2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)基本國際表演藝術(shù)創(chuàng)新組織競賽素養(yǎng)試卷一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=2x2-4x+3繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)180°后得到的新拋物線解析式為（）A.y=-2x2-4x-3B.y=-2x2+4x-3C.y=2x2+4x+3D.y=-2x2-4x+3已知一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積為（）A.24πcm2B.36πcm2C.48πcm2D.60πcm2（注：此處應(yīng)有三視圖示意圖，主視圖和左視圖為半徑3cm的半圓，俯視圖為邊長6cm的正方形）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點P是斜邊AB上的動點，過點P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，連接DE，則線段DE長度的最小值為（）A.4.8B.5C.6D.4.5已知關(guān)于x的分式方程$\frac{2x+m}{x-2}=3$的解為正數(shù)，則m的取值范圍是（）A.m＞-6且m≠-4B.m＜6且m≠-4C.m＞-6且m≠2D.m＜6且m≠2如圖，在?ABCD中，AB=6，AD=8，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，則CF的長為（）A.2B.3C.4D.5若關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A.k＜1B.k＞1C.k≤1D.k≥1如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，AC是⊙O的直徑，∠P=50°，則∠BAC的度數(shù)為（）A.25°B.30°C.40°D.50°已知點A（x?，y?）、B（x?，y?）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象上，若x?＜0＜x?，則下列結(jié)論正確的是（）A.y?＜0＜y?B.y?＜0＜y?C.y?＞y?＞0D.y?＞y?＞0某數(shù)學(xué)興趣小組為測量學(xué)校旗桿的高度，在同一時刻，測得一根長為1m的直立標(biāo)桿的影長為0.8m，旗桿的影長為16m，則旗桿的高度為（）A.12.8mB.18mC.20mD.22m下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A.等邊三角形B.平行四邊形C.正五邊形D.圓二、填空題（共6題，每題5分，共30分）分解因式：a3-4a2b+4ab2=______。若一組數(shù)據(jù)2，3，x，5，7的眾數(shù)為7，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為______。如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'BC'，則點A與點A'之間的距離為______。已知扇形的圓心角為120°，半徑為6，則扇形的弧長為______，面積為______。（結(jié)果保留π）若關(guān)于x的不等式組$\begin{cases}x-a\geq0\3-2x＞-1\end{cases}$有且只有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是______。如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（1，0），B（0，2），以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，交x軸正半軸于點C，則點C的坐標(biāo)為______。三、解答題（共8題，共70分）（6分）計算：$(-\frac{1}{2})^{-2}+\sqrt{12}-|1-\sqrt{3}|+(\pi-3.14)^0$。（7分）先化簡，再求值：$(1-\frac{1}{a-1})\div\frac{a^2-4a+4}{a^2-a}$，其中a=2+$\sqrt{2}$。（8分）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，AE是∠BAC的外角平分線，DE∥AB交AE于點E。求證：四邊形ADCE是矩形。（8分）某校為了解學(xué)生對“垃圾分類”知識的掌握情況，隨機抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果分為“A.非常了解”、“B.了解”、“C.基本了解”、“D.不了解”四個等級，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖。請根據(jù)統(tǒng)計圖信息解答下列問題：（注：此處應(yīng)有條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，條形統(tǒng)計圖顯示A:10人，B:25人，C:？，D:5人；扇形統(tǒng)計圖顯示A:10%，B:25%，C:60%，D:5%）（1）本次調(diào)查共抽取了多少名學(xué)生？（2）補全條形統(tǒng)計圖；（3）若該校共有1200名學(xué)生，請估計該校對“垃圾分類”知識“非常了解”的學(xué)生人數(shù)。（9分）某商場銷售A、B兩種品牌的教學(xué)設(shè)備，這兩種教學(xué)設(shè)備的進(jìn)價和售價如下表所示：品牌進(jìn)價（萬元/套）售價（萬元/套）A1.51.8B1.21.4該商場計劃購進(jìn)兩種教學(xué)設(shè)備若干套，共需66萬元，全部銷售后可獲毛利潤12萬元。（毛利潤=（售價-進(jìn)價）×銷售量）（1）該商場計劃購進(jìn)A、B兩種品牌的教學(xué)設(shè)備各多少套？（2）通過市場調(diào)研，該商場決定在原計劃的基礎(chǔ)上，減少A種設(shè)備的購進(jìn)數(shù)量，增加B種設(shè)備的購進(jìn)數(shù)量，已知B種設(shè)備增加的數(shù)量是A種設(shè)備減少數(shù)量的1.5倍。若用于購進(jìn)這兩種教學(xué)設(shè)備的總資金不超過69萬元，問A種設(shè)備購進(jìn)數(shù)量至多減少多少套？（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，過點C作⊙O的切線CD交BA的延長線于點D，過點B作BE⊥BA交DC的延長線于點E，連接BC。（1）求證：BC平分∠ABE；（2）若CD=4，AD=2，求BE的長。（10分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）。（1）求拋物線的解析式；（2）點P是拋物線上一動點，過點P作PD⊥x軸于點D，交直線BC于點E。當(dāng)點P在第一象限時，求線段PE的最大值；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△BCQ是等腰三角形？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。（12分）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，點F為BE的中點，連接CF、DF。（1）如圖1，當(dāng)點D在AB上，點E在AC上時，求證：CF=DF且CF⊥DF；（2）如圖2，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°，使得點D在AC上，點E在AB上，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)任意角度（0°＜α＜90°），問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。（注：此處應(yīng)有三個圖形，圖1中D在AB上，E在AC上；圖2中D在AC上，E在AB上；圖3中△ADE繞A旋轉(zhuǎn)任意角度）四、創(chuàng)新實踐題（共2題，共50分）（25分）數(shù)學(xué)與藝術(shù)融合實踐（1）幾何圖形設(shè)計：請用圓規(guī)和直尺設(shè)計一個由基本幾何圖形（三角形、四邊形、圓等）組合而成的軸對稱圖案，要求包含至少3種不同的基本圖形，并寫出設(shè)計步驟和圖案所蘊含的數(shù)學(xué)原理。（2）數(shù)據(jù)分析與藝術(shù)創(chuàng)作：某藝術(shù)展覽館統(tǒng)計了2024年各月份參觀人數(shù)（單位：千人）如下表：|月份|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11|12||----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----||人數(shù)|3.2|2.8|4.5|5.2|6.8|8.5|9.2|8.8|7.5|6.0|4.2|3.8|①請根據(jù)表中數(shù)據(jù)繪制折線統(tǒng)計圖；②計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差（精確到0.1）；③分析參觀人數(shù)的變化趨勢，并預(yù)測2025年1月份的參觀人數(shù)。（25分）數(shù)學(xué)建模與組織策劃某學(xué)校計劃舉辦“數(shù)學(xué)文化節(jié)”，需設(shè)計一個由12個展區(qū)組成的展覽活動，每個展區(qū)面積相同，展區(qū)之間用寬度為1米的通道隔開。（1）場地規(guī)劃：現(xiàn)有一塊矩形空地，長50米，寬30米。請設(shè)計兩種不同的展區(qū)排列方案（畫出示意圖），并計算每種方案下每個展區(qū)的面積。（2）資源分配：每個展區(qū)需要配備2名志愿者，3套展示設(shè)備，50份宣傳資料。若志愿者每人每天補助100元，展示設(shè)備每套租金50元/天，宣傳資料每份1元。文化節(jié)計劃舉辦3天，計算共需多少經(jīng)費。（3）優(yōu)化設(shè)計：若要使通道總面積最小，應(yīng)如何排列展區(qū)？說明理由（可結(jié)合二次函數(shù)、不等式等知識進(jìn)行分析）。五、開放探究題（共2題，共50分）（25分）動態(tài)幾何探究如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，點P從點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s；同時點Q從點C出發(fā)沿CB方向向點B勻速運動，速度為1cm/s；設(shè)運動時間為t秒（0＜t＜4）。（1）用含t的代數(shù)式表示線段PC和CQ的長度；（2）當(dāng)t為何值時，△PCQ與△ACB相似？（3）在P、Q運動過程中，線段PQ的長度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，說明理由；（4）連接AQ、BP，交于點O，探究線段AO與OQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。（25分）數(shù)學(xué)文化與國際視野（1）閱讀下列材料，回答問題：《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中“勾股”章記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？”①翻譯并解答這道古代數(shù)學(xué)問題；②用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言表述該問題的數(shù)學(xué)模型。（2）國際數(shù)學(xué)競賽賞析：第65屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）于2024年在英國舉辦，其中一道試題如下：“設(shè)a，b，c為正實數(shù)，滿足a+b+c=1，證明：$\frac{a}{a^2+1}+\frac{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\leq\frac{9}{10}$”①請驗證當(dāng)a=b=c=$\frac{1}{3}$時，不等式是否成立；②嘗試用代數(shù)變形或函數(shù)方法證明該不等式（提示：可考慮函數(shù)f(x)=$\frac{x}{x^2+1}$的單調(diào)性）。（3）跨文化比較：簡述中國古代數(shù)學(xué)與古希臘數(shù)學(xué)的主要特點，并舉例說明它們對現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的影響。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（部分）一、選擇題B2.C3.A4.A5.B6.A7.A8.A9.C10.D二、填空題a(a-2b)212.513.414.4π，12π15.-2＜a≤-116.($\sqrt{5}$+1，0)三、解答題（部分）解：原式=4+2$\sqrt{3}$-($\sqrt{3}$-1)+1=4+2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$+1+1=6+$\sqrt{3}$（6分）解：原式=$\frac{a-2}{a-1}$·$\frac{a(a-1)}{(a-2)^2}$=$\frac{a}{a-2}$（4分）當(dāng)a=2+$\sqrt{2}$時，原式=$\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$+1（7分）解：（1）設(shè)購進(jìn)A品牌x套，B品牌y套，依題意得：$\begin{cases}1.5x+1.2y=66\0.3x+0.2y=12\end{cases}$（3分）解得：$\begin{cases}x=20\y=30\end{cases}$答：購進(jìn)A品牌20套，B品牌30套（5分）（2）設(shè)A