2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想演進(jìn)試卷一、選擇題（每題4分，共20分）在解決"某商店銷售A、B兩種商品，已知銷售3件A商品和2件B商品可獲利60元，銷售5件A商品和4件B商品可獲利110元，求A、B兩種商品每件的利潤(rùn)"這一問(wèn)題時(shí)，最適合運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是（）A.數(shù)形結(jié)合思想B.方程思想C.分類討論思想D.轉(zhuǎn)化思想在研究一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像與性質(zhì)時(shí)，通過(guò)繪制不同k值和b值對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像，歸納出函數(shù)圖像的變化規(guī)律，這種思維方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）A.抽象思想B.模型思想C.數(shù)形結(jié)合思想D.歸納推理思想在證明"三角形內(nèi)角和定理"時(shí)，將三角形的三個(gè)內(nèi)角剪下來(lái)拼成一個(gè)平角，從而得出三角形內(nèi)角和為180°，這種證明方法主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是（）A.轉(zhuǎn)化思想B.公理化思想C.類比思想D.統(tǒng)計(jì)思想在解決"從1000名學(xué)生中抽取50名學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查，以估計(jì)全體學(xué)生的視力情況"這一問(wèn)題時(shí)，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是（）A.隨機(jī)思想B.抽樣思想C.數(shù)據(jù)分析思想D.概率思想在研究圓與直線的位置關(guān)系時(shí)，通過(guò)比較圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系，來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系，這種方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）A.分類討論思想B.數(shù)形結(jié)合思想C.函數(shù)思想D.模型思想二、填空題（每題5分，共25分）在學(xué)習(xí)"實(shí)數(shù)"概念時(shí)，通過(guò)對(duì)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的共同特征進(jìn)行抽象概括，形成實(shí)數(shù)的概念，這一過(guò)程體現(xiàn)了________思想。在解決"某工廠要制作一個(gè)容積為1000cm3的圓柱形罐頭盒，怎樣設(shè)計(jì)才能使所用材料最省"這一問(wèn)題時(shí)，需要將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為________問(wèn)題，運(yùn)用________思想建立函數(shù)模型進(jìn)行求解。在研究"平行四邊形、矩形、菱形、正方形"的性質(zhì)與判定時(shí)，通過(guò)比較它們之間的異同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，這種思維方法體現(xiàn)了________思想。在計(jì)算"1+3+5+...+99"這一問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)將式子轉(zhuǎn)化為"（1+99）+（3+97）+...+（49+51）"的形式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，這種方法體現(xiàn)了________思想。在學(xué)習(xí)"圖形的旋轉(zhuǎn)"時(shí)，通過(guò)觀察鐘表指針的轉(zhuǎn)動(dòng)、風(fēng)車的旋轉(zhuǎn)等生活實(shí)例，抽象出圖形旋轉(zhuǎn)的定義和性質(zhì)，這一過(guò)程體現(xiàn)了________思想。三、解答題（共55分）（15分）某學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買一批籃球和足球，已知購(gòu)買2個(gè)籃球和3個(gè)足球共需380元，購(gòu)買4個(gè)籃球和5個(gè)足球共需680元。（1）求籃球和足球的單價(jià)；（2）若學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買籃球和足球共50個(gè)，總費(fèi)用不超過(guò)4000元，問(wèn)最多可以購(gòu)買多少個(gè)籃球？（3）在（2）的條件下，如何購(gòu)買才能使總費(fèi)用最低？最低總費(fèi)用是多少？（15分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+b與x軸交于點(diǎn)A（-4，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，3）。（1）求直線AB的解析式；（2）若點(diǎn)P（x，y）是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P在第一象限，設(shè)△AOP的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）在（2）的條件下，當(dāng)S=6時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。（15分）在學(xué)習(xí)了"全等三角形"和"軸對(duì)稱"之后，我們知道：成軸對(duì)稱的兩個(gè)三角形全等。（1）請(qǐng)你用尺規(guī)作圖的方法，作出△ABC關(guān)于直線l的對(duì)稱圖形△A'B'C'（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）根據(jù)（1）的作圖過(guò)程，寫出你的作圖依據(jù)；（3）利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，證明：△ABC≌△A'B'C'。（10分）某中學(xué)為了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果分為"每天閱讀1小時(shí)以內(nèi)"、"每天閱讀1-2小時(shí)"、"每天閱讀2-3小時(shí)"、"每天閱讀3小時(shí)以上"四個(gè)類別，并繪制了如下的扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖（部分信息未給出）。（1）求本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）若該校共有學(xué)生2000人，估計(jì)"每天閱讀2小時(shí)以上"的學(xué)生人數(shù)。四、綜合題（每題15分，共30分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0<t<4）。（1）用含t的代數(shù)式表示線段PC和CQ的長(zhǎng)度；（2）設(shè)△PCQ的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（3）在P、Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△PCQ的面積能否達(dá)到10cm2？若能，求出t的值；若不能，說(shuō)明理由；（4）連接PQ，在P、Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段PQ的長(zhǎng)度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，說(shuō)明理由。如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）。（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P在第一象限，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，線段PE的長(zhǎng)度為d，求d關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出d的最大值；（3）在（2）的條件下，當(dāng)d取得最大值時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△PQE是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。五、探究題（20分）我們知道，三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的重心。通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，三角形的重心有以下性質(zhì)：三角形的重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍。（1）請(qǐng)你用坐標(biāo)法證明三角形重心的這一性質(zhì)；已知：在△ABC中，點(diǎn)G是△ABC的重心，求證：AG=2GD（D為BC的中點(diǎn)）。（2）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)G是△ABC的重心，求AG的長(zhǎng)；（3）在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，0）、B（4，0）、C（0，6），點(diǎn)G是△ABC的重心，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；（4）通過(guò)對(duì)三角形重心性質(zhì)的探究過(guò)程，你體會(huì)到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？請(qǐng)結(jié)合具體例子進(jìn)行說(shuō)明。六、開放題（15分）數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，它貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中。請(qǐng)你結(jié)合初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，選擇一種你印象最深刻的數(shù)學(xué)思想方法，寫一篇短文，闡述這種數(shù)學(xué)思想方法的含義、在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用以及你在學(xué)習(xí)過(guò)程中運(yùn)用這種思想方法解決問(wèn)題的具體例子。要求：題目自擬，字?jǐn)?shù)不少于300字，觀點(diǎn)明確，條理清晰，語(yǔ)言流暢。七、應(yīng)用題（20分）某商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A、B兩種新型節(jié)能臺(tái)燈共100盞，這兩種臺(tái)燈的進(jìn)價(jià)、售價(jià)如下表所示：類型進(jìn)價(jià)（元/盞）售價(jià)（元/盞）A型3045B型5070（1）若商場(chǎng)預(yù)計(jì)進(jìn)貨款為3500元，則這兩種臺(tái)燈各購(gòu)進(jìn)多少盞？（2）若商場(chǎng)規(guī)定B型臺(tái)燈的進(jìn)貨數(shù)量不超過(guò)A型臺(tái)燈數(shù)量的3倍，應(yīng)怎樣進(jìn)貨才能使商場(chǎng)在銷售完這批臺(tái)燈時(shí)獲利最多？此時(shí)利潤(rùn)為多少元？（3）在（2）的條件下，商場(chǎng)決定對(duì)A型臺(tái)燈進(jìn)行降價(jià)促銷，每盞A型臺(tái)燈降價(jià)m元（0<m<10），B型臺(tái)燈售價(jià)不變。若商場(chǎng)要使銷售完這批臺(tái)燈時(shí)獲利不低于2000元，求m的最大值。八、拓展題（25分）在平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)。如圖，已知拋物線y=-x2+4x+5與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C。（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；（4）連接AC、BC，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q（點(diǎn)C除外），使得S△QAB=S△CAB？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；（5）在（4）的條件下，求出拋物線上所有使得△QAB是直角三角形的整點(diǎn)Q的坐標(biāo)。九、創(chuàng)新題（20分）閱讀下列材料，回答問(wèn)題：材料一：在數(shù)學(xué)中，我們把用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題。其中判斷為真的語(yǔ)句叫做真命題，判斷為假的語(yǔ)句叫做假命題。材料二：有些命題的正確性是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理。材料三：有些命題可以從公理或其他真命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它們是正確的，并且可以進(jìn)一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理。（1）根據(jù)材料一，判斷下列語(yǔ)句是否為命題，如果是命題，指出是真命題還是假命題：①兩點(diǎn)之間，線段最短；②畫一個(gè)角等于已知角；③若a2=b2，則a=b；④三角形的內(nèi)角和等于180°。（2）根據(jù)材料二和材料三，寫出初中數(shù)學(xué)中的兩條公理和兩條定理；（3）選擇（2）中的一條定理，寫出它的證明過(guò)程，并指出證明過(guò)程中運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法。十、反思題（15分）通過(guò)本學(xué)期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，你對(duì)數(shù)學(xué)思想方法有了哪些新的認(rèn)識(shí)？在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，你是如何運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想方法的？請(qǐng)結(jié)合具體的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，談?wù)勀愕捏w會(huì)和感悟。要求：題目自擬，字?jǐn)?shù)不少于300字，內(nèi)容真實(shí)，情感真摯，條理清晰。本試卷從不同角度考查了初中數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想方法，包括抽象思想、推理思想、模型思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想等。通過(guò)這些題目，不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握情況，更能考