2025-2026學(xué)年人教版（2024）數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)14.3.1角的平分線的性質(zhì)第十四章

全等三角形授課教師：

阿老師.

班級(jí)：

托克遜縣第一中學(xué)8（11）班.

時(shí)間：

2025.09.

1.能用尺規(guī)作圖作一個(gè)角的平分線，知道作圖的理論依據(jù).2.探索并證明角的平分線的性質(zhì)，能夠利用該性質(zhì)解決幾何問(wèn)題；3.熟練掌握證明幾何命題的一般步驟.ABDCE下圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫(huà)一條射線AE，AE就是這個(gè)角的平分線，你能說(shuō)明它的道理嗎？回顧導(dǎo)入我們學(xué)過(guò)的角的平分線的概念是什么？一般地，從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫作這個(gè)角的平分線.幾何語(yǔ)言：所以O(shè)B平分∠AOC.如圖，因?yàn)榛仡檶?dǎo)入在紙上畫(huà)一個(gè)角，你能得到這個(gè)角的平分線嗎？方法一：用量角器度量方法二：用折紙的方法在黑板上畫(huà)一個(gè)角，還能用對(duì)折的方法得到這個(gè)角的平分線嗎？方法三：用角平分儀角的平分線上的點(diǎn)的特性是由其與角的兩邊的關(guān)系體現(xiàn)的.我們先來(lái)看角的平分線上的點(diǎn)與角兩邊上的點(diǎn)所連線段的數(shù)量關(guān)系.探究如圖，OC

是∠AOB

的平分線，P

是OC

上的任意一點(diǎn)，M，N

分別是OA，OB

上的點(diǎn)，我們研究PM

與PN

的關(guān)系.CABOMNP知識(shí)點(diǎn)1角的平分線的作法研究幾何圖形的關(guān)系時(shí)，我們往往關(guān)注其中的一些特殊情況.圖中當(dāng)OM

與ON

滿足什么關(guān)系時(shí)，PM=PN？CABOMNPOP=OP，∠POM=∠PON，在△OPM和△OPN中，如果OM=ON，那么△OPM

≌△OPN(SAS)，就有PM=PN.反過(guò)來(lái)，如圖，M，N

分別是∠AOB

的邊OA，OB

上的點(diǎn)，OM=ON，點(diǎn)P

在∠AOB

的內(nèi)部，PM=PN.連接OP.ABOMNOP=OP，OM=ON，PM=PN，在△OPM和△OPN中，∴△OPM

≌△OPN(SSS)，就有∠POM=∠PON.P即點(diǎn)P

在∠AOB

的平分線上.思考由上述結(jié)論，你能想到如何作一個(gè)角的平分線嗎？1先在角的兩邊上分別作出與角的頂點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn).2在角的內(nèi)部作出與這兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn).3以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)，作過(guò)這個(gè)點(diǎn)的射線.作法：如圖，已知∠AOB.(1)以點(diǎn)O

為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交OA

于點(diǎn)M，交OB

于點(diǎn)N.ABO(2)分別以點(diǎn)M，N

為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑作?。ㄏ胍幌霝槭裁矗?，兩弧在∠AOB

的內(nèi)部相交于點(diǎn)C.MNC(3)作射線OC.射線OC

即為∠AOB

的平分線.ABOMN為什么以大于MN的長(zhǎng)為半徑作?。褐R(shí)點(diǎn)1角的平分線的作法以小于MN的長(zhǎng)為半徑，兩弧無(wú)交點(diǎn)；以等于MN的長(zhǎng)為半徑，不易操作.針對(duì)訓(xùn)練已知：平角∠AOB.求作：∠AOB的平分線.ABO【結(jié)論】作平角的平分線的方法就是過(guò)直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線的方法.如圖，在△ABC中，∠B，∠C的平分線交于點(diǎn)O，OD⊥AB于點(diǎn)D，OE⊥AC于點(diǎn)E，則OD與OE的大小關(guān)系是(

)A.OD>OEB．OD＝OEC.OD<OED．不能確定B針對(duì)訓(xùn)練已知：平角∠AOB.求作：∠AOB的平分線.ABO【結(jié)論】作平角的平分線的方法就是過(guò)直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線的方法.探究如圖，OC

是∠AOB

的平分線，點(diǎn)P1，P2，P3，···在OC

上，過(guò)點(diǎn)P1，P2，P3，···分別畫(huà)OA

與OB

的垂線，垂足分別為D1

與E1、D2

與E2、D3

與E3······.分別比較P1D1

與P1E1、P2D2

與P2E2、P3D3

與P3E3······，你有什么發(fā)現(xiàn)？CABOD1E1P1D2E2P2D3E3P3D4E4P4P1D1=

P1E1，P2D2=

P2E2，P3D3=

P3E3······CABOD1E1P1D2E2P2D3E3P3D4E4P4P1D1=

P1E1，P2D2=

P2E2，P3D3=

P3E3······猜想：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等已知：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上.求證：驗(yàn)證這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.CABODEP如圖，OC

是∠AOB

的平分線，點(diǎn)P

在OC

上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.

求證PD=PE.可以通過(guò)證明△OPD≌△OPE得到PD=PE.知識(shí)點(diǎn)2角的平分線的性質(zhì)CABODEP證明：∵OC

是∠AOB

的平分線，∴∠AOC=∠BOC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△OPD和△OPE中，∠AOC=∠BOC

，∠PDO=∠PEO

，OP=OP

，∴△OPD≌△OPE（AAS）∴PD=PE

1.明確命題中的已知和求證；2.根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示已知和求證；3.經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫(xiě)出證明過(guò)程.必要時(shí)先將命題改寫(xiě)成“如果···那么···”的形式注意可能存在不同情形如圖，∵OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，∴PD=PE.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等角的平分線的性質(zhì)CABODEP幾何語(yǔ)言：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等CABODEP應(yīng)用定理需具備的條件：（1）角的平分線；（2）點(diǎn)在該平分線上；（3）垂直距離.定理的作用：證明線段相等教材P50練習(xí)第1題3.如圖，在直線MN上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P在∠AOB

的內(nèi)部，且點(diǎn)P

到射線OA和OB的距離相等.解：如圖所示：作∠AOB的平分線與MN交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求.ABONMP教材P50練習(xí)第2題4.如圖，OC

是∠AOB

的平分線，點(diǎn)P

在OC

上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.點(diǎn)F，G

分別在OA，O

B上，DF=EG，連接PF，PG.求證PF=PG.CABOGFDEP在△DPF和△EPG中，證明：∵OC

是∠AOB

的平分線，點(diǎn)P

在OC

上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE，∠PDF=∠PEG=90°.PD=PE，∠PDF=∠PEG，DF=EG，∴△DPF≌△EPG（SAS）.∴PF=PG.教材P50練習(xí)第2題CABOGFDEP知識(shí)點(diǎn)1

角的平分線的畫(huà)法

C（第1題）

A.①②③

B.②①③

C.②③①

D.③②①返回（第2題）

C

返回

解：如圖所示.返回知識(shí)點(diǎn)2

角的平分線的性質(zhì)

BA.2

B.3

C.4

D.5返回