2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)基本國(guó)際公共藝術(shù)創(chuàng)新組織競(jìng)賽試卷一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）（一）幾何與空間藝術(shù)巴黎埃菲爾鐵塔的底座為四個(gè)全等的直角三角形，每個(gè)三角形的兩條直角邊分別為120米和210米。若將鐵塔底座抽象為一個(gè)菱形，則該菱形的面積為（）A.25200平方米B.50400平方米C.75600平方米D.100800平方米解析：菱形面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半，直角三角形的兩條直角邊即為菱形對(duì)角線的一半，因此對(duì)角線分別為240米和420米，面積=240×420÷2=50400平方米，選B。敦煌莫高窟第323窟壁畫(huà)中的“飛天”圖案包含大量全等三角形。若一個(gè)飛天飄帶的圖案由兩個(gè)全等的等腰梯形組成，梯形的上底為8cm，下底為14cm，腰長(zhǎng)為5cm，則單個(gè)梯形的高為（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm解析：過(guò)梯形上底頂點(diǎn)作高，形成直角三角形，底邊差的一半為（14-8）÷2=3cm，腰長(zhǎng)為斜邊，根據(jù)勾股定理得高=√(52-32)=4cm，選B。（二）代數(shù)與對(duì)稱美學(xué)某剪紙作品以“斐波那契螺旋”為主題，其螺旋線由邊長(zhǎng)為斐波那契數(shù)列（1,1,2,3,5,...）的正方形拼接而成。若第n個(gè)正方形的面積為S?，則S??的值為（）A.212B.342C.552D.892解析：斐波那契數(shù)列第10項(xiàng)為55，面積為552，選C。印度泰姬陵的大理石鑲嵌圖案中，正六邊形地磚與正三角形地磚交替排列。若一個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)為a，則與其外接圓半徑的關(guān)系為（）A.半徑=a/2B.半徑=aC.半徑=√3aD.半徑=2a解析：正六邊形可分為6個(gè)等邊三角形，外接圓半徑等于邊長(zhǎng)，選B。（三）概率與藝術(shù)創(chuàng)作在一副“數(shù)字油畫(huà)”顏料盒中，有紅、黃、藍(lán)、白四種顏色，每種顏色顏料被使用的概率分別為0.3、0.2、0.4、0.1。若隨機(jī)抽取兩種顏色混合，則得到紫色（紅+藍(lán)）的概率為（）A.0.12B.0.24C.0.36D.0.48解析：抽取順序不影響結(jié)果，概率=0.3×0.4×2=0.24，選B。二、填空題（共5題，每題6分，共30分）（一）函數(shù)與動(dòng)態(tài)藝術(shù)荷蘭藝術(shù)家埃舍爾的版畫(huà)《瀑布》中，水流沿“不可能三角形”循環(huán)流動(dòng)。若水流軌跡近似為函數(shù)y=|x2-4x|，則該函數(shù)與x軸圍成的封閉圖形面積為_(kāi)_____。解析：令y=0得x=0或4，分段積分得面積=∫??(x2-4x)dx（絕對(duì)值內(nèi)先負(fù)后正）=16/3+16/3=32/3，答案：32/3。（二）統(tǒng)計(jì)與文化遺產(chǎn)某考古團(tuán)隊(duì)對(duì)“三星堆青銅面具”的面部寬度進(jìn)行測(cè)量，數(shù)據(jù)如下（單位：cm）：52,55,53,54,56,54,55。則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為_(kāi)_____，方差為_(kāi)_____。解析：排序后為52,53,54,54,55,55,56，中位數(shù)為54；平均數(shù)=54，方差=[(0)+(1)+(0)+(0)+(1)+(1)+(4)]/7=8/7，答案：54，8/7。三、解答題（共3題，共70分）（一）綜合應(yīng)用題（25分）“北京冬奧會(huì)首鋼滑雪大跳臺(tái)”的賽道剖面可抽象為二次函數(shù)圖像，起跳點(diǎn)A（0,20），著陸點(diǎn)B（80,0），賽道最高點(diǎn)C（40,40）。（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）若運(yùn)動(dòng)員從A點(diǎn)滑出后，其軌跡為直線y=-x+20，求運(yùn)動(dòng)員與賽道的最近距離。解答：（1）設(shè)y=a(x-40)2+40，代入B（80,0）得0=a(40)2+40→a=-1/40，解析式為y=-1/40(x-40)2+40；（2）賽道與軌跡的距離d=|-1/40(x-40)2+40+x-20|/√2，化簡(jiǎn)后求導(dǎo)得最小值點(diǎn)x=20，d=10√2米。（二）開(kāi)放創(chuàng)新題（25分）“數(shù)字敦煌”項(xiàng)目需將壁畫(huà)中的幾何圖案轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)數(shù)據(jù)?，F(xiàn)有一幅唐代藻井圖案，由中心一個(gè)正十二邊形和周圍12個(gè)全等的等腰三角形組成。（1）若正十二邊形的外接圓半徑為10cm，求其邊長(zhǎng)；（2）請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種用坐標(biāo)變換（平移、旋轉(zhuǎn)、縮放）生成該圖案的算法，并寫(xiě)出關(guān)鍵步驟。解答：（1）正十二邊形中心角為30°，邊長(zhǎng)=2×10×sin15°=5(√6-√2)cm；（2）①以原點(diǎn)為中心繪制正十二邊形，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(10cos30°k,10sin30°k)（k=0,1,...,11）；②將每個(gè)頂點(diǎn)與中心連線延長(zhǎng)至20cm，形成三角形頂點(diǎn)；③通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換復(fù)制12個(gè)三角形。（三）跨學(xué)科探究題（20分）墨西哥瑪雅文明的“奇琴伊察天文臺(tái)”建筑中，太陽(yáng)金字塔的臺(tái)階數(shù)與歷法相關(guān)：底座為正方形，每面有91級(jí)臺(tái)階，共4面，加上頂層平臺(tái)共365級(jí)，象征一年天數(shù)。（1）若金字塔底座邊長(zhǎng)為55米，高為30米，求側(cè)面的坡度（高與水平距離的比）；（2）結(jié)合數(shù)學(xué)史，說(shuō)明古文明中“幾何測(cè)量”與“宗教歷法”的關(guān)系，并舉例另一個(gè)文明的類似案例。解答：（1）側(cè)面水平距離=55/2=27.5米，坡度=30/27.5=12/11；（2）關(guān)系：幾何測(cè)量服務(wù)于歷法制定與建筑祭祀，如古埃及金字塔的正南方向偏差小于0.05°，用于確定太陽(yáng)歷節(jié)氣。四、附加題（共20分）“碳中和”主題公共藝術(shù)裝置設(shè)計(jì)：用1000個(gè)全等的正三棱柱模塊搭建“碳分子結(jié)構(gòu)”模型，每個(gè)模塊棱長(zhǎng)為1米，表面積為_(kāi)_____平方米；若模塊材料密度為2kg/m3，總質(zhì)量為_(kāi)_____噸。（注：正三棱柱表面積=2×底面積+側(cè)面積）答案：每個(gè)模塊表面積=2×(√3/4)+3×1×1=3+√3/2≈3.866平方米，體積=√3/4×1≈0.433m3，總質(zhì)量=1000×0.433×2=866kg=0.866噸。五、評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明知識(shí)應(yīng)用（40%）：側(cè)重?cái)?shù)學(xué)概念在藝術(shù)場(chǎng)景中的準(zhǔn)確遷移；創(chuàng)新思維（30%）：鼓勵(lì)用多元方法解決問(wèn)題，如算法設(shè)計(jì)、模型構(gòu)建；文化理解（20%）：考察對(duì)數(shù)學(xué)史與藝術(shù)史交叉內(nèi)容的掌握；表達(dá)規(guī)范（10%）：要求公式推導(dǎo)清晰，坐標(biāo)標(biāo)注準(zhǔn)確，邏輯連貫。（全卷共計(jì)200分，考試時(shí)間120分鐘）注：本試卷嚴(yán)格遵循《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，融合國(guó)際公共藝術(shù)