高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省名校聯(lián)合體2024-2025學年高二上學期期中檢測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量，則的值為（）A. B.14 C. D.4【答案】B【解析】．故選：B.2.點關于平面對稱的點的坐標是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】點關于平面對稱的點的坐標是.故選：B.3.已知圓，圓，則這兩圓的位置關系為（）A.內含 B.相切 C.相交 D.外離【答案】A【解析】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑，則，故，所以兩圓內含；故選：A.4.兩平行直線之間的距離為（）A. B.3 C. D.【答案】A【解析】直線可化為，直線可化為，所以兩平行直線之間的距離為.故選：A.5.已知點，且四邊形是平行四邊形，則點的坐標為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設設點D的坐標為，由題意得，，因為四邊形是平行四邊形，所以，所以，解得，故選：A.6.已知方程表示一個焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為方程表示一個焦點在軸上的橢圓，所以有解得，所以實數(shù)的取值范圍為，故選：B.7.在直三棱柱中，，，，則直線與平面所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為三棱柱是直三棱柱，且，所以以B為原點、AB所在直線為x軸、BC所在直線為y軸、所在直線為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示．因為，所以，故．設為平面的一個法向量，則，令，得．設直線與平面，所成的角為，則，則．故選：D．8.在空間直角坐標系中，已知，則點A到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.向量，若，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】因為，所以，由題意可得，所以，則．故選：BC.10.如圖所示，在棱長為2的正方體中，，分別為棱和的中點，則以為原點，所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，則下列結論正確的是（）A.平面B.C.是平面的一個法向量D.點到平面的距離為【答案】ACD【解析】對于A，由于，分別是的中點，所以平面平面，所以平面，故A正確；對于B，，故，，故與不垂直，進而可得與不垂直，故B錯誤；對于C，由，所以，設平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量，故C正確；對于D，，點到平面的距離為，故D正確.故選：ACD．11.已知橢圓的左、右焦點分別為，點，點是橢圓上的一個動點，則（）A.B.C.當點不在軸上時，從點向軸作垂線，為垂足，則線段的中點的軌跡方程為D.的最大值為【答案】ABC【解析】對于A，由橢圓方程得：F1-1,0，F(xiàn)21,0，，A正確；對于B，，，，B正確；對于C，設，Mx,y，則，，即，，又在橢圓上，，即點軌跡為，C正確；對于D，由橢圓定義知：，，（當且僅當三點共線時取等號，即位于圖中點的位置時取等號），，D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.兩平面的法向量分別為，則兩平面的夾角為__________.【答案】【解析】兩平面的法向量分別為，設兩平面的夾角為，所以，因為，所以，即兩平面的夾角為.13.在空間直角坐標系中，點在平面內，且，為平面內任意一點，則______．【答案】4【解析】由題知，根據可知，是平面的一個法向量，則，所以，整理可得．14.在平面直角坐標系中，軸被圓心為的圓截得的弦長為，直線：與圓相交于，兩點，點在直線上，且，那么圓的方程為________，的取值范圍為_________．【答案】【解析】設圓的標準方程為，因為軸被圓心為的圓截得的弦長為，所以，可得，所以圓方程為；由直線與圓相交，有，解得或．由，，可得直線與直線垂直，有，有，解得，可得，又由或，，或，由反比例函數(shù)的性質可得或，所以的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.求符合下列條件的直線的方程：（1）過點，且斜率為；（2）過點，；（3）過點且在兩坐標軸上的截距相等．解：（1）∵所求直線過點，且斜率為，∴，即；（2）∵所求直線過，，∴，∴，即；（3）當直線過原點時，設直線方程為，∵直線過點，∴，直線方程為，即；當直線不過原點時，設直線方程為，將點代入上式，得，解得，故直線的方程為，綜上，直線方程為或．16.如圖，在直三棱柱中，，點分別為棱的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與直線的夾角的余弦值.（1）證明：因是直三棱柱，則，又因點分別為棱的中點，所以，則四邊形是平行四邊形，所以，又因平面平面，故平面；（2）解：如圖，因直三棱柱中，故可以為原點，以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，不妨設，則，于是，設直線與直線的夾角為，則，故直線與直線的夾角的余弦值為.17.已知圓C過點，，且圓心C直線上．（1）求圓C的標準方程；（2）過點的直線l與圓C相切，求直線l的方程．解：（1）直線AB的斜率為，線段AB的中點坐標為直線AB的垂直平分線的方程為，整理為聯(lián)立方程，解得由圓C的性質可知，圓心C的坐標為，可得圓C的半徑為故圓C的標準方程為（2）①當直線l的斜率不存在時，直線正好與圓C相切，故此時直線l的方程為②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，整理為由直線l與圓C相切，有，解得可得直線l的方程為，整理為故直線l的方程為或．18.已知橢圓C：的短軸長和焦距相等，長軸長是．（1）求橢圓C的標準方程；（2）直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，原點O到直線l的距離為．點M在橢圓C上，且滿足，求直線l的方程．解：（1）設橢圓C的焦距為2c，由題意有，解得，，，故橢圓C的標準方程為；（2）若直線l的斜率不存在，直線l的方程為，此時滿足的點M顯然不在橢圓C上，可得直線l的斜率存在，設直線l的方程為，，，，聯(lián)立方程，消去y后整理為，可得，，由，可得，又由，可得，，將點M的坐標代入橢圓C的方程，有，整理為，又由原點O到直線l的距離為，有，可得，聯(lián)立方程，可得，解得或或或，又由，可得直線l的方程為或或或．19.如圖，在直棱柱中，底面是邊長為2的菱形，，.點是線段上的動點（不含端點）.（1）當時，求的值；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值的取值范圍.解：（1）如圖，取中點，連接，，因，，所以，在菱形中，，為中點，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，所以，因為為中點，所以為中點，即；（2）連接交于點，連接；交于點，因為棱柱為直棱柱，且底面為菱形，所以兩兩垂直，所以為軸，建立空間直角坐標系，易解得，，則，，，，，所以，，，，設，可解得，則，設平面的法向量為，平面的法向量為，則，，取，則，取，則，設平面與平面所成銳二面角為，則.遼寧省名校聯(lián)合體2024-2025學年高二上學期期中檢測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量，則的值為（）A. B.14 C. D.4【答案】B【解析】．故選：B.2.點關于平面對稱的點的坐標是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】點關于平面對稱的點的坐標是.故選：B.3.已知圓，圓，則這兩圓的位置關系為（）A.內含 B.相切 C.相交 D.外離【答案】A【解析】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑，則，故，所以兩圓內含；故選：A.4.兩平行直線之間的距離為（）A. B.3 C. D.【答案】A【解析】直線可化為，直線可化為，所以兩平行直線之間的距離為.故選：A.5.已知點，且四邊形是平行四邊形，則點的坐標為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設設點D的坐標為，由題意得，，因為四邊形是平行四邊形，所以，所以，解得，故選：A.6.已知方程表示一個焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為方程表示一個焦點在軸上的橢圓，所以有解得，所以實數(shù)的取值范圍為，故選：B.7.在直三棱柱中，，，，則直線與平面所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為三棱柱是直三棱柱，且，所以以B為原點、AB所在直線為x軸、BC所在直線為y軸、所在直線為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示．因為，所以，故．設為平面的一個法向量，則，令，得．設直線與平面，所成的角為，則，則．故選：D．8.在空間直角坐標系中，已知，則點A到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.向量，若，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】因為，所以，由題意可得，所以，則．故選：BC.10.如圖所示，在棱長為2的正方體中，，分別為棱和的中點，則以為原點，所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，則下列結論正確的是（）A.平面B.C.是平面的一個法向量D.點到平面的距離為【答案】ACD【解析】對于A，由于，分別是的中點，所以平面平面，所以平面，故A正確；對于B，，故，，故與不垂直，進而可得與不垂直，故B錯誤；對于C，由，所以，設平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量，故C正確；對于D，，點到平面的距離為，故D正確.故選：ACD．11.已知橢圓的左、右焦點分別為，點，點是橢圓上的一個動點，則（）A.B.C.當點不在軸上時，從點向軸作垂線，為垂足，則線段的中點的軌跡方程為D.的最大值為【答案】ABC【解析】對于A，由橢圓方程得：F1-1,0，F(xiàn)21,0，，A正確；對于B，，，，B正確；對于C，設，Mx,y，則，，即，，又在橢圓上，，即點軌跡為，C正確；對于D，由橢圓定義知：，，（當且僅當三點共線時取等號，即位于圖中點的位置時取等號），，D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.兩平面的法向量分別為，則兩平面的夾角為__________.【答案】【解析】兩平面的法向量分別為，設兩平面的夾角為，所以，因為，所以，即兩平面的夾角為.13.在空間直角坐標系中，點在平面內，且，為平面內任意一點，則______．【答案】4【解析】由題知，根據可知，是平面的一個法向量，則，所以，整理可得．14.在平面直角坐標系中，軸被圓心為的圓截得的弦長為，直線：與圓相交于，兩點，點在直線上，且，那么圓的方程為________，的取值范圍為_________．【答案】【解析】設圓的標準方程為，因為軸被圓心為的圓截得的弦長為，所以，可得，所以圓方程為；由直線與圓相交，有，解得或．由，，可得直線與直線垂直，有，有，解得，可得，又由或，，或，由反比例函數(shù)的性質可得或，所以的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.求符合下列條件的直線的方程：（1）過點，且斜率為；（2）過點，；（3）過點且在兩坐標軸上的截距相等．解：（1）∵所求直線過點，且斜率為，∴，即；（2）∵所求直線過，，∴，∴，即；（3）當直線過原點時，設直線方程為，∵直線過點，∴，直線方程為，即；當直線不過原點時，設直線方程為，將點代入上式，得，解得，故直線的方程為，綜上，直線方程為或．16.如圖，在直三棱柱中，，點分別為棱的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與直線的夾角的余弦值.（1）證明：因是直三棱柱，則，又因點分別為棱的中點，所以，則四邊形是平行四邊形，所以，又因平面平面，故平面；（2）解：如圖，因直三棱柱中，故可以為原點，以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，不妨設，則，于是，設直線與直線的夾角為，則，故直線與直線的夾角的余弦值為.17.已知圓C過點，，且圓心C直線上．（1）求圓C的標準方程；（2）過點的直線l與圓C相切，求直線l的方程．解：（1）直線AB的斜率為，線段AB的中點坐標為直線AB的垂直平分線的方程為，整理為聯(lián)立方程，解得由圓C的性質可知，圓心C的坐標為，可得圓C的半徑為故圓C的標準方程為（2）①當直線l的斜率不存在時，直線正好與圓C相切，故此時直線l的方程為②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，整理為由直線l與圓C相切，有，解得可得直線l的方程為，整理為故直線l的方程為或．18.已知橢圓C：的短軸長和焦距相等，長軸長是．（1）求橢圓C的標準方程；（2）直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，原點O到直線l的距離為．點M在橢圓C上，且滿足，求直線l的方程．解：（1）設橢圓C的焦距為2c，由題意有，解得，，，故橢圓C的標準方程為；（2）若直線l的斜率不存在，直線l的方程為，此時滿足的點M顯然不在橢圓C上，可得直線l的斜率存在，設直線l的方程為，，，，聯(lián)立方程，消去y后整理為，可得，，由，可得，又由，可得，，將點M的坐標代入橢圓C的方程，有，整理為，又由原點O到直線l的距離為，有，可得，聯(lián)立方程