第1頁(yè)/共1頁(yè)湖南省長(zhǎng)沙市2025-2026學(xué)年高一第一學(xué)期第一次階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)時(shí)量：120分鐘滿(mǎn)分：150分得分一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.命題“”的否定是（

）A. B.C. D.3.命題“，”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.4.已知，，則（）A B. C. D.5.購(gòu)買(mǎi)同一種物品，可以用兩種不同的策略，第一種是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購(gòu)買(mǎi)這種物品的數(shù)量一定；第二種是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購(gòu)買(mǎi)這種物品所花的錢(qián)一定.假設(shè)連續(xù)兩天購(gòu)買(mǎi)該物品，第一天物品的價(jià)格為，第二天物品的價(jià)格為，且，則以下選項(xiàng)正確的為（）A.第一種方式購(gòu)買(mǎi)物品的單價(jià)為B.第二種方式購(gòu)買(mǎi)物品的單價(jià)為C.第一種方式購(gòu)買(mǎi)物品所用單價(jià)更低D.第二種方式購(gòu)買(mǎi)物品所用單價(jià)更低6.下列函數(shù)中最小值為的是（）A. B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.7.已知不等式的解集是，則不等式的解集是（）A. B.或C D.或8.在數(shù)學(xué)上稱(chēng)函數(shù)為高斯函數(shù)，其中表示不大于最大整數(shù)，如.那么使不等式成立的充分不必要條件是（）A. B.C. D.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題中，是真命題是（）A.且是的充分條件 B.“”是“”的充分不必要條件C.命題“，”的否定是“，” D.的充要條件是10.下列命題敘述正確的是（）A.且時(shí)，當(dāng)時(shí)，B.且時(shí)，當(dāng)時(shí)，C.且時(shí)，當(dāng)時(shí)，D.且時(shí)，當(dāng)時(shí)，11已知集合滿(mǎn)足：①；②，若且，則；③，若且，則.則下列結(jié)論正確的是（）A.若集合中有最大數(shù)，則集合中沒(méi)有最小數(shù)B.若集合中沒(méi)有最大數(shù)，則集合中可能沒(méi)有最小數(shù)C.，使得D.，存在無(wú)理數(shù)，使得三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.不等式的解集為_(kāi)_____．13.命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．14.已知，且關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則的最小值為_(kāi)_________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知集合.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若且，求實(shí)數(shù)的值.16.已知命題成立；命題：方程有兩個(gè)不相等的負(fù)根.（1）若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若命題和命題有且只有一個(gè)是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17.（1）若不等式對(duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍：（2）解關(guān)于的不等式，其中.18.某學(xué)校要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形的體育館，其地面面積為，體育館高，如果甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)為：館頂每平方米的造價(jià)為100元，體育館前后兩側(cè)墻壁平均造價(jià)為每平方米150元，左右兩側(cè)墻壁平均造價(jià)為每平方米250元，設(shè)體育館前墻長(zhǎng)為米．（1）當(dāng)前墻的長(zhǎng)度為多少時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低？（2）現(xiàn)有乙工程隊(duì)也參與該校的體育館建造競(jìng)標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為元，若無(wú)論前墻的長(zhǎng)度為多少米，乙工程隊(duì)都能競(jìng)標(biāo)成功，試求的取值范圍．19.已知有限集，定義兩個(gè)集合的差集為且，對(duì)稱(chēng)差為.（1）若，求集合.（2）已知集合.對(duì)任意非空有限實(shí)數(shù)集，設(shè)，記表示集合中的元素個(gè)數(shù).（i）證明：；（ii）求的最小值.

湖南省長(zhǎng)沙市2025-2026學(xué)年高一第一學(xué)期第一次階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)時(shí)量：120分鐘滿(mǎn)分：150分得分一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對(duì)集合B求補(bǔ)集，應(yīng)用集合的并運(yùn)算求結(jié)果；【詳解】由，而，所以.故選：A2.命題“”的否定是（

）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】直接根據(jù)全稱(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題即可求解.【詳解】命題“”的否定是“”.故選：A3.命題“，”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出命題“，”為真命題的充要條件，進(jìn)一步即可判斷.【詳解】若，，即，，所以當(dāng)且僅當(dāng)，所以對(duì)比選項(xiàng)可知，命題“，”為真命題的一個(gè)充分不必要條件可以是.故選：D.4.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先得到，，平方后作差，比較出.【詳解】顯然，由題意得：，解得：，，故，，故又，故.故選：A5.購(gòu)買(mǎi)同一種物品，可以用兩種不同的策略，第一種是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購(gòu)買(mǎi)這種物品的數(shù)量一定；第二種是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購(gòu)買(mǎi)這種物品所花的錢(qián)一定.假設(shè)連續(xù)兩天購(gòu)買(mǎi)該物品，第一天物品的價(jià)格為，第二天物品的價(jià)格為，且，則以下選項(xiàng)正確的為（）A.第一種方式購(gòu)買(mǎi)物品的單價(jià)為B.第二種方式購(gòu)買(mǎi)物品的單價(jià)為C.第一種方式購(gòu)買(mǎi)物品所用單價(jià)更低D.第二種方式購(gòu)買(mǎi)物品所用單價(jià)更低【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得第一種策略平均價(jià)格為，第二種策略平均價(jià)格為，利用作差法比較大小即可求解.【詳解】第一種策略：設(shè)每次購(gòu)買(mǎi)這種物品的數(shù)量均為，則平均價(jià)格為，故A不正確；第二種策略：設(shè)每次購(gòu)買(mǎi)這種物品所花的錢(qián)為，第一次能購(gòu)得該物品的數(shù)量為，第二次能購(gòu)得該物品的數(shù)量為，則平均價(jià)格為，B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.6.下列函數(shù)中最小值為的是（）A B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.【答案】B【解析】【分析】對(duì)于，如果時(shí)，，故不符合題意；對(duì)于，利用基本不等式得到函數(shù)的最小值為4，故正確；對(duì)于，利用基本不等式得到最小值為，故錯(cuò)誤；對(duì)于，利用基本不等式得最小值取不到，故錯(cuò)誤．【詳解】對(duì)于，，如果時(shí)，，故不符合題意；對(duì)于，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故正確；對(duì)于，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，故錯(cuò)誤；對(duì)于，，當(dāng)且僅當(dāng)即此時(shí)無(wú)解，這表明最小值取不到，故錯(cuò)誤．故選：．7.已知不等式的解集是，則不等式的解集是（）A. B.或C. D.或【答案】A【解析】【分析】由已知不等式的解集，求出，再得出新不等式，求解即可.【詳解】依題意，是方程的兩個(gè)實(shí)根，且，于是，且，解得.不等式化為，解得，故解集為.故選：A8.在數(shù)學(xué)上稱(chēng)函數(shù)為高斯函數(shù)，其中表示不大于的最大整數(shù)，如.那么使不等式成立的充分不必要條件是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解二次不等式求出的范圍，再由高斯函數(shù)得到的取值范圍，轉(zhuǎn)化為求其非空真子集即可得解.【詳解】因?yàn)?，則，則，又表示不大于的最大整數(shù)，因此不等式的解集為.依題意可知，只需求出不等式解集的一個(gè)非空真子集即可，選項(xiàng)中只有?.故選：B二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題中，是真命題的是（）A.且是的充分條件 B.“”是“”的充分不必要條件C.命題“，”的否定是“，” D.的充要條件是【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)可依次判斷選項(xiàng)AB中的充分性和必要性是否成立，知AB正誤；根據(jù)全稱(chēng)命題的否定知C錯(cuò)誤；通過(guò)反例可知充分性不成立，知D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)，時(shí)，，充分性成立，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，充分性成立；當(dāng)時(shí)，或，必要性不成立，則“”是“”的充分不必要條件，B正確；對(duì)于C，由全稱(chēng)命題的否定知原命題的否定為：，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)無(wú)意義，充分性不成立，D錯(cuò)誤.故選：AB.10.下列命題敘述正確是（）A.且時(shí)，當(dāng)時(shí)，B.且時(shí)，當(dāng)時(shí)，C.且時(shí)，當(dāng)時(shí)，D.且時(shí)，當(dāng)時(shí)，【答案】CD【解析】【分析】利用特值法及作差法進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榍視r(shí)，當(dāng)時(shí)，取，所以，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)榍視r(shí)，當(dāng)時(shí)，取，所以，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)榍視r(shí)，當(dāng)時(shí)，則，所以，則，故C正確；對(duì)于D，存在，，滿(mǎn)足，故D正確.故選：CD.11.已知集合滿(mǎn)足：①；②，若且，則；③，若且，則.則下列結(jié)論正確的是（）A若集合中有最大數(shù)，則集合中沒(méi)有最小數(shù)B.若集合中沒(méi)有最大數(shù)，則集合中可能沒(méi)有最小數(shù)C.，使得D.，存在無(wú)理數(shù)，使得【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)新定義，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)分析即可求解.【詳解】由所給條件，可知集合中的元素都小于集合中的元素，對(duì)于A，若集合中的元素有最大數(shù)，則必然存在一個(gè)有理數(shù)，使得，，因此中沒(méi)有最小數(shù)，故A正確；對(duì)于B，若集合中的元素沒(méi)有最大數(shù)，則必然存在一個(gè)數(shù)，使得，且且，有，如果是有理數(shù)，則，且，則有最小數(shù)為；如果是無(wú)理數(shù)，則，且，則沒(méi)有最小數(shù)，故B正確；對(duì)于C，假設(shè)存在且，由，若且，則，取，則，但，與矛盾.故對(duì)任意，都有，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由C選項(xiàng)可知，，可得，而兩個(gè)不等的有理數(shù)之間必存在無(wú)理數(shù)，所以存在無(wú)理數(shù)，使得，故D正確.故選：ABD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.不等式的解集為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分式不等式的解法計(jì)算直接得出結(jié)果.【詳解】由不等式，可得，即且，解得，即不等式的解集為．故答案為：13.命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】依題意可得“，”是真命題，分、兩種情況討論，分別計(jì)算可得.【詳解】命題“，”是假命題，則它的否定命題“，”是真命題，當(dāng)時(shí)，不等式為，顯然成立；當(dāng)時(shí)，應(yīng)滿(mǎn)足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．14.已知，且關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】3【解析】【分析】由不等式恒成立可得出，化簡(jiǎn)后得出，利用不等式的傳遞性及基本不等式求最值即可得解.【詳解】由題意得，一元二次不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則需滿(mǎn)足即，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故答案為：3四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知集合.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若且，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）解方程可得，進(jìn)而得，據(jù)此由根與系數(shù)的關(guān)系求出；（2）求出，利用集合交集運(yùn)算結(jié)果確定中元素，代入得解.【小問(wèn)1詳解】由題可得，由于，從而2，3是方程的兩根，即解得.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?因?yàn)?，又，所以且，即，化?jiǎn)得，解得或.當(dāng)時(shí)，，則，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，則且，故符合題意，綜上，實(shí)數(shù)的值為.16.已知命題成立；命題：方程有兩個(gè)不相等的負(fù)根.（1）若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若命題和命題有且只有一個(gè)是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）由命題為真，可知不等式的解集非空，利用判別式得解；（2）分別求出命題為真時(shí)的取值范圍，再由一真一假列出不等式求解.【小問(wèn)1詳解】若命題為真命題，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】若命題為真，即一元二次方程有兩個(gè)不相等的負(fù)根，設(shè)為，則解得.若命題和命題有且只有一個(gè)是真命題，則為真假或假真，當(dāng)真假時(shí)，有解得；當(dāng)假真時(shí)，有解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為或.17.（1）若不等式對(duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍：（2）解關(guān)于的不等式，其中.【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）分討論，時(shí)根據(jù)判別式建立不等關(guān)系求解；（2）分討論，結(jié)合一次不等式、二次不等式求解即可.【詳解】（1）依題意，不等式對(duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式可化為，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，有即解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）不等式等價(jià)于.當(dāng)時(shí)，不等式可化為，所以不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，此時(shí)，所以不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，①當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為；②當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為；③當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為.綜上可知，當(dāng)時(shí)，解集為，當(dāng)時(shí)，解集為，當(dāng)時(shí)，解集為，當(dāng)時(shí)，解集為，當(dāng)時(shí)，解集為18.某學(xué)校要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形的體育館，其地面面積為，體育館高，如果甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)為：館頂每平方米的造價(jià)為100元，體育館前后兩側(cè)墻壁平均造價(jià)為每平方米150元，左右兩側(cè)墻壁平均造價(jià)為每平方米250元，設(shè)體育館前墻長(zhǎng)為米．（1）當(dāng)前墻的長(zhǎng)度為多少時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低？（2）現(xiàn)有乙工程隊(duì)也參與該校的體育館建造競(jìng)標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為元，若無(wú)論前墻的長(zhǎng)度為多少米，乙工程隊(duì)都能競(jìng)標(biāo)成功，試求的取值范圍．【答案】（1）當(dāng)前墻的長(zhǎng)度為20米時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低為84000元（2）當(dāng)時(shí)，無(wú)論前墻的長(zhǎng)度為多少米，乙工程隊(duì)都能競(jìng)標(biāo)成功【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出報(bào)價(jià)的表達(dá)式，再根據(jù)基本不等式即可得解；（2）根據(jù)題意可知對(duì)任意的恒成立，分離參數(shù)可得對(duì)任意的恒成立，分類(lèi)常數(shù)結(jié)合基本不等式求出的最小值，即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)轶w育館前墻長(zhǎng)為米，地面面積為，所以體育館的左右兩側(cè)墻的長(zhǎng)度均為米，設(shè)甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)為元，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)前墻的長(zhǎng)度為20米時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低為84000元；【小問(wèn)2詳解】根據(jù)題意可知對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，所以對(duì)任意的恒成立，因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，故當(dāng)時(shí)，無(wú)論前墻的長(zhǎng)度為多少米，乙工程隊(duì)都能競(jìng)標(biāo)成功．19.已知有限集，定義兩個(gè)集合的差集為且，對(duì)稱(chēng)差為.（1）若，求集合.（2）已知集合.對(duì)任意非空有限實(shí)數(shù)集，設(shè)，記表示集合中的元素個(gè)數(shù).（i）證明：；（ii）求的最小值.【答案