2025年下學(xué)期高中STEAM教育數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題5分，共30分）某STEAM小組設(shè)計(jì)太陽能熱水器時(shí)發(fā)現(xiàn)，集熱管接收的太陽輻射強(qiáng)度與太陽高度角θ滿足函數(shù)關(guān)系I(θ)=1000cosθ（單位：W/m2）。若某地夏至日正午太陽高度角為75°，冬至日為30°，則夏至日與冬至日的輻射強(qiáng)度之比為（）A.√2:1B.√3:1C.2:1D.3:1在正方體截面探究實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生使用透明亞克力模型注入墨水觀察截面形狀。當(dāng)墨水量為正方體容積的1/6時(shí)，可能形成的截面是（）A.直角三角形B.正五邊形C.正六邊形D.鈍角三角形某工程團(tuán)隊(duì)用3D打印技術(shù)制作圓錐體零件，已知底面半徑r和高h(yuǎn)滿足方程r2+h2=10（單位：cm），則零件體積的最大值為（）A.40π/3B.50π/3C.64π/3D.100π/3學(xué)校藝術(shù)節(jié)舞臺(tái)燈光設(shè)計(jì)中，兩盞相距6米的聚光燈照射同一點(diǎn)P，光束與地面夾角分別為30°和60°，則點(diǎn)P到地面的距離為（）A.3√3/2米B.2√3米C.3√3米D.6米生物實(shí)驗(yàn)室觀察草履蟲種群增長(zhǎng)，數(shù)據(jù)顯示其數(shù)量N(t)近似滿足Logistic模型N(t)=K/(1+e^(-0.5t))，當(dāng)t=0時(shí)N=10，t=2時(shí)N=25，則環(huán)境容納量K為（）A.50B.100C.150D.200某環(huán)保小組測(cè)量河流污染指數(shù)，數(shù)據(jù)如下表：|采樣點(diǎn)|距離(km)|污染指數(shù)||--------|----------|----------||A|0|12||B|2|10||C|5|7||D|8|5|若用線性回歸模型擬合污染指數(shù)y與距離x的關(guān)系，其回歸方程可能為（）A.y=-0.8x+12B.y=-1.2x+12C.y=0.8x+12D.y=1.2x+12二、填空題（每題6分，共24分）7.機(jī)器人社團(tuán)制作的機(jī)械臂關(guān)節(jié)長(zhǎng)度為20cm，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θ服從均勻分布U(0,π/2)，則末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為______cm。建筑模型中，正八面體的棱長(zhǎng)為a，其內(nèi)切球半徑r與外接球半徑R之比為______。某電商平臺(tái)用戶增長(zhǎng)數(shù)據(jù)顯示，2025年1月用戶數(shù)100萬，每月增長(zhǎng)率為x，若第三季度末（9月）用戶數(shù)突破300萬，則x的最小值為______（精確到0.1%）。藝術(shù)課上用參數(shù)方程繪制螺旋線，x=2tcost，y=2tsint（t∈[0,4π]），則該曲線與直線y=x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為______。三、解答題（共46分）11.橋梁工程設(shè)計(jì)（12分）某小組設(shè)計(jì)拋物線形拱橋，要求橋下水面寬度AB=12米，拱頂C到水面距離為4米。（1）建立坐標(biāo)系求拋物線方程；（2）若洪水期水面上漲1米，求此時(shí)水面寬度。數(shù)據(jù)科學(xué)實(shí)踐（14分）新能源汽車?yán)m(xù)航測(cè)試數(shù)據(jù)如下（單位：km）：420,450,430,440,460,430,450,440（1）計(jì)算平均值、方差及中位數(shù)；（2）用分層抽樣從數(shù)據(jù)中選取4個(gè)樣本，求續(xù)航≥450km的樣本個(gè)數(shù)X的分布列?？鐚W(xué)科綜合探究（20分）背景：STEAM小組開展"校園雨水花園"項(xiàng)目，需解決以下問題：（1）工程建模：花園為矩形，長(zhǎng)x米，寬y米，周長(zhǎng)固定為40米。種植區(qū)域面積S=x·y，石子路徑寬1米（如圖），求種植面積最大值。（2）材料優(yōu)化：滲水磚單價(jià)20元/㎡，草坪30元/㎡，總預(yù)算2000元，求造價(jià)最低的設(shè)計(jì)方案。（3）藝術(shù)設(shè)計(jì)：在花園中心設(shè)計(jì)正六邊形花壇，邊長(zhǎng)0.5米，求花壇外接圓方程（以中心為原點(diǎn)）。（4）環(huán)境評(píng)估：若年降雨量1200mm，花園面積50㎡，雨水收集率為60%，求年收集水量（1m3=1000L）。四、項(xiàng)目式應(yīng)用題（20分）14.智能家居系統(tǒng)設(shè)計(jì)某小組開發(fā)智能窗簾控制系統(tǒng)，需實(shí)現(xiàn)：-根據(jù)日照強(qiáng)度自動(dòng)調(diào)節(jié)開合度（0%-100%）-電機(jī)功率P(W)與開合度k(%)滿足P=0.5k+10-每日電費(fèi)C=0.5×∫?2?P(t)dt（元，t為時(shí)間）任務(wù)：（1）建立日照強(qiáng)度I(t)=I?sin(πt/12)（t∈[6,18]）的數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)開合度k(t)的最優(yōu)函數(shù)關(guān)系；（2）若I?=1000W/m2，計(jì)算每日最低電費(fèi)。五、開放創(chuàng)新題（20分）15.請(qǐng)以"碳中和校園"為主題，設(shè)計(jì)一個(gè)包含數(shù)學(xué)建模的STEAM項(xiàng)目方案，要求：（1）明確項(xiàng)目目標(biāo)（如節(jié)能減排、碳匯計(jì)算等）；（2）構(gòu)建至少2個(gè)數(shù)學(xué)模型（如函數(shù)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)分析等）；（3）說明模型參數(shù)的測(cè)量方法及跨學(xué)科知識(shí)融合（至少涉及科學(xué)、技術(shù)、工程或藝術(shù)領(lǐng)域）。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題B（解析：I(75°)/I(30°)=cos75°/cos30°=√3:1）C（墨水量1/6時(shí)可形成正六邊形截面）A（體積V=πr2h/3=π(10h-h3)/3，求導(dǎo)得h=√(10/3)時(shí)V最大）A（用正弦定理得距離d=6×sin30°×sin60°/sin90°=3√3/2）B（代入數(shù)據(jù)解得K=100）A（線性回歸斜率為負(fù)，近似-0.8）二、填空題7.10π（軌跡為四分之一圓弧，長(zhǎng)度=π×20/2=10π）8.1:√2（正八面體可分解為兩個(gè)正四棱錐）9.14.5%（100(1+x)^8≥300，解得x≈14.5%）10.3（t=π/4,5π/4,9π/4時(shí)相交）三、解答題11.（1）設(shè)拋物線x2=-6y（以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)）；（2）水面寬6√3米12.（1）平均值440，方差200，中位數(shù)440；（2）X~B(4,3/8)，分布列略13.（1）S=-(x-10)2+100，最大值100㎡；（2）滲水磚40㎡+草坪40㎡；（3）x2+y2=(√3/3)2；（4）36000L四、項(xiàng)目式應(yīng)用題14.（1）k(t)=I(t)/I?=sin(πt/12)；（2）C=0.5×∫?1?(0.5sin(πt/12)+10)dt=63.2元五、開放創(chuàng)新題評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)目標(biāo)明確（4分）數(shù)學(xué)模型合理性（8分）跨學(xué)科融合度（4分）可行性與創(chuàng)新性（4分）命題說明：本試卷嚴(yán)格遵循STEAM教育理念，所有題目均來自真實(shí)項(xiàng)目情境：跨學(xué)科整合：融合物理（光學(xué)）、工程（3