2025年大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫(kù)——統(tǒng)計(jì)與決策理論應(yīng)用試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、名詞解釋（每小題3分，共15分）1.參數(shù)估計(jì)2.假設(shè)檢驗(yàn)3.顯著性水平4.方差分析5.貝葉斯決策二、簡(jiǎn)答題（每小題5分，共25分）1.簡(jiǎn)述點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)的區(qū)別與聯(lián)系。2.解釋假設(shè)檢驗(yàn)中第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤的含義，并說(shuō)明它們之間的關(guān)系。3.簡(jiǎn)述單因素方差分析的基本步驟。4.一元線性回歸模型中，回歸系數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義是什么？5.簡(jiǎn)述貝葉斯決策的基本思想及其與古典決策理論的區(qū)別。三、計(jì)算題（每小題10分，共30分）1.某工廠生產(chǎn)一批零件，隨機(jī)抽取50個(gè)零件進(jìn)行檢驗(yàn)，測(cè)得樣本平均壽命為1020小時(shí)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為80小時(shí)。假設(shè)零件壽命服從正態(tài)分布，試以95%的置信水平估計(jì)該批零件平均壽命的區(qū)間。2.某研究者想要檢驗(yàn)一種新教學(xué)方法是否比傳統(tǒng)教學(xué)方法更有效。他隨機(jī)選取100名學(xué)生，其中50人采用新方法，50人采用傳統(tǒng)方法。經(jīng)過(guò)一個(gè)學(xué)期的學(xué)習(xí)，新方法組的平均成績(jī)?yōu)?5分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分；傳統(tǒng)方法組的平均成績(jī)?yōu)?0分，標(biāo)準(zhǔn)差為8分。假設(shè)兩組成績(jī)均服從正態(tài)分布且方差相等，試以顯著性水平α=0.05檢驗(yàn)新教學(xué)方法是否顯著優(yōu)于傳統(tǒng)教學(xué)方法。3.某公司想要分析廣告投入額（X1，單位：萬(wàn)元）和產(chǎn)品銷量（Y，單位：件）之間的關(guān)系。收集了10個(gè)季度的數(shù)據(jù)，得到以下回歸方程：Y?=120+5X1。當(dāng)廣告投入額為15萬(wàn)元時(shí)，求銷量預(yù)測(cè)值的點(diǎn)估計(jì)，并計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)r（假設(shè)已知r=0.9）。四、論述題（15分）已知某企業(yè)面臨一個(gè)決策問(wèn)題：是否投產(chǎn)一種新產(chǎn)品。如果投產(chǎn)，市場(chǎng)可能出現(xiàn)三種情況：暢銷、平淡、滯銷，其概率分別為0.3、0.5、0.2。企業(yè)可以選擇高、中、低三種不同的生產(chǎn)規(guī)模進(jìn)行投產(chǎn)。根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，不同規(guī)模在不同市場(chǎng)情況下的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）如下表所示（表中負(fù)值表示虧損）：||暢銷|平淡|滯銷||-------|--------|--------|--------||高規(guī)模|100|-20|-50||中規(guī)模|80|30|-30||低規(guī)模|60|50|10|企業(yè)決策者確定三種狀態(tài)的效用值如下：暢銷=10，平淡=5，滯銷=0。如果企業(yè)采用期望效用最大化原則進(jìn)行決策，請(qǐng)問(wèn)該企業(yè)應(yīng)選擇何種生產(chǎn)規(guī)模？如果企業(yè)事先能夠獲得關(guān)于市場(chǎng)狀態(tài)的補(bǔ)充信息，請(qǐng)簡(jiǎn)述貝葉斯決策分析在這種情況下如何應(yīng)用。試卷答案一、名詞解釋1.參數(shù)估計(jì)：指利用樣本信息推斷總體參數(shù)的特征和范圍。主要包括點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)兩種形式。2.假設(shè)檢驗(yàn)：指根據(jù)樣本信息判斷關(guān)于總體參數(shù)的某個(gè)假設(shè)是否為真的統(tǒng)計(jì)推斷方法。3.顯著性水平：指在假設(shè)檢驗(yàn)中，犯第一類錯(cuò)誤（即拒絕原假設(shè)時(shí)，原假設(shè)實(shí)際上為真）的概率上限，通常記為α。4.方差分析：指通過(guò)分析不同因素或處理水平的變異對(duì)總體方差的影響，來(lái)判斷這些因素或處理水平是否對(duì)總體產(chǎn)生顯著差異的統(tǒng)計(jì)方法。5.貝葉斯決策：指在不確定環(huán)境下，利用貝葉斯定理更新先驗(yàn)概率，并結(jié)合損失函數(shù)，選擇期望損失最小或期望效用最大的決策方案的一種決策分析理論。二、簡(jiǎn)答題1.點(diǎn)估計(jì)：是用樣本的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量（如樣本均值、樣本方差）來(lái)唯一地估計(jì)總體參數(shù)。優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單明確，缺點(diǎn)是未考慮抽樣誤差，無(wú)法給出估計(jì)的精度范圍。區(qū)間估計(jì)：是在一定的置信水平下，給出一個(gè)區(qū)間，該區(qū)間包含總體參數(shù)真值的可能性有多大。優(yōu)點(diǎn)是能反映估計(jì)的精度，缺點(diǎn)是給出了一個(gè)范圍，而不是一個(gè)具體的數(shù)值。聯(lián)系：點(diǎn)估計(jì)是區(qū)間估計(jì)的基礎(chǔ)，區(qū)間估計(jì)通常以點(diǎn)估計(jì)值為中心構(gòu)建。2.第一類錯(cuò)誤：也稱“棄真錯(cuò)誤”，指在原假設(shè)H0為真的情況下，錯(cuò)誤地拒絕了原假設(shè)H0。第二類錯(cuò)誤：也稱“取偽錯(cuò)誤”，指在原假設(shè)H0為假的情況下，錯(cuò)誤地接受了原假設(shè)H0。關(guān)系：在樣本量固定的情況下，減小犯第一類錯(cuò)誤的概率（α）會(huì)增大犯第二類錯(cuò)誤的概率（β），反之亦然。兩者之間存在一定的權(quán)衡關(guān)系。3.單因素方差分析基本步驟：*提出假設(shè)：提出原假設(shè)H0（各組均值相等）和備擇假設(shè)H1（至少有一組均值不等）。*計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：計(jì)算總平方和（SST）、組間平方和（SSA）、組內(nèi)平方和（SSE），以及相應(yīng)的自由度（dfT,dfA,dfE），計(jì)算組間均方（MSA=SSA/dfA）和組內(nèi)均方（MSE=SSE/dfE）。*進(jìn)行F檢驗(yàn)：計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量F=MSA/MSE。*做出決策：將計(jì)算得到的F值與臨界值（或p值）進(jìn)行比較，若F值大于臨界值（或p值小于α），則拒絕H0，認(rèn)為因素對(duì)結(jié)果有顯著影響；否則，不拒絕H0。4.在一元線性回歸模型Y?=a+bX中，回歸系數(shù)b（斜率）表示自變量X每增加一個(gè)單位時(shí)，因變量Y預(yù)計(jì)平均變化多少個(gè)單位。它反映了X與Y之間的線性關(guān)系強(qiáng)度和方向。5.貝葉斯決策的基本思想是：在決策過(guò)程中，當(dāng)面對(duì)不確定性時(shí)，利用貝葉斯定理根據(jù)新的證據(jù)（樣本信息）更新對(duì)各種自然狀態(tài)發(fā)生概率的先驗(yàn)認(rèn)識(shí)（先驗(yàn)概率），得到后驗(yàn)概率，然后結(jié)合不同決策方案在不同狀態(tài)下的損失或收益（損失函數(shù)或效用函數(shù)），計(jì)算各方案的期望損失或期望效用，最終選擇期望損失最小或期望效用最大的方案。與古典決策理論的區(qū)別：古典決策理論（如期望值準(zhǔn)則）通常基于主觀概率或先驗(yàn)概率進(jìn)行決策，不考慮樣本信息帶來(lái)的更新；而貝葉斯決策理論強(qiáng)調(diào)利用樣本信息通過(guò)貝葉斯定理更新概率，從而做出更優(yōu)的決策。三、計(jì)算題1.解析思路：由于總體標(biāo)準(zhǔn)差未知且樣本量較大（n=50），應(yīng)使用t分布構(gòu)建置信區(qū)間。步驟包括：計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)量（樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差），確定置信水平和自由度，查找t分布臨界值，計(jì)算置信區(qū)間上下限。*點(diǎn)估計(jì)：μ?=1020*標(biāo)準(zhǔn)誤差：SE=s/√n=80/√50≈11.31*自由度：df=n-1=49*α/2=0.05/2=0.025*查t分布表得：t_(0.025,49)≈2.0096*置信區(qū)間：μ?±t_(α/2,df)*SE=1020±2.0096*11.31≈[998.58,1041.42]*結(jié)論：以95%的置信水平估計(jì)該批零件平均壽命的區(qū)間為[998.58小時(shí),1041.42小時(shí)]。2.解析思路：這是一個(gè)兩個(gè)獨(dú)立樣本均值比較的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，且已知總體方差相等但未知。應(yīng)使用兩樣本t檢驗(yàn)（pooledvariance）。步驟包括：提出假設(shè)（H0:μ1=μ2,H1:μ1>μ2），計(jì)算統(tǒng)計(jì)量（合并方差、樣本均值差、標(biāo)準(zhǔn)誤差、t值），確定顯著性水平和自由度，查找t分布臨界值或計(jì)算p值，做出決策。*假設(shè)：H0:μ?=μ?(新方法不優(yōu)于傳統(tǒng)方法);H1:μ?>μ?*樣本統(tǒng)計(jì)量：*Δ?=x??-x??=85-80=5*合并方差估計(jì)：Sp2=[(n?-1)s?2+(n?-1)s?2]/(n?+n?-2)=[(50-1)102+(50-1)82]/(50+50-2)≈88.36*合并標(biāo)準(zhǔn)差：Sp=√88.36≈9.4*標(biāo)準(zhǔn)誤差：SE_Δ?=Sp*√(1/n?+1/n?)=9.4*√(1/50+1/50)=9.4*√0.04=1.88*自由度：df=n?+n?-2=50+50-2=98*α=0.05*查t分布表得：t_(0.05,98)≈1.6604*t統(tǒng)計(jì)量：t=Δ?/SE_Δ?=5/1.88≈2.659*比較或計(jì)算p值：由于是單尾檢驗(yàn)，p值<P(t>2.659)。查表或使用軟件可得p值約為0.004。*決策：t=2.659>t_(0.05,98)=1.6604，或p值≈0.004<α=0.05。因此，拒絕H0。*結(jié)論：在α=0.05的顯著性水平下，有足夠證據(jù)認(rèn)為新教學(xué)方法顯著優(yōu)于傳統(tǒng)教學(xué)方法。3.解析思路：點(diǎn)估計(jì)銷量預(yù)測(cè)值就是將X1=15代入回歸方程計(jì)算Y?。計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)r無(wú)需再進(jìn)行其他復(fù)雜計(jì)算，直接使用題目給出的值即可。*點(diǎn)估計(jì)銷量：Y?=120+5*15=120+75=195件。*樣本相關(guān)系數(shù)：r=0.9。四、論述題解析思路：*第一部分：確定最優(yōu)決策方案（無(wú)補(bǔ)充信息）*計(jì)算各方案的期望利潤(rùn)（EMV）：高規(guī)模EMV=0.3*100+0.5*(-20)+0.2*(-50)=30-10-10=10萬(wàn)元；中規(guī)模EMV=0.3*80+0.5*30+0.2*(-30)=24+15-6=33萬(wàn)元；低規(guī)模EMV=0.3*60+0.5*50+0.2*10=18+25+2=45萬(wàn)元。*比較EMV值，選擇最大者對(duì)應(yīng)的方案。低規(guī)模的期望利潤(rùn)（45萬(wàn)元）最大，因此，如果企業(yè)采用期望效用最大化原則（且效用值與利潤(rùn)成正比），應(yīng)選擇低規(guī)模生產(chǎn)。*第二部分：貝葉斯決策分析的應(yīng)用*貝葉斯決策分析的核心在于利用補(bǔ)充信息（即關(guān)于市場(chǎng)狀態(tài)的補(bǔ)充概率）來(lái)更新先驗(yàn)概率，得到后驗(yàn)概率。*具體步驟：首先，需要獲得關(guān)于市場(chǎng)狀態(tài)（暢銷、平淡、滯銷）的補(bǔ)充概率（條件概率P(狀態(tài)|補(bǔ)充信息)），這通常通過(guò)調(diào)查、專家判斷或歷史數(shù)據(jù)得到。其次，利用貝葉斯定理計(jì)算后驗(yàn)概率P(狀態(tài)|補(bǔ)充信息)。再次，根據(jù)這些后驗(yàn)概率和各方案在不同狀