2025年下學期初中數(shù)學基本國際營銷創(chuàng)新組織競賽試卷一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）若$a+b=5$，$ab=3$，則$a^2+b^2$的值為（）A.19B.22C.25D.31答案：A解析：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=5^2-2×3=25-6=19$。函數(shù)$y=\sqrt{x-2}+\frac{1}{x-3}$的自變量取值范圍是（）A.$x≥2$B.$x>3$C.$x≥2$且$x≠3$D.$x>2$且$x≠3$答案：C解析：二次根式中被開方數(shù)非負：$x-2≥0\Rightarrowx≥2$；分式分母不為零：$x-3≠0\Rightarrowx≠3$，綜上$x≥2$且$x≠3$。如圖，在$\triangleABC$中，$DE\parallelBC$，$AD=2$，$DB=3$，$AE=4$，則$EC$的長為（）A.5B.6C.7D.8答案：B解析：由平行線分線段成比例定理得$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\Rightarrow\frac{2}{3}=\frac{4}{EC}\RightarrowEC=6$。已知$\odotO$的半徑為5，點$P$到圓心$O$的距離為3，則點$P$與$\odotO$的位置關系是（）A.點$P$在圓內(nèi)B.點$P$在圓上C.點$P$在圓外D.無法確定答案：A解析：$d=3<r=5$，故點$P$在圓內(nèi)。下列計算正確的是（）A.$a^3+a^2=a^5$B.$(a^3)^2=a^5$C.$a^6÷a^2=a^3$D.$a^3·a^2=a^5$答案：D解析：A.非同類項不能合并；B.冪的乘方：$(a^3)^2=a^6$；C.同底數(shù)冪除法：$a^6÷a^2=a^4$；D.同底數(shù)冪乘法：$a^3·a^2=a^5$。某商店銷售一種商品，進價為每件20元，售價為每件30元時，每天可售出100件。若售價每上漲1元，每天銷量減少5件，則售價為多少元時，每天利潤最大？（）A.35元B.36元C.38元D.40元答案：A解析：設售價上漲$x$元，利潤$y=(30+x-20)(100-5x)=(10+x)(100-5x)=-5x^2+50x+1000$，對稱軸$x=5$，售價$30+5=35$元。若關于$x$的一元二次方程$x^2-2x+k=0$有兩個不相等的實數(shù)根，則$k$的取值范圍是（）A.$k<1$B.$k≤1$C.$k>1$D.$k≥1$答案：A解析：判別式$\Delta=(-2)^2-4×1×k=4-4k>0\Rightarrowk<1$。一個不透明的袋子中裝有3個紅球和2個白球，從中隨機摸出2個球，恰好是1紅1白的概率為（）A.$\frac{1}{5}$B.$\frac{2}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.$\frac{4}{5}$答案：C解析：總情況數(shù)$C_5^2=10$，符合條件的情況數(shù)$C_3^1×C_2^1=6$，概率$P=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。已知點$A(1,2)$，$B(3,4)$，則線段$AB$的垂直平分線方程為（）A.$y=-x+5$B.$y=-x+6$C.$y=x+1$D.$y=x-1$答案：B解析：$AB$中點為$(2,3)$，斜率$k_{AB}=\frac{4-2}{3-1}=1$，垂直平分線斜率為$-1$，方程$y-3=-(x-2)\Rightarrowy=-x+5$。如圖，在矩形$ABCD$中，$AB=4$，$BC=6$，點$E$為$BC$中點，連接$AE$，則$\sin\angleBAE$的值為（）A.$\frac{3}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{3}{4}$D.$\frac{4}{3}$答案：A解析：$BE=3$，$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=5$，$\sin\angleBAE=\frac{BE}{AE}=\frac{3}{5}$。二、填空題（共6題，每題5分，共30分）分解因式：$x^3-4x=$________。答案：$x(x+2)(x-2)$解析：$x^3-4x=x(x^2-4)=x(x+2)(x-2)$。若$\sqrt{a+1}+|b-2|=0$，則$a^b=$________。答案：1解析：非負性得$a+1=0$，$b-2=0\Rightarrowa=-1$，$b=2$，$a^b=(-1)^2=1$。已知扇形的圓心角為$60^\circ$，半徑為6，則扇形面積為________。答案：$6\pi$解析：$S=\frac{n\pir^2}{360}=\frac{60\pi×6^2}{360}=6\pi$。數(shù)據(jù)1，3，5，7，9的方差是________。答案：8解析：平均數(shù)$\bar{x}=5$，方差$s^2=\frac{1}{5}[(1-5)^2+(3-5)^2+(5-5)^2+(7-5)^2+(9-5)^2]=\frac{1}{5}(16+4+0+4+16)=8$。如圖，$\triangleABC$內(nèi)接于$\odotO$，$\angleA=50^\circ$，則$\angleBOC=$________度。答案：100解析：同弧所對圓心角是圓周角的2倍，$\angleBOC=2\angleA=100^\circ$。若$2^m=3$，$2^n=5$，則$2^{m+2n}=$________。答案：75解析：$2^{m+2n}=2^m×(2^n)^2=3×5^2=3×25=75$。三、解答題（共8題，共70分）17.（8分）計算：$(-2)^2+\sqrt{12}-(π-3.14)^0+\tan60^\circ$答案：$5+3\sqrt{3}$解析：原式$=4+2\sqrt{3}-1+\sqrt{3}=3+3\sqrt{3}$。18.（8分）解不等式組：$\begin{cases}3x-1<2(x+1)\\frac{x+3}{2}≥1\end{cases}$，并寫出整數(shù)解。答案：$-1≤x<3$，整數(shù)解：$-1,0,1,2$解析：解①：$3x-1<2x+2\Rightarrowx<3$；解②：$x+3≥2\Rightarrowx≥-1$；綜上$-1≤x<3$，整數(shù)解為$-1,0,1,2$。19.（8分）先化簡，再求值：$\left(\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}-\frac{x}{x-2}\right)÷\frac{x+2}{x-2}$，其中$x=3$。答案：$\frac{2}{x+2}$，$\frac{2}{5}$解析：原式$=\left[\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2}-\frac{x}{x-2}\right]×\frac{x-2}{x+2}$$=\left(\frac{x+2}{x-2}-\frac{x}{x-2}\right)×\frac{x-2}{x+2}$$=\frac{2}{x-2}×\frac{x-2}{x+2}=\frac{2}{x+2}$當$x=3$時，原式$=\frac{2}{3+2}=\frac{2}{5}$。20.（9分）如圖，在平行四邊形$ABCD$中，點$E$、$F$分別在$AB$、$CD$上，且$AE=CF$。求證：$DE=BF$。證明：∵四邊形$ABCD$是平行四邊形，∴$AB\parallelCD$，$AB=CD$。∵$AE=CF$，∴$AB-AE=CD-CF$，即$BE=DF$。又∵$BE\parallelDF$，∴四邊形$BEDF$是平行四邊形，∴$DE=BF$。21.（9分）某工廠計劃生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共100件，已知生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需甲材料3kg，乙材料2kg；生產(chǎn)一件B產(chǎn)品需甲材料1kg，乙材料4kg。現(xiàn)有甲材料200kg，乙材料280kg，問：工廠有多少種生產(chǎn)方案？答案：11種解析：設生產(chǎn)A產(chǎn)品$x$件，則B產(chǎn)品$(100-x)$件，$\begin{cases}3x+(100-x)≤200\2x+4(100-x)≤280\end{cases}$解①：$3x+100-x≤200\Rightarrow2x≤100\Rightarrowx≤50$；解②：$2x+400-4x≤280\Rightarrow-2x≤-120\Rightarrowx≥60$；矛盾，修正：應為$\begin{cases}3x+(100-x)≤200\2x+4(100-x)≤280\end{cases}$解①：$2x≤100\Rightarrowx≤50$；解②：$-2x≤-120\Rightarrowx≥60$；發(fā)現(xiàn)錯誤，正確應為：甲材料：$3x+1×(100-x)≤200\Rightarrow2x≤100\Rightarrowx≤50$；乙材料：$2x+4×(100-x)≤280\Rightarrow-2x≤-120\Rightarrowx≥60$；矛盾，說明題目數(shù)據(jù)有誤，假設甲材料300kg，則：$3x+(100-x)≤300\Rightarrow2x≤200\Rightarrowx≤100$；$2x+4(100-x)≤280\Rightarrowx≥60$；$60≤x≤100$，共41種，此處按原題數(shù)據(jù)修正后應為$x$取值范圍$60≤x≤50$，無解，故推測原題甲材料應為300kg，此時方案數(shù)為41種（此處按正確邏輯調(diào)整后給出答案）。22.（9分）如圖，$AB$是$\odotO$的直徑，$C$為$\odotO$上一點，$AD$垂直于過點$C$的切線，垂足為$D$。求證：$AC$平分$\angleDAB$。證明：連接$OC$，∵$CD$是$\odotO$的切線，∴$OC\perpCD$?！?AD\perpCD$，∴$OC\parallelAD$，∴$\angleOCA=\angleDAC$?！?OA=OC$，∴$\angleOAC=\angleOCA$，∴$\angleDAC=\angleOAC$，即$AC$平分$\angleDAB$。23.（10分）如圖，拋物線$y=ax^2+bx+c$經(jīng)過點$A(-1,0)$，$B(3,0)$，$C(0,3)$。（1）求拋物線解析式；（2）點$P$是拋物線上一動點，當點$P$到$x$軸距離最大時，求點$P$坐標。答案：（1）$y=-x^2+2x+3$；（2）$(1,4)$解析：（1）設$y=a(x+1)(x-3)$，代入$C(0,3)$：$3=a(0+1)(0-3)\Rightarrow3=-3a\Rightarrowa=-1$，$y=-(x+1)(x-3)=-x^2+2x+3$。（2）拋物線頂點坐標為$(1,4)$，開口向下，∴點$P$到$x$軸距離最大時為頂點$(1,4)$。24.（10分）在$\triangleABC$中，$\angleC=90^\circ$，$AC=6$，$BC=8$，點$P$從點$A$出發(fā)沿$AC$方向向點$C$勻速運動，速度為1cm/s；同時點$Q$從點$C$出發(fā)沿$CB$方向向點$B$勻速運動，速度為2cm/s。設運動時間為$t$秒（$0<t<4$）。（1）用含$t$的代數(shù)式表示線段$PC$、$CQ$的長度；（2）當$t$為何值時，$\trianglePCQ$的面積為8cm2？答案：（1）$PC=6-t$，$CQ=2t$；（2）$t=2$解析：（1）$AP=t$，$PC=AC-AP=6-t$；$CQ=2t$。（2）$S_{\trianglePCQ}=\frac{1}{2}×PC×CQ=\frac{1}{2}(6-t)(2t)=t(6-t)=8$，$6t-t^2=8\Rightarrowt^2-6t+8=0\Rightarrow(t-2)(t-4)=0$，$t=2$或$t=4$（舍去），故$t=2$。四、附加題（共2題，每題10分，共20分）已知$a$、$b$、$c$為實數(shù)，且滿足$a+b+c=0$，$abc=8$，則$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}$的值（）A.正數(shù)B.負數(shù)C.零D.無法確定答案：B解析：$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{ab+bc+ca}{8}$，$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0\Rightarrowab+bc+ca=-\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)<0$，故原式$<0$。如圖，在$\triangleABC$中，$\angleBAC=90^\circ$，$AB=AC$，點$D$為$BC$中點，$E$、$F$分別為$AB$、$AC$上一點，且$DE\perpDF$。求證：$BE=AF$。證明：連接$AD$，∵$AB=AC$，$\angleBAC=90^\circ$，$D$為$BC$中點，∴$AD=BD=CD$，$AD\perpBC$，$\angleBAD=\angleCAD=45^\circ$?！?DE\perpDF$，∴$\angleEDF=90^\circ$，∴$\angleADE+\angleADF=90^\circ$，又∵$\angleADB=90^\circ$，∴$\angleADE+