第10講相似三角形壓軸題（六大題型）學習目標1、掌握相似壓軸題的切入點；2、綜合分析法解相似三角形壓軸題。相似三角形壓軸題答題技巧相似三角形壓軸題，解題需找好四大切入點：切入點一：做不出、找相似，有相似、用相似壓軸題牽涉到的知識點較多，知識轉化的難度較高。學生往往不知道該怎樣入手，這時往往應根據題意去尋找相似三角形。切入點二：構造定理所需的圖形或基本圖形在解決問題的過程中，有時添加輔助線是必不可少的。對于北京中考來說，只有一道很簡單的證明題是可以不用添加輔助線的，其余的全都涉及到輔助線的添加問題。中考對學生添線的要求還是挺高的，但添輔助線幾乎都遵循這樣一個原則：構造定理所需的圖形或構造一些常見的基本圖形。切入點三：緊扣不變量，并善于使用前題所采用的方法或結論在圖形運動變化時，圖形的位置、大小、方向可能都有所改變，但在此過程中，往往有某兩條線段，或某兩個角或某兩個三角形所對應的位置或數量關系不發(fā)生改變。切入點四：在題目中尋找多解的信息圖形在運動變化，可能滿足條件的情形不止一種，也就是通常所說的兩解或多解，如何避免漏解也是一個令考生頭痛的問題，其實多解的信息在題目中就可以找到，這就需要我們深度的挖掘題干，實際上就是反復認真的審題?！炯磳W即練1】（2023·上海崇明·一模）已知中，，，點為射線上的一個動點（不與重合），過點作，交射線于點，連接．(1)如圖，當點在線段上時，與交于點，求證：；(2)在（1）的情況下，射線與的延長線交于點，設，求關于的函數解析式，并寫出定義域；(3)當時，求的長．【即學即練2】（22-23九年級上·上?！て谥校┰诰匦沃?，，，點是邊上的一點，交于點，點在射線上且滿足．(1)如圖1，求證；(2)如圖2，當點在線段上，聯結，，求的長；(3)聯結，如果與以、、為頂點所組成的三角形相似，求的長．題型1：解答證明題【典例1】．（2023八年級下·上?！ｎ}練習）已知：中，對角線，點為邊上一點，點為延長線上一點，連接，．

(1)如圖1，若，交于點，求的長；(2)如圖2，若，求證：．【典例2】．（23-24九年級上·上海浦東新·期中）已知，在中，，的頂點D在邊上，交于點F（點F在點D的右側），．

(1)求證：；(2)當時，求BD的長；(3)若，連接，寫出CE與AB的位置關系，并證明結論．題型2：比值問題【典例3】．（23-24八年級上·上海松江·期末）在中，，點是邊上一點，過作垂直，垂足為點．(1)如圖1，點是的中點，，如果，求的長；(2)已知，①如圖2，連接，求證：平分；②如圖3，延長至點，連接交線段于點，當，且點是中點時，求的值．【典例4】．（23-24九年級上·上海松江·期末）在中，．點D是射線上一點（不與A、C重合），點F在線段上，直線交直線于點E，．(1)如圖，如果點D在的延長線上①求證：；②聯結，如果，，求的長．(2)如果，求：的值．【典例5】．（23-24九年級上·上海長寧·期中）如圖，已知在中，，平分，交邊于點，是邊上一點，且，過點作，交于點，聯結、，延長交于點．

(1)求證：；(2)當時，①若，，求的長；②若，聯結，求的值．題型3：存在性問題【典例6】．（2020·上海黃浦·一模）如圖，在中，，，，過點作射線，點、是射線上的兩點（點不與點重合，點在點右側），聯結、分別交邊于點、，．(1)當時，求的長；(2)設，，求關于的函數關系式，并寫出的取值范圍；(3)聯結并延長交邊于點，如果是等腰三角形，請直接寫出的長．【典例7】．（23-24九年級上·上?！るA段練習）矩形中，，，動點在邊上，不與點、重合，過點作的垂線，交直線于點，交射線于點．(1)如圖，當點在延長線上時，求的值；在點的運動過程中，的值是否發(fā)生改變？(2)設，用含的代數式表示線段的長；(3)如果點在延長線上，當與相似時，求的長．【典例8】．（21-22九年級上·上海閔行·期中）如圖，在梯形中，，，，點、分別在線段、上，．的延長線交邊于點，交于點、其延長線交的延長線于點．（1）求證：；（2）設，的面積為，求關于的函數解析式，并寫出它的定義域；（3）聯結，當與相似時，求的長．題型4：旋轉、翻折問題【典例9】．（23-24九年級下·上海·階段練習）已知：在中，，將繞點C旋轉使點B落在直線上的點D處，點A落在點E處，直線與直線相交于點F，射線與射線相交于點P，．(1)如圖，連接，當時，求證：①四邊形是等腰梯形；②是與的比例中項．(2)當點D與點A的距離為5時，求的長．【典例10】．（23-24八年級下·上?！て谀┰谥苯翘菪沃?，，，，，，點是射線上的動點（不與點重合）

(1)將沿者直線翻折，點落在處，射線交邊于點．①如圖，當點在邊上時，求證：；②當中有一條邊平行于時，求的長；(2)當點在的延長線上時，連接，射線與射線交于點，且，求的值．【典例11】．（23-24九年級上·上海崇明·期中）如圖（1），在直角三角形中，，，．，點是邊上的動點，作，交于點，與相交于點．

(1)求證：．(2)如圖2，將沿翻折，點落在處，直線交于點．①當時，求的長．②當時，求的長．題型5：取值范圍問題【典例12】．（2024九年級下·上?！ｎ}練習）如圖，在中，，以，為邊在外部作等邊三角形和等邊三角形，且連接．(1)如圖1，連接，，求證：；(2)如圖2，延長交線段于點．①當點為線段中點時，求的值；②請用直尺和圓規(guī)在直線上方作等邊三角形（不要求寫作法，保留作圖痕跡，并寫明結論），當點在的內部時，求的取值范圍．題型6：列函數解析式問題綜合【典例13】．（21-22九年級上·上海奉賢·期中）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，點D是斜邊AB上的動點，聯結CD，作DE⊥CD交射線CB于點E，設AD＝x．（1）當點D是邊AB的中點時，求線段DE的長；（2）當△BED是等腰三角形時，求x的值；（3）如果，求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域．【典例14】．（21-22九年級上·上海徐匯·階段練習）已知：如圖，四邊形中，，，，平分．（1）求證：四邊形是菱形；（2）如果點在對角線上，聯結并延長，交邊于點，交線段的延長線于點（點可與點重合），，設長度是是常數，且，，，求關于的函數關系式，并寫出定義域；（3）在第（2）小題的條件下，當是等腰三角形時，求的長（計算結果用含的代數式表示）【典例15】．（23-24九年級上·上?！るA段練習）如圖，已知在菱形中，，，點E、F分別在邊上，的延長線交的延長線于點G，且．(1)如果，求線段的長；(2)設，，求y與x的函數關系式；(3)連接交于點H，如果，求線段的長．【典例16】．（22-23八年級下·上海浦東新·期末）如圖，在正方形中，，點M是邊的中點，點E是邊上的一個動點，交于點G，交射線于點F．(1)如圖①，當點E與點B重合時，求證：．(2)如圖②，當點F在線段上時，設為x，梯形的面積為y，寫出y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍．(3)若，求點A到線段的距離．一、解答題1．已知中，，，E是射線上一點（不與點B重合），線段的垂直平分線與邊交于點D.(1)點E在邊上，①如圖1，連接CE，如果CE平分，求BD的長；②如圖2，射線DE交射線CA于點F，設，，求y關于x的的數解析式，并寫出定義域.(2)如果是直角三角形，求BD的長.2．在梯形中，，，，，，點E是射線上一點（不與點A、B重合），連接，過點E作交射線于點F，連接．設，．

(1)求的長；(2)如圖，當點E在線段上時，求y與x之間的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)如果是以為腰的等腰三角形，求的長．3．如圖，在菱形中，是銳角，E是邊上的動點，將射線繞點A按逆時針方向旋轉，交直線于點F．（1）當時，①求證：；②連結，若，求的值；（2）當時，延長交射線于點M，延長交射線于點N，連結，若，則當為何值時，是等腰三角形．4．在矩形中，，點為邊中點，點關于的對稱點為點，點在矩形內，連接．

(1)如圖1，連接，當點恰好落在對角線上時，求的長度；(2)如圖2，連接，如果，，請求出它們之間的函數關系式；(3)連接，如果是以為腰的等腰三角形，請直接寫出的長度．5．已知菱形邊長為4，對角線長為2，點、分別是邊、上的動點，且，延長交射線于點．(1)如圖1，如果，求的面積；(2)如圖2，如果點為邊的中點，求的長；(3)延長交射線于點，聯結．如果