2025年下學期初中數(shù)學機器學習發(fā)展能力測評試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在機器學習中，用于描述數(shù)據(jù)集中樣本特征的數(shù)學量通常稱為（）A.標簽B.向量C.矩陣D.張量某初中數(shù)學興趣小組收集了100名學生的數(shù)學成績（滿分120分），其中90分以上的有25人。若用頻率估計概率，從該樣本中隨機抽取一名學生，其成績超過90分的概率是（）A.0.2B.0.25C.0.75D.0.8下列哪種數(shù)學模型最適合處理圖像識別問題（）A.線性回歸B.決策樹C.卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)D.支持向量機在監(jiān)督學習中，若目標變量為連續(xù)值，此類問題屬于（）A.分類問題B.回歸問題C.聚類問題D.降維問題某機器學習模型在訓練集上的準確率為98%，但在測試集上的準確率僅為65%，這種現(xiàn)象稱為（）A.過擬合B.欠擬合C.正則化D.交叉驗證已知一組數(shù)據(jù)：2，4，5，7，9，其標準差是（）A.√2B.2C.√5D.3向量a=(1,2)與向量b=(3,4)的內(nèi)積是（）A.5B.11C.13D.15在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，激活函數(shù)的主要作用是（）A.加速計算B.引入非線性變換C.減少參數(shù)數(shù)量D.防止過擬合某算法的時間復(fù)雜度為O(n2)，當n從100增加到200時，其運行時間大約變?yōu)樵瓉淼模ǎ〢.2倍B.4倍C.8倍D.16倍下列哪種數(shù)學工具常用于處理高維數(shù)據(jù)的可視化（）A.主成分分析B.邏輯回歸C.隨機森林D.梯度下降二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）已知矩陣A=[[1,2],[3,4]]，矩陣B=[[5,6],[7,8]]，則A+B=______。某線性回歸模型的表達式為y=0.5x+3，當輸入x=10時，預(yù)測值y=______。在機器學習中，常用______來衡量分類模型的預(yù)測結(jié)果與實際結(jié)果之間的差異。若一組數(shù)據(jù)的方差為4，則其標準差為______。二進制數(shù)1011對應(yīng)的十進制數(shù)是______。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）某初中開展"校園垃圾分類"活動，環(huán)保小組記錄了一周內(nèi)每天的可回收物重量（單位：kg）：35，42，38，45，40，50，48。請計算這組數(shù)據(jù)的：（1）算術(shù)平均數(shù)；（2）中位數(shù)；（3）極差。（12分）已知平面直角坐標系中有A(1,2)、B(3,4)、C(5,0)三點：（1）求向量AB和向量AC的坐標；（2）計算向量AB與向量AC的夾角余弦值；（3）判斷△ABC的形狀。（12分）某數(shù)學老師使用簡單線性回歸模型預(yù)測學生的期末考試成績（y），以平時作業(yè)得分（x，滿分20分）為自變量。已知回歸方程為y=3.5x+20，現(xiàn)有5名學生的平時作業(yè)得分分別為16、18、15、19、20：（1）計算這5名學生的預(yù)測期末成績；（2）若其中某學生的實際期末成績?yōu)?2分，其平時作業(yè)得分為18分，求該預(yù)測的殘差；（3）解釋回歸系數(shù)3.5的實際意義。（12分）在圖像識別任務(wù)中，常用卷積操作提取圖像特征。已知某3×3的圖像矩陣M和3×3的卷積核K如下：M=[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]K=[[1,0,-1],[1,0,-1],[1,0,-1]]（1）若采用步長為1、無填充（padding=0）的卷積方式，計算卷積后的特征圖；（2）說明卷積操作在圖像處理中的主要作用；（3）若將圖像矩陣M視為3×3×1的張量，其數(shù)據(jù)類型為float32，計算該張量占用的存儲空間（以字節(jié)為單位）。（12分）某初中開展"AI+數(shù)學"創(chuàng)新實驗，學生使用k-means聚類算法對100個數(shù)學問題進行分類。已知每個問題用2個特征（難度系數(shù)、知識點編號）表示：（1）簡述k-means算法的基本步驟；（2）若將聚類數(shù)k設(shè)為3，算法最終得到3個簇，其中心坐標分別為(0.3,5)、(0.7,2)、(0.5,8)，現(xiàn)有一個新問題的特征向量為(0.6,3)，計算該問題到三個簇中心的歐氏距離，并判斷其所屬簇；（3）說明在聚類分析中如何確定最佳的k值。（12分）某機器學習項目需要處理一組學生體質(zhì)數(shù)據(jù)，包含身高（cm）、體重（kg）、肺活量（L）三個特征。原始數(shù)據(jù)如下表：學生ID身高體重肺活量1165553.82175654.23160503.54180704.5（1）對身高和體重進行min-max標準化（將特征值縮放到[0,1]區(qū)間）；（2）計算標準化后的身高與體重的協(xié)方差；（3）若使用主成分分析（PCA）對三個特征進行降維，說明PCA的核心數(shù)學思想。四、實踐應(yīng)用題（本大題共2小題，共20分）（10分）某初中計劃開發(fā)一個"數(shù)學錯題分析系統(tǒng)"，請你設(shè)計一個基于機器學習的解決方案，要求包含：（1）數(shù)據(jù)收集階段需要采集哪些數(shù)學相關(guān)特征；（2）選擇合適的機器學習算法類型（監(jiān)督/無監(jiān)督/強化學習）并說明理由；（3）簡述系統(tǒng)的基本工作流程。（10分）為慶祝建校50周年，學校準備用AI生成數(shù)學主題的藝術(shù)圖案。已知圖案生成需要使用隨機數(shù)生成器，現(xiàn)有兩種方案：方案A：生成[0,1)區(qū)間的均勻隨機數(shù)方案B：生成均值為0、標準差為1的正態(tài)分布隨機數(shù)（1）分別寫出兩種方案生成隨機數(shù)的概率密度函數(shù)；（2）若要生成1000個隨機數(shù)，哪種方案更可能出現(xiàn)數(shù)值大于2的樣本？為什么？（3）設(shè)計一個簡單的數(shù)學實驗，比較兩種隨機數(shù)生成方案在模擬擲骰子游戲中的效果。五、拓展探究題（本大題共1小題，共10分）（10分）近年來，大語言模型（LLM）在數(shù)學教育領(lǐng)域的應(yīng)用受到廣泛關(guān)注。請結(jié)合初