圓的對稱性（知識清單+7大題型+好題必刷）

出題型梳理

畫畫二…莉雨盛譽定場泵宿............................................................

題型二利用垂徑定理求平行弦問題

題型三利用垂徑定理求解其他問題

題型四垂徑定理的推論

題型五垂徑定理的實際應用

題型六利用弧、弦、圓心角的關系求解

題型七利用弧、弦、圓心角的關系求證

國知癡潘革一

知識點h垂徑定理

（1）垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

（2）垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

知識點2：垂徑定理的應用

垂徑定理的應用很廣泛，常見的有:

（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

（2）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題.

這類題中?般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學思想方法?定要掌握.

知識點3：圓心角、弧、弦的關系

（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.

（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分

別相等.

說明：同一條弦對應兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣弧.

（3）圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等

注意：

（1）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關系

三者關系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一

項相等，其余二項皆相等.這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合.

（2）在具體應用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，選擇其有關部分.

出題型方法

【題型一】利用垂徑定理求值

【例1】（24-25九年級上?江蘇鹽城?階段練習）如圖，。。是。。的直徑，弦4BJ.CD于點E,如果44=4,則力E的

長為（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】B

【知識點】利用垂徑定理求值

【分析】本題考查垂徑定理，根據(jù)垂徑定理得出月E=即可得到答案

【詳解】解：是。。的直徑，弦4B_LCQ于點￡

.-.AE=-AB=2,

2

故選B

【舉一反三】

1.（24-25九年級上?江蘇無錫?期末）如圖，的宜徑。垂直弦力B于點巴且18=8,08=5,則CE的長為

（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【知識點】用勾股定理解三角形、利用垂徑定理求值

【分析】本題主要考查了垂徑定理和勾股定理，熟知這兩個定理的用法是正確解答此題的關鍵.

根據(jù)垂徑定理得出4E的長，根據(jù)勾股定理得OE,即可求解CE.

【詳解】解：丁的直徑垂直弦于點且14=8,OB=5,

:./tE=RF：=-AR=4,

2

，在RtABOE中，OE=yJOB2-BE2=^52-42=3，

:.CE=OC-OE=2,

故答案為：B.

2.（24-25九年級上?江蘇泰州?期末）如圖，48為。。的直徑，弦CD交于點且NDW8=45。，若MC=2,

到跨度只有15m時，就要采取緊急措施，若某次洪水中，拱頂離水面只有2m；即PN=2m時，試求:

(1)拱橋所在的圓的半徑；

(2)通過計算說明是否需要采取緊急措施.

【答案】(l)17m

(2)不需要，見解析

【知識點】用勾股定理解三角形、利用垂徑定理求值

【分析】本題主要考查垂徑定理的應用以及勾股定理的應用，利用勾股定理求得圓弧所在的半徑是解題的關鍵，注意

方程思想的應用.

(1)由垂徑定理可知=,再在中，由勾股定理得出方程，即可求出半徑；

(2)求出ON=OP-RV=15m,再由勾股定理可得HN=8m,則彳夕=2/W=16m>15m,即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：設圓弧所在圓的圓心為0,連接04、OA\OM,則0、P、M三點共線，

設半徑為

則OA=Q4'=OP,

由垂徑定理可知=,*N=&N,

vAB=30m,

：.AM--AB-15m,

2

在Rt^AOM中,OM=OP-PM=(x-9)m,

由勾股定理可得：ACP=OM?+AM\

即X2=(A-9)2+152,

解得：x=17,

即拱橋所在的圓的半徑為17m；

(2)解：???0P=17m,

:.ON=OP-PN=\7-2=\5m,

在Rt440N中，由勾股定理可得力Wh/577二加7=府=fF=8m，

/.4B'=2MW=16m>15m,

?..不需要采取緊急措施.

【題型二】利用垂徑定理求平行弦問題

［例2］三知OO的半徑為5,兩條平行弦AB、CD的長分別為6和8,求這兩條平行弦AB與CD之間的距離（）

A.3B.4C.1或7D.10

【答案】C

【知識點】利用垂徑定理求平行弦問題

【分析】先根據(jù)題意畫出符合條件的兩種情況，過。作OEM8于￡交CD于F,連接CM、OC,再根據(jù)垂徑定理和

勾股定理即可求出OE、OF,然后結(jié)合圖形求出EQ即可.

【詳解】解：分為兩種情況：①當48和CZ）在。的同旁時，如圖1,

過。作。氏L/出于E,交CD于F,連接OC,

^ABllCDr；?OFiCD,

則由垂徑定理得：AE=^AB=3,CF=；CD=4,

在RSQ4月中，由勾股定理得：OE=yloA2-OE2=>/52-32=4?

同理可求出OF3

.?.￡F=4-3=I：

圖1

②當48和。。在。的兩側(cè)時，如圖2,同法求出OE=4,0F=3,

則E尸=4+3=7；

即AB與CD的距離是1或7.

故選C.

圖2

【點睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理的應用，關鍵是能正確求出符合條件的兩種情況、熟練掌握垂徑定理.

【舉一反三】

1.（2023九年級上,全國?專題練習）己知。。的直徑為20cm,AB,C。是。。的兩條弦，AB//CD,J5=16cm,

CO=12cm,則48與CO之間的距離為_cm.

【答案】2或14

【知識點】利用垂徑定理求平行弦問題

【分析】作OE148于心延長EO交CD于”,連接以、OC,如圖，利用平行線的性質(zhì)。產(chǎn)ICO,根據(jù)垂徑定理得

到力E=BE=8cm,CF=DF=6cm,則利用勾股定理可計算出OE=6cm,OF=8cm,討論：當點。在48與CO之

間時，EF=OF+OE-當點。不在力8與CO之間時，EF=OF-OE.

【詳解】解：作OEJ.48『凡延長E。交?！?凡連接。1、OC,如圖

VAB//CDfOELAB,

-OF_LCD,

AE=BE=—AB=8cm,

2

CF=DF=-CD=6cm,

2

在RtZXCME中，OE^AO'-AE?=6(cm),

在中，OF=^CO2-CF2=8(cm),

當點。在/也與C力之間時，如圖1,跖=OF+O￡=8+6=14(cm),

當點O不在48與CO之間時?,如圖2,M=OF-OE=8-6=2(cm),

故答案為：2或14.

【點睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.注意分類討論.

2.(22-23九年級上?江蘇南通?階段練習)設川工。。是。。的兩條:玄，AB//CD.若的半徑為13,/出=24,

CD=\0,則與CO之間的距離為.

【答案】17或7/7或17

【知識點】用勾股定理解三角形、利用垂徑定理求平行弦問題

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，由于力尻CQ在圓心的同側(cè)或異側(cè)不能確定，故應分兩種情況進行討論.

【詳解】解：①當48、CO如圖(一)所示時，過。作OE1C。，交4B于F,連接CM、OC,

㈠（二）

?:AB〃CD,OELCD,

：.OFLAB,

由垂徑定理可知/"=；/15=；X24=12,CE=yCZ>yxlO=5,

在RtZiCEO中，OE=yloC2-CE2=V132-52=12；

同理，OF70A2-AF=/W-d=5,

故EF=OE-0F=\2-5=7；

②當/出、CO如圖（二）所示時，過。作。￡LCQ,交AB于F,連接04、OC,

同（一）可得OE=12,OF=5,EF=OE+OF=12+5=U；

故答案為：17或7.

【點睛】本題考查的是垂徑定理，勾股定理，解答此題時要注意分類討論，不要漏解.

3.（九年級上?江蘇泰州?階段練習）如圖，已知AB、CD是。0的兩條平行弦，AB=8,CD=6,弦AB、CD之間的距

離為7.

（I）求證：弧AD=MBC.

（2）求圖中陰影部分的面積.

AB

【答案】（1）見解析；（2）

【知識點】利用垂徑定理求平行弦問題、利用弧、弦、圓心角的關系求證、求弓形面積

【分析】（1）過點。作OM1AB,延長交CD于點N,連接04、OB、OC、OD,通過證明公DON三八OAM推

出4。。=90。，N8OC=90。，根據(jù)相等的圓心角所對的弧相等即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)，*=,也彩夙元—“dug代入數(shù)值求解即可.

【詳解】解：（I）過點。作0M_L48,延長MO交C。于點N,連接04、OB、OC、0D,

?：AB//CD,

,ON1CD,

AM=-AB=4,CN=>CD=3,MV=7,

22

在RtAJOM中，?;OM2+4U2=OA2,

OW+4?=/二①，

在RtACW中，vON2+CN2=OC-,

.?.ON?+3?=/②，

②-①得ON2-O/=7,

/.(ON+OM)(ON=1,

:.ON-OM=\,

：.ON=4,OM=3,

OA=\lAM2+OM2=5，ON=AM,DN=OM，

OD=OA

在△OCW和△O4W中,DN=OM,

ON=AM

：ADON三4OAM,

NAOM=NODN,

4AoM+乙DON=40DN+乙DON=90°,

.?.400=90。，

同理可得N8OC=90。，

JO=5C:

ce_90G5?125^-50

（2）=^皿—S△皿--3x5x5=^—

【點睛】本題考杳圓的基本性質(zhì)、不規(guī)則圖形的面枳、勾股定理等內(nèi)容，作出輔助線是解題的關鍵.

【題型三】利用垂徑定理求解其他問題

【例3】（24-25九年級上?江蘇南通?階段練習）下列語句中正確的說法是（）

A.垂直于弦的直徑平分弦

B.圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸

C.長度相等的弧是等弧

D.圓內(nèi)接矩形是正方形

【答案】A

【知識點】圓的基本概念辨析，利用垂徑定理求解其他問題、根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行判斷

【分析】本題考查垂徑定理，等弧的定義，圓的有關性質(zhì)，解題的關健是熟練掌握相關基本知識.根據(jù)垂徑定理，等

弧的定義，圓的有關性質(zhì)逐項判斷，即可解題.

【詳解】解：A、垂直于弦的直徑平分弦，說法正確，符合題意;

B、圓是軸對稱圖形，任何?條直徑所在的直線都是它的對稱軸，原說法錯誤，不符合題意;

C、在同圓或等圓中，長度相等的弧是等弧，原說法錯誤，不符合題意；

D、圓內(nèi)接矩形是不一定是正方形，原說法錯誤，不符合題意；

故選：A.

【舉一反三】

I.(九年級卜?江蘇蘇州?階段練習)如圖所示,一圓弧過方格的格點,試在方格中建立平面直角坐標系,使點力

的坐標為(0,4),則該圓弧所在圓的圓心坐標是()

A.(-1,2)B.(1,-1)C.(-U)D.(2,1)

【答案】C

【知識點】利用垂徑定理求解其他問題、坐標與圖形

【分析】本題主要考查了坐標與圖形，連接力C,作線段力8、力C的垂直平分線，其交點即為圓心，根據(jù)點力的坐標即

可求得答案.

【詳解】解：如圖所示，

連接力C，作出力8、力。的垂直平分線，其交點即為圓心.

??,點力的坐標為(。,4),

二該圓弧所在圓的圓心坐標是(-1,1).

2.(23?24九年級.上?江蘇南京?階段練習)如圖，點。是4E的中點，在力七同側(cè)分別以/C、CE為直徑作半08、半

OD.直線/〃/E,與兩個半圓依次相交于F,M、N、G不同的四點.若FG=x,MN=y,則N與K之間的

函數(shù)表達式為.

（F/~▽N/~\,

ABCDE

【答案】y=10—%

【知識點】根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長、利用垂徑定理求解其他問題

【分析】本題考杳垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì)，求函數(shù)表達式，過8點作4。，廠歷，過。點作OH_LNG平〃點,

連接5尸,Z）G,得到戶0=M0,M/=GH,四邊形8040為矩形，進而得到?！?8。=；4￡=5,推出

QM+NH=5-y,再根據(jù)少G=/。+。必+/'++"G,進行求解即可.

【詳解】解：過8點作8QJLEW,過D點作?！╛LNG平〃點，連接8ROG,如圖，則/。=MQ,N"=GH,

ABCDE

-inAE,

：.BQ=DH,BQLAE.DHLAE,

???四邊形B。"。為矩形，

：.QH=BD=；AE=5,

:.QM+MN+NH=5,

：.QM+NH=5-y,

：.FG=FQ+QM+MN+NH+HG=2QM+MN+2HN=2QM+2MN+2HN-MN=2(5-y)+y=-y,

BP：x=]O-y,

：.y=10-x；

故答案為：y=\O-x.

3.（24-25九年級上?江蘇泰州,期中）如圖，以//為直徑的半圓。上有一點C,過點C作CO_LQ4,垂足為點

過點力作力七_LOC,垂足為點E（不與點0,。重合），力￡的延長線交半圓。于點F.求證：CD=\-AF.

【答案】見解析

【知識點】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、利用垂徑定理求解其他問題

【詳解】本題主要考當了垂徑定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△力是解題的關鍵.利用垂徑定理，得

到4￡=尸￡=,4尸，證明△4OE四△COD,得至lj4E=CO,即可.

2

【解答】證明：???/￡?_LOC,

：.AE=FE=-AF,乙4EO=90。,

2

ZA+ZAOE=90°,

-CDA.OA,

：./CDO-

.?.NC+4O￡=90。，

4=NC,

在△/O￡和△CO。中，

Z4=ZC

OA=OC,

ZAOE=NCOD

：.LAOE^LCOD,

:.AE=CD,

.-.CD=-AF.

2

【題型四】垂徑定理的推論

【例4】（24-25九年級上?江蘇南通?階段練習）下列語句中正確的有（）,

①相等的圓心角所對的弧相等；②平分弦的直徑垂直于弦；③圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸；④

半圓是弧.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【知識點】利用弧、弦、圓心角的關系求解、圓的基本概念辨析、垂徑定理的推論

【分析】本題考查了圓心角、弧、弦的關系，垂徑定理推論，圓的對稱性，弧的定義，根據(jù)圓心角、弧、弦的關系即

可判斷①：根據(jù)垂徑定理推論，即可判斷②；根據(jù)對稱軸是直線，即可判斷③；根據(jù)弧的定義，即可判斷④，掌握

知識點的應用是解題的關鍵.

【詳解】解：①在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故①不正確；

②平分不是直徑的弦的直徑垂直于弦；故②不正確；

③圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸；故③不正確；

④半圓是弧，故④正確；

綜上可知正確的有④，共1個，

故詵：A.

【舉一反三】

1.（24-25九年級上?江蘇南通?階段練習）下列命題中，正確的命題是（）

A.相等的圓心角所對的弧相等B.平分弦的直徑垂直于弦

C.兩條弦相等，它們所對的弧也相等D.等弧對■等弦

【答案】D

【知識點】垂徑定理的推論、利用弧、弦、圓心角的關系求證

【分析】此題考杳了圓的垂徑定理的推論，圓心角、弧、弦之間的關系.根據(jù)相關知識進行判斷即可.

【詳解】解：A.同圓或等圓中相等的圓心角所對的弧相等，故選項錯誤，不符合題意；

R平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故選項錯誤，符合題意:

C.同圓或等圓中兩條弦相等，它們所對的弧也相等，故選項錯誤，不符合題意；

D.等弧對等弦，故選項正確，符合題意；

故選：D

2.（24-25九年級上?江蘇宿遷期中）如圖，4?是。0的直徑，。。的弦在直線4?的上方，且。。=2而，以C。

為直徑向下作半圓（圓心為M）交初于E、尸兩點，若4七：￡/：q=2:2:1則48=.

【答案】10

【知識點】用勾股定埋解三角形、垂徑定埋的推論、利用垂徑定埋求值

【分析】本題考查了垂徑定理及其推論，勾股定理等知識，應用好垂徑定理及其推論是解題的關鍵；

設FB=k,則得力七=4"=2￡,AB=tk,OA=OB=-k,OE=-k；連接OM、OC、EM,過點M作MVS月3于

22

N；由垂徑定理得==從而。V=?我；由M是CQ的中點，則得OM_LC。，在RtAOCW中，由勾股定理

22

25

求得。"2=/一]4,在R3OMN中由勾股定理得=6公-14，在中，由勾股定理得：MN2=]4-k2，

4

由此建立方程求得上的值，即可求得結(jié)論.

【詳解】解：?：AE:EF:FB=2:2:1,

:.設FB=k,則/￡=力/=2-

AB=AE+EF+FB=5k,OA=OB=—AB=—k,OE=OA-AE=—/:；

222

如圖，連接。M、OC、EM,過點M作MNJ.AB于N；

：.OC=OA=-k,"NM=90。；

2

???M為0〃的一條弦，且MNJ.AB,

：.EN=-EF=k,

2

.'.ON=EN-OE=-k-

2

由題意知，M是。。的中點，且8為0M的直徑，

CM=ME=-!-CD=V14,

2

由垂徑定理推論知：OM1CD；

25

在中，由勾股定理得：O"=oc2-CA/2=—/_]4,

4

在中，由勾股定理得：腸丫2=0/-0可2=6〃2-14,

在RtZXEWN中，由勾股定理得：，"22=￡用2一￡%2=14一公，

???6/-14=14-女2,

--k2=4,

vAr>0,

：.k=2

JB=5A=10.

故答案為：10.

3.（24-25九年級上?江蘇蘇州?期中）近期，考古學家在一次考古工作中發(fā)現(xiàn)了一塊古代圓形殘片玉佩，如圖所示，需

要找出其圓心.已知弧上三點48,C.

A

（1）請用尺規(guī)作圖畫出該殘片的圓心；

（2）若ZU8C是等腰三角形，底邊8C=16cm,腰力A=10cm,求圓片的半徑R

【答案】（1）見解析

25

（2）圓片的半徑R為，~cm

【知識點】作已知線段的垂直平分線、用勾股定理解三角形、垂徑定理的推論

【分析】本題主要考查了勾股定理，垂徑定理，熟練掌握這些性質(zhì)和定理，學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，是解題

的關鍵；

（1）作線段48,彳。的垂直平分線交于點點。即為所求；

（2）連接8c交8c于點「，利用勾股定理即可求解.

【詳解】（1）如圖，作線段力民力。的垂直平分線交于點。，點。即為所求；

(2)連接8CO40C,交8c于點7,

???AB=AC

：.AB=AC

OALBC,

5r=cr=-^c=-xl6=8cm

22

：.AT=y/AB2-BT2=>/102-82=6cm

在RtZXOTC中，

/?2=(/?-6)2+82

整理得100-12R=0

10025

所以RD=—=—

1J

即圓片的半徑R為~ycm.

【題型五】垂徑定理的實際應用

【例S】（24-25九年級上?江蘇徐州?期中）如圖所示,工程上常用鋼珠來測量零件上槽孔的寬口，假設鋼珠的直徑是10mm,

測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm,則這個槽孔的寬的大小為（）

A.6mmB.8mmC.IOmmD.5向nm

【答案】B

【知識點】用勾股定理解三角形、垂徑定理的實際應用

【分析】本題考查了勾股定理的應用、垂徑定理，掌握垂徑定理及勾股定理是解題的關鍵.設點。為圓心，過點。作

OC1AB,垂徑定理可得4C=8。，再利用勾股定理可求得4C=4mm,進而可求得答案.

【詳解】解：如圖，設點。為圓心，過點。作0cl/出于C,連接。1,OB,

根據(jù)垂徑定理可得：AC=BC,

???直徑是：Omm,

：.OA=5mm,OC=8-5=3（mm）,

在Rt△/OC中，ZOCA=90°,

AC=4OA2-OC2=y152-32=4（mm）,

AB=2AC=8mm?

故選：B.

【舉一反三】

1.（24-25九年級上?江蘇南通?階段練習）我國古代數(shù)學經(jīng)典著作《九章算術》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今

有圓材埋在壁中，不知大小.以鋸據(jù)?之，深一寸，據(jù)道長一尺.問徑幾何？”意思是如圖，今有一圓柱形木材.，埋在墻

壁中，不知其大小.用鋸去鋸這木材.鋸口深行。=1寸，鋸道長力“=1尺（I尺=10寸）.這根圓柱形木材的直徑是

（）

A.6寸B.V26寸C.C寸D.26寸

【答案】D

【知識點】垂徑定理的實際應用、用勾股定理解三角形

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握以上知識點是解邈的關鍵.根據(jù)題意可得0E_L/8,由垂徑定理

可得力。=4。=；44,設半徑CM=OE=r,則。。=r-1,然后根據(jù)勾股定理列出方程解之即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)題意可得

?.?OE是00的半徑，48=1尺=10寸

JZ)=5D=-^B=-xlO=5

22

設半徑。l=OK=r

?/ED=1

則。。=。￡-￡。二廠一1

在RtZX/lDO中：OA2=AD2+OD2,即產(chǎn)=52+(―

解得：r=13

，木材的直徑為2r=2x13=26寸

故選：D.

2.(24-25九年級上?江蘇鎮(zhèn)江?期末)如圖，摩天輪。戶最高處A離地面/的距離是42米，最低處8離地面/的距離是2

米.摩天輪旋轉(zhuǎn)一周需12分鐘.若游客從8處乘摩天輪旋轉(zhuǎn)一周，則該游客在離地面/的距離32米以上的時間有

分鐘.

【答案】4

【知識點】垂徑定理的實際應用

【分析】本題考查的是垂徑定理的應用，先根據(jù)摩天輪。P的最高處A到地面/的距離是42米，最低處8到地面/的距

離是2米得出48的長，進而求出。。的半徑，再根據(jù)游客從8處乘摩人輪到地面/的距離是32米時AM、MP的長，

證明△力0E為等邊三角形，得出的度數(shù)，進而可得出結(jié)論.

【詳解】解：???摩天輪。尸的最高處A到地面/的距離是42米，最低處5到地面/的距離是2米,

，力4=40m,

，AP=PB=20m,

設當?shù)近cE或點廠時游客從6處乘摩天輪到地面/的距離是32米，連接EP,FP,FA,EA,貝ljQ_L44,

???B處乘摩人輪到地面/的距離是32米時BM=32-2=30m,

/..WP=30-20=10m.

/.AM=PA-MP=20-]0=i0m,

:.AM=PM,

：.AE=PE,

:.AE=PE=PA,

???△APE為等邊三角形,

：."PM=60°,

ZEPB=180°-60°=120°,

???摩天輪旋轉(zhuǎn)一周需12分鐘，

???該游客在離地面/的距離32米以上的時間有1三20xl2=4（分鐘）.

360

故答案為：4.

3.（24-25九年級上?江蘇南通?期中）如圖是由小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點.。。經(jīng)過力,

8,。三個格點，僅用無刻度直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖.（保留畫圖痕跡，不寫畫法）

…「十。卜彳…十…

IIIII

aIIII

?II??

?III?

圖1圖2

⑴在圖1中，畫出劣弧46的中點。：

⑵在圖2的。0上找一點￡使既=/（點七與點4不重合）.

【答案】⑴見解析

（2）見解析

【知識點】垂徑定理的實際應用、利用弧、弦、圓心角的關系求解

【分析】此題考查了垂徑定理、弧和弦之間關系等知識.

（1）根據(jù)垂徑定理作圖即可；

（2）根據(jù)弧和弦之間關系作圖即可.

【詳解】（1）解：取格點K,連接OK交々于點。，根據(jù)⑼格圖可知，OK1AB，由垂徑定理可知，石=瓦），點

D即為所求；

（2）作直徑力E交。。于點E,點E即為所求.

【題型六】利用弧、弦、圓心角的關系求解

【例6】（24-25九年級上?江蘇鹽城?階段練習）如圖，在OO中衣行，若/8=75。，則/C的度數(shù)為（）

【答案】C

【知識點】等邊對等角、利用弧、弦、圓心角的關系求解

【分析】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關鍵，根據(jù)衣丞；得到相=力。時解決問題的關鍵,

由益可得力4=4C，再由等腰三角形的性質(zhì)可得/〃=NC，進而即可求解

【詳解】解：,?，后就'，

AB=AC,

：.N5=NC=75°

故選C

【舉一反三】

1.（24-25九年級上?江蘇徐州,期中）如圖，在△力AC中，AB=AC,ZC=67.5°,以48為直徑的半圓與8C,力。分

別相交于點。，E,則弧力E的度數(shù)（）

A

E

A.40°B.50°C.90°D.100°

【答案】C

【知識點】三角形內(nèi)角和定理的應用、等邊對等角、利用弧、弦、圓心角的關系求解

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，弧與圓心角的關系，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求得

NBAC=45。,進而求得乙1OE=90。即可.

【詳解】解：連接。七，

?.?在△/8c中，AB=AC,ZC=67.5°,

/.ZBJC=180O-2ZC=45°,

?：OA=OE,

ZAOE=180。-2ZBAC=90°,

.?.弧/上的度數(shù)為90。，

故選：C.

2.（24-25九年級上?江蘇蘇州期中）如圖，OA、08、OC均為半徑，NBOD=22。,力。"L",點Z）為弧力C

中點，則N80C=.

A

【答案】46。/46度

【知識點】幾何圖形中角度計算問題、利用弧、弦、圓心角的關系求解

【分析】本題主要考查了弧與圓心角的關系，角的和差等知識點，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵.

先求得的度數(shù)，然后根據(jù)等弧所對的圓心角相等得到NCOO=/40。，進而可求解.

【詳解】解：???力。，80,4BOD=22。,

：.ZAOD=90°-4BOD=68°,

???點。為弧4C中點,

AD-CD?

：./COD=/AOD=68。，

:"BOC=ZCOD-/BOD=68°-22°=46°,

故答案為：46°.

3.（24-25九年級上?江蘇宿遷?階段練習）如圖，以。力8c。的頂點力為圓心，力8為半徑作。4,分別交8C、力。于

E、尸兩點，交加的延長線于點G.

⑴求證：EF=GF\

（2）若々的度數(shù)為140。，求/C的度數(shù).

【答案】（1）見解析

(2)110°

【知識點】三角形內(nèi)角和定理的應用、等邊對等角、利用平行四邊形的性質(zhì)求解、利用弧、弦、圓心角的關系求解

【分析】（1）連接4月，由平行四邊形的性質(zhì)可得力。〃8C,從而得出NBIE=N4EB,/GAF=NB,由等邊對等角

得出=從而得出/Qlf=NG4歹，即可得證；

（2）先求出N84E=40。，再由等邊對等角結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出N8=70。，最后再由平行四為形的性質(zhì)即可得

解.

【詳解】（1）證明：如圖，連接力E,

???四邊形.488為平行四邊形,

：.AD//BC,

:2FAE=NAEB,NGAF=NB,

???AB=AE,

Z.AEB=Z.B,

AFAE=ZGAF,

??E?=6?：

(2)解：???G5為。N的直徑,

.?京的度數(shù)為180。，

???謙的度數(shù)為140。，

.??赤的度數(shù)為40。，

.-.Z5JE=40°,

???AB=AE,

80yE

=70°,

2

???四邊形44CQ為平行四邊形,

:.AB//CD、

.%ZC=180°-Z^=110°.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關系，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角前定理等知識點,

熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵.

【題型七】利用弧、弦、圓心角的關系求證

【例7】（24-25九年級上?江蘇南京?階段練習）在。。中，若NAOB=2NCOD,則前與2歷的大小關系是（）

A.AB>2CDB.AB<2CDC.AB=2CDD.不能確定

【答案】C

【知識點】利用弧、弦、圓心角的關系求證

【分析】本題考查弧，弦，角之間的關系，根據(jù)等弧對等角，進行判斷即可.

【詳解】解：取薪的中點E，連接。上，貝IJ：靛=踴,

：.Z.AOE=Z.BOE=—Z.AOB,

2

：NAOB=2NCOD,

NAOE=/BOE=NCOD,

-AE=BE=CD^

???AB=2CD；

故選c.

【舉一反三】

1.（23-24九年級上?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習）下列說法正確的是（）

A.相等的弦所對的弧相等B.長度相等的兩條弧是等弧

C.平分弦的直徑垂直于弦D.直徑是同一圓中最長的弦

【答案】D

【知識點】利用弧、弦、圓心角的關系求證、垂徑定理的推論

【分析】根據(jù)垂徑定理、等弧的定義及圓的有關性質(zhì)判斷求解即可.

【詳解】解：A、同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等，故錯誤，不合題意；

B、同圓或等圓中，長度相等的兩條弧是等弧，故錯誤，不合題意；

C、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故錯誤，不合題意；

D、直徑是同一圓中最長的弦，故正確，符合題意；

故選：D.

【點睛】此題考查了垂徑定理，等弧等知識，熟練掌握垂徑定理、等弧的定義及圓的有關性質(zhì)是解題的關鍵.

2.（23-24九年級上?江蘇南京?階段練習）證明：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧.

己知：如圖，48是。。的直徑，.

求證：?

【答案】見解析

【知識點】利用弧、弦、圓心角的關系求證、根據(jù)三線合一證明

【分析】先根據(jù)已知畫圖，然后寫出已知和求證，再根據(jù)圓心角、弧、弦的關系及三線合一進行證明即可.

【詳解】解：已知：如圖，是。。的直徑,。是。。的弦，AB1CD.

求證：CE=DE，AC=AD，BC=BD-

證明：連接OC、OD,

在AOC。中，?:ABLCD,OC=OD,

：.CE=DE,ZLCOA=ADOA,

二.NBOC=NBOD,

AC=AD^BC=BD-

【點睛】本題考查的是垂徑定理及圓心角、弧、弦的關系，三線合一，解答此題的關鍵是掌握推理論證的一般方法.

3.(23-24九年級上?江蘇南京?期末)如圖，力B是。。的弦，C是弧力〃的中點.

(1)連接。。，求證：。。垂直平分4月：

⑵若48=8,AC=2亞，求。。的半徑.

【答案】(1)見解析

(2)5

【知識點】線段垂直平分線的判定、用勾股定理解三角形、利用垂徑定理求值、利用弧、弦、圓心角的關系求證

【分析［本題考查r圓心角、弧、弦的關系，勾股定理及垂徑定理，熟練掌握這段知識點的應用是解題的關鍵.

（1）由C是弧力8的中點可知尼=前，故乙40。=/80。，再由0力=08可得出結(jié)論；

（2）設0C與48交于點。，由（1）知，0C垂直平分力8,得出=4,根據(jù)勾股定理求出CO的長，設。。

的半徑為r,則。。=r-2,OA=r,在Rt△力。。中利用勾股定理求出廠的值即可；

【詳解】（1）證明；???C是弧4?的中點，

-AC=BC^

：,AC=BC,

-OA=O3,

???。。垂直平分/8；

（2）解：設OC與48交于點。，如圖，

C

由（1）知，OC垂直平分48,

：,AD=-AB=4,ZADC=NADO=90°,

2

?：4C=2后，

-.CD=>JAC2-AD2=-J（2>/5）2-42=2,

設。。的半徑為，，則。。=-2,OA=r,

在Rt”。。中由勾股定理得M+中=Of，即42+（r-2『=/,

解得：r=5,

.??。0的半徑為5.

好題必刷

一、單選題

1.下列說法正確的是（）

A.等弧所對的弦相等B.相等的弦所對的弧相等

C.相等的圓心角所對的瓠相等D.相等的圓心角所對的弦相等

【答案】A

【分析】根據(jù)在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都

分別相等，即可解答.

【詳解】解?：A、等弧所對的弦一定相等；故原說法正確；

B、在同圓和等圓中，相等的弦所對的瓠相等，故原說法錯誤；

C、在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故原說法錯誤；

D、在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.故原說法錯誤；

故選；A.

【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關系.此題比較簡單，注意掌握定理的條件（在同圓或等圓中）是解此題的關

鍵.

2.如圖，點X,B,C,D,E在上，AB=CD,"08=42。，則（）

A.42°B.48°C.21°D.16°

【答案】C

【分析】根據(jù)弦相等可得標=而，再利用等弧的性質(zhì)及圓周角定理可得答案.

【詳解】解：.??點”、B、C、D、E在€＞。上，AB=CD,403=42。，

：.AB=CD^

ZCED=-ZAOB=-x42°=2\0,

22

故選：C.

【點睛】題目主要考查同圓中，弦、弧、圓心角、圓周角之間的關系，熟練運用圓周角定理及四者之間的關系是解題

關鍵.

3.如圖，點在。。上，AB=CD^AOB=42°,則()

A.48°B.24°C.22°D.21°

【答案】D

【分析】先證明筋=而，再利用等弧的性質(zhì)及圓周角定理可得答案.

【詳解】解：.??點48co/在。。上，48=8,408=42。，

AB=CD,

：.ZC￡，D=-ZJO5=-x42°=21°,

22

故選：D.

【點睛】本題考查的兩條弧，兩個圓心角，兩條弦之間的關系，圓周角定理，等弧的概念與性質(zhì)，掌握同弧或等弧的

概念與性質(zhì)是解題的關鍵.

4.如圖，四邊形48c。內(nèi)接4C平分/A4。，則下列結(jié)論正確的是()

A

A.AB=ADB.BC=CDC.AB=ADD./BCA=/DCA

【答案】B

【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關系對各選項進行逐一判斷即可.

【詳解】解：A、???4C8與4CQ的大小關系不確定，.："與彳。不一定相等，故本選項錯誤；

B、T/C平分4力，/.ZBAC=ZDAC,'BC=CD，/.BC=CD,故本選項正確；

C、丁4C8與4CQ的大小關系不確定，，薪與行不一定相等，故本選項錯誤：

D、/3C4與NOC4的大小關系不確定，故本選項錯誤.

故選：B.

【點睛】本題考查的是圓心角、弧、弦的關系，在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,

那么它他所對應的其余各組量都分別相等.

5.如圖，在。0中，若C是茄的中點，則圖中與/BAC相等的角有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【詳解】解：?.?點C是弧BD的中點，

?岳=而,

.,.Z.BAC=Z.CAD,

ZBAC=ZBDC,

ZCAD=ZCBD,

.-.ZCAD=ZBDC=ZCBD=ZBAC,

于是圖中與乙BAC相等的角共有3個,

故選C.

【點睛】本題考查圓周角定理；圓心角、弧、弦的關系.

6.如圖過點4、C,圓心。在等腰RlZU8c的內(nèi)部，/歷1C=9O。，OA=\,BC=6,則。0的半徑為（）

A.屈B.13C.6D.25/13

【答案】A

【分析】連接AO并延長，交BC于D,連接OB,根據(jù)垂徑定理得到BD=/BC=3,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到

AD=BD=3,根據(jù)勾股定埋計算即口J.

【詳解】解：連接AO并延長，交BC于D,連接OB,

vAB=AC,

J.AD1BC,

.-.BD=yBC=3,

???△ABC是等腰直角三角形,

.?.AD=BD=3,

，0D=2,

???OB="Q2+CQ2=V13，

故選:A.

【點睛】本題考查的是垂徑定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理等知識，掌握垂直弦的直徑平分這條弦，并

且平分弦所對的兩條弧是解題的關鍵.

7.如圖，48為的直徑，CQ為。。的弦，CDL4B,垂足為E,0E=3,CZ)=8,AB=()

A.2"B.10C.gD.5

【答案】B

【分析】求圓的直徑的長，只需要求圓的半徑的長即可.，作輔助線，根據(jù)垂徑定理構(gòu)造直角三角形，求出半徑的長.

【詳解】解：連接OC,

?:CDiAB,。￡=3,CD=8

:CE=gCZ>4,

在Rt^OCE中,CO+OF^OC2,即42+32=OG,解得OC=5,

M〃=2OC=2x5=10

故選B.

【點睛】本題考查垂徑定理.作輔助線，構(gòu)造直角三角形是解決本題的關鍵.

8.如圖，將半徑為2的圓形紙片折登后，圓弧恰好經(jīng)過圓心0,則折痕的長為()

A.若B.245C.3D.2G

【答案】D

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，過點。作（M_L//于點。，連接由題可得4）=8D,OD=^OA,再

根據(jù)勾股定理可得4）=圾7=而7，從而求得力4的長.

【詳解】如圖，過點O作。。于點。，連接

在Rs/。。中，由勾股定理，得AD=」OA2-OD2=6

：.AB=2AD=2百.

故選：D.

9.已知0。的半徑為13cm,弦4811弦CO,AB=24cm,CD=10cm,則48,CO之間的距離為（）

A.17cmB.7cmC.12cmD.17cm或7cm

【答案】D

【分析】過點。作OE_LCQ于點耳延長交于點片連接。民O。，由48〃。。得到。尸_148,利用垂徑定理得到

7）￡,=5cm,=12cm,利用勾股定理求出。民。尸，再分當力民。在圓心同側(cè)時，當A￡CO在圓心兩側(cè)時求出答案.

【詳解】（1）如圖所示，當平行弦力8,CO在圓心O的同側(cè)時，過點。作。￡_L/I8,垂足為E,延長OE交。。于點尸,

連接。bOC,

則/E=4/8=12cm,CF=-CD=5cm.

22

在R中,?！??2一/爐=5cm?

在用△CO尸中，彼=，0。2一。/=i2cm-

故EF=OF-OE=1cm.

(2)如圖所示，當平行弦43,CO在圓心。的異側(cè)時，過點。作OEJ.48,垂足為E,延長EO交8于點尸，連接

OA,0C,

則AE='AB=12cm,CF=—CD-5cm.

22

在尺〃力。石中，0E=S#-AE，=5cm?

在R^C。尸中，OF=JOC?-CF?=12cm.

故EF=OE+OF=17cm.

綜上，AB,CO之間的距離為7cm或17cm,

故選D.

【點睛】此題考查了垂徑定理，勾股定理，正確掌握圓的垂徑定理是解題的關鍵，解題中注意分類討論.

10.一張圓形紙片，小芳進行了如下連續(xù)操作：將圓形紙片左右對折、折痕為48,將圓形紙片上下折疊使4、B兩點、

重合，折痕C。與44相交于M,將圓形紙片沿七尸折疊使8、歷兩點重合，折痕七尸與4?相交于N.連結(jié)力上、AF,

經(jīng)過以上操作小芳得到了以下結(jié)論：(1)CD//EF；②四邊形ME8/是菱形；③A4E/為等邊三角形

④S“.：S貿(mào)=3石：4乃.以上結(jié)論正確的有()

【答案】D

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得N8"O=N8"'，則CQ〃痔，故①正確；根據(jù)垂徑定理，8M垂直平分即，根據(jù)折疊的性

質(zhì)得8W、E/7互相垂直平分，即可得匹邊形尸是菱形，故②正確；連接ME,MF,則用E=A/B=2MN,

MF=MB=2MN,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得/MEN=30。