高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省八校聯(lián)盟2026屆高三質(zhì)量檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z(2-i)=5，則z=A．5 B．1 C．3 D．25【答案】A【解析】由z(2-i)=5可得z=5故選：A．2．已知集合A=x|x2-2x-8<0，B=x∈A．0,2,3 B．1,2,3C．2,3 D．-1,0,2,3【答案】D【解析】由題得，集合A=x|集合B=x∈所以A∩B=-1,0,2,3故選：D．3．函數(shù)fx=ax2-1xA．(-∞,0] B．-∞,0C．[0,+∞) D．0,+∞【答案】C【解析】fx=ax-1x，求導(dǎo)得則a≥-1x2則a≥0.故選：C．4．已知函數(shù)fx=Asinωx+π6+mA．56 B．65 C．43【答案】B【解析】由題可知5π3是該函數(shù)的周期的整數(shù)倍，即解得ω=65k,k∈Z，又故選：B．5．若5x=3y=10A．y>z>x B．x>y>z C．z>x>y D．y>x>z【答案】D【解析】由5x=3y=10，z=又1<3<5所以y>x>1，因此z=logyx<故選：D．6．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知ccosB=2acosA-bcosC，BC邊上一點(diǎn)D滿(mǎn)足BD=2DC，且AD平分∠BAC.若A．2 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】依題意，ccos由正弦定理得sinC移項(xiàng)可得sinC所以sin(B+C)=2所以sinA=2sinAcosA兩邊同時(shí)除以sinA，可得2cosA=1，即cos由三角形面積公式可得12bcsinπ3=2因?yàn)锽D=2DC，所以又因?yàn)锳D平分∠BAC，根據(jù)角平分線(xiàn)定理得ABAC即cb=2，所以c=2b由①②解得b=2.故選：B.7．P是圓x-a2+y-a22=1上的動(dòng)點(diǎn)，QA．2-1 B．2 C．728【答案】C【解析】由題意得，圓x-a2+y-a2因?yàn)閍,a2到直線(xiàn)y=x-2的距離當(dāng)且僅當(dāng)a=1所以PQ的最小值為d-r=7故選：C．8．如圖，在外接球體積為3π2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是線(xiàn)段DD1上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），過(guò)A，B1A．15 B．14 C．13【答案】B【解析】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為x，則外接球半徑為3x2，所以43在C1D1上取一點(diǎn)F，使得EF//C1由EF//C1D//AB1，可得平面AB1FE為過(guò)VE-AA1由題意知16a2+a+16=7故選：B．二、多選題9．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N10,σ2A．PB．當(dāng)σ=0.1時(shí)，DC．PD．隨機(jī)變量X落在9.9,10.2與落在9.8,10.1的概率相等【答案】ABC【解析】對(duì)于A(yíng)：PX<9.9+PX≤10.1對(duì)于B：當(dāng)σ=0.1時(shí)，D2X+1=4DX對(duì)于C：當(dāng)σ∈0,1時(shí)，σ>σ2，P對(duì)于D：由正態(tài)分布密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，隨機(jī)變量X落在9.9,10.2與落在9.8,10.1的概率相等，故D正確．故選：ABC．10．已知點(diǎn)A(1,2)在雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2A．C的實(shí)軸長(zhǎng)小于2B．C的漸近線(xiàn)方程可能為y=±C．C的離心率大于5D．C的焦距不可能為4【答案】AC【解析】將A(1,2)代入C:x2a對(duì)于A(yíng)：1a2=4b2+1>1，故a2<1對(duì)于B：漸近線(xiàn)方程為y=±bax，若漸近線(xiàn)方程為y=±結(jié)合1a2-4b2=1可得1對(duì)于C：離心率為e=ca=對(duì)于D：若焦距為4，則2c=2a2+b2=2故選：AC11．已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镮=xx≠0，對(duì)于?x∈I，都有fA．fB．函數(shù)f3x的圖象關(guān)于點(diǎn)C．函數(shù)f3x的圖象關(guān)于直線(xiàn)D．2025【答案】ACD【解析】對(duì)于A(yíng)，令x=1，則f1=f3解得f1=3對(duì)于B，由fx+f1所以函數(shù)f3x的圖象關(guān)于點(diǎn)0,3對(duì)于C，由fx=f3所以函數(shù)f3x的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)于D，設(shè)gx=f又gx=f3x=3-f1所以g1+x=3-gx所以f3x=ff1=f32=f故選：ACD．三、填空題12．已知向量a=1,0,b=x,2【答案】-【解析】因?yàn)閍+2b故答案為：-113．從1，2，3，…，19，20中選三個(gè)不同的數(shù)a，b，c，且滿(mǎn)足2a=b+c的數(shù)組（a，b，c）的個(gè)數(shù)為．【答案】180【解析】由2a=b+c，知b，c必須同奇或同偶，若b，c都為奇數(shù)，則有A10若b，c都為偶數(shù)，則有A10由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，滿(mǎn)足題意的數(shù)組共有2A102故答案為：180.14．已知A,B為拋物線(xiàn)y2=4x上兩點(diǎn)，∠AOB=π4,F為焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A在第一象限，且點(diǎn)A的縱坐標(biāo)大于點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，若AF【答案】36,12【解析】設(shè)A(a2,2a)，B(b2,2b)，結(jié)合拋物線(xiàn)定義，AF-1當(dāng)A,B位于x軸的不同側(cè)時(shí)，tan∠AOx=由tan∠AOB=整理可得2b=2a-1所以2a-a24+2a=-32，解得a=6(負(fù)值舍當(dāng)A,B位于x軸同側(cè)時(shí)，2a-a2故答案為：36,12.四、解答題15．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足a1（1）求數(shù)列an（2）若bn=an+1，且數(shù)列bn的前n（1）解：由n2an=Sn兩式左右分別相減得n2an得(n+1)a則anan-1=n-1n+1，an-1將以上n-1個(gè)式子相乘得an上式對(duì)n=1仍成立，所以an（2）證明：bn∴Tn故命題得證．16．如圖，在正四棱錐S-ABCD中，已知SA=AB=2，SO⊥平面ABCD，點(diǎn)O在平面ABCD內(nèi)，點(diǎn)P在棱SD（1）若點(diǎn)P是SD的中點(diǎn)，證明：平面SAD⊥平面PAC；（2）若SP=14（1）證明：由題意可得正四棱錐所有棱長(zhǎng)均為2，而P是SD的中點(diǎn)，所以CP⊥SD,AP⊥SD，又因?yàn)锳P∩CP=P，且AP,CP?平面PAC，所以SD⊥平面PAC，又因?yàn)镾D?平面SAD，所以平面SAD⊥平面PAC．（2）解：如圖，連接OB，易知OB,OC,OS兩兩互相垂直，分別以O(shè)B,OC,OS為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則A0,-1,0,C0,1,0,S0,0,1由SP=14SD，得SP=設(shè)平面PAC的法向量為n→=x,y,z令z=1，則x=3，所以平面PAC的一個(gè)法向量為n→易知平面SAC的一個(gè)法向量為OB=設(shè)二面角S-AC-P的平面角為θ，則cosθ=|故二面角S-AC-P的余弦值為31017．某學(xué)校為提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，要求所有學(xué)生在學(xué)年中完成規(guī)定的學(xué)習(xí)任務(wù)，并獲得相應(yīng)過(guò)程性積分．現(xiàn)從該校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得其科普測(cè)試成績(jī)（百分制，且均為整數(shù)）及相應(yīng)過(guò)程性積分?jǐn)?shù)據(jù)，整理如下表：（1）當(dāng)a=25時(shí)，（i）從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分不少于3分的概率；（ii）從該?？破諟y(cè)試成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，記X為這2名學(xué)生的科普過(guò)程性積分之和，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望EX（2）從該校科普過(guò)程性積分不高于1分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，其科普測(cè)試成績(jī)記為Y1，上述100名學(xué)生科普測(cè)試成績(jī)的平均值記為Y2．若根據(jù)表中信息能推斷Y1解：（1）（i）由表知，科普過(guò)程性積分不少于3分的學(xué)生人數(shù)為10+25=35，則從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分不少于3分的頻率為35100所以從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分不少于3分的概率估計(jì)為0.35．（ii）依題意，從樣本中成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分為3分的頻率為2510+25所以從該校學(xué)生科普測(cè)試成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分為3分的概率估計(jì)為57同理，從該校學(xué)生科普測(cè)試成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分為4分的概率估計(jì)為27X的所有可能值為6，7，8，P(X=6)=57×57所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=6×25（2）由表知，10+a+b+23+2=100，則b=65-a，從該校科普過(guò)程性積分不高于1分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，其科普測(cè)試成績(jī)記為Y1，則Y1的最大值為69，100名學(xué)生科普測(cè)試成績(jī)的平均值記為Y2，要使Y顯然Y2因此(Y則683+a10≥69，解得所以根據(jù)表中信息能推斷Y1≤Y2恒成立的18．如圖，A，B是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個(gè)頂點(diǎn)，AB=5（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)l：x=-2y+m與x，y軸分別交于點(diǎn)M，N，與橢圓相交于C，D.證明：△OCM的面積等于△ODN的面積.（3）在（2）的條件下證明：CM2+（1）解：∵A?B是橢圓x2a2+y2b由Aa,0，B0,b，得又k=b-00-a∴橢圓的方程為x2（2）證明：直線(xiàn)l的方程為x=-2y+m，即y=-12x+消去y，整理得2x設(shè)Cx1,∴x1+x記△OCM的面積是S1，△ODN的面積是S由題意Mm,0，N∵x1∴2y∵S△OCM=∴△OCM的面積等于△ODN的面積；（3）證明：由（2）知，Mm,0，x1+∴CM2=x=5=519．已知函數(shù)fx=ae（1）當(dāng)a=1時(shí)，求fx的圖象在0,f（2）若f'x有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)（3）已知hx=f'x-3x+ln解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，fx=e所以f0=1，則所以fx的圖象在點(diǎn)0,f0處的切線(xiàn)方程為y-1=4x，即（2）由題知，f'因?yàn)閒'所以方程ae化簡(jiǎn)可得方程a=x即可看成直線(xiàn)y=a與曲線(xiàn)gxg'所以當(dāng)x∈-∞,-1或x∈當(dāng)x∈-1,3時(shí)，g所以當(dāng)x=-1時(shí)，gx有極小值為g當(dāng)x=3時(shí)，gx有極大值為g當(dāng)x→+∞時(shí)，gx→0，且當(dāng)x所以作出函數(shù)gx=x所以數(shù)形結(jié)合可知0<a<6e3，即實(shí)數(shù)a（3）由題知，hx=a則h'令h'x=0，得x=1設(shè)φx=x當(dāng)x∈0,1時(shí)，φ'x當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，φ'又當(dāng)x→0時(shí)，φx→0；當(dāng)x→+∞時(shí)，φ所以φx的大致圖象如圖2因?yàn)閔x在定義域內(nèi)有三個(gè)不同的極值點(diǎn)x所以φx與y=a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以0<a<不妨設(shè)x1<x所以a=x1所以hx令pa=a因?yàn)閥=elna在0,1e上單調(diào)遞增，所以y=3e+eln所以3e又1+ln所以p'a>0，所以p因?yàn)閜1所以當(dāng)a∈1e2即當(dāng)a∈1e2所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是1e廣東省八校聯(lián)盟2026屆高三質(zhì)量檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z(2-i)=5，則z=A．5 B．1 C．3 D．25【答案】A【解析】由z(2-i)=5可得z=5故選：A．2．已知集合A=x|x2-2x-8<0，B=x∈A．0,2,3 B．1,2,3C．2,3 D．-1,0,2,3【答案】D【解析】由題得，集合A=x|集合B=x∈所以A∩B=-1,0,2,3故選：D．3．函數(shù)fx=ax2-1xA．(-∞,0] B．-∞,0C．[0,+∞) D．0,+∞【答案】C【解析】fx=ax-1x，求導(dǎo)得則a≥-1x2則a≥0.故選：C．4．已知函數(shù)fx=Asinωx+π6+mA．56 B．65 C．43【答案】B【解析】由題可知5π3是該函數(shù)的周期的整數(shù)倍，即解得ω=65k,k∈Z，又故選：B．5．若5x=3y=10A．y>z>x B．x>y>z C．z>x>y D．y>x>z【答案】D【解析】由5x=3y=10，z=又1<3<5所以y>x>1，因此z=logyx<故選：D．6．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知ccosB=2acosA-bcosC，BC邊上一點(diǎn)D滿(mǎn)足BD=2DC，且AD平分∠BAC.若A．2 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】依題意，ccos由正弦定理得sinC移項(xiàng)可得sinC所以sin(B+C)=2所以sinA=2sinAcosA兩邊同時(shí)除以sinA，可得2cosA=1，即cos由三角形面積公式可得12bcsinπ3=2因?yàn)锽D=2DC，所以又因?yàn)锳D平分∠BAC，根據(jù)角平分線(xiàn)定理得ABAC即cb=2，所以c=2b由①②解得b=2.故選：B.7．P是圓x-a2+y-a22=1上的動(dòng)點(diǎn)，QA．2-1 B．2 C．728【答案】C【解析】由題意得，圓x-a2+y-a2因?yàn)閍,a2到直線(xiàn)y=x-2的距離當(dāng)且僅當(dāng)a=1所以PQ的最小值為d-r=7故選：C．8．如圖，在外接球體積為3π2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是線(xiàn)段DD1上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），過(guò)A，B1A．15 B．14 C．13【答案】B【解析】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為x，則外接球半徑為3x2，所以43在C1D1上取一點(diǎn)F，使得EF//C1由EF//C1D//AB1，可得平面AB1FE為過(guò)VE-AA1由題意知16a2+a+16=7故選：B．二、多選題9．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N10,σ2A．PB．當(dāng)σ=0.1時(shí)，DC．PD．隨機(jī)變量X落在9.9,10.2與落在9.8,10.1的概率相等【答案】ABC【解析】對(duì)于A(yíng)：PX<9.9+PX≤10.1對(duì)于B：當(dāng)σ=0.1時(shí)，D2X+1=4DX對(duì)于C：當(dāng)σ∈0,1時(shí)，σ>σ2，P對(duì)于D：由正態(tài)分布密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，隨機(jī)變量X落在9.9,10.2與落在9.8,10.1的概率相等，故D正確．故選：ABC．10．已知點(diǎn)A(1,2)在雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2A．C的實(shí)軸長(zhǎng)小于2B．C的漸近線(xiàn)方程可能為y=±C．C的離心率大于5D．C的焦距不可能為4【答案】AC【解析】將A(1,2)代入C:x2a對(duì)于A(yíng)：1a2=4b2+1>1，故a2<1對(duì)于B：漸近線(xiàn)方程為y=±bax，若漸近線(xiàn)方程為y=±結(jié)合1a2-4b2=1可得1對(duì)于C：離心率為e=ca=對(duì)于D：若焦距為4，則2c=2a2+b2=2故選：AC11．已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镮=xx≠0，對(duì)于?x∈I，都有fA．fB．函數(shù)f3x的圖象關(guān)于點(diǎn)C．函數(shù)f3x的圖象關(guān)于直線(xiàn)D．2025【答案】ACD【解析】對(duì)于A(yíng)，令x=1，則f1=f3解得f1=3對(duì)于B，由fx+f1所以函數(shù)f3x的圖象關(guān)于點(diǎn)0,3對(duì)于C，由fx=f3所以函數(shù)f3x的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)于D，設(shè)gx=f又gx=f3x=3-f1所以g1+x=3-gx所以f3x=ff1=f32=f故選：ACD．三、填空題12．已知向量a=1,0,b=x,2【答案】-【解析】因?yàn)閍+2b故答案為：-113．從1，2，3，…，19，20中選三個(gè)不同的數(shù)a，b，c，且滿(mǎn)足2a=b+c的數(shù)組（a，b，c）的個(gè)數(shù)為．【答案】180【解析】由2a=b+c，知b，c必須同奇或同偶，若b，c都為奇數(shù)，則有A10若b，c都為偶數(shù)，則有A10由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，滿(mǎn)足題意的數(shù)組共有2A102故答案為：180.14．已知A,B為拋物線(xiàn)y2=4x上兩點(diǎn)，∠AOB=π4,F為焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A在第一象限，且點(diǎn)A的縱坐標(biāo)大于點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，若AF【答案】36,12【解析】設(shè)A(a2,2a)，B(b2,2b)，結(jié)合拋物線(xiàn)定義，AF-1當(dāng)A,B位于x軸的不同側(cè)時(shí)，tan∠AOx=由tan∠AOB=整理可得2b=2a-1所以2a-a24+2a=-32，解得a=6(負(fù)值舍當(dāng)A,B位于x軸同側(cè)時(shí)，2a-a2故答案為：36,12.四、解答題15．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足a1（1）求數(shù)列an（2）若bn=an+1，且數(shù)列bn的前n（1）解：由n2an=Sn兩式左右分別相減得n2an得(n+1)a則anan-1=n-1n+1，an-1將以上n-1個(gè)式子相乘得an上式對(duì)n=1仍成立，所以an（2）證明：bn∴Tn故命題得證．16．如圖，在正四棱錐S-ABCD中，已知SA=AB=2，SO⊥平面ABCD，點(diǎn)O在平面ABCD內(nèi)，點(diǎn)P在棱SD（1）若點(diǎn)P是SD的中點(diǎn)，證明：平面SAD⊥平面PAC；（2）若SP=14（1）證明：由題意可得正四棱錐所有棱長(zhǎng)均為2，而P是SD的中點(diǎn)，所以CP⊥SD,AP⊥SD，又因?yàn)锳P∩CP=P，且AP,CP?平面PAC，所以SD⊥平面PAC，又因?yàn)镾D?平面SAD，所以平面SAD⊥平面PAC．（2）解：如圖，連接OB，易知OB,OC,OS兩兩互相垂直，分別以O(shè)B,OC,OS為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則A0,-1,0,C0,1,0,S0,0,1由SP=14SD，得SP=設(shè)平面PAC的法向量為n→=x,y,z令z=1，則x=3，所以平面PAC的一個(gè)法向量為n→易知平面SAC的一個(gè)法向量為OB=設(shè)二面角S-AC-P的平面角為θ，則cosθ=|故二面角S-AC-P的余弦值為31017．某學(xué)校為提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，要求所有學(xué)生在學(xué)年中完成規(guī)定的學(xué)習(xí)任務(wù)，并獲得相應(yīng)過(guò)程性積分．現(xiàn)從該校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得其科普測(cè)試成績(jī)（百分制，且均為整數(shù)）及相應(yīng)過(guò)程性積分?jǐn)?shù)據(jù)，整理如下表：（1）當(dāng)a=25時(shí)，（i）從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分不少于3分的概率；（ii）從該?？破諟y(cè)試成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，記X為這2名學(xué)生的科普過(guò)程性積分之和，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望EX（2）從該校科普過(guò)程性積分不高于1分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，其科普測(cè)試成績(jī)記為Y1，上述100名學(xué)生科普測(cè)試成績(jī)的平均值記為Y2．若根據(jù)表中信息能推斷Y1解：（1）（i）由表知，科普過(guò)程性積分不少于3分的學(xué)生人數(shù)為10+25=35，則從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分不少于3分的頻率為35100所以從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分不少于3分的概率估計(jì)為0.35．（ii）依題意，從樣本中成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分為3分的頻率為2510+25所以從該校學(xué)生科普測(cè)試成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分為3分的概率估計(jì)為57同理，從該校學(xué)生科普測(cè)試成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分為4分的概率估計(jì)為27X的所有可能值為6，7，8，P(X=6)=57×57所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=6×25（2）由表知，10+a+b+23+2=100，則b=65-a，從該校科普過(guò)程性積分不高于1分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，其科普測(cè)試成績(jī)記為Y1，則Y1的最大值為69，100名學(xué)生科普測(cè)試成績(jī)的平均值記為Y2，要使Y顯然Y2因此(Y則683+a10≥69，解得