試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁北京市房山區(qū)良鄉(xiāng)附中2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則等于（

）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．3．已知雙曲線的漸近線方程為，則實(shí)數(shù)（

）A． B．3 C．6 D．94．函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)B．是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)D．是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)6．已知，且，則（

）A． B． C． D．7．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（

）A． B． C． D．8．設(shè)函數(shù)，則“”是“沒有極值點(diǎn)”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．馬赫數(shù)是飛行器的運(yùn)動(dòng)速度與音速的比值.在不考慮空氣阻力的前提下，某飛行器的最大速度（單位：）和燃料的質(zhì)量（單位：）、飛行器（除燃料外）的質(zhì)量（單位：）的函數(shù)關(guān)系是.已知當(dāng)該飛行器所處高空的音速為，最大速度對(duì)應(yīng)的馬赫數(shù)分別為8和13時(shí)，燃料的質(zhì)量分別為和，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．10．如圖，正方形的邊長為6，點(diǎn)、分別在邊、上，且，，如果對(duì)于常數(shù)，在正方形的四條邊上，有且只有6個(gè)不同的點(diǎn)使得成立，那么的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、填空題11．函數(shù)的定義域?yàn)椋?2．在的展開式中，的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）13．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋軌蛘f明“若在區(qū)間上的最大值為，則是增函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是．14．已知函數(shù)，，，，則；方程的所有實(shí)數(shù)解的和為.15．已知函數(shù)，其中且．給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則函數(shù)的零點(diǎn)是；②若函數(shù)無最小值，則的取值范圍為；③若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，都有，則的最小值為1；④若關(guān)于的方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，，則的取值范圍為，且的取值范圍為．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題16．如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，分別為，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.17．在中，為鈍角，．(1)求；(2)若，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求．條件①：；條件②：；條件③：的面積為．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18．為研究某地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生畢業(yè)三個(gè)月后的畢業(yè)去向，某調(diào)查公司從該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機(jī)選取了1000人作為樣本進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：畢業(yè)去向繼續(xù)學(xué)習(xí)深造單位就業(yè)自主創(chuàng)業(yè)自由職業(yè)慢就業(yè)人數(shù)2005601412898假設(shè)該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生選擇的畢業(yè)去向相互獨(dú)立．(1)若該地區(qū)一所高校2021屆大學(xué)畢業(yè)生的人數(shù)為2500，試根據(jù)樣本估計(jì)該校2021屆大學(xué)畢業(yè)生選擇“單位就業(yè)”的人數(shù)；(2)從該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機(jī)選取3人，記隨機(jī)變量為這3人中選擇“繼續(xù)學(xué)習(xí)深造”的人數(shù)．以樣本的頻率估計(jì)概率，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)該公司在半年后對(duì)樣本中的畢業(yè)生進(jìn)行再調(diào)查，發(fā)現(xiàn)僅有選擇“慢就業(yè)”的畢業(yè)生中的人選擇了上表中其他的畢業(yè)去向，記此時(shí)表中五種畢業(yè)去向?qū)?yīng)人數(shù)的方差為．當(dāng)為何值時(shí)，最小．（結(jié)論不要求證明）19．已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為.且過點(diǎn).(1)求橢圓的方程及焦距(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn).直線的斜率分別記為與，當(dāng)時(shí)，求的面積.20．己知函數(shù)在R上可導(dǎo)，，且．(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；(2)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為l，求證：切線l恒過定點(diǎn)；(3)若點(diǎn)，點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，證明：當(dāng)時(shí)，圖象恒在直線AB的下方．21．給定整數(shù)，數(shù)列滿足．定義數(shù)列如下：，其中表示這2個(gè)數(shù)中最小的數(shù)．記，(1)時(shí)，，分別寫出相應(yīng)的數(shù)列和；(2)求證：；(3)求的最小值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案題號(hào)12345678910答案AABDADBCCC11．12．1013．，（答案不唯一）14．01615．①③④16．（1）取的中點(diǎn)，連接，.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，.又因?yàn)?，，所以，?所以四邊形CEFG是平行四邊形.所以.又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）因?yàn)槠矫妫裕?又因?yàn)?，所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，.所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令，則.于是.不妨取平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面與平面夾角為，則.所以平面與平面夾角的余弦值為.17．（1）在中，由及正弦定理，得，則，整理得，而，則，又，所以.（2）選擇條件①：，則，，為鈍角，符合題意，而，則存在，此時(shí)，由正弦定理得.選擇條件②：，由余弦定理得，解得，由為鈍角，得，于是，此時(shí)與矛盾，不存在，因此②不可選.選擇條件③：的面積為，則，解得，由余弦定理得，則，由為鈍角，得，于是，此時(shí)，符合題意，存在，所以.18．（1）由題意得，該校2021屆大學(xué)畢業(yè)生選擇“單位就業(yè)”的人數(shù)為．（2）由題意得，樣本中名畢業(yè)生選擇“繼續(xù)學(xué)習(xí)深造”的頻率為．用頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機(jī)選取1名學(xué)生，估計(jì)該生選擇“繼續(xù)學(xué)習(xí)深造”的概率為．隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3．所以，，，．所以的分布列為0123．（3）易知五種畢業(yè)去向的人數(shù)的平均數(shù)為200，要使方差最小，則數(shù)據(jù)波動(dòng)性越小，故當(dāng)自主創(chuàng)業(yè)和慢就業(yè)人數(shù)相等時(shí)方差最小，所以．19．（1）由題意，因?yàn)闄E圓的一個(gè)頂點(diǎn)為,且過點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓的方程為，焦距為.（2）設(shè)過點(diǎn)的直線為，，由，化簡得，則，即，所以，即，則，所以直線方程為，，故，且點(diǎn)到直線的距離，所以.20．（1）∵，，∴當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；又時(shí)，，，所以的最小值為．（2）切線，∴，∵，∴，∴，在處的切線恒過（3）由題可得直線方程為：當(dāng)時(shí)，是否恒在直線下方轉(zhuǎn)化為說明是否成立；①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，∵，∴，②當(dāng)時(shí)，只需證：，令，則，∵，∴，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，，綜合①②，即時(shí)，恒在下方．21．（1）由題意得；（2）由題意知，中元素兩兩互異，故中的任一元素，如，在中至多在和中出現(xiàn)兩次，且若