與三角形有關(guān)的線段重難點（5種題型）

劃重點?沖高分區(qū)

類型一利用三邊關(guān)系判斷能否組成三角形

類型二利用三邊關(guān)系求參數(shù)范囹

三角形的三邊關(guān)系一類型三利用三邊關(guān)系取舍值（易措）

類型四利用三邊關(guān)系求最值

類型五三角形最長邊與局長的關(guān)系

與

類型一依據(jù)三角形形狀確定高的位置

三

類型二面積法，知高求底/知底求高

角類型三面積法，整體求值

三角形的高

類型四依據(jù)高的位置，分類討論求面積

形

類型五依據(jù)高的位置，分類討論求角度

有類型六等面積法的綜合運用

關(guān)

的類型一中線的性質(zhì)與應(yīng)用

三角形的中線

線類型二重心性質(zhì)與應(yīng)用

段

類型一三角形的角平分線性質(zhì)的應(yīng)用

三角形的角平分線

類型二三角形高、中線、角平分線的綜合

面積轉(zhuǎn)化與面積法類型一面積法求值

類型二轉(zhuǎn)化思想求面積

題型1三角形的三邊關(guān)系

點，

判定三條線段能否構(gòu)成三角形時，不需要分別計算，只要三條線段中較小的兩條線段之和大于第三條線段i

就能構(gòu)成三角形.當(dāng)較小的兩條線段之和等于或小于第三條線段時，就不能構(gòu)成三角形.！

【易錯】所有通過周長相加減求三角形的邊，求出兩個答案的，要注意檢查每個答案能否組成三角形.

!___________________________________________________________________________________________!

重難點一利用三邊關(guān)系判斷能否組成三角形

1.（24-25七年級下?山東棗莊?期末）三根底端對齊的小棒中有一根被擋板遮住了，它們的長度如圖所

示.若三根小棒可以圍成三角形，則第三根小棒的長度可以是（）

10

A.2B.3或5C.4或5D.6

2.（20-21八年級上?河北滄州?期末）某同學(xué)用5cm、7cm、9cm、13cm的四根小木棒擺出不同形狀的三

角形的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

3.（24-25八年級上?貴州遵義,期中）用12根火柴棒（等長）拼成一個三角形，火柴棒不允許剩余.重

疊和折斷，能擺出不同的三角形的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

4.（24-25七年級下?河南周口?期末）已知〃是正整數(shù)，若一個三角形的三邊長分別是〃+2,〃+6,3〃

則滿足條件的〃的值有（）

A.4個B.5個C.6個D.7個

重難點二利用三邊關(guān)系求參數(shù)范圍

5.（24-25八年級上?浙江杭州?開學(xué)考試）在△力8c中，4）是邊8C上的中線，48=5cm,4c=9cm,

力。的取值范圍是（）

A.4cm<AD<14cmB.4cm<AD414cm

C.2cm<AD<7cmD.2cm<AD<7cm

6.（24-25七年級下-四川成都-期末）一個三角形的三邊長均為整數(shù)，已知兩邊長為4和5,則第三邊

長度的最大值為.

重難點三利用三邊關(guān)系取舍值（易錯）

7.（24-25七年級下?陜西咸陽?期木）若一個等腰三角形的周長為15,一邊長為7,則該等腰三角形的

底邊長為.

8.（24-25七年級下?河南新鄉(xiāng)?期末）若有理數(shù)也〃滿足等式|"-2|+（〃-4）2=0,且〃?,〃恰好是等腰4/出。

的兩條邊長，則。的周長是（)

A.12B.10C.8I).6

9.（24-25七年級下?重慶?階段練習(xí)）一個等腰三角形一條腰上的中線把這個三角形的周長分成了6和

12兩部分，則這個等腰三角形的底邊長為.

重難點四利用三邊關(guān)系求最值

10.（2025八年級上?全國?專題練習(xí)）如圖，在△力8C中，BC=3,將△/18C平移5個單位到,

則8C的最大值等于.

11.（24-25七年級下?四川成都?期末）一個三角形的三邊長度均為整數(shù)，其中兩邊長為2和5,則第三

邊的最大值為.

12.（24-25八年級下?江蘇揚州?期中）如圖，在四邊形48CO中，AB=3,CD=7,E,尸分別為邊

BC,月。的中點.連接E產(chǎn)，線段七戶的最大值為.

13.（24-25八年級上?廣東湛江?階段練習(xí)）如圖，在△ZB。中，48=3,8c=4,AC=5,〃為8。邊

上一動點，將△48。沿力。翻折得到△加冷，點〃的對應(yīng)點為點只連接CP,則CP的最小值為.

14.（2425八年級上?河南周口?階段練習(xí)）如圖、用釘了把木棒4。和。分別在端點6、。處連

00@嫉

1）高與面積有關(guān):①有高首先想到面積，可以考慮等面積法求高線.

②高相等，面積之比等于底邊之匕.

2）高與勾股定理的聯(lián)系：有高就有直角，想到勾股定理.

3）三角形三高線的交點是垂心，注意垂心的性質(zhì).

直角三角形銳角三角形鈍角三角形

4Dc

圖形

CB區(qū)DczAa卜?D

AB?CF=AC-BC=2S^BCAB-CF=AC?BE=BC?AD=2S^

結(jié)論K

三條高所在的直線交于一點，這個點稱為垂心.

重難點一依據(jù)三角形形狀確定高的位置

1.（24-25七年級下?四川成都?期末）如圖，每個小正方形的邊長為1個單位.

⑴畫出MBC的//邊上的高C。，垂足為〃:

⑵求△48。的面積.

2.（24-25八年級下?安徽合肥?期末）圖1、圖2均是8x8的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，

每個小正方形的邊長均為1，4&C均在格點上，在圖1、圖2中，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中,

按要求畫圖.(不要求寫出畫法，保留作圖痕跡)

圖1圖2

(1)在圖1中作△月的中線CZX

(2)在圖2中作A/BC的高3E.

3.(24-25七年級下?江蘇蘇州?期中)如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1,△力的頂點力、氏

(1)在圖1中作△力夕C的高C。；

(2)在圖1中在8c上取點￡,使△力3E與△/(?￡面積相等；

⑶在圖2中取格點凡使得ABFC咨ACIB("不與力重合).

重難點二面積法，知高求底/知底求高

4.(24-25八年級上?新疆烏魯木齊?期末)如圖，在Rt△力8C中,

NC=90°,AC=4cm,BC=3cm,=5cm,夕是/CAB與4JBA平分線的交點，則點。至I]48的距離為

5.（24-25七年級下?上海?階段練習(xí)）如圖，在△力8c中，AB=AC,〃為〃。中點，過點〃作

DPLAB,。尸=3,E為BC上一點、,過點￡作￡1/_148,EN1AC,EA/=4.2,則EN=

6.（24-25八年級上?遼寧葫蘆島?期中）如圖，在△ABC中，力。、CE是△MC的兩條高，5C=5cm,

AD=3cm,CE=4cm,則AB的長等于cm.

7.（2025八年級上?全國?專題練習(xí)）如圖，在△48C中，AD1BC,BE1.AC,BC=4cm,JC=5cm,求

4＞：跖的值.

重難點三面積法，整體求值

8.（24-25七年級下-遼寧沈陽?階段練習(xí)）如圖，在△48C中，/8=4C=10,8。=12,邊8c上的高力。二8,

點P為8c上一點，且PE-B,PF1AC.則尸E+Pb的值為.

9.（24-25七年級下?四川成都?期中）如圖，在。中，ZC=90°（Z/KZJ5C）,點〃尸分別在邊

AB,4C上，且DE上BP,DF1AP,垂足分別為點匹F.若，”°=24,AC=8,則OE+O/

的值_______

10.（24-25八年級上?河南周口?階段練習(xí)）如圖，在的邊上取點M、N.連接

平分ZAMN,PN平分4MNB，若MV=1,JMN的面積是1,△QMV的面積是5,則OM+ON的值是.

重難點四依據(jù)高的位置，分類討論求面積

11.（24-25八年級下?黑龍江綏化?期中）△力8c中，8c=6,8c邊上的高力0=3,80=2,則AXCO

的面積是.

12.（24-25八年級上?黑龍江哈爾濱?開學(xué)考試）力。是△/出C中4c邊上的高，已知

力。=5,40=4,CO=2,則△48C的面積等于.

重難點五依據(jù)高的位置，分類討論求角度

13.（2025?黑龍江哈爾濱?三模）在△XBC中，N8=40。，若從頂點A作高線力。和角平分線4E,AD

與NE的夾角為5。，則NC的度數(shù)為。.

14.（23-24八年級上?四川南充?階段練習(xí)）已知：BD、CE培的高，直線切、CE相交所成的角

中有一個角為56。，則NA4C的度數(shù)為.

15.（24-25八年級上?江蘇宿ii?期中）若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為42。，則其底角的度

數(shù)為.

重難點六等面積法的綜合運用

16.（24-25八年級上-廣東深圳?期末）用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線段長度的有關(guān)問題,

這種方法稱為等面積法，是一種重要的數(shù)學(xué)方法.

【問題探究】

數(shù)學(xué)興趣小組嘗試用等面積法解決下面問題：

如圖1,在等腰中，AB=AC=\3,4c=10,。是線段8C上任意一點，過點D作DE248,

DF1AC,垂足分別為￡,F.求。E+O”的值.

他們用兩種方法表示△/SC的面積：

方法一：如圖，作/G_18c于點G,計算△/BC的面積.

解答過程如下：…

方法一：連接AD,則s力8c=S“BD+S.ACD+.

（1）請將方法一的解答過程補充完整；

（2）結(jié)合方法一、二可以算出。后+。產(chǎn)=.

【學(xué)以致用】

如圖2,直線y=：3x+93與x軸交于點A,且經(jīng)過點。（2,〃?），已知點C的坐標(biāo)為（6,0）.

42

（1）求直線。。的解析式；

17.（23-24八年級上-浙江紹興?階段練習(xí)）數(shù)學(xué)中常常利用面積相等來證明其他的線段相等，這種方法

被稱為“面積法”.已知等邊△48C,點P是平面上任意一點，設(shè)點P到△力8c邊力8、邊的距離分別

為P。、PE,△XBC的8。邊上的高為4W.回答以下問題：

AAA

⑴如圖（1）,若點P在三角形的AC邊上，PD、PE、4W存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請給出證明過程.

⑵如圖（2）,當(dāng)點P在ZUBC內(nèi)，已知4必=10,求PQ+PE+PP的值.

（3）如圖（3）,當(dāng)點P在△力8c外，請直接寫出力M與尸。、PF、0E的數(shù)量關(guān)系，不用證明.

18.（23-24八年級上-廣東深圳?期中）學(xué)完勾股定理的證明后發(fā)現(xiàn)運用“同一圖形的面積不同表示方式

相同”可以證明一類含有線段的等式，這種解決問題的方法我們稱之為等面積法.

(1)【學(xué)有所用】如圖1,在等腰△月6c中，AB=AC,其一腰上的高8。為九必是底邊6c上的任意一點,

V到腰48、/C的距離ME、分別為九、小小明發(fā)現(xiàn)，通過連接力M,將ZUAC的面積轉(zhuǎn)化為

和9CM的面積之和，建立等量關(guān)系，便可證明九十4=力，請你結(jié)合圖形來證明：h}+h2=k.

(2)【嘗試提升】如圖2,在△力8c中，4=90。，〃是//邊上一點，使BD=CD,過BC上一點P,作

PE1AB,垂足為點后，作*7J_CD,垂足為點R已知48=6&，8c=6石，求PE+尸尸的長.

(3)【拓展遷移】如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中有兩條直線4：?=-卷3-5,/2：y=5x-5,若&上的一點1/

到4的距離是2,求桀的值.

CM

題型3三角形的中線

1）條件中有中點，想到作中線，更要想到作中位線.中點必定與中線或者中位線相聯(lián)系.

2）中線性質(zhì)：①中點將邊平分；②中線將面積平分：

③三邊中線交點為重心，切記重心的性質(zhì).

中線重心

A2^^,0為重心

/jX.AD為中線

圖形

BDC

①BD=CD；①S^AOB=SAXOC=5ABOCi

=

②C“D-CAABD=AC-AB（C表示周長）；②SMOF==SABOD=S^COD=S△OOES△AOE=

結(jié)論

=%

③S.ABD=SAACD~2^￡^ABC?■g-OAABC；

④S^BPD=SACPD?S△XPB=SaAj?c.③OA=2OD,OB=2OE,OC=2OF.

重難點一中線的性質(zhì)與應(yīng)用

1.（2024七年級上?四川成都?專題練習(xí)）如圖所示，已知三角形49C的面積為20,BE=3CE,

AF=EF,求陰影部分的面積.

2.（24-25七年級下?吉林長春?期中）已知8。是△44。的中線，△川5。的周長比△4。。的周長大

2cm,若△力8c的周長為17cm,且z!C=5cm,求力6和8c的長.

3.（24-25七年級下?遼寧沈陽?期中）如圖，在△力8c中，點〃是邊力。上一點，連接點〃是4。

27

的中點，連接力尸并延長交8c于點分若力。=§8,AP=—AE.

（1）設(shè)AAPE的面積為S,求的面積（用含S的式子表示）：

（2）請判斷6E與CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

4.（23-24八年級上?湖北黃石?階段練習(xí)）如圖，力（-4,3）,8（4,3）,都是格點，且叱=5,請

用無刻度直尺在給定網(wǎng)格中畫出卜列圖形，并保留作圖痕跡（畫圖過程用虛線，畫圖結(jié)果用實線表示）.

(1)在圖1中作△/8C的中線CE與8￡>,設(shè)CE與8。交于點尸;

⑵在圖2中，在N軸上找點。，使得/O+G0最??；

⑶在圖3中的力用上找一點M,使N8CW=NGCW；

5.(24-25八年級上?河北保定?期中)(1)如圖1,在中，若力。是邊8c上的中線，則

壬皿=_；如圖2,在△48。中，若2。=,5C,則合歿=

(2)如圖3,若C。,跖分別是△4HC的邊力6,力。上的中線，求四邊形4X組的面積可以用如下方法.

連接4。，由力。=。8,得，S,R=S,如，

同理，可得S&cB"=S"8O.

=A=

設(shè)Sa.41yo=X,S.AEOy?則SG8DO=?\cw)'?

設(shè)S：C=2%

=

由題意，得S.ABE=~S&ABC=。,S,ADC萬S&3C=a?

可列方程組｛二；二解得x+片」

.‘四邊形4X比_

「SgBC

(3)如圖4,AD=^-AB,AE=^AC,若S^=21,

c求s四邊形皿紀(jì).

AAAA

\N

BDCBDCsCBC

圖1圖2圖3圖4

重難點二重心性質(zhì)與應(yīng)用

6.(24-25七年級下?四川成都?期中)如圖，D,E,尸分別為8C,CA,48的中點，點G為△48。

的重心.已知AAEG的面積為1,則MBC的面積為

A

7.（23-24八年級上?河南鄭州-開學(xué)考試）如圖，點。為△月臺。的重心，D,E,，'分別為8c力8的中點,

具有性質(zhì)：AGzGD=BGGE=CGGF=2：\.已知的面積為4,ZVIAC的面積為

8.（24-25八年級上?貴州遵義?期末）【發(fā)現(xiàn)與探究】三角形的重心

三角形三條中線的交點叫三角形的重心.重心是個物理名詞.從效果上看，我們可以認(rèn)為物體所受重力的

合力集中于一點，這一點叫物體的重心.圖1中，如果取一塊均勻的三角形紙板，用一根細(xì)線繩從重心。

處將三角形提起來，紙板就會處于水平狀態(tài).為什么會平衡呢？希望你經(jīng)過下面的探索過程能得到答案.圖

2中，是△4%的中線，/。/與△相力等底等高，面積相等，記作S“s=S必時圖3中，若△ABC三

條中線力。、BE、CF交于點、G,則GQ是△GB。的中線，利用上述結(jié)論可得：,同理

圖1圖2

(1)圖3中，若設(shè)SAG°=X，5,跖=，，S&GAE=Z,猜想叫V,z之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(2)由(1)可知被三條中線分成的六個三角形面積如果面積為機(jī)，用含有機(jī)的式子表示△BGC的

面積為BG：GE=_；

(3)圖4中，G是△48。重心，點。、上在△49C的邊力3、4c上，BE、CO交于G,BE=9,8=12,

BE1CD,求四邊形ZEGQ的面積.

題型4三角形的角平分線

!------1---------------------T

!三角形的角平分線一相等的角或成2倍關(guān)系的角.

I

重難點二M角形的角平分線性質(zhì)的應(yīng)用

1.（24-25八年級上?廣東廣州?期中）如圖，已知△48C的周長是21,OB,分別平分/48C和

/ACB,OQ_L8c于點。，且。0=4,△川“7的面積是.

2.（23-24八年級上?上海松江?期末）如圖，在△力8c中，已知8。是/48c的角平分線，點〃是A形。

內(nèi)一點，且力DJ.8。，ZZ）JC=20°,ZC=38°,那么/8力。=°.

3.（24-25八年級上?內(nèi)蒙古烏海?期末）如圖，在。中，8E是角平分線，點〃在邊力8上（不與點

（1）若。。是中線，"C=5,AC=3,則與△力CO的周長差為」

（2）若CDJ_43,ZJ5C=60°,求/8OC的度數(shù).

4.（24-25八年級上?安徽安慶?期中）如圖，在△45C中，N/C4=90。，點。為力C上一點，過點A作

AEtBD于點、E.

B

（1）當(dāng)8。平分且//4c=60。時，求/歷IE的度數(shù)；

⑵當(dāng)點。是力C中點，08=6,且的面積為24,求4E?的長.

重難點二三角形高、中線、角平分線的綜合

5.（23-24八年級上?云南昆明?期中）如圖，在△48C中，AD,力尸分別為△力8c的8c邊上的中線和高,

8E為△48。的角平分線.

⑴若ZBED=50。,/B4Q=30。,求NO力尸的大小:

⑵若△XBC的面積為48,BD=6,求"?的長.

6.（24-25七年級下?陜西渭南,期末）如圖，力。為△力8c的中線，BE為△48。的角平分線，過點。（乍

ENiAB千點N,EM為"ED的高.

(1)若NBED=40。，/84。=25。，求N48O的度數(shù)：

⑵若48=16,80=8,△/BC的面積為64,求的長.

7.(21-22八年級上-云南昆明?期末)如圖，在△/!比中，AD,力/分別是△力回的中線和高，BE建4ABD

的角平分線.

⑴若△力比的面積為40,BD=5,求"'的長；

⑵若/BED=A0°,/歷仞=25°,求/歷伊的大小.

題型5面積轉(zhuǎn)化與面積法

0。式

A

圖形D為BC上一點AD//BC

B~D-CBC

①S/SABC=S.DBC，S^ABD=S—CD；②S△AB0=S△/JCO；

結(jié)論S^ABD_BD

⑶八人月于SAARO

SgcDCDSn_ADAO__SArtco_DO

S^BCDBC'OCS^caoSACBOOB,

重難點一面積法求值

1.（23-24七年級上?河南鄭州?開學(xué)考試）如圖，在梯形ABCD中，三角形49。與三角52.（23-24

七年級下?廣西玉林?期末）我們知道：平行線間的距離處處相等.如圖，AB//DC,ED//BC.AE//BD,

那么圖中與面積相等的三角形有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

七年級下-上海楊浦?期中）如圖，梯形ABCD中，AB//CD則原邊物皿

2.（23-24,S”.=1,SA5IVC=0.8,

為（）

A.1.6B.1.8C.2D.3.6

3.（23-24九年級上?河南南陽?期中）如圖，在四邊形