2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)基本國(guó)際監(jiān)管創(chuàng)新組織競(jìng)賽試卷一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）若正整數(shù)(a,b)滿足(a^2+b^2=2025)，且(a<b)，則(b-a)的值為（）A.9B.15C.21D.27在平面直角坐標(biāo)系中，直線(y=kx+b)與拋物線(y=x^2-4x+5)相切于點(diǎn)((2,1))，則(k+b)的值為（）A.-1B.0C.1D.2已知(\triangleABC)中，(\angleC=90^\circ)，(AC=6)，(BC=8)，點(diǎn)(D)為(AB)的中點(diǎn)，以(D)為圓心作圓與(AC)相切，則圓的半徑為（）A.(\frac{12}{5})B.(\frac{16}{5})C.3D.4若關(guān)于(x)的方程(x^2-(m+2)x+m^2-1=0)有兩個(gè)不相等的正根，則(m)的取值范圍是（）A.(1<m<3)B.(m>1)C.(m>3)D.(-1<m<3)如圖，在菱形(ABCD)中，(\angleBAD=60^\circ)，(AB=4)，點(diǎn)(E,F)分別在(BC,CD)上，且(BE=CF=1)，則(\triangleAEF)的面積為（）A.(3\sqrt{3})B.(4\sqrt{3})C.(5\sqrt{3})D.(6\sqrt{3})計(jì)算(\frac{2025^3-2025}{2024\times2026})的結(jié)果為（）A.2023B.2024C.2025D.2026若(a=\sqrt{5}+\sqrt{3})，(b=\sqrt{5}-\sqrt{3})，則(a^4+b^4)的值為（）A.64B.68C.72D.76一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球和1個(gè)黑球，從中隨機(jī)摸出2個(gè)球，兩球顏色不同的概率為（）A.(\frac{1}{5})B.(\frac{2}{5})C.(\frac{3}{5})D.(\frac{4}{5})已知(\log_2x+\log_4y=3)，則(x^2y)的最小值為（）A.16B.32C.64D.128在三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，側(cè)棱垂直于底面，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，則三棱柱的外接球表面積為（）A.(8\pi)B.(12\pi)C.(16\pi)D.(20\pi)二、填空題（共6題，每題5分，共30分）分解因式：(x^3-6x^2+9x-4=)__________。若(a+b=5)，(ab=3)，則(\frac{a}+\frac{a}=)__________。已知點(diǎn)(A(1,2))，(B(3,4))，點(diǎn)(P)在直線(y=x)上，且(PA+PB)最小，則點(diǎn)(P)的坐標(biāo)為_(kāi)_________。一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比外角和的3倍多(180^\circ)，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為_(kāi)_________。若關(guān)于(x)的不等式組(\begin{cases}x-a>0\3-2x>-1\end{cases})有且只有3個(gè)整數(shù)解，則(a)的取值范圍是__________。如圖，在半徑為5的(\odotO)中，弦(AB\perpCD)于點(diǎn)(E)，若(AE=2)，(BE=6)，則(CE+DE=)__________。三、解答題（共5題，共70分）（12分）計(jì)算：(\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}+(\pi-2025)^0-|\sqrt{3}-2|+2\sin60^\circ)（14分）如圖，在(\triangleABC)中，(AB=AC)，以(AB)為直徑的(\odotO)交(BC)于點(diǎn)(D)，交(AC)于點(diǎn)(E)，過(guò)點(diǎn)(D)作(DF\perpAC)于點(diǎn)(F)。（1）求證：(DF)是(\odotO)的切線；（2）若(AB=10)，(\angleBAC=60^\circ)，求(EF)的長(zhǎng)。（14分）某商場(chǎng)銷(xiāo)售一種進(jìn)價(jià)為20元/件的商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷(xiāo)售量(y)（件）與銷(xiāo)售單價(jià)(x)（元）滿足關(guān)系(y=-10x+500)（(20\leqx\leq50)）。（1）設(shè)商場(chǎng)每天銷(xiāo)售該商品的利潤(rùn)為(w)元，求(w)與(x)的函數(shù)關(guān)系式；（2）若商場(chǎng)每天的利潤(rùn)不低于2000元，求銷(xiāo)售單價(jià)(x)的取值范圍；（3）為響應(yīng)“促銷(xiāo)惠民”政策，商場(chǎng)決定每銷(xiāo)售1件商品捐贈(zèng)(a)元（(a>0)）給慈善機(jī)構(gòu)，若此時(shí)商場(chǎng)每天的最大利潤(rùn)為1800元，求(a)的值。（15分）已知二次函數(shù)(y=ax^2+bx+c)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(A(-1,0))，(B(3,0))，(C(0,3))。（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)(P(m,n))是拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)(P)在第一象限，過(guò)點(diǎn)(P)作(PD\perpx)軸于點(diǎn)(D)，交直線(BC)于點(diǎn)(E)，若(PE=2ED)，求(m)的值；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)(Q)是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，求(\trianglePQC)周長(zhǎng)的最小值。（15分）在四邊形(ABCD)中，(AD\parallelBC)，(AB=CD=5)，(AD=3)，(BC=9)，點(diǎn)(P)從點(diǎn)(A)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿(AD\toDC)向點(diǎn)(C)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)(Q)從點(diǎn)(C)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿(CB\toBA)向點(diǎn)(A)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(t)秒（(0\leqt\leq5)）。（1）當(dāng)(t=2)時(shí)，求線段(PQ)的長(zhǎng)度；（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻(t)，使得(PQ\parallelAB)？若存在，求出(t)的值；若不存在，說(shuō)明理由；（3）設(shè)(\triangleAPQ)的面積為(S)，求(S)關(guān)于(t)的函數(shù)關(guān)系式，并求出(S)的最大值。四、附加題（共2題，每題10分，共20分，不計(jì)入總分，供學(xué)有余力的學(xué)生選做）已知(a,b,c)為正實(shí)數(shù)，且(a+b+c=1)，求證：(\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}\geq9)。在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(A(0,2))，(B(2,0))，(C(2,2))，點(diǎn)(P)為線段(BC)上一動(dòng)點(diǎn)，以(P)為圓心，1為半徑作圓，若圓(P)與線段(OA)有公共點(diǎn)，求點(diǎn)(P)橫坐標(biāo)的取值范圍。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題C2.A3.A4.A5.B6.C7.D8.D9.C10.B二、填空題((x-1)^2(x-4))12.(\frac{19}{3})13.((2,2))14.915.(-2\leqa<-1)16.8三、解答題解：原式(=4+1-(2-\sqrt{3})+2\times\frac{\sqrt{3}}{2})(=5-2+\sqrt{3}+\sqrt{3})(=3+2\sqrt{3})（1）證明：連接(OD)，(AD)。∵(AB)為直徑，∴(\angleADB=90^\circ)?！?AB=AC)，∴(D)為(BC)中點(diǎn)?！?O)為(AB)中點(diǎn)，∴(OD\parallelAC)?！?DF\perpAC)，∴(OD\perpDF)，故(DF)是切線。（2）解：由(AB=10)，(\angleBAC=60^\circ)，得(AC=10)，(CD=5)。∵(\angleC=60^\circ)，(DF\perpAC)，∴(CF=\frac{5}{2})，(AF=AC-CF=\frac{15}{2})。連接(BE)，則(BE\perpAC)，(AE=AB\cos60^\circ=5)，∴(EF=AF-AE=\frac{15}{2}-5=\frac{5}{2})。（1）解：(w=(x-20)(-10x+500)=-10x^2+700x-10000)。（2）令(w\geq2000)，即(-10x^2+700x-10000\geq2000)，解得(30\leqx\leq40)。（3）(w=(x-20-a)(-10x+500)=-10x^2+(700+10a)x-500(20+a))，對(duì)稱軸(x=35+\frac{a}{2})?！?a>0)，∴(x=35+\frac{a}{2}>35)。當(dāng)(x=35+\frac{a}{2})時(shí)，(w_{\text{max}}=1800)，解得(a=2)（(a=-72)舍去）。（1）設(shè)(y=a(x+1)(x-3))，代入(C(0,3))，得(a=-1)，∴(y=-x^2+2x+3)。（2）直線(BC)：(y=-x+3)。設(shè)(P(m,-m^2+2m+3))，則(E(m,-m+3))，(PE=-m^2+3m)，(ED=-m+3)。由(PE=2ED)，得(-m^2+3m=2(-m+3))，解得(m=2)（(m=3)舍去）。（3）對(duì)稱軸(x=1)，點(diǎn)(C)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為(C'(2,3))，則(PQ+QC=PQ+QC'\geqPC')，(PC'=\sqrt{(2-2)^2+(3-3)^2}=0)（此處修正：(P(2,3))，(C'(2,3))，故(PC'=0)，(\trianglePQC)周長(zhǎng)最小值為(PC=2)）。（1）作(AE\perpBC)于(E)，則(BE=3)，(AE=4)。當(dāng)(t=2)時(shí)，(P)在(AD)上，(AP=2)；(Q)在(CB)上，(CQ=4)，(BQ=5)。過(guò)(P)作(PF\perpBC)于(F)，則(PF=4)，(FQ=9-2-4=3)，∴(PQ=\sqrt{3^2+4^2}=5)。（2）存在。當(dāng)(t\in[3,5])時(shí)，(P)在(DC)上，(PD=t-3)，(PC=8-t)；(Q)在(BA)上，(BQ=2t-9)，(AQ=14-2t)。由(PQ\parallelAB)，得(\frac{PC}{DC}=\frac{QC}{BC})，解得(t=\frac{24}{7})。（3）當(dāng)(0\leqt