2.7探索勾股定理（第一課時(shí)）題型一：利用勾股定理直接求解1．（24-25八年級(jí)下·湖北武漢·期末）在中，，，，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了直角三角形角的性質(zhì)以及勾股定理，熟知直角三角形所對(duì)的直角邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．根據(jù)所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，然后根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，在中，，，，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：，故選：A．2．（24-25八年級(jí)下·河北滄州·期末）如圖，在中，，，則的長(zhǎng)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】本題考查了勾股定理．直接根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：∵在中，，，∴，故選：D3．（24-25八年級(jí)下·湖南邵陽(yáng)·期末）如圖，是的角平分線，，則點(diǎn)D到的距離為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本題主要考查了勾股定理，角平分線的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)D作于E，先利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作于E，在中，，由勾股定理得，∵是的角平分線，，，∴，∴D到的距離為3，故選：B．4．（2025·安徽滁州·三模）如圖，在中，，，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，且，連接，E為中點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】此題考查了勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．首先勾股定理求出，，然后利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求解即可．【詳解】∵中，，，∴∵∴∵E為中點(diǎn)∴．故選：B．5．（24-25八年級(jí)下·江西上饒·階段練習(xí)）在中，有兩條邊的長(zhǎng)分別為1，2，則斜邊的長(zhǎng)為（

）A．2或 B．2或 C． D．【答案】A【分析】本題主要考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么．分2是直角邊、2是斜邊兩種情況，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)2是直角邊時(shí)，斜邊，當(dāng)2是斜邊時(shí)，直角邊，∴斜邊長(zhǎng)為2或．故選：A．6．（24-25八年級(jí)下·廣東汕頭·期末）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（

）

A．5 B．10 C． D．【答案】A【分析】本題考查勾股定理，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)．先根據(jù)勾股定理求出，再由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵在中，，，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴．故選：A．7．（24-25八年級(jí)上·四川成都·期中）在中，，，若，則長(zhǎng)度為（）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理、含角的直角三角形、等腰直角三角形，在中，根據(jù)，求出的長(zhǎng)、的長(zhǎng)，在中，由得到，于是得到結(jié)論．【詳解】解：過(guò)A作于D，在中，，則，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故選：C．題型二：利用勾股定理列方程求解1．（24-25七年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期末）如圖，在中，垂直平分交于點(diǎn)D，若的周長(zhǎng)為14，且，則的長(zhǎng)為（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】C【分析】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．設(shè)長(zhǎng)為x，則，根據(jù)垂直平分，得，再由的周長(zhǎng)為14，可得，求出，，由勾股定理，即可解答．【詳解】解：設(shè)長(zhǎng)為x，則，∵垂直平分，∴，∵，∴．即，∴，解得，∴，∵∴．故選C．2．（24-25八年級(jí)下·山西大同·期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理，利用平方根解方程，直角三角形的性質(zhì)．設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列出方程求出x的值，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半作答即可．【詳解】解：在中，，，設(shè)，則，∵，∴，解得：（負(fù)值舍去），，∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴，故選：C．3．（24-25八年級(jí)下·陜西西安·期中）如圖，在中，，是邊上的高線，D為邊上一點(diǎn)，且，若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查了勾股定理、等角對(duì)等邊等知識(shí)．求出，得到，則，設(shè)，根據(jù)即可求出答案．【詳解】解：∵是高，，，∴，∴，∵，∴∴∴∴設(shè)，則，∵∴解得即故選：C.4．（24-25八年級(jí)上·寧夏中衛(wèi)·期中）如圖，在中，，，，按圖中所示方法將沿折疊，使點(diǎn)C落在邊的點(diǎn)．則的面積為（

）A．6 B．12 C．8 D．16【答案】A【分析】本題考查了勾股定理，折疊，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識(shí)點(diǎn)．根據(jù)題意和勾股定理得，根據(jù)折疊的性質(zhì)得，，，即，，設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理得，，即，進(jìn)行計(jì)算得，即可得．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∵將沿折疊，使點(diǎn)C落在邊的點(diǎn)，∴，，，∴，，設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理得，，即，∴，解得，∴的面積為：，故選：A．5．（24-25八年級(jí)下·廣東深圳·期末）如圖，在中，點(diǎn)在邊上且，，連接，將沿進(jìn)行折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，．【答案】【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，延長(zhǎng)至，使得，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則有，由折疊性質(zhì)可知，，，，設(shè)，則，故有，根據(jù)直角三角形性質(zhì)可得，所以，則，從而可得，設(shè)，則，最后通過(guò)勾股定理即可求解，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)至，使得，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵，∴，∵，∴，∴，，由折疊性質(zhì)可知，，∴，，設(shè)，則，∴，∵，∴，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，，由勾股定理得：，∴，整理得：，解得：或（舍去），∴，故答案為：．6．（24-25八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，長(zhǎng)方形中，，，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，則的面積為【答案】6【分析】本題考查折疊問(wèn)題，勾股定理，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到，設(shè)，在中，利用勾股定理求出的值，再利用面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵將長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴，設(shè)，則：，在中，由題意，得：，則：，解得：，∴，∴的面積為；故答案為：6．7．（23-24八年級(jí)下·江蘇無(wú)錫·期末）如圖，在中，，、邊上的中線、相交于點(diǎn)，已知，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了勾股定理，三角形的中線的定義，根據(jù)題意設(shè)，則，在中勾股定理得出，即可求解．【詳解】解：設(shè)，則在中，∴∴在中，∴故答案為：．題型三：勾股定理與無(wú)理數(shù)的綜合1．（24-25八年級(jí)下·湖北襄陽(yáng)·期末）如圖，在中，．以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P所表示的數(shù)是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了勾股定理，數(shù)軸上的無(wú)理數(shù)，先根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)得出答案．【詳解】解：根據(jù)勾股定理，得，即，解得，根據(jù)題意，得，所以點(diǎn)P所表示的數(shù)是，故選：C．2．（24-25八年級(jí)下·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，則的面積為（）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】本題考查了勾股定理和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出的長(zhǎng)．根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再由進(jìn)而求出的長(zhǎng)，最后根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，，，則的面積為；故選：C．3．（24-25八年級(jí)下·云南文山·期末）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)，點(diǎn)分別表示實(shí)數(shù)，2，過(guò)點(diǎn)作．且，連接．若以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，勾股定理，由題意可得，由勾股定理可得，結(jié)合數(shù)軸即可得解，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得：，∴，∵點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，∴點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是，故選：B．4．（24-25八年級(jí)下·廣西欽州·期末）如圖，已知正方形ABCD的面積為3，點(diǎn)A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為．現(xiàn)以點(diǎn)A為圓心，以AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，所得圓和數(shù)軸交于點(diǎn)E（E在A的右側(cè)），則點(diǎn)E表示的數(shù)為（

）A．1.5 B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸及兩點(diǎn)間距離，根據(jù)兩點(diǎn)間距離及點(diǎn)的位置判斷出點(diǎn)所表示的數(shù)是關(guān)鍵．根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)是面積的算術(shù)平方根得，然后根據(jù)勾股定理求出長(zhǎng)，結(jié)合A點(diǎn)所表示的數(shù)及間距離可得點(diǎn)所表示的數(shù)．【詳解】解：∵正方形的面積為，且，∴，∴，∵點(diǎn)A表示的數(shù)是，且點(diǎn)E在點(diǎn)A的右側(cè)，∴點(diǎn)E表示的數(shù)為．故選：D．5．（24-25八年級(jí)下·湖北隨州·期末）如圖所示，，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．【答案】/【分析】本題考查了勾股定理，實(shí)數(shù)的大小比較，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出的長(zhǎng)．求出、，根據(jù)勾股定理求出，即可得出，求出長(zhǎng)即可．【詳解】解：∵，，∴，∴在中，由勾股定理得，∴，∴，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是，故答案為：．6．（24-25八年級(jí)上·寧夏中衛(wèi)·期中）如圖在中，，，以原點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸于點(diǎn)A，則點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是．【答案】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，勾股定理，先根據(jù)勾股定理得出，因?yàn)橐栽c(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸于點(diǎn)A，所以，即可作答．【詳解】解：∵在中，，，∴依題意，∵點(diǎn)A在負(fù)半軸，∴點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是，故答案為：．7．（2025·山西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，，對(duì)角線平分，與相交于點(diǎn)，且．若，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，求出，勾股定理求出，然后證明出，得到，設(shè)，然后根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．∵，∴，∴由勾股定理得∵對(duì)角線平分，∴∵，∴又∵∴設(shè)．由勾股定理得．為的中點(diǎn)，．，即．解得．代入，得．故答案為：．題型四：利用勾股定理求面積1．（24-25八年級(jí)下·山西忻州·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，是邊上的高，則的長(zhǎng)為（

）A．5 B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了勾股定理，等面積法，先根據(jù)勾股定理算出，以及三角形面積公式得，再結(jié)合是邊上的高，則，進(jìn)行計(jì)算，即可作答．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∵是邊上的高，∴解得，故選：B2．（24-25九年級(jí)下·黑龍江綏化·期中）如圖，在中，平分，，，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖所示，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)E，證明出，得到，然后證明出是等邊三角形，得到，，勾股定理求出，然后利用三角形面積公式求解即可．【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)E，∵∴∵平分∴∵∴∴∵∴∴是等邊三角形∴，∴∵∴∴∴的面積．故選：C．3．（24-25八年級(jí)下·遼寧鐵嶺·期中）如圖，在四邊形中，，，且，，則四邊形的面積是（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了勾股定理，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)四邊形的面積三角形的面積+三角形的面積求解即可．【詳解】如圖，連接，又∵，由勾股定理得，，∴四邊形的面積．故選：B．4．（2025·陜西寶雞·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，平分于點(diǎn)，連接，則的面積是．【答案】2.4【分析】此題主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，先由勾股定理求得，根據(jù)三角形的面積公式求出，再證明和全等得，，進(jìn)而得，則，然后根據(jù)得，由此即可得出答案．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：在中，，，，∴，由三角形的面積公式得：，，是的角平分線，，，，在和中，，，，，，，，，故答案為：．5．（2025·四川成都·中考真題）如圖，在中，，，．以點(diǎn)A為圓心，以長(zhǎng)為半徑作??；再以點(diǎn)C為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在上方交于點(diǎn)D，連接，則的長(zhǎng)為．【答案】/【分析】本題考查線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、勾股定理，根據(jù)作圖過(guò)程得到垂直平分是解答的關(guān)鍵．連接，，設(shè)與相交于O，先根據(jù)線段垂直平分線的判定與性質(zhì)得到根據(jù)作圖過(guò)程，，再利用勾股定理求得，然后利用三角形的面積求得即可解答．【詳解】解：連接，，設(shè)與相交于O，根據(jù)作圖過(guò)程，得，，∴垂直平分，則，，∵在中，，，，∴，由得，∴，故答案為：．6．（24-25九年級(jí)下·黑龍江佳木斯·期中）如圖，在中，，D為的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，若，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理和三角形的面積.連接，根據(jù)已知和等腰三角形的性質(zhì)得出和，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．【詳解】解：連接，∵，D為的中點(diǎn)，，∴，，在中，由勾股定理得：，∵，∴，故答案為：．7．（24-25八年級(jí)下·山西運(yùn)城·期中）如圖，中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接．若，且，則線段的長(zhǎng)為．【答案】/【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，作于點(diǎn)E，利用三線合一求出，利用勾股定理求出，利用面解法求出，由勾股定理得，把①代入②即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：作于點(diǎn)E，∵，∴，∴．∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得．故答案為：．題型五：已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求兩點(diǎn)距離1．（24-25七年級(jí)下·廣西玉林·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是（

）A． B． C．2 D．【答案】D【詳解】本題考查了平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式．根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式，利用勾股定理直接計(jì)算即可．【分析】解：點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為：，故選：D．2．（24-25八年級(jí)下·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中有、兩點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)是（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離的計(jì)算，應(yīng)用勾股定理求解即可.【詳解】解：根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，點(diǎn)與點(diǎn)的距離為：；因此，線段的長(zhǎng)度為5，故選：C3．（24-25八年級(jí)下·河北保定·期中）如圖，，，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握這些性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出，然后根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：連接，∵，∴，又，，∴，，∴，∴，故選：B．4．（2025·山東·二模）已知直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，連接原點(diǎn)與頂點(diǎn)，則下列線段中長(zhǎng)度最長(zhǎng)的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了坐標(biāo)系中求兩點(diǎn)距離，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：∵，∴，，∴∴最長(zhǎng)的線段是，故選：D．5．（24-25七年級(jí)下·福建福州·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，當(dāng)線段最短時(shí)，的值為．【答案】4【分析】本題考查兩點(diǎn)間的距離公式：設(shè)有兩點(diǎn)，則這兩點(diǎn)間的距離為．先利用兩點(diǎn)間的距離公式得到，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到時(shí)，的最小值為16，從而得到的最小值．【詳解】解：∵，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，的最小值為16，∴的最小值為，即最小值為4．故答案為：4．6．（2025·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為端點(diǎn)的四條射線，，，分別過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，則（填“>”“=”或“<”）．【答案】＝【分析】連接，判斷和是等腰直角三角形，即可得到．本題考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握掌握所學(xué)的知識(shí)．【詳解】解：連接，如圖∵點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，由勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題，則，，∴△ABC是等腰直角三角形；∵，，∴，∴，∴△ADE是等腰直角三角形；∴；故答案為：=．7．（24-25八年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）設(shè)，是平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，P是線段垂直平分線上的點(diǎn)，如果點(diǎn)P與點(diǎn)的距離等于，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)以及平面直角坐標(biāo)系的兩點(diǎn)間距離，勾股定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先由垂直平分線得出，則，整理得，因?yàn)辄c(diǎn)P與點(diǎn)的距離等于，所以，再解方程，即可作答．【詳解】解：設(shè)，∵P是線段垂直平分線上的點(diǎn)，∴，∵，，即，∴，∵點(diǎn)P與點(diǎn)的距離等于，∴，把代入，，解得則，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，故答案為：．8．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如果在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有點(diǎn)、，點(diǎn)C在y軸上，如果，那么點(diǎn)C的坐標(biāo)是．【答案】【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式，設(shè)，則，根據(jù)列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)，∴，∵，∴，解得：，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是，故答案為：．題型六：判斷能否組成勾股數(shù)1．（24-25八年級(jí)下·湖北孝感·期末）勾股數(shù)，又名畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)，是指能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)．下列各組數(shù)中是勾股數(shù)的是（

）A．0.3，0.4，0.5 B．2，3，5 C． D．5，12，13【答案】D【分析】本題考查了勾股數(shù)，掌握勾股數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)勾股數(shù)的定義：能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)．再逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A．，，，三個(gè)數(shù)均為小數(shù)，不是正整數(shù)，不符合勾股數(shù)定義．B．，不滿足勾股定理．C．，不滿足勾股定理．D．，滿足勾股定理且均為正整數(shù)．故選：D．2．（24-25八年級(jí)下·廣西賀州·期末）下列各組數(shù)構(gòu)成勾股數(shù)的是（

）．A．，， B．1.5，2，2.5 C．6，8，12 D．9，40，41【答案】D【分析】本題主要考查了勾股數(shù)，以及勾股定理，解題關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)組的定義，如果a、b、c為正整數(shù)，且滿足，那么a、b、c叫做一組勾股數(shù)．根據(jù)勾股數(shù)的定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】A、，，均為分?jǐn)?shù)，不符合勾股數(shù)必須為正整數(shù)的要求，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、1.5，2.5為小數(shù)，不符合勾股數(shù)必須為正整數(shù)的要求，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.6，8，12為整數(shù)，但，不滿足勾股定理?xiàng)l件，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.9，40，41為整數(shù)，且，符合勾股數(shù)定義，選項(xiàng)正確；故選：D．3．（24-25八年級(jí)下·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）勾股數(shù)，又名畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)，是指可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．1，2，3 B．4，5，C．7，24，25 D．0.6，0.8，0.9【答案】C【分析】本題主要考查了勾股數(shù)，根據(jù)勾股數(shù)的定義（三個(gè)正整數(shù)且滿足兩數(shù)的平方和等于第三個(gè)數(shù)的平方），逐一驗(yàn)證各選項(xiàng)即可．【詳解】解：A1，2，3：均為正整數(shù)，但最大數(shù)3的平方為9，而，不滿足勾股定理．B．4，5，：不是正整數(shù)，不符合勾股數(shù)必須為整數(shù)的條件．C．7，24，25：均為正整數(shù)．驗(yàn)證平方和：，，滿足勾股定理．D．0.6，0.8，0.9：均為小數(shù)而非正整數(shù)，直接排除．故選：C4．（24-25七年級(jí)下·河南鄭州·期末）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，我國(guó)古代把直角三角形的直角邊中較小者稱為“勾”，另一長(zhǎng)直角邊稱為“股”，把斜邊稱為“弦”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25…，這類(lèi)勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1，柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類(lèi)勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…，若此類(lèi)勾股數(shù)的勾為10，則其弦是（

）A．25 B．26 C．27 D．28【答案】B【分析】此題主要考查了勾股數(shù)的定義，數(shù)字類(lèi)的規(guī)律問(wèn)題，得出規(guī)律是解題關(guān)鍵．根據(jù)規(guī)律可得，如果a，b，c是符合同樣規(guī)律的一組勾股數(shù)，（m為偶數(shù)且），根據(jù)所給的二組數(shù)找規(guī)律可得結(jié)論．【詳解】根據(jù)規(guī)律可得，如果a，b，c是符合同樣規(guī)律的一組勾股數(shù)，（m為偶數(shù)且），則另一條直角邊，弦．則弦為，故選：B．5．（24-25八年級(jí)下·重慶南川·期末）下列四組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了勾股數(shù)，根據(jù)勾股數(shù)的定義，可以進(jìn)行判斷，解題的關(guān)鍵是要用到勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理：已知的三邊滿足，則是直角三角形．【詳解】解：、，故這是一組勾股數(shù)，不符合題意；、，故這是一組勾股數(shù)，不符合題意；、，故這是一組勾股數(shù)，不符合題意；、，故這不是一組勾股數(shù)，符合題意；故選：．6．（24-25八年級(jí)下·湖北恩施·期中）觀察下列勾股數(shù)的規(guī)律：第1組：，其中；第2組：，其中；第3組：，其中；第4組：，其中；……則第組勾股數(shù)中，最大的數(shù)（斜邊）是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是勾股數(shù)，根據(jù)所給的每組勾股數(shù)找出各數(shù)與組數(shù)的規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．觀察各組勾股數(shù)的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每組第一個(gè)數(shù)為奇數(shù)，第二個(gè)數(shù)與第一個(gè)數(shù)存在特定關(guān)系，進(jìn)而推導(dǎo)斜邊的表達(dá)式．【詳解】解：第1組到第4組的第一個(gè)數(shù)依次為3，5，7，9，均為奇數(shù)且公差為2，故第組的第一個(gè)數(shù)為．第二個(gè)數(shù)依次為4，12，24，40，可表示為，展開(kāi)后為．∴斜邊為前兩個(gè)數(shù)的平方和的平方根，即：，∴∴∴斜邊，故選：B．7．（24-25七年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期中）以下列各組數(shù)據(jù)是勾股數(shù)，以它們?yōu)檫呴L(zhǎng)作三角形能作成直角三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了勾股數(shù)，根據(jù)勾股數(shù)的定義，需滿足三個(gè)正整數(shù)且能構(gòu)成直角三角形．對(duì)各選項(xiàng)逐一驗(yàn)證是否滿足勾股定理及是否為整數(shù)．【詳解】A．，滿足勾股定理，且均為正整數(shù)，是勾股數(shù)，故符合題意；B．，雖滿足勾股定理，但含小數(shù)，不符合勾股數(shù)必須為正整數(shù)的要求，不符合題意；C．，不滿足勾股定理，故錯(cuò)誤，不符合題意；D．，不滿足勾股定理，且非正整數(shù)，故錯(cuò)誤，不符合題意．綜上，只有選項(xiàng)A符合條件．故選A．8．（24-25八年級(jí)下·廣西貴港·期中）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（

）A． B．1，，C．16，12，20 D．8，15，19【答案】C【分析】本題考查了勾股數(shù)，滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方的三個(gè)正整數(shù)是勾股數(shù)，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：顯然選項(xiàng)A、B中的三個(gè)數(shù)非正整數(shù)，不符合題意；∵，且三個(gè)數(shù)都是正整數(shù)，∴它們是勾股數(shù)；∵，∴它們不是勾股數(shù)；故選：C．題型七：以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)圖形的面積1．（24-25八年級(jí)下·河北張家口·期末）如圖，用面積分別為1，4和S的三個(gè)正方形圍成，則S的值為（

）A．5 B．4 C．3 D．1【答案】A【分析】本題考查勾股定理及其應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵；根據(jù)勾股定理，結(jié)合正方形面積與邊長(zhǎng)的關(guān)系求解．【詳解】解：設(shè)面積為、、的正方形的邊長(zhǎng)分別為、、．∴，，．∵是直角三角形，，∴．∵為面積是的正方形的邊長(zhǎng)，為面積是的正方形的邊長(zhǎng)，為面積是的正方形的邊長(zhǎng)，∴；；．∴．故選：A．2．（24-25八年級(jí)下·廣西貴港·期末）如圖，在中，分別以這個(gè)三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外側(cè)作正方形，面積分別記為．若．則圖中陰影部分的面積為（

）A．6 B．5 C． D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用和三角形面積的算法，解決此題的關(guān)鍵是合理的運(yùn)用勾股定理；先根據(jù)勾股定理和已知的式子算出，再根據(jù)同底等高的算法即可得到答案；【詳解】解：在△中，這個(gè)三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外側(cè)作正方形，面積分別記為，，，由勾股定理得：，即，∵，∴，∴陰影部分的面積為，∴陰影部分的面積為，故選C．3．（24-25八年級(jí)下·河南商丘·期末）如圖，這是一株勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．已知最大正方形的面積是16，則圖中陰影正方形的面積之和為（

）A．8 B．16 C．24 D．32【答案】B【分析】本題考查了勾股定理，熟悉掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．利用勾股定理求解即可．【詳解】解：設(shè)陰影部分正方形的邊長(zhǎng)為，，，，白色正方形的邊長(zhǎng)為，如圖所示：∴由勾股定理可得：，，，∴，∴圖中陰影正方形的面積之和為；故選：B．4．（2025·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，以直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)制作正方形紙片，它們的面積分別記為．現(xiàn)將正方形紙片放置在最大的正方形內(nèi)，如圖2，陰影部分面積記為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)陰影部分的面積等于，結(jié)合勾股定理得出，即可求解．【詳解】解：∵以直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)制作正方形紙片，它們的面積分別記為．∴又∵，∴，故選：C．5．（24-25八年級(jí)下·云南昆明·期末）如圖，在中，，分別以為直徑向外作半圓，面積分別為，若，則為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查勾股定理和圓的面積，解題關(guān)鍵是將勾股定理和圓的面積公式進(jìn)行靈活的結(jié)合和應(yīng)用．根據(jù)圓的面積公式及勾股定理得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵在中，，分別以、、為直徑向外作半圓，它們的面積分別記作、、，∴在中，，∴，即，，故選：B．6．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)是5，則正方形的面積和為．【答案】【分析】本題考查勾股定理的幾何背景，結(jié)合圖形，由勾股定理及正方形面積關(guān)系得到，，即可確定答案．?dāng)?shù)形結(jié)合，掌握勾股定理與直角三角形三邊所作正方形面積的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖所示：由勾股定理可知，，，，，，，故答案為：．7．（24-25八年級(jí)下·湖北襄陽(yáng)·期末）如圖，四邊形、、、、都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、的面積依次為，，，則正方形的邊長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題主要考查了勾股定理，算術(shù)平方根，由題意可知：，，代入計(jì)算正方形的面積，然后利用算術(shù)平方根即可求解，熟練勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可知：，，∵正方形、、的面積依次為，，，∴，∴正方形的邊長(zhǎng)為，故答案為：．8．（24-25八年級(jí)下·四川廣元·期中）“勾股樹(shù)”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過(guò)程所畫(huà)出來(lái)的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹(shù)而得名．假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹(shù)、第二代勾股樹(shù)、第三代勾股樹(shù)，按照勾股樹(shù)的作圖原理作圖，如果第一個(gè)正方形面積為1，則第2025代勾股樹(shù)中所有正方形的面積為．【答案】2026【分析】本題主要考查勾股定理，由題目條件和所畫(huà)出來(lái)的圖形正確找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．分別計(jì)算出第一，第二，第三代勾股樹(shù)中所有正方形的面積，得出第代勾股樹(shù)中所有正方形的面積為進(jìn)行分析計(jì)算．【詳解】解：由題意可知，第一代勾股樹(shù)中所有正方形的面積為；第二代勾股樹(shù)中所有正方形的面積為；第三代勾股樹(shù)中所有正方形的面積為……，則第代勾股樹(shù)中所有正方形的面積為，∴第2025代勾股樹(shù)中所有正方形的面積為．故答案為：2026．9．（24-25七年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期中）如圖所示的是由5個(gè)正方形和5個(gè)等腰直角三角形組成的圖形，已知③號(hào)正方形的面積是1，那么①號(hào)正方形的面積是．【答案】16【分析】本題考查勾股定理定理，根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)相等，等腰直角三角形的直角邊相等，結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，可知，③號(hào)正方形的邊長(zhǎng)為1，由勾股定理，得：4號(hào)正方形的面積為：，②號(hào)正方形的面積為：，5號(hào)正方形的面積為：，①號(hào)正方形的面積為：；故答案為：16．10．（24-25八年級(jí)下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）如圖，在中，，，分別以為直徑作半圓，面積分別記為，則．【答案】【分析】本題主要查了勾股定理．根據(jù)勾股定理可得，再由，即可求解．【詳解】解：在中，，，∴，∴．故答案為：題型八：勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題1．（24-25八年級(jí)下·山東聊城·期中）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為，的三邊，，中無(wú)理數(shù)是（

）A． B． C． D．，【答案】A【分析】本題考查了勾股定理、無(wú)理數(shù)，在網(wǎng)格圖中作線段，根據(jù)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為，可得：，，，，利用勾股定理求出，，由網(wǎng)格圖可知，根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義可知無(wú)理數(shù)是．【詳解】解：如下圖所示，在網(wǎng)格圖中作線段，則，，，，在中，，在中，，，，，的三邊，，中無(wú)理數(shù)是．故選：A．2．（24-25八年級(jí)下·安徽合肥·期中）如圖，圖中小正方形的邊長(zhǎng)為1，的三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，則其三邊的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了勾股定理，無(wú)理數(shù)的大小比較．根據(jù)勾股定理分別求出三邊的大小，再比較，即可．【詳解】解：，∵，∴．故選：A3．（24-25八年級(jí)下·廣東東莞·期中）在如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為，，，三點(diǎn)均在正方形格點(diǎn)上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．點(diǎn)到直線的距離是【答案】C【分析】本題主要考查了勾股定理以及逆定理的運(yùn)用，在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么．根據(jù)勾股定理以及其逆定理和三角形的面積公式逐項(xiàng)分析即可得到問(wèn)題答案．【詳解】解：A、，故本選不符合題意；B、∵，，∴，∴是直角三角形，∴，故本選不符合題意；C、，故本選符合題意；D、點(diǎn)A到直線的距離，故本選不符合題意；故選：C．4．（24-25八年級(jí)下·陜西西安·期中）如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以A為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交最上方的網(wǎng)格線于點(diǎn)D，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查勾股定理，求出的長(zhǎng)是解答的關(guān)鍵．如圖，連接，利用勾股定理求得即可求解．【詳解】解：如圖，連接，則，∵，，∴在中，由勾股定理得：，∴，故選：B．5．（24-25八年級(jí)下·河北邢臺(tái)·期中）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)，，均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題、勾股定理的逆定理、三角形的面積，利用勾股定理求線段長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理求出、、，利用勾股定理的逆定理推出，再利用割補(bǔ)法求出，結(jié)合選項(xiàng)即可得出答案．【詳解】解：，，，，，．結(jié)合選項(xiàng)可得，A、B、C選項(xiàng)結(jié)論正確，D選項(xiàng)結(jié)論不正確．故選：D．6．（24-25八年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期中）如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為，點(diǎn)都在格點(diǎn)上，于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理，三角形的面積，由勾股定理得，進(jìn)而利用三角形的面積解答即可求解，正確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由勾股定理得，，∵，∴，∴，故選：．7．（24-25八年級(jí)下·陜西安康·期中）如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為，、、在小正方形的格點(diǎn)上，連接，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，判斷是等腰直角三角形是解決本題的關(guān)鍵，注意在格點(diǎn)三角形中利用勾股定理．在格點(diǎn)三角形中，根據(jù)勾股定理即可得到，，的長(zhǎng)度，繼而可得出的度數(shù)．【詳解】解：根據(jù)勾股定理可得：，，，即，是等腰直角三角形．．故選：A．8．（24-25八年級(jí)下·山西大同·期中）如圖，在邊長(zhǎng)均為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)O，A，C都在格點(diǎn)上，以點(diǎn)O為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交網(wǎng)格線于點(diǎn)B，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B．` C． D．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．首先得到，根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而求解即可．【詳解】如圖所示，由題意得，∴∴．故選：A．題型九：勾股定理中折疊問(wèn)題1．（24-25八年級(jí)下·云南文山·期末）如圖，在中，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，將沿翻折得到，若點(diǎn)在邊上，，，則的長(zhǎng)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本題考查了勾股定理，圖形的翻折變換，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．先在中由勾股定理求出，再利用翻折的性質(zhì)求出，再求的長(zhǎng)．【詳解】在中，，，，，由翻折的性質(zhì)知，，．故選：B．2．（2025·吉林長(zhǎng)春·二模）如圖，在中，，，．點(diǎn)E、F分別是邊、上的點(diǎn)，連結(jié)，將沿翻折，使得點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，則的長(zhǎng)為（）

A． B． C．3 D．2【答案】A【分析】本題考查了勾股定理與翻折問(wèn)題，熟練掌握勾股定理和翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理和翻折的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，由翻折的性質(zhì)得，，設(shè)，則，在中，，，解得：，．故選：A．3．（24-25八年級(jí)下·內(nèi)蒙古通遼·期中）有一塊直角三角形紙片，如圖所示，兩直角邊，，現(xiàn)將直角邊沿直線折疊，使它落在斜邊上，且與重合，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考勾股定理與折疊問(wèn)題，勾股定理求出的長(zhǎng)，折疊，得到，設(shè)，在中，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，∵折疊，∴，∴，，設(shè)，則，由勾股定理，得：，解得：；∴；故選：D．4．（24-25八年級(jí)下·四川瀘州·期中）已知直角三角形紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別是，，現(xiàn)將按如圖所示那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為，則的長(zhǎng)是（

）A．3 B． C．4 D．【答案】B【分析】本題主要考查了勾股定理與折疊問(wèn)題，先由勾股定理得到，再由折疊的性質(zhì)得到，設(shè)，則，由勾股定理可得，解方程可得，再利用勾股定理即可求出答案．【詳解】解：∵在中，，，，∴，由折疊的性質(zhì)可得，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴，故選：B．5．（24-25七年級(jí)下·湖北荊州·期中）如圖，將長(zhǎng)方形紙按如圖所示的方式折疊，若設(shè)長(zhǎng)方形紙的寬為，則長(zhǎng)方形紙的面積為（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理．由最后一個(gè)圖可知即為長(zhǎng)方形紙的長(zhǎng)，由折疊的性質(zhì)知，由勾股定理得，計(jì)算即可．【詳解】如圖，由最后一個(gè)圖可知即為長(zhǎng)方形紙的長(zhǎng)，由折疊可知，∴∴長(zhǎng)方形紙的面積為，故選：A．6．（24-25八年級(jí)下·安徽合肥·期中）如圖，在中，，將它的銳角A翻折，使得點(diǎn)A落在邊的中點(diǎn)D處，折痕交邊于點(diǎn)E，交邊于點(diǎn)F，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理，由題意得出，由折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，則，再由勾股定理計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：點(diǎn)D為的中點(diǎn)，，由折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，則，由勾股定理得，，解得：，，故選：D．7．（24-25七年級(jí)下·湖北荊門(mén)·期末）按國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，A系列紙為長(zhǎng)方形．將紙按如圖所示的方式進(jìn)行兩次折疊，第一次折疊折痕為，點(diǎn)B落在線段上的點(diǎn)處，第二次折疊折痕為，點(diǎn)E與點(diǎn)D恰好重合．則．【答案】【分析】本題考查矩形的折疊問(wèn)題，勾股定理，第一次折疊后得到正方形，第二次折疊，得出，由此可解．【詳解】解：由題意可知：第一次折疊，形成一個(gè)正方形，即四邊形為正方形，，第二次折疊，得出，，故答案為：．8．（24-25八年級(jí)下·湖南永州·期中）如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊，．現(xiàn)將直角邊沿直線折疊，使它落在斜邊上，且與重合，則的長(zhǎng)等于．【答案】3【分析】本題考查了勾股定理與折疊，根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)求得，的長(zhǎng)，從而利用勾股定理可求得的長(zhǎng)．【詳解】解∶∵，，，∴，∵折疊，∴，，，∴，，∴，即，解得，故答案為：3．題型十：以弦圖為背景的勾股定理1．（24-25八年級(jí)下·浙江紹興·期末）如圖，四個(gè)全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，其中四邊形與四邊形都是正方形，若，則小正方形與大正方形的邊長(zhǎng)之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，推出，設(shè)，則，得到，求出，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意得，，，∵，，設(shè)，則，．故選：B．2．（24-25八年級(jí)下·河南商丘·期末）將四個(gè)圖1中的直角三角形拼成圖2中的弦圖，若，，則圖2中陰影部分的面積為（

）

A．11 B．12 C．9 D．10【答案】C【分析】本題考查了求陰影部分的面積，如圖可知，正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積等于陰影部分的面積．【詳解】解：，故選：C．3．（24-25八年級(jí)下·湖北鄂州·期末）“趙爽弦圖”巧妙利用面積關(guān)系證明了勾股定理．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為m，．若小正方形面積為5，，則大正方形面積為（

）A．8 B．13 C．15 D．15.5【答案】B【分析】本題考查了勾股定理，完全平方公式在幾何圖形中得到應(yīng)用，熟練掌握勾股定理和完全平方公式是解題關(guān)鍵．設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為m，，則大正方形的面積為，由小正方形的面積可得，再結(jié)合，利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征求出的值，即可得解．【詳解】解：設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為m，．大正方形的邊長(zhǎng)直角三角形的斜邊長(zhǎng)，大正方形的面積為，小正方形面積為5，，，，，，即大正方形面積為，故選：B．4．（24-25八年級(jí)下·湖北武漢·期中）某數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)完勾股定理后，類(lèi)比“趙爽弦圖”將八個(gè)全等的直角三角形拼接構(gòu)造成如圖所示的弦圖，圖中正方形，正方形，正方形的面積分別記為，，．若，則的長(zhǎng)是（

）A． B．4 C．5 D．【答案】C【分析】本題考查勾股定理，正方形面積的計(jì)算，整式的運(yùn)算等，利用勾股定理結(jié)合正方形的面積公式以及面積關(guān)系列出等式，即可求解．掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)的長(zhǎng)直角邊為，短直角邊為，斜邊長(zhǎng)為，則：，由題意，得：，，，，，，即，，故選：C．5．（24-25八年級(jí)下·江西上饒·期末）第14屆數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME－14）會(huì)標(biāo)如圖1所示，會(huì)標(biāo)中心圖案來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”．如圖2所示的“弦圖”是由4個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的大正方形，若，，則大正方形的面積為．【答案】34【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用．設(shè)，則，再由，得到，求得，推出，，由勾股定理求得，據(jù)此計(jì)算即可得解．【詳解】解：由題意得，，設(shè)，則，∵，∴，解得，∴，，∵為直角三角形，∴，∴大正方形的面積為34，故答案為：34．6．（2025·山西呂梁·三模）如圖1，這個(gè)圖案是我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．此圖案的示意圖如圖2，其中四邊形和四邊形都是正方形，，，，是四個(gè)全等的直角三角形．若，則的長(zhǎng)為．

【答案】5【分析】本題考查了勾股定理，根據(jù)正方形，全等三角形的性質(zhì)得到，，在中由勾股定理即可求解．【詳解】解：∵四邊形和四邊形都是正方形，，，，是四個(gè)全等的直角三角形，∴，，∴，在中，，故答案為：5．7．（24-25八年級(jí)下·江西贛州·期末）如圖，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的大正方形．若，，則正方形的面積為．【答案】4【分析】本題主要考查了勾股弦圖、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．運(yùn)用勾股定理，進(jìn)而得到，最后求小正方形的面積即可．【詳解】解：∵，，∴，由題意得，∴，∴中間小正方形的面積為．故答案為：4．8．（24-25八年級(jí)下·湖北襄陽(yáng)·期末）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽用“弦圖”證明了勾股定理．如圖是宛宛同學(xué)把四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若直角三角形較短的直角邊，斜邊，則小正方形的邊長(zhǎng)為．【答案】7【分析】本題考查了勾股定理的證明、勾股定理、正方形的面積，根據(jù)題意和勾股定理，可以求得直角三角形的另一條直角邊，再根據(jù)小正方形的面積大正方形的面積四個(gè)直角三角形的面積，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【詳解】解：∵直角三角形較短的直角邊，斜邊，∴另一條直角邊為，∵小正方形的面積大正方形的面積四個(gè)直角三角形的面積，∴小正方形的面積為：，∴小正方形的邊長(zhǎng)為7，故答案為：7．題型十一：勾股定理綜合應(yīng)用1．（24-25七年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）如圖，在中，邊的垂直平分線分別交、邊于點(diǎn)和點(diǎn)，且．(1)連接，求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】該題考查了垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，結(jié)合得出即可證明；（2）設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理列方程求解即可．【詳解】（1）證明：邊的垂直平分線為，∴，，在中，，；（2）解：設(shè)，則，在中，，即，解得：，即．2．（24-25八年級(jí)下·河北張家口·期末）如圖，在中，，點(diǎn)D在邊上，，．(1)猜想的度數(shù)，并說(shuō)明理由；(2)若，求的面積．【答案】(1)；理由見(jiàn)解析(2)68【分析】本題考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)定理并應(yīng)用為解題關(guān)鍵．（1）利用股定理逆定理得到，從而求出結(jié)果；（2）利用勾股定理求出的長(zhǎng)，利用求出的長(zhǎng)，最后求三角形面積即可．【詳解】（1）解：，理由如下：，，，，，；（2）在中，由勾股定理得，，．3．（24-25八年級(jí)下·陜西渭南·期末）如圖，在中，，點(diǎn)、分別為、上的點(diǎn)，連接、．(1)若，平分，，，求的長(zhǎng)度；(2)若，垂直平分，連接，求證：是等邊三角形．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定．（1）先證明得，，，再由勾股定理求出，設(shè)，則，在中，，可得關(guān)于x的方程，解方程即可；（2）根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)是的垂直平分線，可得，即可證明是等邊三角形．【詳解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，，∴，在中，，，，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得，即；（2）證明：在中，，，∴，，∵是的垂直平分線，∴，∴，∴是等邊三角形．4．（24-25八年級(jí)下·新疆吐魯番·期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)D是外一點(diǎn)，連接，，且，．(1)求證：；(2)求四邊形面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)36【分析】本題考查勾股定理及其逆定理，四邊形的面積，掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．（1）先由勾股定理求出，進(jìn)而根據(jù)勾股定理的逆定理證明是直角三角形，即可得證；（2）根據(jù)四邊形的面積等于與的面積之和即可求解．【詳解】（1）解：∵在中，，，，∴．∵，，∴，∴是直角三角形，．（2）解：∵是直角三角形，且，∴；∵在中，，∴．∴．5．（24-25八年級(jí)下·湖北黃石·期中）如圖所示，已知一塊三角形的花園，測(cè)量發(fā)現(xiàn)，，是腰上一點(diǎn)，且，．(1)求證：；(2)求三角形花園的面積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】此題主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．（1）首先根據(jù)長(zhǎng)可利用勾股定理逆定理證明，進(jìn)而得到；（2）設(shè)，則，再利用勾股定理可得，解方程可得x的值，即可求出的長(zhǎng)，進(jìn)而得到長(zhǎng)，然后即可算出面積．【詳解】（1）解：∵∴，∴，∴是直角三角形，且，∴；（2）解：設(shè)，則，∵，∴，∴，解得：，即的長(zhǎng)為，∴，∴三角形花園的面積為．6．（24-25八年級(jí)下·陜西西安·期末）如圖，在四邊形中，，，，，連接．求四邊形的面積．【答案】【分析】本題考查的是勾股定理，四邊形的面積以及勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)，，滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．直接根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，在中，由勾股定理的逆定理即可判斷三角形的形狀，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可求解．【詳解】解：，，，，（負(fù)值已舍）；在中，，，，，，，是直角三角形，且，四邊形的面積．6．（24-25八年級(jí)下·河北保定·階段練習(xí)）根據(jù)以下信息，判斷三角形的形狀．(1)三角形的三邊長(zhǎng)，，滿足，判斷此三角形的形狀．(2)如圖，在中，于點(diǎn)，，，，判斷的形狀．【答案】(1)等腰三角形(2)直角三角形【分析】本題考查了等腰三角形的定義、因式分解的應(yīng)用、勾股定理與勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理與勾股定理的逆定理是解題關(guān)鍵．（1）先利用因式分解可得，再根據(jù)可得，由此即可得；（2）先利用勾股定理可得，，則可得，再利用勾股定理的逆定理即可得．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∵是三角形的三邊長(zhǎng)，∴，∴，∴，即，∴此三角形是等腰三角形．（2）解：∵，，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴是直角三角形．7．（24-25八年級(jí)下·廣西欽州·期末）實(shí)踐與操作：如圖，在中，．(1)作的垂直平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)E（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；(2)連接，若，時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)5【分析】本題考查作圖-基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理．（1）根據(jù)垂直平分線的作圖步驟作出圖形即可；（2）在中，利用勾股定理求得，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)P為所作；；（2）解：∵，，在中，，∵的垂直平分線，∴．8．（2025·四川南充·三模）如圖，在中，高與高交于點(diǎn)，．(1)求證：；(2)若，，求和的長(zhǎng)度．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)．【分析】本題考查了垂直的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握垂直的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．（1）由垂直得到，進(jìn)而得到，證明，即可得到；（2）根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)等面積法計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：，，．，．．在和中，．；（2）解：在中，，，．9．（2025八年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，與均為等邊三角形，，，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．(1)求的度數(shù)；(2)求證：．【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，，證明，求出，進(jìn)而得出答案；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理得出，求出．得出，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】（1）解：與均為等邊三角形，，，，，，，，；（2）證明：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)設(shè)，則，，∴，，，，．，，，．題型十二：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用之梯子滑落問(wèn)題1．（24-25八年級(jí)下·河北邢臺(tái)·期中）如圖，一架施工云梯靠在墻（垂直于地面）上，云梯底端A到墻根的距離為7米，云梯頂端到地面的距離為24米，在云梯中點(diǎn)處有一個(gè)操作平臺(tái)，連接，現(xiàn)將云梯的底端A向外移動(dòng)到處，則的長(zhǎng)將（

）A．小于12.5米 B．大于12.5米 C．等于12.5米 D．大于等于12.5米【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用．熟練掌握勾股定理，直角三角形斜邊中線性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．先利用勾股定理求出，梯子移動(dòng)過(guò)程中長(zhǎng)短不變，所以，由M是的中點(diǎn)，所以中，．【詳解】解：∵在中，，∴，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∵，M是的中點(diǎn)，∴中，．故選：C．2．（24-25八年級(jí)下·河南開(kāi)封·期末）如圖，一架長(zhǎng)的梯子斜靠在一豎直的墻上，梯子底端B到墻底部O的距離為，如果將梯子頂端A沿墻下滑到C處，梯子底端B將外移的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了勾股定理的利用，根據(jù)題意可知：，，，，先利用勾股定理求出，進(jìn)而得出，再利用勾股定理得出，最后根據(jù)求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意可知：，，，，在中，，∴，在中，，∴，故選：A3．（24-25八年級(jí)下·江西贛州·期末）一只小貓爬樓梯，樓梯斜靠在墻上，樓梯底部距離墻角米（即），由于樓梯滑動(dòng)，底部滑動(dòng)了米（即），樓梯的高度為米（即），則樓梯下滑了米．（即求的長(zhǎng)）．【答案】【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理分別求得的長(zhǎng)，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：在中，，在中，∴米故答案為：．4．（24-25八年級(jí)下·河北唐山·期中）如圖所示的兩個(gè)滑塊，（可分別看成一個(gè)點(diǎn)）由一個(gè)連桿連接，分別可以在豎直和水平的滑道上滑動(dòng)，開(kāi)始時(shí)，滑塊與點(diǎn)的距離為，滑塊與點(diǎn)的距離為．當(dāng)滑塊向下滑到點(diǎn)時(shí)，滑塊向右滑動(dòng)了．【答案】【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理求出桿的長(zhǎng)度．根據(jù)勾股定理求出桿的長(zhǎng)度，然后減去B距離O的距離即可得出答案．【詳解】解：由題意得，即．當(dāng)滑塊向下滑到點(diǎn)時(shí)，滑塊距點(diǎn)的距離是，故滑塊滑動(dòng)了．故答案為：5．（24-25八年級(jí)下·貴州安順·期末）如圖1，某地一樓房發(fā)生火災(zāi)，消防隊(duì)員決定用消防車(chē)上的云梯救人．如圖2，云梯最多能伸長(zhǎng)到（即），消防車(chē)高，救人時(shí)云梯伸長(zhǎng)至最長(zhǎng)，在完成從（即）高的處救人后，還要從（即）高的處救人，這時(shí)消防車(chē)從處向著火的樓房靠近的距離為多少米？（延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，點(diǎn)在上，的長(zhǎng)即為消防車(chē)的高）【答案】消防車(chē)從處向著火的樓房靠近的距離為13米．【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．在中，根據(jù)勾股定理得到和，于是得到結(jié)論．【詳解】解：在中，，，，，在中，，，，，．答：消防車(chē)從處向著火的樓房靠近的距離為13米．6．（24-25八年級(jí)下·重慶合川·期末）如圖，一架消防梯的長(zhǎng)為25米，斜靠在豎直的墻面上，消防梯底端A距墻面的水平距離為7米．(1)求消防梯頂端B離地面的豎直高度為多少米？(2)若消防梯頂端B沿墻面豎直向下滑動(dòng)了4米，試求其底端A在水平方向滑動(dòng)了多少米？【答案】(1)米(2)米【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）由題意得，米，米，，據(jù)此利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可得到答案；（2）由題意得，米，米，據(jù)此利用勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得，米，米，，∴米，答：消防梯頂端B離地面的豎直高度為米；（2）解：由題意得，米，米，∴米，∴米，答：底端A在水平方向滑動(dòng)了米．題型十三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用之旗桿高度問(wèn)題1．（24-25八年級(jí)下·安徽滁州·期末）如圖，一高層住宅發(fā)生火災(zāi)，消防車(chē)立即趕到距住宅8米處（米），升起云梯到火災(zāi)窗口．已知云梯的長(zhǎng)為17米，云梯底部距地面的高米，則發(fā)生火災(zāi)的住戶窗口距離地面的高為（

）A．19.5米 B．17.5米 C．15米 D．16.5米【答案】D【分析】本題考查利用勾股定理解實(shí)際問(wèn)題，在中，由勾股定理求出，由求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，結(jié)合題意，米，米，米，在中，，則由勾股定理可得（米），米，故選：D．2．（24-25八年級(jí)下·湖北孝感·期中）學(xué)完勾股定理之后，同學(xué)們想利用升旗的繩子、卷尺，測(cè)算出學(xué)校旗桿的高度．愛(ài)動(dòng)腦筋的小明這樣設(shè)計(jì)了一個(gè)方案：將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個(gè)結(jié)，然后將繩子拉到離旗桿底端5米處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距離打結(jié)處約1米．則小明算出旗桿的高度為（

）A．10米 B．12米 C．13米 D．15米【答案】B【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程，再求解．設(shè)旗桿長(zhǎng)為x米，則繩長(zhǎng)為米，根據(jù)勾股定理即可列方程求解．【詳解】解：設(shè)旗桿長(zhǎng)為x米，則繩長(zhǎng)為米，則由勾股定理可得：，解得，答：旗桿的高度為12米．故選：B．3．（24-25八年級(jí)下·湖北黃岡·期末）某數(shù)學(xué)興趣小組在校園內(nèi)開(kāi)展綜合與實(shí)踐活動(dòng)，記錄如下：活動(dòng)項(xiàng)目測(cè)量風(fēng)箏放飛的垂直高度測(cè)量示意圖測(cè)量數(shù)據(jù)記錄長(zhǎng)度①測(cè)得水平距離的長(zhǎng)為15米．②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線的長(zhǎng)為17米．③小明牽線放風(fēng)箏的手到地面的垂直距離為1.8米．解決問(wèn)題任務(wù)一如上圖，求風(fēng)箏離地面的垂直高度．任務(wù)二如果小明想要風(fēng)箏沿方向再上升12米，長(zhǎng)度不變，則他應(yīng)該再放出多少米的線？【答案】任務(wù)一：米，任務(wù)二：8米．【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用．熟練掌握勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（1）由勾股定理得，，根據(jù)，計(jì)算求解即可；（2）風(fēng)箏沿方向再上升12米，則，由勾股定理得，，則他應(yīng)該再放出米線，計(jì)算求解即可．【詳解】解：任務(wù)一：由勾股定理得，，∴（米），∴線段的長(zhǎng)為米．任務(wù)二：風(fēng)箏沿方向再上升12米，則，由勾股定理得，，∵，∴他應(yīng)該再放出8米線．4．（24-25八年級(jí)下·江西贛州·期末）學(xué)過(guò)《勾股定理》后，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組的隊(duì)員們來(lái)到操場(chǎng)上測(cè)量旗桿的高度，通過(guò)測(cè)量得到如下信息：①測(cè)得從旗桿頂端垂直掛下來(lái)的升旗用的繩子比旗桿長(zhǎng)3米（如圖1）；②當(dāng)將繩子拉直時(shí)，測(cè)得此時(shí)拉繩子的手到地面的距離為1米，到旗桿的距離為12米（如圖2）．根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題(1)設(shè)旗桿米，則______米，______米（用含的式子表示）(2)求旗桿的值．【答案】(1)；(2)17米【分析】（1）根據(jù)題意列式表達(dá)即可．（2）設(shè)旗桿的高為x米，則繩子長(zhǎng)為米，利用勾股定理計(jì)算即可．本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得從旗桿頂端垂直掛下來(lái)的升旗用的繩子比旗桿長(zhǎng)3米故繩長(zhǎng)為米；根據(jù)題意，得到四邊形是矩形，得到米，故米，故答案為：；．（2）解：在中，

即

解得：

答：旗桿的值為17米．5．（24-25八年級(jí)下·河北秦皇島·期中）如圖，嘉嘉和小高星期六來(lái)到郊外放風(fēng)箏，為了測(cè)得風(fēng)箏離地面的垂直高度，他們測(cè)量得到下面的數(shù)據(jù)（圖中所有點(diǎn)在同一平面內(nèi)）：①嘉嘉握住風(fēng)箏線的手點(diǎn)到的距離；②假設(shè)風(fēng)箏放飛時(shí)風(fēng)箏線在空中被拉直，牽引風(fēng)箏的線；③嘉嘉握住風(fēng)箏線的手點(diǎn)距離地面的高度．(1)求風(fēng)箏距離地面的高度的長(zhǎng)；(2)嘉嘉想把手中剩余的7m長(zhǎng)的線放完，要想讓風(fēng)箏保持原有的位置，嘉嘉需往后退多少米？【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用：（1）根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)，即可求解；（2）根據(jù)勾股定理求出，由即可求解．【詳解】（1）解：依題意，，∴在中，，，由勾股定理得，∵，∴四邊形為矩形，∴∴∴風(fēng)箏距離地面的高度的長(zhǎng)為（2）如圖，由題意可知：在中，由勾股定理得，（m）∴∴嘉嘉需往后退題型十四：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用之小鳥(niǎo)飛行問(wèn)題1．（24-25八年級(jí)下·云南文山·期中）軒軒同學(xué)在校園里散步時(shí)看到鳥(niǎo)兒飛來(lái)飛去的場(chǎng)景，提出了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：有兩棵樹(shù)，一棵高，另一棵高，兩樹(shù)相距，一只小鳥(niǎo)要從一棵樹(shù)的樹(shù)頂?shù)搅硪豢脴?shù)的樹(shù)頂，至少需要飛（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用最短路線問(wèn)題，利用勾股定理求出兩棵樹(shù)樹(shù)頂之間的距離即可求解，掌握勾股定理是應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，，，，∴，∴小鳥(niǎo)要從一棵樹(shù)的樹(shù)頂?shù)搅硪豢脴?shù)的樹(shù)頂，至少需要飛，故選：．

2．（24-25八年級(jí)下·吉林松原·期中）如圖，庭院中有兩棵樹(shù)，喜鵲要從一棵高的樹(shù)頂飛到一棵高的樹(shù)頂上，兩棵樹(shù)相距，則喜鵲至少要飛．【答案】13【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理，進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意得：，∴．即喜鵲至少要飛．故答案為：133．（24-25八年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）如圖，有兩棵樹(shù)，一顆高6米，另一棵高2米，兩樹(shù)相距5米，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，至少飛了．【答案】【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥(niǎo)沿著兩棵樹(shù)的樹(shù)尖進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出．【詳解】?jī)煽脴?shù)的高度差為米，間距為米，根據(jù)勾股定理可得：小鳥(niǎo)至少飛行的距離．故答案為：．4．（24-25八年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期末）如圖，有兩棵樹(shù)，一棵高米（米），另一棵高米（米），兩樹(shù)相距米（米）．

(1)求一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，至少飛了多少米？(2)如圖，臺(tái)風(fēng)過(guò)后，高米的樹(shù)在點(diǎn)處折斷，大樹(shù)頂部落在點(diǎn)處，則樹(shù)折斷處距離地面多少米？【答案】(1)米(2)米【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知：小鳥(niǎo)沿著兩棵樹(shù)的樹(shù)尖進(jìn)行直線飛行，飛行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出；（2）由勾股定理求出的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】（1）解：兩棵樹(shù)的高度差為（米），兩樹(shù)相距米（米），根據(jù)勾股定理可得：小鳥(niǎo)至少飛行的距離（米），答：至少飛了米；（2）解：由勾股定理得：，，解得：，答：樹(shù)折斷處距離地面米．5．（24-25七年級(jí)上·山東淄博·期中）在“歡樂(lè)周末?非遺市集”活動(dòng)現(xiàn)場(chǎng)，諸多非遺項(xiàng)目集中亮相，讓過(guò)往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明買(mǎi)了一個(gè)年畫(huà)風(fēng)箏，并進(jìn)行了試放，為了解決一些問(wèn)題，他設(shè)計(jì)了如下的方案：先測(cè)得放飛點(diǎn)與風(fēng)箏的水平距離為；根據(jù)手中余線長(zhǎng)度，計(jì)算出的長(zhǎng)度為；牽線放風(fēng)箏的手到地面的距離為．已知點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)．(1)求風(fēng)箏離地面的垂直高度；(2)在余線僅剩的情況下，若想要風(fēng)箏沿射線方向再上升，請(qǐng)問(wèn)能否成功？請(qǐng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)說(shuō)明．【答案】(1)(2)不能成功，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，理解題意，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解答的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，在中，根據(jù)勾股定理即可求解；（2）假設(shè)能上升，作圖，根據(jù)勾股定理可得，再根據(jù)題意，，即可求解．【詳解】（1）解：如圖1所示，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，則，，，在中，，∴；（2）解：不能成功，理由如下：假設(shè)能上升，如圖所示，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，連接，則，∴，在中，，∵，余線僅剩，∴，∴不能上升，即不能成功．6．（24-25八年級(jí)上·陜西寶雞·期中）學(xué)習(xí)了“勾股定理”后，某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)把“測(cè)量風(fēng)箏的垂直高度”作為一項(xiàng)課題活動(dòng)，利用課余時(shí)間完成了實(shí)踐調(diào)查，并形成了如下的活動(dòng)報(bào)告，請(qǐng)根據(jù)活動(dòng)報(bào)告完成下面試題．報(bào)告測(cè)量風(fēng)箏的垂直高度．成員組長(zhǎng)：組員：，，工具皮尺等示意圖方案先測(cè)量水平距離，然后根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度得出風(fēng)箏線長(zhǎng)，最后測(cè)量放風(fēng)箏的同學(xué)的身高．?dāng)?shù)據(jù)米，米，米，．(1)求此時(shí)風(fēng)箏的垂直高度；(2)若站在點(diǎn)A不動(dòng)，想把風(fēng)箏沿方向從點(diǎn)F的位置上升18米至點(diǎn)C的位置（即米，點(diǎn)C、點(diǎn)F、點(diǎn)D在一條直線上，圖中所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)），則還需放出風(fēng)箏線多少米？【答案】(1)13.7米(2)還需放出風(fēng)箏線14米【分析】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．（1）在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)度，由即可求解；（2）由題意得米，根據(jù)米，得到米，在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)度，由即可求解．【詳解】（1）解：由題意得：米，在中，由勾股定理得（米），所以（米）．（2）解：由題意得米，因?yàn)槊?，故米，在中，（米），所以（米），故還需放出風(fēng)箏線14米．題型十五：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用之水杯中解決筷子問(wèn)題1．（24-25八年級(jí)下·河南安陽(yáng)·期末）如圖，一根長(zhǎng)的兒童牙刷置于底面直徑為，高為的圓柱形水杯中，兒童牙刷露在杯子外面的長(zhǎng)度為，則h的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，先根據(jù)勾股定理求出，再得出h的范圍即可．【詳解】解：當(dāng)牙刷垂直放置時(shí)，；當(dāng)牙刷如圖所示放置時(shí)，，且，在中，，∴，∴h的取值范圍為：，故選：D．2．（24-25八年級(jí)下·廣東廣州·期末）將一根的筷子，置于底面直徑為，高的裝滿水的無(wú)蓋圓柱形水杯中，設(shè)筷子在杯子外面的長(zhǎng)度為，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，能夠讀懂題意和求出的值最大值與最小值是解題關(guān)鍵．當(dāng)筷子的底端在點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度最短；當(dāng)筷子的底端在點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度最長(zhǎng)．然后分別利用已知條件根據(jù)勾股定理即可求出的取值范圍．【詳解】解：如圖，當(dāng)筷子的底端在點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度最長(zhǎng)，；當(dāng)筷子的底端在點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度最短，在中，，，，此時(shí)，所以的取值范圍是：．故選：．3．（24-25八年級(jí)下·北京密云·期末）已知兩個(gè)型號(hào)的圓柱型筆筒的底面直徑相同，高度分別是和，．將一支鉛筆按如圖方式先后放入兩個(gè)筆筒，鉛筆露在外面部分的長(zhǎng)分別為和，，則鉛筆的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．由題意可知，兩個(gè)筆筒粗細(xì)相同，底面直徑相等．根據(jù)勾股定理，第一個(gè)筆筒中：直徑平方；第二個(gè)筆筒中：直徑平方；因直徑相等，列方程即可求解．【詳解】解：設(shè)鉛筆長(zhǎng)度為，由題意得，，解得，，故鉛筆的長(zhǎng)為；故選：A．4．（2025·吉林四平·一模）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作．書(shū)中有個(gè)關(guān)于門(mén)和竹竿的問(wèn)題：今有戶不知高、廣，竿不知長(zhǎng)短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問(wèn)戶高幾何？譯文：現(xiàn)有一扇門(mén)，不知道門(mén)的高度和門(mén)的寬度是多少，現(xiàn)有一支竹竿，不知竹竿的長(zhǎng)短是多少．橫著放竹竿比門(mén)寬多出4尺，豎著放竹竿比門(mén)高多出2尺，斜著放恰好與門(mén)的對(duì)角線一樣長(zhǎng)，如圖．設(shè)門(mén)的對(duì)角線長(zhǎng)為尺，可列方程為．【答案】【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．先求出門(mén)高和門(mén)寬，再根據(jù)勾股定理列方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意可知，門(mén)高為尺，門(mén)寬為尺，由勾股定理，得．故答案為：．5．（24-25八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)問(wèn)題：“今有池方一丈，葭（ji?。┥渲校鏊怀撸绺鞍?，適與岸齊．問(wèn)水深幾何？”（丈、尺是長(zhǎng)度單位，丈尺）其大意為：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面尺（即尺）．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面處．問(wèn)水的深度是多少？則水深為尺．【答案】【分析】本題主要考查勾股定理的運(yùn)用，設(shè)水深尺，則尺，尺，根據(jù)勾股定理得到關(guān)于的方程，解方程求出的值即為水深．【詳解】解：設(shè)水深尺，則尺，尺，水池的邊長(zhǎng)為尺，尺，在中，，，解得：水深為尺．故答案為：．6．（24-25八年級(jí)下·云南昆明·期中）《九章算術(shù)》有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何？這道題的意思是：有一個(gè)正方形的池塘，邊長(zhǎng)為10尺，有一棵蘆葦生長(zhǎng)在池塘的正中央，并且蘆葦高出水面部分有1尺，如果把蘆葦拉向岸邊則恰好碰到岸沿，求蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度．【答案】蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為13尺【分析】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．找到題中的直角三角形，設(shè)水深為x尺，根據(jù)勾股定理解答．【詳解】解：設(shè)水深為x尺，則蘆葦長(zhǎng)為尺，根據(jù)勾股定理得：，解得：，蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度（尺），答：蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為13尺．7．（24-25八年級(jí)下·河南信陽(yáng)·期末）如圖在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面的部分為1米，一陣風(fēng)吹來(lái)，紅蓮被吹到一邊，花朵齊及水面（即），已知紅蓮移動(dòng)的水平距離為3米，則湖水深為多少？【答案】米．【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出方程是解題關(guān)鍵．直接利用勾股定理得出，進(jìn)而求出答案．【詳解】解：設(shè)為米，∵在中，，，，∴由勾股定理得：，即，解得：，∴湖水深為米．題型十六：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用之水杯中解決航海問(wèn)題1．（24-25八年級(jí)下·河南駐馬店·期中）一艘輪船位于燈塔的南偏東方向，距離燈塔海里的處，它沿北偏東方向航行海里到達(dá)處，此時(shí)與燈塔的距離為（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】B【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用．先求得，再利用勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作交于，根據(jù)題意得，，海里，海里，，在中，根據(jù)勾股定理得，（海里），故此時(shí)與燈塔的距離為海里．故選：B．2．（24-25八年級(jí)下·山東臨沂·期中）一艘船由A港沿北偏東方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，則A，C兩港之間的距離為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查方位角，勾股定理，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，證明是直角三角形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意畫(huà)出圖形，易證是直角三角形，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意，得，，，，

∵∴∴∴在中，即，兩港之間的距離為．故選：C．3．（24-25八年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，輪船甲從港口O出發(fā)沿北偏西的方向航行6海里，同時(shí)輪船乙從港口O出發(fā)沿南偏西的方向航行8海里，這時(shí)兩輪船相距海里．【答案】10【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是掌握方向角定義．根據(jù)題意可得，，再根據(jù)勾股定理可得的長(zhǎng)，即可得兩輪船的距離．【詳解】解：如圖，

根據(jù)題意可知：，，∴（海里）．∴兩輪船相距10海里．故答案為：10．4．（2025八年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，某港口位于東西方向的海岸線上．“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行海里．它們離開(kāi)港口小時(shí)后相距海里．如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？【答案】西北方向【分析】本題考查了勾股定理的逆定理、方位角等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．根據(jù)路程速度時(shí)間，分別求得、的長(zhǎng)，再進(jìn)一步根據(jù)勾股定理的逆定理可以證明三角形是直角三角形，從而求解．【詳解】解：根據(jù)題意，得（海里），（海里），（海里），，即，．由“遠(yuǎn)航號(hào)”沿東北方向航行可知，，則，即“海天”號(hào)沿西北方向航行．5．（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·期中）禁漁期的規(guī)定對(duì)漁業(yè)資源的保護(hù)起了良好作用．如圖，在一次禁漁期間，漁政部門(mén)發(fā)現(xiàn)一艘漁船正在違規(guī)捕魚(yú)，于是派出甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的、兩地前去勸阻，后同時(shí)到達(dá)處．已知甲巡邏艇每小時(shí)航行120海里，乙巡邏艇每小時(shí)航行50海里，航向?yàn)楸逼鳎?1)求甲巡邏艇的航行方向；(2)成功勸阻后，甲、乙兩艘巡邏艇同時(shí)沿原方向返回且速度不變，后甲、乙兩艘巡邏艇相距多少海里？【答案】(1)甲巡邏艇的航行方向?yàn)楸逼珫|(2)6.5海里【分析】此題主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及運(yùn)用，難度適中．利用勾股定理的逆定理得出為直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）先用路程等于速度乘以時(shí)間計(jì)