2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)基本國際材料藝術(shù)創(chuàng)新組織競(jìng)賽試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，集合B={x|x2-ax+a-1=0}，若A∪B=A，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2函數(shù)f(x)=√(x2-4x+3)+1/√(x-2)的定義域是（）A.[1,2)∪[3,+∞)B.(2,3]C.[1,3]D.(2,+∞)若向量a=(1,2)，b=(m,-1)，且a⊥b，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.-2B.2C.-1/2D.1/2已知等比數(shù)列{an}中，a1=2，公比q=3，則該數(shù)列的前5項(xiàng)和S5=（）A.242B.121C.81D.27若直線l1:ax+2y+6=0與直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.-1B.2C.-1或2D.1函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期和振幅分別是（）A.π，1B.2π，1C.π，2D.2π，2已知α為銳角，且tanα=2，則sinα+cosα=（）A.3√5/5B.2√5/5C.√5/5D.3/5若圓C1:x2+y2=4與圓C2:(x-a)2+y2=1外切，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.±3B.±1C.3D.1某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A.12cm3B.18cm3C.24cm3D.36cm3已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x+1，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.(-∞,1)B.(1,2)C.(2,+∞)D.(-∞,1)∪(2,+∞)二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）若復(fù)數(shù)z=(1+i)(2-i)，則|z|=________。二項(xiàng)式(2x-1)5的展開式中x2的系數(shù)是________。已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的長度為________。在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a=3，b=4，c=5，則sinA=________。若函數(shù)f(x)=x2-2ax+1在區(qū)間[1,2]上的最小值為-3，則實(shí)數(shù)a的值為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（本小題滿分10分）已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1。（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值和最小值。（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2√3，PA=3。（1）求證：BC⊥平面PAB；（2）求三棱錐P-ABC的體積。（本小題滿分12分）已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過點(diǎn)(2,1)。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA⊥OB，求m2的取值范圍。（本小題滿分12分）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1(n∈N*)。（1）求證：數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Sn。（本小題滿分12分）某工廠生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)1件A產(chǎn)品需要甲材料3kg，乙材料2kg，生產(chǎn)1件B產(chǎn)品需要甲材料1kg，乙材料3kg。甲材料的供應(yīng)量不超過120kg，乙材料的供應(yīng)量不超過100kg。每件A產(chǎn)品的利潤為50元，每件B產(chǎn)品的利潤為40元。（1）設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，寫出x，y滿足的約束條件；（2）如何安排生產(chǎn)才能使工廠獲得最大利潤？最大利潤是多少？（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=lnx-ax(a∈R)。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)a=1時(shí)，求證：f(x)≤x-1。四、創(chuàng)新應(yīng)用題（本大題共2小題，共30分）（本小題滿分15分）某中學(xué)為了豐富學(xué)生的課余生活，計(jì)劃在校園內(nèi)修建一個(gè)矩形的花壇，花壇的長和寬分別為x米和y米。已知花壇的四周需要鋪設(shè)寬度為1米的草坪，草坪的總面積為24平方米。（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若花壇的面積不小于35平方米，求x的取值范圍；（3）當(dāng)x為何值時(shí)，花壇的面積最大？最大面積是多少？（本小題滿分15分）如圖，某城市有一條東西走向的主干道，主干道上有A，B兩個(gè)公交站點(diǎn)，相距2km。在主干道北側(cè)有一個(gè)居民區(qū)C，測(cè)得C到A的距離為√5km，到B的距離為√13km。（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）為了方便居民出行，計(jì)劃在主干道上新建一個(gè)公交站點(diǎn)D，使得C到D的距離最短，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及最短距離；（3）若在居民區(qū)C附近新建一個(gè)公園，公園的邊界是以C為圓心，1km為半徑的圓?，F(xiàn)計(jì)劃在主干道上設(shè)置一個(gè)共享單車停放點(diǎn)E，使得E到公園的最短距離不小于2km，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)的取值范圍。五、材料分析題（本大題共1小題，共20分）閱讀下列材料，回答問題。材料一：斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，是意大利數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契于1202年在《算盤全書》中提出的。斐波那契數(shù)列指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，這個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和。材料二：斐波那契數(shù)列在自然界中廣泛存在，例如向日葵種子的排列方式、松果的鱗片排列、樹枝的生長等都與斐波那契數(shù)列有關(guān)。此外，斐波那契數(shù)列在藝術(shù)、建筑、金融等領(lǐng)域也有重要應(yīng)用。材料三：斐波那契數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(1/√5)[(1+√5)/2]^n-(1/√5)[(1-√5)/2]^n，這個(gè)公式又稱為“比內(nèi)公式”，是以法國數(shù)學(xué)家比內(nèi)的名字命名的。（1）根據(jù)材料一，寫出斐波那契數(shù)列的遞推關(guān)系式；（2）證明：斐波那契數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=an+2-1；（3）根據(jù)材料三，求斐波那契數(shù)列的第10項(xiàng)；（4）結(jié)合材料二，舉例說明斐波那契數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中的一個(gè)應(yīng)用，并進(jìn)行簡(jiǎn)要分析。六、開放探究題（本大題共1小題，共20分）在數(shù)學(xué)史上，幾何學(xué)的發(fā)展經(jīng)歷了從歐幾里得幾何到非歐幾何的過程。非歐幾何的建立打破了人們對(duì)空間的傳統(tǒng)認(rèn)識(shí)，對(duì)現(xiàn)代物理學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。（1）簡(jiǎn)述歐幾里得幾何的五大公設(shè)；（2）非歐幾何的建立源于對(duì)歐幾里得幾何第五公設(shè)的質(zhì)疑，請(qǐng)寫出第五公設(shè)的內(nèi)容；（3）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證三角形內(nèi)角和是否等于180度。要求：寫出實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、?shí)驗(yàn)器材、實(shí)驗(yàn)步驟和實(shí)驗(yàn)結(jié)論。（4）結(jié)合非歐幾何的發(fā)展歷程，談?wù)勀銓?duì)數(shù)學(xué)創(chuàng)新的認(rèn)識(shí)。七、綜合實(shí)踐題（本大題共1小題，共30分）為了測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了以下測(cè)量方案：方案一：在地面上選取一點(diǎn)A，用測(cè)角儀測(cè)得旗桿頂端的仰角為α，測(cè)量點(diǎn)A到旗桿底部的距離為a米，測(cè)角儀的高度為b米。方案二：在地面上選取兩點(diǎn)A，B，使A，B，旗桿底部在同一條直線上，用測(cè)角儀分別在A，B兩點(diǎn)測(cè)得旗桿頂端的仰角為α，β，測(cè)量A，B兩點(diǎn)之間的距離為c米，測(cè)角儀的高度為b米。（1）根據(jù)方案一，寫出旗桿高度的計(jì)算公式；（2）根據(jù)方案二，推導(dǎo)旗桿高度的計(jì)算公式；（3）若采用方案二進(jìn)行測(cè)量，測(cè)得α=30°，β=45°，c=10米，b=1.5米，求旗桿的高度（結(jié)果保留根號(hào)）；（4）為了提高測(cè)量精度，你認(rèn)為在實(shí)際測(cè)量中還需要注意哪些問題？請(qǐng)至少寫出三點(diǎn)。（5）除了上述兩種方案外，請(qǐng)你再設(shè)計(jì)一種測(cè)量旗桿高度的方案，要求寫出測(cè)量原理、測(cè)量步驟和計(jì)算公式。八、數(shù)學(xué)建模題（本大題共1小題，共30分）隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)購物已經(jīng)成為人們?nèi)粘Ｉ钪胁豢苫蛉钡囊徊糠帧Ｄ畴娚唐脚_(tái)為了提高用戶的購物體驗(yàn)，計(jì)劃對(duì)商品的配送時(shí)間進(jìn)行優(yōu)化。已知某商品的配送時(shí)間t（單位：小時(shí)）與配送距離d（單位：公里）、配送員的平均速度v（單位：公里/小時(shí)）、天氣因素w（0≤w≤1，w=0表示天氣晴朗，w=1表示極端天氣）之間的關(guān)系可以用以下模型表示：t=ad/v+bw+c，其中a，b，c為常數(shù)。（1）若當(dāng)d=10公里，v=30公里/小時(shí)，w=0時(shí)，t=2小時(shí)；當(dāng)d=20公里，v=40公里/小時(shí)，w=0.5時(shí)，t=4小時(shí)；當(dāng)d=30公里，v=50公里/小時(shí)，w=1時(shí)，t=6小時(shí)。求a，b，c的值；（2）根據(jù)（1）中求出的模型，當(dāng)d=15公里，v=45公里/小時(shí)，w=0.3時(shí)，求配送時(shí)間t；（3）若配送距離d=25公里，天氣因素w=0.6，要使配送時(shí)間t不超過5小時(shí)，求配送員的平均速度v的最小值；（4）請(qǐng)你根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，分析除了配送距離、平均速度和天氣因素外，還有哪些因素會(huì)影響配送時(shí)間，并選擇其中一個(gè)因素，建立配送時(shí)間與該因素之間的函數(shù)關(guān)系（不需要求解）。九、數(shù)學(xué)文化題（本大題共1小題，共20分）中國古代數(shù)學(xué)有著輝煌的成就，涌現(xiàn)出了劉徽、祖沖之等著名的數(shù)學(xué)家，《九章算術(shù)》《周髀算經(jīng)》等經(jīng)典的數(shù)學(xué)著作。（1）簡(jiǎn)述《九章算術(shù)》的主要內(nèi)容和歷史地位；（2）祖沖之在數(shù)學(xué)上