2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)基本國際全息藝術(shù)創(chuàng)新組織競賽素養(yǎng)試卷一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）在全息投影技術(shù)中，某等腰三角形的腰長為5cm，底邊長為6cm，若將其通過3D建模軟件放大2倍后，新三角形的面積為（）A.12cm2B.24cm2C.48cm2D.96cm2國際藝術(shù)展上，某裝置藝術(shù)由100個大小相同的球體組成，每個球體的表面積為12πcm2，若將這些球體熔鑄成一個大球體，則大球體的半徑為（）A.5cmB.10cmC.15cmD.20cm在虛擬現(xiàn)實(shí)場景設(shè)計中，某矩形區(qū)域的長和寬滿足黃金分割比例（約為1:0.618），若矩形的周長為52cm，則該矩形的面積為（）A.128cm2B.144cm2C.169cm2D.192cm2某創(chuàng)新團(tuán)隊設(shè)計的分形藝術(shù)作品中，第1個圖形有3個基本單元，第2個圖形在每個基本單元周圍增加4個新單元，第3個圖形在每個新增單元周圍再增加4個單元，按此規(guī)律，第n個圖形的基本單元總數(shù)為（）A.4n-1B.3×4??1C.4?-1D.3×(4?-1)/3在全息影像坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,3,4)繞z軸旋轉(zhuǎn)90°后得到點(diǎn)A'，則A'的坐標(biāo)為（）A.(-3,2,4)B.(3,-2,4)C.(-2,-3,4)D.(3,2,-4)某數(shù)字藝術(shù)作品的分辨率為3840×2160像素，每個像素由RGB三原色組成，每個顏色通道占用8位，若該作品每秒播放30幀，則1分鐘的視頻文件大小約為（）A.4.5GBB.8.2GBC.12.6GBD.16.4GB在3D打印技術(shù)中，某圓錐體模型的底面半徑為4cm，高為3cm，若采用1:2的縮放比例打印，且打印材料密度為1.2g/cm3，則打印后的模型質(zhì)量為（）A.10.05gB.20.11gC.40.21gD.80.42g某國際數(shù)學(xué)藝術(shù)展的參觀路線呈正六邊形，每個頂點(diǎn)處設(shè)有不同主題的展區(qū)，若參觀者從任意頂點(diǎn)出發(fā)，不重復(fù)地參觀所有展區(qū)，則不同的參觀路線有（）A.120種B.720種C.60種D.360種在全息投影的光柵設(shè)計中，某正弦函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(0,1)和(π/2,0)，且最小正周期為π，則該函數(shù)的解析式為（）A.y=sin(2x+π/2)B.y=sin(2x+π/6)C.y=2sin(x+π/3)D.y=sin(2x+π/3)某創(chuàng)新競賽中，評委對作品的評分包括創(chuàng)意性（40%）、技術(shù)性（30%）、藝術(shù)性（20%）和團(tuán)隊協(xié)作（10%）四個維度，某團(tuán)隊的得分分別為92分、88分、95分和85分，則該團(tuán)隊的綜合得分為（）A.90.2分B.90.8分C.91.2分D.91.8分二、填空題（共5題，每題6分，共30分）在立體藝術(shù)設(shè)計中，某正四面體的棱長為a，其內(nèi)切球與外接球的體積之比為________。某全息廣告屏的顯示比例為16:9，若其對角線長度為100英寸（1英寸≈2.54cm），則該屏幕的實(shí)際面積約為________平方米（保留兩位小數(shù)）。分形幾何中的科赫雪花圖案，其周長隨迭代次數(shù)的增加而無限增大，而面積趨于一個固定值。若初始正三角形的邊長為1，則經(jīng)過3次迭代后，雪花圖案的面積為________。在虛擬現(xiàn)實(shí)游戲開發(fā)中，某物體的運(yùn)動軌跡滿足函數(shù)s(t)=t3-6t2+9t+2（單位：米），則該物體在t=2秒時的加速度為________m/s2。某國際數(shù)學(xué)藝術(shù)創(chuàng)新大賽共有來自12個國家的36支隊伍參賽，若采用單循環(huán)賽制（每兩隊之間比賽一場），則共需安排________場比賽。三、解答題（共5題，共70分）（12分）某全息藝術(shù)裝置由兩個相同的正四棱錐底面相接而成（如圖所示），已知每個棱錐的底面邊長為4cm，側(cè)棱長為5cm。（1）求該裝置的高度；（2）若在裝置表面進(jìn)行全息投影，求投影面積（不考慮重疊部分）。（14分）數(shù)字藝術(shù)工作室設(shè)計的動態(tài)分形作品滿足以下規(guī)律：第1階段：一個面積為1的正方形；第2階段：將每個正方形等分為9個小正方形，保留四角和中心的5個小正方形；第3階段：對每個保留的小正方形重復(fù)上述操作。（1）求第n階段的圖形中所有小正方形的總面積；（2）求前n階段圖形中所有被保留的小正方形的總個數(shù)；（3）若該分形過程無限進(jìn)行下去，求最終圖形的面積。（14分）在3D建模坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)和原點(diǎn)O構(gòu)成一個正四面體。（1）求該正四面體的體積；（2）求平面ABC的方程；（3）求點(diǎn)O到平面ABC的距離。（15分）某創(chuàng)新團(tuán)隊設(shè)計的"數(shù)學(xué)藝術(shù)長廊"由一系列全息投影裝置組成，每個裝置的運(yùn)行成本C（單位：元/天）與投影分辨率x（單位：像素/英寸）的關(guān)系為C(x)=0.002x2+3x+500，而參觀人數(shù)N與分辨率的關(guān)系為N(x)=1000+50x（單位：人/天）。（1）若門票價格為20元/人，求該裝置的日利潤函數(shù)P(x)；（2）求使日利潤最大的最佳分辨率；（3）若考慮設(shè)備維護(hù)成本，當(dāng)分辨率超過2000像素/英寸時，需額外支付維護(hù)費(fèi)2000元/天，求此時的最大日利潤。（15分）國際全息藝術(shù)創(chuàng)新競賽中，某團(tuán)隊提交的作品"四維分形之舞"包含以下數(shù)學(xué)模型：在四維空間中，一個超立方體（tesseract）的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足|x|=|y|=|z|=|w|=1，將其投影到三維空間時，某截面方程為x+y+z+w=0（w為第四維坐標(biāo)）。（1）求該超立方體在三維空間的投影圖形的頂點(diǎn)個數(shù)；（2）求投影圖形中棱長為√2的棱的條數(shù)；（3）若將投影圖形的每個面進(jìn)行藝術(shù)化處理，每個三角形面需3小時，每個四邊形面需5小時，求完成所有面處理所需的總時間。四、創(chuàng)新實(shí)踐題（共3題，共80分）（25分）全息藝術(shù)設(shè)計某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組計劃設(shè)計一款基于數(shù)學(xué)原理的全息藝術(shù)作品，要求：（1）利用正多邊形的對稱性，設(shè)計一個至少包含3種不同正多邊形的平面鑲嵌圖案；（2）計算該圖案的對稱群階數(shù)；（3）若將該平面圖案通過中心投影轉(zhuǎn)化為圓錐側(cè)面展開圖，求圓錐的母線與底面所成角的余弦值。（25分）數(shù)字藝術(shù)編程某創(chuàng)新實(shí)驗室開發(fā)的藝術(shù)生成程序中，有如下算法：defart_generator(n):ifn==1:return[[1]]else:prev=art_generator(n-1)size=2**(n-1)new_art=[]foriinrange(size):row=prev[i]+prev[i]new_art.append(row)foriinrange(size):row=[1-xforxinprev[i]]+prev[i]new_art.append(row)returnnew_art（1）寫出art_generator(3)的運(yùn)行結(jié)果；（2）求第n次生成的藝術(shù)作品中"1"的個數(shù)；（3）若將"1"用紅色像素表示，"0"用藍(lán)色像素表示，求第n次生成的作品中紅色區(qū)域的面積占比。（30分）跨學(xué)科綜合應(yīng)用某國際數(shù)學(xué)藝術(shù)展設(shè)置了一個互動裝置：參與者在全息畫板上繪制函數(shù)圖像，系統(tǒng)會自動生成對應(yīng)的藝術(shù)圖案?，F(xiàn)有以下任務(wù)：（1）設(shè)計一個周期為2π，包含正弦和余弦函數(shù)的組合函數(shù)，使其圖像呈現(xiàn)"蝴蝶形"對稱；（2）建立該函數(shù)的參數(shù)方程形式；（3）若將該函數(shù)圖像繞極軸旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的體積；（4）為增強(qiáng)藝術(shù)效果，需在旋轉(zhuǎn)體表面繪制螺旋線，使螺旋線每旋轉(zhuǎn)一周上升的高度為π，求該螺旋線的參數(shù)方程。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（部分）一、選擇題C2.B3.D4.A5.A6.B7.A8.C9.A10.B二、填空題1:812.3.9913.20√3/2714.015.630三、解答題（部分詳解）（1）正四棱錐的高h(yuǎn)=√(側(cè)棱長2-底面對角線一半2)=√(52-(2√2)2)=√17≈4.12cm，裝置總高為2h≈8.24cm（2）每個棱錐的側(cè)面積=4×(4×√(52-22))/2=4×(4×√21)/2=8√21≈37.58cm2，總投影面積≈75.16cm2（1）P(x)=20N(x)-C(x)=20(1000+50x)-(0.002x2+3x+500)=-0.002x2+997x+19500（2）當(dāng)x=-b/(2a)=997/(0.004)=249250像素/英寸（需結(jié)合實(shí)際判斷合理性）（3）此時P(x)=20N(x)-C(x)-2000=-0.002x2+997x+17500，在x=2000時取得最大值1,993,500元命題說明本試卷以"數(shù)學(xué)+藝術(shù)+科技"為核心理念，融合以下特色：全息技術(shù)應(yīng)用：將3D坐標(biāo)、空間幾何等知識與全息投影技術(shù)結(jié)合藝術(shù)形式創(chuàng)新：涵蓋分形幾何、黃金分割、對稱群等數(shù)學(xué)美學(xué)內(nèi)容跨學(xué)科整合：融入計算機(jī)編程、