾何體，圖形的變化類的應(yīng)用，關(guān)鍵是能根據(jù)（1）中的結(jié)果得出規(guī)律23．（1）19（