第第頁第26講衛(wèi)星變軌問題雙星模型核心考點考點一衛(wèi)星的變軌和對接問題 1考點二雙星或多星模型 8考點三星球“瓦解”問題黑洞問題 15考點一衛(wèi)星的變軌和對接問題基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)1.衛(wèi)星發(fā)射模型人造衛(wèi)星的發(fā)射過程一般要經(jīng)過多次變軌方可到達預定軌道，如圖所示。(1)為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向先發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上，衛(wèi)星在軌道Ⅰ上做勻速圓周運動，有GMmr12＝(2)在A點(近地點)點火加速，由于速度變大，所需向心力變大，GMmr12<mvA2(3)在橢圓軌道B點(遠地點)，GMmr22>mvB2r2，將做近心運動，再次點火加速，使G2.變軌過程中幾個物理量的大小比較(1)速度：設(shè)衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運行時的速率分別v1、v3，在軌道Ⅱ上過A點和B點速率分別為vA、vB，在A點加速，則vA>v1，在B點加速，則v3>vB，又因為v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。(2)加速度：因為在A點，衛(wèi)星只受到萬有引力作用，故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過A點，衛(wèi)星的加速度都相同。同理，經(jīng)過B點加速度也相同。(3)周期：設(shè)衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上運行周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑為r1、r2(半長軸)、r3。由開普勒第三定律r3T2＝k，可知有T1<T2<(4)機械能：衛(wèi)星在一個確定的圓(橢圓)軌道上運行時機械能守恒。若在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道的機械能分別為E1、E2、E3，從軌道Ⅰ到軌道Ⅱ、從軌道Ⅱ到軌道Ⅲ，都需要點火加速，則E1<E2<E3。(5)引力勢能：物體在萬有引力場中具有的勢能叫作引力勢能，若取兩物體相距無窮遠時的引力勢能為零，一個質(zhì)量為m的質(zhì)點距質(zhì)量為M的引力源中心為r時，其引力勢能為Ep＝－GMmr(G為引力常量)。設(shè)衛(wèi)星在A點、B點的引力勢能分別為EpA、EpB，則EpA<EpB【例1】（2025·遼寧沈陽·二模）2024年8月22日，中星4A衛(wèi)星順利進入預定軌道，如圖所示為質(zhì)量為的中星4A衛(wèi)星發(fā)射變軌過程的簡化示意圖，其中軌道Ⅰ為近地圓形軌道，軌道Ⅲ為距離地面高度為6R的圓形軌道，軌道Ⅱ為橢圓軌道，軌道Ⅱ與軌道Ⅰ和軌道Ⅲ分別相切于P點和Q點。已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，忽略地球自轉(zhuǎn)的影響。若取無窮遠處引力勢能為零，質(zhì)量為m的物體在距離地球球心為r時的引力勢能（M為地球的質(zhì)量），下列說法正確的是（）A．中星4A衛(wèi)星在軌道Ⅱ上經(jīng)過P點的速度大于經(jīng)過Q點的速度B．中星4A衛(wèi)星在軌道Ⅲ上的動能為C．中星4A衛(wèi)星從軌道Ⅰ運動到軌道Ⅲ機械能增加了D．中星4A衛(wèi)星在軌道Ⅱ上運行的周期是在軌道Ⅲ上運行的周期的【答案】ABC【詳解】A．根據(jù)開普勒第二定律可知，衛(wèi)星在近地點（P點）的速度大于在遠地點（Q點）的速度，故A正確；B．在地球表面放一質(zhì)量為m的物體，有衛(wèi)星在軌道Ⅲ上，有故動能故B正確；C．衛(wèi)星在軌道Ⅲ上的機械能同理，在軌道Ⅰ上，有動能機械能衛(wèi)星從軌道Ⅰ運動到軌道Ⅲ機械能增加了故C正確；D．軌道Ⅱ的半長軸由開普勒第三定律有解得故D錯誤。故選ABC?！纠?】（2025·山東·二模）我國近地小行星防御系統(tǒng)能夠監(jiān)測、預警和應(yīng)對近地天體的撞擊，展現(xiàn)了從被動預警到主動防御的科技跨越。如圖所示，近地圓軌道Ⅰ和橢圓軌道Ⅱ相切于點，橢圓軌道Ⅱ和同步軌道Ⅲ相切于點。現(xiàn)有防御衛(wèi)星在軌道Ⅰ處做勻速圓周運動，經(jīng)變軌后運行到同步軌道Ⅲ的點攔截小行星進行干預，已知地球自轉(zhuǎn)的角速度為，防御衛(wèi)星在軌道Ⅰ和Ⅲ上運行的角速度為和，衛(wèi)星在軌道Ⅰ、Ⅲ和軌道Ⅱ上的點、點運行的線速度分別為、、、。下列說法正確的是（）A．B．C．衛(wèi)星在軌道Ⅱ上從點運動到點過程中，機械能增大D．衛(wèi)星在軌道Ⅲ上從點到點的運動時間大于在軌道Ⅱ上從點運動到點運動時間【答案】D【詳解】A．衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，由解得可知同步軌道的角速度小于近地軌道的角速度，而地球自轉(zhuǎn)的角速度和同步軌道的角速度相同，綜合可知故A錯誤；B．衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，由解得可知，由于衛(wèi)星在軌道I的P點需要點火加速到軌道II，則有，同理在Q點有，綜合可知故B錯誤；C．衛(wèi)星在軌道Ⅱ上從點運動到點過程中，機械能不變，故C錯誤；D．題圖可知衛(wèi)星在軌道III的軌道半徑大于在軌道II的半長軸，根據(jù)開普勒第三定律易得衛(wèi)星在軌道III的運行周期大于在軌道II的運行周期，故衛(wèi)星在軌道Ⅲ上從點到點的運動時間大于在軌道Ⅱ上從點運動到點運動時間，故D正確。故選D。【例3】（2025·遼寧·三模）北京時間2025年3月26日23時55分，西昌衛(wèi)星發(fā)射中心長征三號乙運載火箭點火起飛，天鏈二號04星順利進入預定軌道，發(fā)射任務(wù)取得圓滿成功。發(fā)射可簡化為如圖所示過程，先將衛(wèi)星發(fā)射到半徑為r的圓軌道Ⅰ上做勻速圓周運動，衛(wèi)星運動到A點時變軌進入橢圓軌道Ⅱ，運動到橢圓軌道Ⅱ的遠地點B時，再次變軌進入半徑為2r的圓軌道Ⅲ做勻速圓周運動。下列判斷正確的是（）A．衛(wèi)星在軌道Ⅰ與軌道Ⅲ上運行的周期之比為B．要實現(xiàn)從橢圓軌道B處進入圓軌道Ⅲ，發(fā)動機需要向前噴氣C．衛(wèi)星在軌道Ⅰ上的機械能大于軌道Ⅲ上的機械能D．衛(wèi)星在軌道Ⅰ和軌道Ⅱ上與地心連線單位時間掃過的面積一定相等【答案】A【詳解】A．衛(wèi)星在軌道Ⅰ與軌道Ⅲ上運行過程，根據(jù)開普勒第三定律有解得故A正確；B．軌道Ⅱ相對于軌道Ⅲ是低軌道，由低軌道變軌到高軌道，需要在切點位置加速，即要實現(xiàn)從橢圓軌道B處進入圓軌道Ⅲ，發(fā)動機需要向后噴氣，故B錯誤；C．結(jié)合上述可知，衛(wèi)星由軌道Ⅰ變軌到軌道Ⅲ，需要先后在A與B位置加速，即衛(wèi)星在軌道Ⅰ上的機械能小于軌道Ⅲ上的機械能，故C錯誤；D．根據(jù)開普勒第二定律可知，在同一軌道上，衛(wèi)星與地心連線在相等時間掃過的面積相等，但在不同軌道上衛(wèi)星與地心連線在相等時間掃過的面積不相等，即衛(wèi)星在軌道Ⅰ和軌道Ⅱ上與地心連線單位時間掃過的面積不相等，故D錯誤。故選A。【例4】（2025·浙江·二模）如圖所示為嫦娥六號探測器登月的簡化過程，探測器從地球表面a點發(fā)射至地月轉(zhuǎn)移軌道，在b點被月球捕獲后沿橢圓軌道運動，進而在b點變軌后沿近月圓形軌道運動，則探測器（）A．探測器被月球捕獲后在橢圓軌道上經(jīng)過b點時應(yīng)該加速才能進入圓形軌道B．探測器在橢圓軌道上b點的速度大于月球的第一宇宙速度C．探測器在地月轉(zhuǎn)移軌道上遠離地球時的速度均大于7.9km/sD．探測器在橢圓軌道上的周期小于圓形軌道上的周期【答案】B【詳解】AB．探測器被月球捕獲后在橢圓軌道上經(jīng)過b點時應(yīng)該減速做向心運動才能進入近月圓形軌道，而在近月圓軌道上的速度等于月球的第一宇宙速度，則探測器在橢圓軌道上b點的速度大于月球的第一宇宙速度，選項A錯誤，B正確；C．第一宇宙速度（7.9km/s）是發(fā)射飛行器的最小速度，故嫦娥三號發(fā)射后開始進入地月轉(zhuǎn)移軌道的速度大于7.9km/s；嫦娥三號在地月轉(zhuǎn)移軌道上逐漸遠離地球的過程中，開始階段地球引力大于月球的引力，則引力的合力做負功，故速度變??；接近月球時，月球引力大于地球引力，引力的合力做正功，則速度增加，則探測器在地月轉(zhuǎn)移軌道上遠離地球時的速度不一定均大于7.9km/s；故C錯誤；D．根據(jù)開普勒第三定律可知，探測器在橢圓軌道上的長半軸大于圓形軌道上的運動半徑，可知探測器在橢圓軌道上的周期大于圓形軌道上的周期，選項D錯誤。故選B。【例5】（2025·江西·模擬預測）天問一號探測器繞火星從橢圓軌道變軌到圓軌道的示意圖如圖所示，兩軌道相切于P點，Q為圓軌道上的另一點，M點是橢圓軌道上的遠火點，下列說法正確的是（）A．探測器在經(jīng)過Q點時的加速度大于經(jīng)過M點時的加速度B．探測器在經(jīng)過Q點時的機械能大于經(jīng)過M點時的機械能C．探測器在經(jīng)過Q點時的速度大于經(jīng)過M點時的速度D．探測器在橢圓軌道與圓軌道上單位時間內(nèi)掃過的面積相等【答案】AC【詳解】A．點距火星較近，探測器在點受到的引力大于在點受到的引力，故A正確；B．軌道越高發(fā)動機對探測器做功越多，故探測器在橢圓軌道上的機械能大于在圓軌道上的機械能，故B錯誤；C．假設(shè)探測器在經(jīng)過點時的圓軌道上運動的線速度大小為，根據(jù)變軌原理可知根據(jù)解得又因為M點的圓周軌道半徑Q點圓軌道半徑，可知有綜合可知故C正確；D．根據(jù)開普勒第二定律可知，探測器在不同軌道上單位時間內(nèi)掃過的面積不相等，故D錯誤。故選AC。精講考點精講考點1．衛(wèi)星的兩類變軌問題兩類變軌離心運動近心運動示意圖變軌起因衛(wèi)星速度突然增大衛(wèi)星速度突然減小萬有引力與向心力的大小關(guān)系Geq\f(Mm,r2)<meq\f(v2,r)Geq\f(Mm,r2)>meq\f(v2,r)變軌結(jié)果轉(zhuǎn)變?yōu)闄E圓軌道運動或在較大半徑圓軌道上運動轉(zhuǎn)變?yōu)闄E圓軌道運動或在較小半徑圓軌道上運動新圓軌道上運動的速率比原軌道的小，周期比原軌道的大新圓軌道上運動的速率比原軌道的大，周期比原軌道的小動能減小、勢能增大、機械能增大動能增大，勢能減小、機械能減小2．衛(wèi)星的對接問題在低軌道運行的衛(wèi)星，加速后可以與高軌道的衛(wèi)星對接。同一軌道的衛(wèi)星，不論加速或減速都不能對接。3．變軌過程各物理量比較速度關(guān)系在A點加速：vⅡA>vⅠ，在B點加速：vⅢ>vⅡB，即vⅡA>vⅠ>vⅢ>vⅡB(向心)加速度關(guān)系由a＝eq\f(F,m)＝eq\f(GM,r2)判斷加速度aⅢ＝aⅡBaⅡA＝aⅠ周期關(guān)系由開普勒第三定律判斷周期關(guān)系TⅠ<TⅡ<TⅢ機械能由機械能的變化量等于除重力之外的其他力做的功判斷機械能的關(guān)系為EⅠ<EⅡ<EⅢ考點二雙星或多星模型基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)1.雙星模型(1)繞公共圓心轉(zhuǎn)動的兩個星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)。如圖所示。(2)特點①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即Gm1m2L2＝m1ω12r1，②兩星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。③兩星的軌道半徑與它們之間的距離的關(guān)系為r1＋r2＝L。2.多星模型所研究星體所受萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同。常見的多星模型及其規(guī)律：常見的三星模型①Gm2(2②Gm2L2×cos30°常見的四星模型①Gm2L2×cos45°×2＋②Gm2L2×cos30°×2＋【例6】（2025·天津·一模）近似計算地月系統(tǒng)時可以認為月球繞著地球做勻速圓周運動，如圖甲所示，月球繞地球運動的周期為。為了更精準測量地月系統(tǒng)，認為地月系統(tǒng)是一個雙星系統(tǒng)，如圖乙所示，在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的O點做勻速圓周運動，月球繞O點運動的周期為。若地球、月球質(zhì)量分別為m地、m月，兩球心相距為r，地球半徑為R，引力常量為G，下列說法正確的是（）A．圖甲中，地球的密度可表示為B．圖甲中月球繞地球運動的周期等于圖乙中月球繞O點運動的周期C．圖乙中地月雙星軌道中O點到地心距離為D．圖乙中地月雙星轉(zhuǎn)動的角速度與地月質(zhì)量之和成正比【答案】C【詳解】A．圖甲中，根據(jù)萬有引力提供向心力設(shè)地球的半徑為R，地球的體積為圖甲中，地球密度為故A錯誤；BCD．根據(jù)萬有引力提供向心力解得圖甲中月球繞地球運動的周期為地月系統(tǒng)是一個雙星系統(tǒng)，設(shè)地月雙星軌道中O點到地心距離為，地月雙星軌道中O點到月球圓心距離為，則可得且解得、、則可知圖甲月球繞地球運動的周期大于圖（b）中月球繞O點運動的周期，故BD錯誤，C正確。故選C?！纠?】（2025·湖南婁底·二模）2025年3月12日，澳大利亞悉尼大學的伊里斯·德·魯伊特帶領(lǐng)團隊終于解開了一個自去年被發(fā)現(xiàn)以來一直困擾著他們的神秘重復無線電信號之謎。經(jīng)過深入研究，研究團隊將這一信號追蹤至一個奇特的雙星系統(tǒng)，該系統(tǒng)包含一顆白矮星和一顆紅矮星伴星，設(shè)白矮星質(zhì)量為m1，，紅矮星質(zhì)量為m2，兩個星體質(zhì)量分布均勻且二者之間的距離為L，萬有引力常量為G，不計其他星球的影響，下列說法正確的是（）A．白矮星與紅矮星的向心力相同B．白矮星與紅矮星的線速度大小之比為C．白矮星的角速度大小為D．白矮星與紅矮星的動量大小之比為【答案】C【詳解】A．白矮星和紅矮星的向心力由萬有引力提供，大小相等，方向相反，故A錯誤；B．白矮星與紅矮星可以看做角速度相等，由于則根據(jù)可以得到因此故B錯誤；C．根據(jù)整理可得兩式相加，則解出故C正確；D．根據(jù)動量的公式則則動量大小之比為故D錯誤。故選C。【例8】（2025·廣東茂名·模擬預測）2024年9月10日，中國科學院國家天文臺等團隊發(fā)現(xiàn)了雙星系統(tǒng)G3425中一顆是質(zhì)量為太陽質(zhì)量的3.6倍的小質(zhì)量黑洞，同時觀測到該雙星系統(tǒng)中的另一顆是質(zhì)量為太陽質(zhì)量的2.7倍的紅巨星。關(guān)于雙星系統(tǒng)G3425，下列說法正確的是（）A．小質(zhì)量黑洞所受的合外力大于紅巨星所受的合外力B．小質(zhì)量黑洞與紅巨星的向心加速度大小之比為C．小質(zhì)量黑洞與紅巨星的軌道半徑之比為D．小質(zhì)量黑洞與紅巨星的線速度大小之比為【答案】BD【詳解】設(shè)小質(zhì)量黑洞和紅巨星的質(zhì)量分別為m1和m2，雙星系統(tǒng)的角速度相等，則根據(jù)可得小質(zhì)量黑洞所受的合外力等于紅巨星所受的合外力，且根據(jù)可得根據(jù)可得故選BD?！纠?】（2025·甘肅·模擬預測）如圖所示的“三星”系統(tǒng)，三星A、B、C質(zhì)量均為，位置連線構(gòu)成等邊三角形，三角形邊長為，三星繞共同圓心做勻速圓周運動，不考慮其他星體影響，萬有引力常量為，則（）A．A、B、C向心加速度相同B．A受B的引力大小等于A的向心力大小C．A受C引力大小等于A向心力大小的D．A所需向心力大小為【答案】D【詳解】A．A、B、C的向心加速度大小相等，但方向不同，故A錯誤；BCD．A受B的引力大小為A受C的引力大小為A受到B的引力和C的引力合力提供A所需的向心力，則有，故BC錯誤，D正確。故選D?！纠?0】（2025·河南·模擬預測）隨著人類對太空的不斷探索，發(fā)現(xiàn)大空中存在如圖所示的三星系統(tǒng)，三顆質(zhì)量均為m的星體位于正三角形的三個頂點，三顆星體環(huán)繞正三角形的中心做勻速圓周運動，理論上其環(huán)繞周期為T，通過測量實際上環(huán)繞周期為，造成這一現(xiàn)象的原因可能是中心O處存在一未知天體，忽略其他星系的影響，引力常量為G。下列說法正確的是（）

A．理論上，正三角形的邊長為B．理論上，三顆星體的線速度大小為C．理論上，三顆星體的加速度大小為D．中心O處未知天體的質(zhì)量為【答案】A【詳解】A．理論上，以其中一顆星體為對象，根據(jù)牛頓第二定律可得根據(jù)幾何關(guān)系可知，星體的軌道半徑為聯(lián)立解得正三角形的邊長為故A正確；B．理論上，三顆星體的線速度大小為故B錯誤；C．理論上，三顆星體的加速度大小為故C錯誤；D．設(shè)中心O處未知天體的質(zhì)量為，以其中一顆星體為對象，根據(jù)牛頓第二定律可得聯(lián)立解得故D錯誤。故選A。精講考點精講考點1.解決雙星、多星問題，要抓住四點(1)根據(jù)雙星或多星的運動特點及規(guī)律，確定系統(tǒng)的中心以及運動的軌道半徑。(2)星體的向心力由其他天體的萬有引力的合力提供。(3)星體的角速度相等。(4)星體的軌道半徑不是天體間的距離。要利用幾何知識，尋找兩者之間的關(guān)系，正確計算萬有引力和向心力?？键c三星球“瓦解”問題黑洞問題基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)1.星球的瓦解問題當星球自轉(zhuǎn)越來越快時，星球?qū)Α俺嗟馈鄙系奈矬w的引力不足以提供向心力時，物體將會“飄起來”，進一步導致星球瓦解，瓦解的臨界條件是“赤道”上的物體所受星球的引力恰好提供向心力，即GMmR2＝mω2R，得ω＝GMR3。當ω>GMR2.黑洞黑洞是一種密度極大、引力極大的天體，以至于光都無法逃逸，科學家一般通過觀測繞黑洞運行的天體的運動規(guī)律間接研究黑洞。當天體的逃逸速度(逃逸速度為其第一宇宙速度的2倍)超過光速時，該天體就是黑洞。【例11】（24-25高三下·甘肅·期中）任何具有質(zhì)量的物質(zhì)壓縮到一定的體積后都會形成一個黑洞，此時它的第二宇宙速度等于光速。已知引力常量，光速，第二宇宙速度為第一宇宙速度的倍。如果把一個成年人“壓縮”成為球形黑洞，該黑洞半徑的數(shù)量級約為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】“被壓縮”后的成年人成為球形黑洞，根據(jù)萬有引力定律此黑洞的第一宇宙速度有第一宇宙速度與光速關(guān)系為成年人的質(zhì)量約，代入數(shù)據(jù)解得ABD錯誤，C正確。故選C?！纠?2】（24-25高三下·重慶·開學考試）史瓦西半徑是任何有質(zhì)量的物質(zhì)都存在的一個臨界半徑，該半徑的含義是：該物質(zhì)被壓縮到此半徑時，就成為一個黑洞，即它的逃逸速度等于光速c、已知某星球的逃逸速度為其第一宇宙速度的倍，該星球半徑R=6400km，表面重力加速度g取10m/s2，光速，不考慮星球的自轉(zhuǎn)，則該星球的史瓦西半徑約為（）A．6毫米 B．9毫米 C．6米 D．9米【答案】B【詳解】對該星球，有且由黃金代換公式，有聯(lián)立得史瓦西半徑，即9毫米。故選B【例13】（2025·安徽蕪湖·二模）2025年2月28日，國際頂級學術(shù)期刊《自然天文學》發(fā)表了安徽師范大學物理與電子信息學院舒新文教授研究團隊的一項重大科研成果。該團隊發(fā)現(xiàn)了中等質(zhì)量黑洞吞噬恒星發(fā)出的X射線準周期振蕩信號，這是天體物理學家在世界上首次發(fā)現(xiàn)該類現(xiàn)象，提供了宇宙中存在中等質(zhì)量黑洞的關(guān)鍵證據(jù)。黑洞是一個非常致密的天體，會形成強大的引力場，連光也無法逃脫。某黑洞中心天體